14.3.1 角的平分线的性质（课件）--2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角的平分线的性质与判定及尺规作图，通过“平分角仪器”（AB=AD，BC=DC）引导学生观察思考角平分线原理，衔接全等三角形知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以探究式导入培养数学眼光，通过性质定理的AAS全等证明发展推理能力（数学思维），用符号语言规范表达（数学语言）。例题结合三角尺叠合等情境，课堂小结结构化梳理作图依据、性质要素及辅助线方法，助力学生提升几何直观与逻辑推理，为教师提供层次分明的教学资源。

授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学八年级上册教学课件 第十四章 全等三角形 14.3.1 角的平分线的性质 2026年7月31日 人教版八年级上册14.3.1角的平分线的性质练习题（全文约1100字） 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的__________。 2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的__________相等。 3. 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的__________上。 4. 若OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则__________=__________。 5. 角平分线是到角两边距离相等的所有点的__________。 6. 在∠AOB中，OC是角平分线，∠AOC=35°，则∠AOB=__________°。 7. 三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的__________，该点到三角形三边的距离__________。 8. 点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=5cm，若PD=PE，则OP平分__________。 二、单项选择题（每题4分，共20分） 1. 角平分线上的点具有的性质是（） A. 到角两边距离相等 B. 到角两边线段相等 C. 到角顶点距离相等 D. 平分对边 2. 已知OP平分∠AOB，点P到OA的距离为4，则点P到OB的距离为（） A. 2 B. 4 C. 8 D. 不确定 3. 下列说法正确的是（） A. 到角两边距离相等的点一定在角平分线上 B. 角平分线平分角的对边 C. 角平分线上的点到顶点距离相等 D. 任意一点都在角平分线上 4. 三角形三条角平分线的交点特点是（） A. 到三个顶点距离相等 B. 到三边距离相等 C. 在三角形外部 D. 是三角形重心 5. 若点P在∠AOB平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，下列结论错误的是（） A. PD=PE B. ∠DPO=∠EPO C. OD=OE D. OP=PD 三、判断题（对打√，错打×，每题2分，共10分） 1. 角平分线平分角，且平分角所对的线段。（） 2. 角平分线上任意一点到角两边的垂线段长度相等。（） 3. 到角两边距离相等的点，一定在这个角的平分线上。（） 4. 三角形三条角平分线交于三角形外部一点。（） 5. 角平分线是射线，三角形角平分线是线段。（） 四、基础解答题（每题8分，共40分） 1. 已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB。求证：PD=PE。 2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，求证：DB=DC。 3. 已知点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，求证：OP平分∠AOB。 4. 在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点P，求证：点P到△ABC三边的距离相等。 5. 已知OC平分∠AOB，∠AOB=70°，点P在OC上，且点P到OA的距离为6cm，求点P到OB的距离及∠AOC的度数。 参考答案 一、填空题 1. 角平分线 2. 距离 3. 角平分线 4. PD；PE 5. 集合 6. 70 7. 内心；相等 8. ∠AOB 二、选择题 1.A 2.B 3.A 4.B 5.D 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 四、解答题 1. 证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POD=∠POE。∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠POD=∠POE，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE。 2. 证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等，∴DB=DC。 3. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），∴∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB。 4. 证明：∵BP平分∠ABC，∴点P到AB、BC距离相等。∵CP平分∠ACB，∴点P到AC、BC距离相等。综上，点P到AB、BC、AC三边距离相等。 5. 解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，∴点P到OB的距离等于到OA的距离，即为6cm。∠AOC=1/2∠AOB=35°。 习题考查总结 本节习题围绕角的平分线的性质与判定核心知识点设计，重点考查角平分线的定义、“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质，以及“角内到两边距离相等的点在角平分线上”的判定定理，同时涵盖三角形内心的基础性质。习题题型梯度清晰，从基础概念识记、正误辨析、简单计算到几何推理证明，全面贴合八年级本节重难点。通过练习，学生可精准区分角平分线的性质与判定，规避“混淆距离与线段”的常见误区，熟练掌握相关几何证明思路，进一步巩固全等三角形的应用，提升几何识图和逻辑推理能力，适配课堂同步训练、课后作业及单元基础复习。 （总字数：1098） 1. 能用尺规作图：作一个角的平分线，强化分析及作图能力.(重点) 2. 理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理.(重、难点) 3. 培养观察、归纳及动手能力，发展推理能力. 学习目标 A B D C E 下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？ 导入新知 探究 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系. 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？ 在△OPM和△OPN中， OP=OP，∠POM=∠PON， 如果OM=ON， 那么△OPM≌△OPN (SAS)，就有PM=PN. 探究 反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON.点P在∠AOB的内部，PM=PN，你能证明出点P在∠AOB的平分线上吗？ A O B M N P OM=ON， PM=PN， OP=OP， ∴△OPM≌△OPN (SSS)， 证明：连接OP，在△OPM和△OPN中 探究 反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON.点P在∠AOB的内部，PM=PN，你能证明出点P在∠AOB的平分线上吗？ A O B M N P 证明：∴∠POM=∠PON， ∴点P在∠AOB的平分线上. 知识点1 角的平分线的画法 1.如图，作已知的平分线 ，合理的顺序是( ) C （第1题） ① 作射线；②在，上分别截取，，使 ；③ 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 内交 于点 . A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 返回 考试考法 7 （第2题） 2.如图，用直尺和圆规作 的平分线，根据作 图痕迹，下列结论不一定正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 8 3.如图，已知四边形，利用尺规作图法作的平分线交 于 点 .（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图所示. 返回 考试考法 9 思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点； 再在角的内部作出与这两点距离相等的点； 以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了. A O B M N P A B O 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：如图. （1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M，N为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）作射线OC，则射线OC为∠AOB的平分线. M N C 为什么呢？ 知识点1 作已知角的平分线 A B O M N C 思考 作图依据是什么？ 利用“SSS”证明全等 两个三角形全等，则对应角相等 知识点1 作已知角的平分线 例1 已知：∠AOB，如图所示. 求作：∠AOB的补角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图所示，射线OD就是∠AOB的补角的平分线. A O B C E F D 知识点1 作已知角的平分线 跟踪训练 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的平分线. A O B E F C 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 知识点1 作已知角的平分线 知识点2 角的平分线的性质 4.如图，是的平分线，点在 上， 于点，于点，若 ，则 的长为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 返回 考试考法 15 （第5题） 5.如图，平分，点是射线 上一点， 于点，点是射线 上的一个动点， 连接.若，则 的长度不可能是( ) D A.18 B.7.2 C.6 D.4.5 返回 考试考法 16 6.［2025南京期末］如图，在中， ，平分 ， 交于点,于点.若，，则 的长为___. 3 （第6题） 返回 考试考法 17 7.如图,，，垂足分别为,， 与 相交于点，且.求证： . 证明： , 为 的平分线. , ， , . 又 , , . 返回 考试考法 18 由此，我们可以猜想角平分线有什么性质？ 探究 如图，OC是∠AOB的平分线.点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…，分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…，分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3…，你有什么发现？ P1D1=P1E1、P2D2=P2E2、P3D3=P3E3. 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 知识点2 角的平分线的性质 我们证明这个性质. 首先，要分清其中的“已知”和“求证”. 已知：一个点在一个角的平分线上； 求证：这个点到这个角两边的距离相等. 为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证. 知识点2 角的平分线的性质 知识点2 角的平分线的性质 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE. 由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 知识点2 角的平分线的性质 证明：∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC=∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 知识点2 角的平分线的性质 证明：在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC=∠BOC， ∠PDO=∠PEO， OP=OP， ∴△OPD≌△OPE（AAS）， ∴PD=PE . 符号语言： ∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 知识点2 角的平分线的性质 例2 把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图(1)所示方式叠合放置，得到如图(2)的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由. 知识点2 角的平分线的性质 解：如图，过点M作MH⊥AB于点H. ∵∠BAD=30°，∠CAB=60°， ∴∠MAC=∠BAC-∠MAB=30°=∠MAB, ∴AM平分∠CAB. 例2 把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图(1)所示方式叠合放置，得到如图(2)的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由. 知识点2 角的平分线的性质 解：∵MH⊥AB，MC⊥AC, ∴MH=MC， 即MC的长度等于点M到AB的距离. 证明一个几何命题时的步骤： 已知：一个点在一个角的平分线上 求证：这个点到角两边的距离相等； 第一步：明确命题中的已知和求证. 第二步：根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 第三步：经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 知识点3 证明几何命题的一般步骤 知识点3 文字命题的证明 8.命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的题设是______________ ___________，结论是________________________. 一个三角形的两个角互余 这个三角形是直角三角形 返回 考试考法 28 9.［2024常州中考］如图，在纸上画有 ，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘 的交点在 的平分线上，则( ) A A.与一定相等 B.与 一定不相等 C.与一定相等 D.与 一定不相等 返回 考试考法 29 例3 求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线 的距离相等. 知识点3 证明几何命题的一般步骤 解：已知：如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E. 求证：BE=CF. 证明：∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD. ∵BE⊥AD，CF⊥AD, 例3 求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线 的距离相等. 知识点3 证明几何命题的一般步骤 解：∴∠BED=∠CFD=90°. 在△BED 和△CFD 中， ∠BED=∠CFD， ∠BDE=∠CDF， BD=CD， ∴△BED≌△CFD（AAS）. ∴BE=CF. （第10题） 10.［2024绵阳中考］如图，在中， ， 平分交于点，，垂足为 ， 的面积为5，则 的长为( ) B A.1 B.2 C.3 D.5 返回 考试考法 32 （第11题） 11.［2024湖南中考］如图，在锐角三角形 中，是边上的高，在， 上分别截取线 段，，使；分别以点， 为圆心， 大于的长为半径画弧，在 内，两弧交于 点，作射线，交于点，过点 作 6 于点.若，，则 ___. 返回 考试考法 33 12.［2025荆门月考］如图，在中，平分， ， 于点，点在上，且 . 考试考法 34 （1）求证： ； 证明：平分， ，， . 在和 中， ， . 考试考法 35 （2）若，，求 的长. 解： ， . 设，则.在和 中， ， ，即 ， ，解得 ， ， . 返回 考试考法 36 13.［2025成都期末］如图，已知点 在第一象限的角平分线 上，且 ，点在轴上，点在 轴上. （1）求点 的坐标； 解： 点在第一象限的角平分线 上， ， ， . 考试考法 37 （2）当绕点旋转时， 的值是否发生变化？若变化，求 出其变化范围；若不变，求出这个定值. 解： 的值不变. 如图，过点作轴于点，于点 ， 则 . 平分，， ， . ， . 考试考法 38 ， ， 即 ， . 在和 中， ， ， . 返回 考试考法 课堂小结 角平分线 尺规作图 性质 添加 辅助线 依据：SSS 一个点： 二距离： 两相等： 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段相等 过角平分线上一点向两边作垂线段 谢谢观看 THANKS $