14.3.2角的平分线的判定（课件）--2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角的平分线的判定定理，通过复习性质定理、交换题设结论引导探究，构建“性质-判定”互逆的学习支架，衔接全等三角形与角平分线知识脉络。 其亮点在于以推理能力和几何直观为核心，设计梯度化习题（填空到综合实践）、互逆关系对比表及生活实例（建水厂），帮助学生精准掌握判定条件，提升逻辑推理与应用能力，教师可利用系统资源实施分层教学。

授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学八年级上册教学课件 第十四章 全等三角形 14.3.2角的平分线的判定 2026年7月31日 人教版八年级上册14.3.2角的平分线的判定练习题（全文约1100字） 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边__________相等的点，在这个角的平分线上。 2. 角平分线的性质与判定互为__________，性质是已知平分线得距离相等，判定是已知距离相等得平分线。 3. 若点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，则__________平分∠AOB。 4. 证明一个点在角的平分线上，必须满足两个条件：点在角的__________，且到角两边的垂线段相等。 5. 三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的__________，该点到三角形__________的距离相等。 6. 在△ABC中，若一点到AB、AC两边的距离相等，则该点在__________的平分线上。 7. 若点P到∠AOB两边的距离分别为4cm和4cm，则OP是∠AOB的__________。 8. 角平分线的判定必须是**垂线段距离**相等，普通线段相等__________（填“能”或“不能”）判定角平分线。 二、单项选择题（每题4分，共20分） 1. 下列条件能判定OP平分∠AOB的是（） A. PA=PB B. OP平分AB C. 点P到OA、OB的垂线段相等 D. ∠APO=∠BPO 2. 关于角平分线判定，说法正确的是（） A. 只要距离相等，就在角平分线上 B. 角外部点距离相等也在平分线上 C. 角内部两边距离相等的点在平分线上 D. 线段相等即可判定角平分线 3. 三角形内心的性质是（） A. 到三个顶点距离相等 B. 到三边距离相等 C. 三条高线交点 D. 三条中线交点 4. 已知点P在△ABC内部，到AB、BC距离相等，则点P一定在（） A. ∠A的平分线上 B. ∠B的平分线上 C. ∠C的平分线上 D. 无法确定 5. 下列不能判定角平分线的是（） A. 角内点到两边垂线段相等 B. 两角相等且共顶点 C. 角内斜线段相等 D. 符合判定定理的距离相等 三、判断题（对打√，错打×，每题2分，共10分） 1. 角内部到两边距离相等的点，一定在角的平分线上。（） 2. 线段相等就可以判定点在角平分线上。（） 3. 三角形的内心一定在三角形内部。（） 4. 角平分线判定和性质的条件和结论正好相反。（） 5. 角外部的点到角两边距离相等，也在这个角的平分线上。（） 四、基础解答题（每题8分，共40分） 1. 已知：点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE。求证：OP平分∠AOB。 2. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF。求证：AD平分∠BAC。 3. 已知△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线交于点P，求证：点P到AB、BC、AC三边的距离相等。 4. 已知点P在∠AOB内，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=6cm，PN=6cm，判断OP是否为角平分线，并说明理由。 5. 简要说明角平分线性质与判定的区别与联系。 参考答案 一、填空题 1. 距离 2. 逆命题 3. OP 4. 内部 5. 内心；三边 6. ∠BAC 7. 平分线 8. 不能 二、选择题 1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 三、判断题 1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.× 四、解答题 1. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），∴∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB。 2. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，点D在∠BAC内部，根据角平分线的判定定理，可得AD平分∠BAC。 3. 证明：∵BP平分∠ABC，∴点P到AB、BC的距离相等。∵CP平分∠ACB，∴点P到AC、BC的距离相等。因此，点P到AB、BC、AC三边距离均相等。 4. 解：OP是∠AOB的角平分线。理由：点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN，满足角平分线判定定理，故OP平分∠AOB。 5. 区别：性质是已知角平分线，推出点到角两边距离相等；判定是已知角内点到两边距离相等，推出射线是角平分线。联系：二者互为逆定理，都围绕角平分线与垂线段距离的关系，常结合全等三角形解题。 习题考查总结 本节习题聚焦角的平分线的判定核心考点，重点考查判定定理的核心内容、适用条件，严格区分角平分线性质与判定的逻辑关系，攻克“混淆线段与垂线段距离”“忽略点在角内部”等高频易错点。习题题型梯度分明，覆盖概念识记、正误辨析、选择应用、几何证明与知识点总结，贴合八年级几何学习重难点。通过练习，学生可熟练掌握角平分线判定的解题思路和规范书写，能精准区分性质与判定的使用场景，结合全等三角形、三角形内心性质完成综合解题，完善角平分线知识体系，有效提升逻辑推理与几何应用能力，适配课堂同步训练、课后作业和单元复习。 （总字数：1096） 1. 探索并证明角平分线的判定定理及其运用. (重点) 2. 区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用. (难点) 3. 感受互逆的数学思想，发展推理能力和解题能力 学习目标 O D P P到OA的距离PD P到OB的距离PE. P是角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 叙述角平分线的性质定理. 不必再证全等 E 复习引入 探究新知 交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等” 这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？ 知识点1 角的平分线的判定 C A B O D E P 猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上 已知： 角的内部的一个点到这个角两边的距离相等. 求证： 验证 这个点在这个角的平分线上. 知识点1 角的平分线的判定 如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 可以通过添加辅助线，构造三角形来证明. A B O D E P C 知识点1 角的平分线的判定 证明：如图，经过点 P 作射线 OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中， OP = OP， PD = PE， ∴ △OPD ≌ △OPE（HL） ∴∠AOC =∠BOC A B O D E P C ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 知识点1 角的平分线的判定 1.如图，于点，于点，，当 ___时， 点在 的平分线上. 2 （第1题） 返回 举一反三 7 （第2题） 2.［2025广州越秀区月考］如图，于点 ， 于点，若，且 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 3.将两个完全相同的直角三角板按如图所示的方式放置， 使得顶点重合， ，若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 8 如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角的平分线的判定定理 知识点2 角的平分线的性质 几何语言： A B O D E P C 位置关系 数量关系 归纳总结 所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线 1 角的平分线的性质及判定的关系 点在角的平分线上 角的内部，点到角两边距离相等 性质 判定 2 角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 知识点2 三角形的角平分线 5.到的三条边距离相等的点是 的( ) B A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高所在直线的交点 D.以上均不对 返回 举一反三 11 6.［2025江门调研］如图，的三边，， 的长分别为4，6， 8，其三条角平分线将分成三个三角形，则 _______. 返回 举一反三 12 7.［教材例题变式］如图，已知的角平分线， 相交于 点，连接是否平分 ?请说明理由. 举一反三 13 解：平分 .理由如下： （第7题） 如图，过点作，，，垂足分别为，， . 的角平分线，相交于点，， ， ，平分 . 返回 举一反三 14 知识点2 三角形三条角平分线的关系 例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证： 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； △ABC 的三条角平分线交于一点. C A B M N P 点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等 要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上． C A B M N P 教材P51 例题 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F. ∵BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 . E F D C A B M N P 教材P51 例题 (2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上 . ∴△ABC 的三条角平分线交于一点 . E F D 知识点2 三角形三条角平分线的关系 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等. 三角形内部到三边距离相等的点是 三条角平分线的交点. 拓展探究 到三角形三边所在直线距离相等的点一共有几个？ 4个 P1 P4 P2 P3 三角形三个内角的平分线的交点 P1； 三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点 P2，P3，P4. 提炼归纳 角平分线的性质 角平分线的判定 图示 已知条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA于点 D PE⊥OB于点 E PD = PE PD⊥OA 于点D PE⊥OB 于点E PD = PE OP 平分∠AOB 4.［教材习题 变式］［2025武汉月考］如图，已 知，，垂足分别为，，， 相交于点，连接.若，求证： 平分 . 举一反三 21 证明：, ， . 在与 中， ,是 的平分线. 返回 举一反三 知识点3 角平分线的判定的应用 8.如图，铁路和铁路交于处，河道与铁路分别交于处和 处， 试在河岸上建一座水厂，要求到铁路， 的距离相等且最短， 则该水厂应建在图中什么位置？请在图中标出点 的位置. 举一反三 23 解：如图，作的平分线交 于点，点 即为水厂的位置. （第8题） 返回 举一反三 24 （第9题） 9.将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示的方式摆 放，两把直尺的接触点记为点 ，其中一把直尺的上 边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长.若 ，则 的度 数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 25 （第10题） 10.民族要复兴，乡村必振兴，某高新区围湖外有 三条公路经过，， 三个村庄，如图所示，现要 新建一个加油站 到三条公路的距离相等，这样的 加油站的位置有( ) B A.4处 B.3处 C.2处 D.1处 （第11题） 11.如图，点在 内，且到三边的距离相等，连 接，.若 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 26 12.［2025北京西城区期末］如图，在中， ， 于点， ，点在上， .求证： （1）平分 ； 举一反三 27 证明： ， . ， ， . ， ， . 又，， . ， ， 平分 . 举一反三 28 （2） . [答案] 平分 ， . ， ， ， . 由（1）得 ， ， ， . 返回 举一反三 29 13.综合与实践 【情境再现】 如图①，的平分线与的外角的平分线相交于点 . 举一反三 30 【提出问题】 （1）与 满足怎样的数量关系？ 解：平分，平分 ， ， . ， ， ， . 举一反三 31 【数学感悟】 （2）如图②，在中， ，是上一点，将 沿翻折得到，与相交于点.延长交于点 ，若 平分，平分，求 的度数； 举一反三 32 解：如图①，延长到点 ， ， . 平分 ， ， 平分 . 平分 ， 由（1）得 . 由折叠得， . ， . 举一反三 33 【学以致用】 （3）如图③，在四边形中，平分 ， ，若 ，求 的度数. 解：如图②，过点作 的延长线， ，的延长线，垂足分别为， ， . ， ， ， 平分 . 举一反三 34 平分, ， 由（1）得 ， . 平分,平分， ， ， ， ， ， ，平分 ， . 返回 举一反三 谢谢观看 THANKS $