14.3.2 角的平分线的判定（培优课件）2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线的判定”，通过“集贸市场选址”情境导入，引导学生交换性质定理的题设与结论进行探究，构建“性质（点在平分线上→距离相等）与判定（距离相等→点在平分线上）”的对比学习支架，衔接全等三角形知识。 其亮点在于强化“垂直距离”核心条件辨析，通过基础选择、规范证明题分层训练，结合生活实例（如超市位置确定）培养几何直观与应用意识，用表格归纳性质与判定的条件结论，提升推理能力。学生能精准掌握定理应用，教师可直接用于课堂同步巩固与能力提升。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月8日 14.3.2 角的平分线的判定 第十四章 全等三角形 14.3.1 角的平分线的性质 练习题 本套练习题针对人教版八年级上册14.3.1角的平分线的性质编写，聚焦本节核心知识点：角的平分线上的点到角两边的距离相等。习题重点区分“角平分线性质”与“角平分线判定”的区别，强化“垂直距离”这一核心易错条件，摒弃无垂直、非距离的错误判定，搭配基础辨析、填空选择和规范几何证明题，难度循序渐进，贴合课堂同步训练与课后巩固需求，帮助熟练掌握定理应用规范。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 角平分线的性质是（） A. 平分角的线段叫角平分线 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 到角两边距离相等的点在角平分线上 D. 角平分线平分角的对边 2. 已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=5，则PN的长度为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 3. 下列条件中，能直接用角平分线性质定理的是（） A. 点P在∠AOB内，PA=PB B. 点P在∠AOB平分线上，PA⊥OA，PB⊥OB C. 点P在平分线上，PA、PB为任意线段 D. PA⊥OA，PB⊥OB，PA=PB 4. 下列说法错误的是（） A. 角平分线是射线 B. 角平分线上的点到两边垂直距离相等 C. 不垂直的线段相等，不能用角平分线性质 D. 角平分线平分对边 5. OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，下列结论正确的是（） A. OM=ON B. PM=PN C. ∠OPM=∠OPN D. 以上都对 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 角的平分线上的点到角两边的________相等。 2. 应用角平分线性质定理，必须满足两个条件：点在________上、线段与角两边________。 3. 若点P在∠AOB的平分线上，且P到OA的距离为6cm，则P到OB的距离为________cm。 4. 三角形三条角平分线的交点到三角形________的距离相等。 5. 若线段不垂直于角的两边，即使长度相等，也________用角平分线性质定理（填“能”或“不能”）。 三、解答题（共60分） 1.（20分）已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB。求证：PD=PE。 2.（20分）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DE=4，求DF的长。 3.（20分）已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF。求证：AE=AF。 参考答案与解析 一、选择题 1. B 解析：A为角平分线定义，C为角平分线判定定理，B是角平分线的性质定理。 2. C 解析：根据角平分线性质，角平分线上的点到角两边距离相等，故PN=PM=5。 3. B 解析：性质定理适用前提：点在角平分线上，且线段垂直于角的两边（距离）。 4. D 解析：角平分线平分角度，不一定平分对边，该说法错误。 5. D 解析：可通过HL证明△OPM≌△OPN，可得PM=PN、OM=ON、∠OPM=∠OPN。 二、填空题 1. 垂直距离 2. 角平分线、垂直 3. 6 4. 三边 5. 不能 三、解答题 1. 证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POD=∠POE。∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠POD=∠POE，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE。 2. 解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴DF=DE=4。 3. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°。在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF。 理解角平分线判定定理. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 情境导入 如图，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处 500 m. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置)？ 即求：∠AOB 内是否存在一点到 OA、OB 的距离相等，且距离 O 点 500 m. 转化 A O B 0 200m 探究新知 交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等” 这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？ 知识点1 角的平分线的判定 C A B O D E P 猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上 已知： 角的内部的一个点到这个角两边的距离相等. 求证： 验证 这个点在这个角的平分线上. 知识点1 角的平分线的判定 如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 可以通过添加辅助线，构造三角形来证明. A B O D E P C 知识点1 角的平分线的判定 证明：如图，经过点 P 作射线 OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中， OP = OP， PD = PE， ∴ △OPD ≌ △OPE（HL） ∴∠AOC =∠BOC A B O D E P C ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角的平分线的判定定理 知识点2 角的平分线的性质 几何语言： A B O D E P C 位置关系 数量关系 归纳总结 所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线 1 角的平分线的性质及判定的关系 点在角的平分线上 角的内部，点到角两边距离相等 性质 判定 2 角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 知识点2 三角形三条角平分线的关系 例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证： 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； △ABC 的三条角平分线交于一点. C A B M N P 点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等 要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上． C A B M N P 教材P51 例题 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F. ∵BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 . E F D C A B M N P 教材P51 例题 (2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上 . ∴△ABC 的三条角平分线交于一点 . E F D 知识点2 三角形三条角平分线的关系 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等. 三角形内部到三边距离相等的点是 三条角平分线的交点. 拓展探究 到三角形三边所在直线距离相等的点一共有几个？ 4个 P1 P4 P2 P3 三角形三个内角的平分线的交点 P1； 三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点 P2，P3，P4. 提炼归纳 角平分线的性质 角平分线的判定 图示 已知条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA于点 D PE⊥OB于点 E PD = PE PD⊥OA 于点D PE⊥OB 于点E PD = PE OP 平分∠AOB 1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 小区C P A O B M N 课堂检测 基础巩固题 随堂练习 2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB， ∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． A B C E F D ( ( ( ( 3 4 1 2 P 课堂检测 随堂练习 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. E 证明： ∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 G H M A B C F D 课堂检测 能力提升题 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 随堂练习 1.如图，于点，于点，，当 ___时， 点在 的平分线上. 2 （第1题） 返回 考试考法 18 （第2题） 2.如图，于点，于点，若 ， 且 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 19 3.如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式 放置，使得顶点重合， ，若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 20 4.［教材习题变式］如图，已知， ，垂足分别为 ，，，相交于点，连接.若，求证： 平分 . 考试考法 21 证明：, ， . 在与 中， ,平分 . 返回 考试考法 22 课堂小结 角平分线的判定 内容 作用 结论 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等 判断一个点是否在角的平分线上 $