第五章 二元一次方程组 单元测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组单元卷，以机器人分拣、《算法统宗》古诗等真实情境和梯度问题（基础定义到方案设计）考查抽象能力、模型意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程定义、方程组解法、函数与方程结合（如第7题交点坐标）|基础辨识与概念应用，结合一次函数图象（第9题）| |填空题|8/24|解的意义（第11题）、三元方程组消元（第14题）、几何拼图（第18题）|渗透整体思想（第15题x+y=3）、模型意识| |解答题|7/66|解方程组（第19题）、实际应用（第22题客房、24题机器人方案）、规律探究（第21题）|跨情境综合，如2026春晚机器人素材，考查运算能力与创新思维|

第五章 二元一次方程组 单元测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是二元一次方程的是（　　） A．x+2y＝3z B．x﹣2y＝0 C． D．x﹣1＝0 2．已知关于x，y的二元一次方程●x﹣2y＝4中x的系数让墨迹盖住了，但是知道它一组解是，那么●的值是（　　） A．1 B．3 C．0 D．﹣8 3．用代入法解方程组，正确的解法是（　　） A．先将①变形为，再代入② B．先将①变形为，再代入② C．先将②变形为，再代入① D．先将②变形为y＝9（4x﹣1），再代入① 4．已知等腰三角形的两边长分别为x、y，且满足|2x﹣y+1|+（2x+y﹣13）2＝0，则该等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．11或13 5．已知方程组，则2x+6y的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 6．已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线y＝3x+a与直线的交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 8．在玩一类卡牌游戏时，作为游戏中“法官”的小胖将卡片平均分给其他参与游戏的同学（小胖作为法官不持有卡牌），每轮每人分发一张卡牌．在分发了2轮之后，小胖发现，手中原来的x张卡牌现在仅剩3张，而参与游戏的总人数为y人，则可列方程为（　　） A．2y+3＝x B．2（y﹣1）+3＝x C．x2﹣2y＝9 D．9x+（y﹣1）x＝2 9．如图，直线y＝x+3与y＝ax+b交于点P（1，4），则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 10．如图，四个形状、大小相同的长方形，拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为98cm，那么，每块小长方形的面积是（　　） A．120cm2 B．147cm2 C．169cm2 D．180cm2 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知是二元一次方程ax+by＝2的解，则6a﹣3b+2026的值为 　　 ． 12．若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝4的解，则a＝　1　 ，并直接写二元一次方程的所有正整数解 　　 ． 13．如图，一次函数y＝kx+b与一次函数y＝x+2的图象相交于点P，且二元一次方程组的解是，则点P的坐标为 　　 ． 14．将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 　 ． 15．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝3，则k的值为　　 ． 16．在平面直角坐标系中，直线y1＝x，y2＝﹣x+2，y3x+2围成三角形的面积为　　 ． 17．某工厂共有86个工人，已知每个工人每天加工甲种零件15个或乙种零件12个，或丙种零件9个，而3个甲种零件，2个乙种零件，1个丙种零件恰好配成一套，要安排工人工作才可以使加工好的零件配套，则生产甲种零件的工人有 　　 人． 18．小东在拼图时，发现8个大小、形状完全相同的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图②的正方形，中间还留下了一个边长恰好为1的小正方形（阴影部分），则小长方形的面积为　　 ． 三．解答题（共7小题，共66分） 19．解方程组：（1）； （2）． （3） 20．已知关于x、y的方程组和方程组有相同的解，求（a+b）2027的值． 21．小杰和小丽对以下这个问题提出了各自的想法：“如果关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．” 小杰说：“这个问题好像条件不够，不能求解．” 小丽说：“它们的系数有一定的规律，从这个角度可以试一试．” 对于这个问题是否能求解，你有什么看法呢？如果不能求解，请说明理由；如果能求解，请写出求解过程． 22．某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有9人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就有一间客房少7人． （1）该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费50钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 23．（1）已知y﹣4与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6． ①求y与x之间的函数关系式； ②当y＜5时，求x的取值范围． （2）已知经过点（3，﹣2）的直线l1：y＝mx+n与直线l2：y＝﹣2x+6相交于点M（1，p）．则关于x，y的二元一次方程组的解为 　　 ． 24．2026年春晚名为《武BOT》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A，B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人（A，B都有），费用恰好用完800万元，请写出所有符合情况的方案，并选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 25．如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）． （1）求点D和点C的坐标； （2）求直线l2的函数表达式； （3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解． 参考答案 第5章 二元一次方程组 单元测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是二元一次方程的是（　　） A．x+2y＝3z B．x﹣2y＝0 C． D．x﹣1＝0 【解答】解：A、x+2y＝3z是三元一次方程，不符合题意； B、x﹣2y＝0是二元一次方程，符合题意； C、y＝1的分母含未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、x﹣1＝0是一元一次方程，不符合题意． 故选：B． 2．已知关于x，y的二元一次方程●x﹣2y＝4中x的系数让墨迹盖住了，但是知道它一组解是，那么●的值是（　　） A．1 B．3 C．0 D．﹣8 【解答】解：把代入●x﹣2y＝4，得：2●﹣2×（﹣1）＝4， ∴●＝1； 故选：A． 3．用代入法解方程组，正确的解法是（　　） A．先将①变形为，再代入② B．先将①变形为，再代入② C．先将②变形为，再代入① D．先将②变形为y＝9（4x﹣1），再代入① 【解答】解：A、先将①变形为，再代入②，故此选项不符合题意； B、先将①变形为，再代入②，故此选项符合题意； C、先将②变形为，再代入①，故此选项不符合题意； D、先将②变形为y，再代入①，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．已知等腰三角形的两边长分别为x、y，且满足|2x﹣y+1|+（2x+y﹣13）2＝0，则该等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．11或13 【解答】解：∵|2x﹣y+1|+（2x+y﹣13）2＝0， ∴， 解得， ∵等腰三角形的两边长分别为x、y， 当等腰三角形的腰为3时，3+3＜7，不能构成三角形， 当等腰三角形的腰为7时，7+7＞3，能构成三角形， ∴等腰三角形的周长为7+7+3＝17， 故选：B． 5．已知方程组，则2x+6y的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【解答】解：两式相减，得x+3y＝﹣2， ∴2（x+3y）＝﹣4， 即2x+6y＝﹣4， 故选：C． 6．已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：解方程组得：， ∵x和y互为相反数， ∴x+y＝0， 则7m﹣12﹣4.5m+7＝0， 解得：m＝2， 故选：A． 7．若直线y＝3x+a与直线的交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当x＝2时， ， ∴交点为（2，﹣1）， ∴方程组的解为． 故选：D． 8．在玩一类卡牌游戏时，作为游戏中“法官”的小胖将卡片平均分给其他参与游戏的同学（小胖作为法官不持有卡牌），每轮每人分发一张卡牌．在分发了2轮之后，小胖发现，手中原来的x张卡牌现在仅剩3张，而参与游戏的总人数为y人，则可列方程为（　　） A．2y+3＝x B．2（y﹣1）+3＝x C．x2﹣2y＝9 D．9x+（y﹣1）x＝2 【解答】解：根据题意得：2（y﹣1）+3＝x． 故选：B． 9．如图，直线y＝x+3与y＝ax+b交于点P（1，4），则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵直线y＝x+3与y＝ax+b交于点P（1，4）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故选：A． 10．如图，四个形状、大小相同的长方形，拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为98cm，那么，每块小长方形的面积是（　　） A．120cm2 B．147cm2 C．169cm2 D．180cm2 【解答】解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm， ∴2（x+y+x）＝98，x＝3y， ∴x＝21，y＝7， ∴小长方形的面积＝21×7＝147cm2， 故选：B． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知是二元一次方程ax+by＝2的解，则6a﹣3b+2026的值为 　2032　 ． 【解答】解：∵是二元一次方程ax+by＝2的解， ∴将代入ax+by＝2得：2a﹣b＝2， ∴6a﹣3b+2026＝3（2a﹣b）+2026＝3×2+2026＝2032． 故答案为：2032． 12．若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝4的解，则a＝　1　 ，并直接写二元一次方程的所有正整数解 　，，　 ． 【解答】解：将代入原方程得：a+3＝4， 解得：a＝1． ∴原二元一次方程为：x+y＝4， 当x＝1时，y＝3， 当x＝2时，y＝2， 当x＝3时，y＝1， 故x+y＝4二元一次方程的所有正整数解为：，，， 故答案为：1；，，． 13．如图，一次函数y＝kx+b与一次函数y＝x+2的图象相交于点P，且二元一次方程组的解是，则点P的坐标为 　（2，4）　 ． 【解答】解：∵二元一次方程组的解是， ∴点P的坐标为（2，4）， 故答案为：（2，4）． 14．将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 　　 ． 【解答】解：， 由②+③得：4x﹣3y＝5④， ∴， 故答案为：． 15．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝3，则k的值为　﹣8　 ． 【解答】解：， ①﹣②得：x+y＝2k﹣5﹣3k， 即x+y＝﹣k﹣5， 因为x+y＝3， 所以﹣k﹣5＝3， 所以k＝﹣8． 故答案为：﹣8． 16．在平面直角坐标系中，直线y1＝x，y2＝﹣x+2，y3x+2围成三角形的面积为　2　 ． 【解答】解：设直线y1＝x，y2＝﹣x+2交于点A，直线y1＝x，y3x+2交于点B，直线y2＝﹣x+2，y3x+2交于点C， 联立直线y1，y2的解析式组成方程组得：， 解得：， ∴点A的坐标为（1，1）， 同理：点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（0，2）． 过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，则BE＝3，AF＝1，如图所示， ∴S△ABC＝S△OBC﹣S△OAC， OC•BEOC•AF 2×32×1 ＝3﹣1 ＝2， ∴直线y1＝x，y2＝﹣x+2，y3x+2围成三角形的面积为2． 故答案为：2． 17．某工厂共有86个工人，已知每个工人每天加工甲种零件15个或乙种零件12个，或丙种零件9个，而3个甲种零件，2个乙种零件，1个丙种零件恰好配成一套，要安排工人工作才可以使加工好的零件配套，则生产甲种零件的工人有 　36　 人． 【解答】解：设生产甲种零件的工人有x人，生产乙种零件的工人有y人，则生产丙种零件的工人有（86﹣x﹣y）人， 根据题意得：， 即， 解得：， ∴生产甲种零件的工人有36人． 故答案为：36． 18．小东在拼图时，发现8个大小、形状完全相同的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图②的正方形，中间还留下了一个边长恰好为1的小正方形（阴影部分），则小长方形的面积为　15　 ． 【解答】解：设小长方形的宽为x，长为y， 由题意得：， 解得：， ∴xy＝3×5＝15， 即小长方形的面积为15， 故答案为：15． 三．解答题（共7小题，共66分） 19．解方程组：（1）； （2）． （3） 【解答】解：（1）， 由①，得t＝3s﹣5③， 将③代入②，得5s+2（3s﹣5）＝12， 解得s＝2， 把s＝2代入③，得t＝1， ∴方程组的解为； （2）， ①×6，得2x﹣9y③， ②﹣③，得12y＝﹣8， 解得， 把代入②中，得， 解得x＝0， ∴方程组的解为． （3） ①+②得：5x+2y＝16④ ②+③得：3x+4y＝18⑤ ④×2得：10x+4y＝32⑥ ⑥﹣⑤得：10x﹣3x＝32﹣18 解得：x＝2 把x＝2代入④得：5×2+2y＝16 解得：y＝3 把x＝2，y＝3代入③得：2+3+z＝6 解得：z＝1 ∴原方程组的解为 20．已知关于x、y的方程组和方程组有相同的解，求（a+b）2027的值． 【解答】解：∵关于x、y的方程组和方程组有相同的解， ∴联立方程组：， ①+②，得5x＝10， 解得：x＝2， 把x＝2代入①，得2×2+5y＝﹣6， 解得：y＝﹣2， 把x＝2，y＝﹣2分别代入方程bx﹣ay＝2，bx+ay＝﹣80组成新的方程组：，即， ①+②，得2b＝﹣39， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 把，代入（a+b）2027，得． 21．小杰和小丽对以下这个问题提出了各自的想法：“如果关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．” 小杰说：“这个问题好像条件不够，不能求解．” 小丽说：“它们的系数有一定的规律，从这个角度可以试一试．” 对于这个问题是否能求解，你有什么看法呢？如果不能求解，请说明理由；如果能求解，请写出求解过程． 【解答】解：将方程组两边同时除以5得，， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴x＝3，y＝4， 解得：． 22．某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有9人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就有一间客房少7人． （1）该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费50钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【解答】解：（1）设该店有客房x间，房客y人， 依题意得：， 解得：， 答：该店有客房8间，房客65人； （2）若每间客房住3人，则65名客人至少需要客房22间，需付费50×22＝1100（钱）； 若一次性定客房25间，则需付费50×25×0.8＝1000（钱）； ∵1100＞1000， ∴一次性定客房25间更合算． 答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房25间更合算． 23．（1）已知y﹣4与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6． ①求y与x之间的函数关系式； ②当y＜5时，求x的取值范围． （2）已知经过点（3，﹣2）的直线l1：y＝mx+n与直线l2：y＝﹣2x+6相交于点M（1，p）．则关于x，y的二元一次方程组的解为 　　 ． 【解答】解：（1）①∵y﹣4与x成正比例，设y﹣4＝kx，把x＝2，y＝﹣6代入可得； ﹣6﹣4＝2k， 解得：k＝﹣5， ∴y＝﹣5x+4； ②当y＜5时，则﹣5x+4＜5， 解得：x； （2）把点M（1，p）代入y＝﹣2x+6得，p＝4， ∴M（1，4）， ∵直线l1：y＝mx+n与直线l2：y＝﹣2x+6相交于点M， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为； 故答案为：． 24．2026年春晚名为《武BOT》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A，B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人（A，B都有），费用恰好用完800万元，请写出所有符合情况的方案，并选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【解答】解：（1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， ， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元． （2）设A种型号智能机器人的台数为a台，B种型号智能机器人的台数为b台， 80a+60b＝800， 解得：a＝10b， ∵a为正整数，b为正整数， ∴当b＝4时，a＝7， 当b＝8时，a＝4， 当b＝12时，a＝1， 每天分拣快递的件数为22a+18b＝22（10b）+18b＝220， ∴当b＝12时，a＝1时，每天分拣快递的件数最多， ∴A种型号智能机器人的台数为7台，B种型号智能机器人的台数为4台，或A种型号智能机器人的台数为4台，B种型号智能机器人的台数为8台，或A种型号智能机器人的台数为1台，B种型号智能机器人的台数为12台，其中A种型号智能机器人的台数为1台，B种型号智能机器人的台数为12台时，每天分拣快递的件数最多． 25．如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）． （1）求点D和点C的坐标； （2）求直线l2的函数表达式； （3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解． 【解答】解：（1）在y＝3x﹣2中 令y＝0，即3x﹣2＝0 解得x， ∴D（，0）， ∵点C（m，3）在直线y＝3x﹣2上， ∴3m﹣2＝3， ∴m， ∴C（，3）； （2）设直线l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 由题意得：， 解得：， ∴yx； （3）由图可知，二元一次方程组的解为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $