第五章 二元一次方程组解答题专练（进阶关）：方程组与一次函数2026-2027学年八年级上册北师大版数学

**基本信息** 聚焦一次函数与二元一次方程组的数形结合应用，通过基础到创新的梯度题型，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|8|求解析式、交点坐标、方程组解|一次函数定义→待定系数法→图像与坐标轴交点| |综合拓展|5|面积计算、多知识点结合|两直线交点即方程组解→坐标几何意义→面积公式应用| |创新探究|3|新定义“近点”、绝对值函数|函数性质拓展→代数推理→跨知识整合|

第二关：进阶关 1．如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝kx+b与y轴相交于点C（0，1），与x轴交于点E，与直线l1相交于点D（1，3）． （1）填空： ①△BCD的面积为　　 ； ②方程组的解为　　 ； （2）求直线l2的解析式； （3）求△ADE的面积． 【答案】（1）①；②； （2）y＝2x+1； （3）． 【解答】解：（1）①∵y＝﹣x+4， ∴B（0，4），A（4，0）， ∵C（0，1），D（1，3）； ∴△BCD的面积为； 故答案为：； ②由图象可知：方程组的解为； 故答案为：； （2）∵直线l2：y＝kx+b过C（0，1）、D（1，3） ∴， ∴； ∴直线l2的解析式是：y＝2x+1； （3）当y＝2x+1＝0时，， ∴， ∵A（4，0），D（1，3）， ∴， ∴． 2．如图，已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的函数表达式； （2）若点B的横坐标是1，求关于x，y的方程组的解及a的值． 【答案】（1）y＝2x+4； （2）解为，a＝10． 【解答】解：（1）∵点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上， ∴，解得， 所以直线l的表达式为：y＝2x+4； （2）由于点B在直线l上，当x＝1时，y＝2+4＝6， 所以点B的坐标为（1，6）， 所以关于x、y的方程组的解为， 因为点B是直线l与直线y＝﹣4x+a的交点， 把x＝1，y＝6代入y＝﹣4x+a中， 解得a＝10． 3．如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求D点的坐标； （3）求△COP的面积； （4）不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解． 【答案】（1）y＝﹣x+2； （2）（0，2）； （3）3； （4）． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3）， ∴﹣3m＝3，m＝﹣1， ∴P（﹣1，3）． 把（1，1）和（﹣1，3）代入一次函数y＝kx+b， 得， 解得，， ∴一次函数解析式是y＝﹣x+2； （2）由（1）知一次函数表达式是y＝﹣x+2， 令x＝0，则y＝2， 即点D（0，2）； （3）由（1）知一次函数解析式是y＝﹣x+2， 令y＝0，得﹣x+2＝0，解得x＝2， ∴点C（2，0）， ∴OC＝2， ∵P（﹣1，3）， ∴△COP的面积OC•|yp|2×3＝3； （4）由图象可知，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（﹣1，3）， 所以方程组的解为 4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1与直线l2分别对应二元一次方程组中的方程． （1）解题中的二元一次方程组，并写出两条直线的交点P的坐标． （2）若在直线l2对应的方程不变的情况下，将直线l1对应的方程改为x+2y＝k，且交点P1仍在第一象限，求k的取值范围． （3）已知直线l3对应的方程为ax+by＝5，且直线l3与直线l2相交于点P2（3，1）． ①求a，b之间的关系式； ②若a，b为正整数，求满足条件的a，b的值． 【答案】（1）交点P的坐标为（3，1）； （2）； （3）3a+b＝5；②a＝1，b＝2． 【解答】解：（1）． 由②得y＝2x﹣5． 代入①解得x＝3． 将x＝3代入①，得y＝1． ∴交点P的坐标为（3，1）． （2）由题意，得新方程组 解得 ∴点P1的坐标为． 由条件可知 解得． ∴k的取值范围为． （3）①∵点P2在直线l3：ax+by＝5上， ∴3a+b＝5． ②∵a，b为正整数， ∴3a+b＝5，且a≥1，b≥1． 当a＝1时，3×1+b＝5，解得b＝2； 当a＝2时，3×2+b＝5，解得b＝﹣1（舍去）． ∴a＝1，b＝2． 5．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象相交于点P，点P的横坐标为1． （1）直接写出关于x，y的方程组，的解是　　 ； （2）a＝　﹣1　 ； （3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的△PAB的面积． 【答案】（1）； （2）﹣1； （3）4． 【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+1＝2， ∴函数y＝x+1和y＝ax+3的图象的相交点P（1，2）， ∴关于x，y的方程组的解是． 故答案为：； （2）把P（1，2）代入y＝ax+3， 得2＝a+3， 解得a＝﹣1． 故答案为：﹣1； （3）∵函数y＝x+1与x轴的交点为（﹣1，0）， y＝﹣x+3与x轴的交点为（3，0）， ∴这两个交点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4， ∵P（1，2）， ∴函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的△PAB的面积为：4×2＝4． 6．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．如图，以方程x﹣y＝﹣1的解为坐标的点的全体构成方程x﹣y＝﹣1 的图象为直线AB，以方程2x+y＝7的解为坐标的点的全体构成方程2x+y＝7的图象为直线CD，直线AB与直线CD的交点E在第一象限，点A，C均在x轴上，点B，D均在y轴上． （1）点A的坐标为（　﹣1　 ，　0　 ），点B的坐标为（　0　 ，　1　 ）； （2）求点E的坐标时，王芳是这样想的：先设点E的坐标为（m，n），因为点E在直线AB上，所以（m，n）是方程x﹣y＝﹣1的解；又因为点E在直线CD上，所以（m，n）也是方程2x+y＝7的解，从而m，n满足． ①请你求出点E的坐标； ②若点P在坐标轴上，且满足S△BEP＝4，请你求出点P的坐标． 【答案】（1）﹣1，0；0，1； （2）①（2，3）；②点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）或（﹣5，0）或（3，0）． 【解答】解：（1）把y＝0代入x﹣y＝﹣1得，x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， 把x＝0代入x﹣y＝﹣1得，y＝1， ∴B（0，1）， 故答案为：﹣1，0；0，1； （2）①解方程组得， ∴点E的坐标是（2，3）； ②当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，t）， ∵S△BEP＝4， ∴|t﹣1|×2＝4， 解得t＝5或﹣3， 即点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）， 当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0）， ∵S△BEP＝4， ∴|a+1|×3|a+1|×1＝4， 解得a＝3或﹣5， 即点P的坐标为（﹣5，0）或（3，0）， 综上，点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）或（﹣5，0）或（3，0）． 7．如图，直线l1：y＝x+5交y轴，x轴于A，B两点，直线l2：yx﹣1交y轴，x轴于C，D两点，直线l1，l2相交于P点． （1）方程组的解是 　　 ； （2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形面积； （3）过P点的直线把△PAC面积两等分，直接写出这条直线的解析式． 【答案】（1）； （2）； （3）yx+2． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+5和直线l2：yx﹣1都经过点（﹣4，1）， ∴两条直线的交点P（﹣4，1）， ∴方程组的解是， 故答案为：； （2）把y＝0分别代入y＝x+5和yx﹣1， 解得x＝﹣5和x＝﹣2， ∴B（﹣5，0），D（﹣2，0）， ∵P（﹣4，1）， ∴直线l1，l2与x轴围成的三角形面积为：（﹣2+5）×1； （3）把x＝0分别代入y＝x+5和yx﹣1， 解得y＝5和y＝﹣1， ∴A（0，5），C（0，﹣1）， ∴AC的中点为（0，2）， 设过P点且把△PAC面积两等分的直线的解析式为y＝kx+b， 把点（﹣4，1），（0，2）代入得， 解得， ∴这条直线的解析式为yx+2． 8．已知点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组的解及a的值． （3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△PBC的面积． 【答案】（1）y＝2x+4； （2）方程组的解为，a＝10； （3）12． 【解答】解：（1）∵点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上， ∴，解得， 所以直线l的表达式为：y＝2x+4； （2）由于点B在直线l上，当x＝1时，y＝2+4＝6， 所以点B的坐标为（1，6）， 所以关于x、y的方程组的解为， 因为点B是直线l与直线y＝﹣4x+a的交点， 把x＝1，y＝6代入y＝﹣4x+a中，求得a＝10． （3）因为点A与点P关于x轴对称，所以点P（0，﹣4）， 所以AP＝4+4＝8，OC＝2， 所以S△BPC＝S△PAB+S△PAC 8×18×2 ＝4+8 ＝12． 9．如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P（1，b），直线l1与l2与x轴分别交于A、B两点． （1）求b的值，并结合图象写出关于x、y的方程组的解； （2）求△ABP的面积； （3）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C、D，若线段CD的长为4，求出a的值． 【答案】（1）3，； （2）； （3）或． 【解答】解：（1）由条件可得：b＝2×1+1＝3， ∴P（1，3）， ∴方程组的解为， ∴方程组的解为； （2）对于直线l1：y＝2x+1， 令y＝0，则2x+1＝0， 解得：， ∴， 对于直线l2：y＝﹣x+4， 令y＝0，则﹣x+4＝0， 解得：x＝4， ∴B（4，0）， ∴， ∴； （3）∵CD＝4， ∴|2a+1﹣（﹣a+4）|＝4， 即：|3a﹣3|＝4， 解得：或． 10．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的图象的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“近点”．例如求y＝﹣2x﹣3的“近点”，联立，得方程组，解得，则y＝﹣2x﹣3的“近点”为（﹣3，3）． （1）由定义可知，一次函数y＝2x﹣3的“近点”为　（1，﹣1）　 ； （2）一次函数y＝px+q的“近点”为（2，q﹣1），求p，q的值； （3）已知直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝kx+3上没有“近点”，若P点为直线y＝﹣kx+3上一点，且点P在第一象限，若求点P的坐标． 【答案】（1）（1，﹣1）； （2），q＝﹣1； （3）P（1，4）． 【解答】解：（1）由定义可知联立， 解得， 故一次函数y＝2x﹣3的“近点”为（1，﹣1）； 故答案为：（1，﹣1）； （2）根据定义可得，点（2，q﹣1）在y＝﹣x上， ∴q﹣1＝﹣2， 解得q＝﹣1， ∴q﹣1＝2p+q， ∴， （3）∵直线y＝kx+3上没有“近点”， ∴直线y＝kx+3与y＝﹣x平行， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x+3， 令x＝0，则y＝3， 令y＝0，则x＝3， ∴A（3，0），B（0，3）， ∴OA＝3，OB＝3， ∴， ∴， 依题意，P点为直线y＝x+3上一点， 如图，设直线 y＝x+3与 x轴交于 C（﹣3，0），则AC＝6， 由条件可知S△ABP＝S△APC﹣S△ABC， ∵， ∴S△APC＝12， ∵， ∴点P的纵坐标为4， ∵P点为直线y＝x+3上一点， 将y＝4代入y＝x+3得4＝x+3， 解得x＝1， ∴P（1，4）． 11.请你用在学习“一次函数”过程中积累的经验和方法研究函数y＝﹣2|x|+2的图象和性质，并解决问题． （1）①当x＝0时，y＝﹣2|x|+2＝2； ②当x＞0时，y＝﹣2|x|+2＝ 　﹣2x+2　 ； ③当x＜0时，y＝﹣2|x|+2＝ 　2x+2　 ． （2）在平面直角坐标系中，作出函数y＝﹣2|x|+2的图象． （3）已知一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象过点（1，3），若关于x，y的方程组无解，结合函数的图象，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）﹣2x+2，2x+2； （2）见解答； （3）﹣2≤k＜1且k≠0． 【解答】解：（1）①当x＝0时，y＝﹣2|x|+2＝2； ②当x＞0时，y＝﹣2|x|+2＝﹣2x+2； ③当x＜0时，y＝﹣2|x|+2＝2x+2； 故答案为：﹣2x+2，2x+2； （2）函数y＝﹣2|x|+2的图象，如图所示： （3）如图所示，方程组无解，表示y＝kx+b与函数y＝﹣2|x|+2图象没有交点， ①当k＞0时，一次函数呈上升状态，要保证y＝kx+b与y＝﹣2|x|+2的图象没有交点， 临界位置如l1所示，此时一次函数过点（1，3）和（0，2），k＝1， 在此基础上将l1顺时针旋转即符合题意，则k的取值范围为0＜k＜1， ②当k＜0时，一次函数呈下降状态，要保证y＝kx+b与y＝﹣2|x|+2的图象没有交点， 临界位置如l2所示，此时一次函数与y＝﹣2|x|+2平行，k＝﹣2， 在此基础上将l2逆时针旋转符合题意且k＝﹣2时也符合题意，则k的取值范围为﹣2≤k＜0， 综上，k的取值范围为﹣2≤k＜1且k≠0． 12．小明在探究二元一次方程2x+y＝1的图象时发现：可以将二元一次方程的解写成点的坐标的形式，如方程的解写成点的坐标（﹣2，5），于是他就选取了二元一次方程2x+y＝1的一部分解，见下表，通过在平面直角坐标系中描点、连线，得到了二元一次方程2x+y＝1的图象．于是，他对二元一次方程的图象给出如下定义：以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．下面是二元一次方程2x+y＝1图象的画法： 步骤1：列表 步骤2：描点 步骤3：连线 x…﹣2﹣1 0 1 2… y…5 3 1﹣1﹣3… 结论：二元一次方程的图象是一条直线，直线上点的坐标与二元一次方程的解一一对应． 根据以上研究结论解决以下问题． 已知关于x，y的二元一次方程x+y＝4的部分解，如下表： x 　﹣2　 ﹣1 0 2 y 6 5 　4　 2 （1）①补全上表中的数； ②仿照示例的方法在平面直角坐标系中画出二元一次方程x+y＝4的图象； （2）若关于x、y的二元一次方程kx+y＝2（k≠0）的图象与二元一次方程x+y＝4的图象交于点（﹣1，5），则k＝ 　3　 ． 【答案】（1）①见解析；②见解析； （2）3． 【解答】解：（1）①关于x，y的二元一次方程x+y＝4的部分解，如下表： x ﹣2 ﹣1 0 2 y 6 5 4 2 ②二元一次方程x+y＝4的图象如图： （2）两方程图象交于点（﹣1，5）， ∴x＝﹣1，y＝5是二元一次方程kx+y＝2（k≠0）的解， ∴﹣k+5＝2， 解得：k＝3； 故答案为：3． 13．【知识回顾】（1）通过学习我们知道一次函数y＝5﹣x和y＝2x﹣1的图象如图1所示，所以方程组的解为 　　 ． 【知识探究】（2）小友结合学习一次函数的经验，对函数y＝﹣2|x|+5的图象进行了探究．下面是小友的探究过程： ①列表：把下表补充完整． x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ ﹣3 　﹣1　 1 3 5 3 　1　 ﹣1 ﹣3 ⋯ ②描点、连线：在给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． 【知识应用】 （3）利用一次函数与二元一次方程（组）的关系，结合函数图象可知，方程组的解为 　或　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可知，y＝5﹣x和y＝2x﹣1的图象相交于点（2，3）， 所以方程组的解是． 故答案为：； （2）①列表：把下表补充完整． x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ ﹣3 ﹣1 1 3 5 3 1 ﹣1 ﹣3 ⋯ 故答案为：﹣1，1； ②描点、连线，画出函数图象如图所示； （3）如图2，画出一次函数y＝x+2的图象，由图可知，方程组 的解为：或． 故答案为：或． 14．【课本再现】课本P109页有这样一个探究性问题：一次函数的一般形式是y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）．结合本章的学习经验畅想一下：后续学习中还可能研究哪些形式的函数？ 【初步感知】学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请你运用学习一次函数积累的经验和方法，列表、描点、连线，对函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象与性质进行探究，并解决相关问题： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 　1　 3 1 　﹣1　 … （1）补全表格中横线部分的数据，并在图1所给的坐标系中画出函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象； 【深入探究】 （2）观察函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当x≥1时，y的值随x的值增大而减小； ②当时，y＝0； ③当x＝1时，该函数取得最大值，最大值为3； ④该函数图象是轴对称图形． 其中正确的是　①②③④　 （请写出所有正确命题的序号）； （3）当﹣3≤x＜2时，求y的取值范围； 【拓展应用】 （4）①若关于x，y的方程组无解，则a的取值范围是？ ②若与y＝a有3个交点，请你根据以上探究过程所得经验，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）1，﹣1；； （2）①②③④； （3）﹣5≤y≤3； （4）①a＞3；②1≤a＜3或﹣3＜a＜﹣1 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2|0﹣1|+3＝1，当x＝3时，y＝﹣2|3﹣1|+3＝﹣1， ∴如图，补全表格和画函数图象即为所作， x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 1 3 1 ﹣1 故答案为：1；﹣1； 15.【学习探究】 我们学习课本115页知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解，如果将二元一次方程x﹣y＝1的每个解对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，以方程x﹣y＝1的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣y＝1的图象． 【实践探究】 （1）探究二元一次方程x﹣y＝1的图象． 在表格中列出二元一次方程x﹣y＝1的解： x … ﹣2 ﹣1 0 b 2 … y … a ﹣2 ﹣1 0 1 … ①写出a＝　﹣3　 ，b＝　1　 ． ②发现：若把上表中上下每对x，y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，请在图1的坐标系中描出上表格中的5个点，你会发现　这5个点在一线直线上　 ． ③结论：以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条　直线　 ． 【拓展探究】 （2）探究方程组的解与图象的联系 ①请你在如图2所示的平面直角坐标系中直接画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象． ②直接写出这个方程组的解． 【答案】（1）①﹣3；1； ②作图见解析；这5个点在一线直线上； ③直线； （2）①作图见解析； ②． 【解答】解：（1）①由题意，∵x﹣y＝1， ∴当x＝﹣2，y＝a时，﹣2﹣a＝1；当x＝b，y＝0时，b＝1． ∴a＝﹣3，b＝1． 故答案为：﹣3；1． ②由题意，描出各点如图1所示． ∴这5个点在一线直线上． 故答案为：这5个点在一线直线上． ③由题意可得，一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 故答案为：直线． （2）①画出图象如图2所示． ②由题意，∵两方程的图象交点为（2，1）， ∴这个方程组的解为． 16．在二元一次方程组“数学活动”的学习中，小丽同学对二元一次方程x+y＝3的解与平面直角坐标系内点的对应关系做了如下探究，请将小丽同学的探究过程补充完整． （1）补全下列表格，使上下每对x，y的值都是方程x+y＝3的解． x ﹣1 m 3 5 y 4 3 0 n 则表格中的m＝ 　0　 ，n＝ 　﹣2　 ； （2）如果将表中的各组解表示为点的坐标（x，y）的形式，例如，方程x+y＝3的解对应的点是（﹣1，4），请在所给的平面直角坐标系中依次描出方程x+y＝3的五组解所对应的点； （3）观察这些点，猜想方程x+y＝3的所有解的对应点所组成的图形是 　一条直线　 ； （4）若关于x，y的二元一次方程x+y＝3，ax+by＝1的所有解所组成的图形的交点坐标为（3，0），则二元一次方程组的解为 　　 ． 【答案】（1）0，﹣2； （2）见解析； （3）一条直线； （4）． 【解答】解：（1）当y＝3，x＝m时，m+3＝3， 解得m＝0， 当y＝n，x＝5时，5+n＝3， 解得n＝﹣2． 故答案为：0；﹣2； （2）根据题意可得方程x+y＝3的五组解所对应的点是： （﹣1，4），（0，3），，（3，0），（5，﹣2）， 描点如图所示： （3）根据（2）中点的位置可以推算出方程x+y＝3的所有解的对应点所组成的图形是一条直线． 故答案为：一条直线； （4）∵交点坐标为（3，0）， ∴即是方程x+y＝3的解，也是方程ax+by＝1的解， 故的解为， 故答案为：． 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二关：进阶关 1．如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝kx+b与y轴相交于点C（0，1），与x轴交于点E，与直线l1相交于点D（1，3）． （1）填空： ①△BCD的面积为　 　 ； ②方程组的解为　 　 ； （2）求直线l2的解析式； （3）求△ADE的面积． 2．如图，已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的函数表达式； （2）若点B的横坐标是1，求关于x，y的方程组的解及a的值． 3．如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求D点的坐标； （3）求△COP的面积； （4）不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1与直线l2分别对应二元一次方程组中的方程． （1）解题中的二元一次方程组，并写出两条直线的交点P的坐标． （2）若在直线l2对应的方程不变的情况下，将直线l1对应的方程改为x+2y＝k，且交点P1仍在第一象限，求k的取值范围． （3）已知直线l3对应的方程为ax+by＝5，且直线l3与直线l2相交于点P2（3，1）． ①求a，b之间的关系式； ②若a，b为正整数，求满足条件的a，b的值． 5．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象相交于点P，点P的横坐标为1． （1）直接写出关于x，y的方程组，的解是　 　 ； （2）a＝　 ； （3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的△PAB的面积． 6．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．如图，以方程x﹣y＝﹣1的解为坐标的点的全体构成方程x﹣y＝﹣1 的图象为直线AB，以方程2x+y＝7的解为坐标的点的全体构成方程2x+y＝7的图象为直线CD，直线AB与直线CD的交点E在第一象限，点A，C均在x轴上，点B，D均在y轴上． （1）点A的坐标为（　 　 ，　 　 ），点B的坐标为（　 　 ，　 　 ）； （2）求点E的坐标时，王芳是这样想的：先设点E的坐标为（m，n），因为点E在直线AB上，所以（m，n）是方程x﹣y＝﹣1的解；又因为点E在直线CD上，所以（m，n）也是方程2x+y＝7的解，从而m，n满足． ①请你求出点E的坐标； ②若点P在坐标轴上，且满足S△BEP＝4，请你求出点P的坐标． 7．如图，直线l1：y＝x+5交y轴，x轴于A，B两点，直线l2：yx﹣1交y轴，x轴于C，D两点，直线l1，l2相交于P点． （1）方程组的解是 　 　 ； （2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形面积； （3）过P点的直线把△PAC面积两等分，直接写出这条直线的解析式． 8．已知点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组的解及a的值． （3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△PBC的面积． 9．如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P（1，b），直线l1与l2与x轴分别交于A、B两点． （1）求b的值，并结合图象写出关于x、y的方程组的解； （2）求△ABP的面积； （3）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C、D，若线段CD的长为4，求出a的值． 10．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的图象的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“近点”．例如求y＝﹣2x﹣3的“近点”，联立，得方程组，解得，则y＝﹣2x﹣3的“近点”为（﹣3，3）． （1）由定义可知，一次函数y＝2x﹣3的“近点”为　 　 ； （2）一次函数y＝px+q的“近点”为（2，q﹣1），求p，q的值； （3）已知直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝kx+3上没有“近点”，若P点为直线y＝﹣kx+3上一点，且点P在第一象限，若求点P的坐标． 11.请你用在学习“一次函数”过程中积累的经验和方法研究函数y＝﹣2|x|+2的图象和性质，并解决问题． （1）①当x＝0时，y＝﹣2|x|+2＝2； ②当x＞0时，y＝﹣2|x|+2＝ 　 　 ； ③当x＜0时，y＝﹣2|x|+2＝ 　 　 ． （2）在平面直角坐标系中，作出函数y＝﹣2|x|+2的图象． （3）已知一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象过点（1，3），若关于x，y的方程组无解，结合函数的图象，直接写出k的取值范围． 12．小明在探究二元一次方程2x+y＝1的图象时发现：可以将二元一次方程的解写成点的坐标的形式，如方程的解写成点的坐标（﹣2，5），于是他就选取了二元一次方程2x+y＝1的一部分解，见下表，通过在平面直角坐标系中描点、连线，得到了二元一次方程2x+y＝1的图象．于是，他对二元一次方程的图象给出如下定义：以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．下面是二元一次方程2x+y＝1图象的画法： 步骤1：列表 步骤2：描点 步骤3：连线 x…﹣2﹣1 0 1 2… y…5 3 1﹣1﹣3… 结论：二元一次方程的图象是一条直线，直线上点的坐标与二元一次方程的解一一对应． 根据以上研究结论解决以下问题． 已知关于x，y的二元一次方程x+y＝4的部分解，如下表： x 　 　 ﹣1 0 2 y 6 5 　 　 2 （1）①补全上表中的数； ②仿照示例的方法在平面直角坐标系中画出二元一次方程x+y＝4的图象； （2）若关于x、y的二元一次方程kx+y＝2（k≠0）的图象与二元一次方程x+y＝4的图象交于点（﹣1，5），则k＝ 　 　 ． 13．【知识回顾】（1）通过学习我们知道一次函数y＝5﹣x和y＝2x﹣1的图象如图1所示，所以方程组的解为 　 　 ． 【知识探究】（2）小友结合学习一次函数的经验，对函数y＝﹣2|x|+5的图象进行了探究．下面是小友的探究过程： ①列表：把下表补充完整． x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ ﹣3 　 　 1 3 5 3 　 ﹣1 ﹣3 ⋯ ②描点、连线：在给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． 【知识应用】 （3）利用一次函数与二元一次方程（组）的关系，结合函数图象可知，方程组的解为 　 　 ． 14．【课本再现】课本P109页有这样一个探究性问题：一次函数的一般形式是y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）．结合本章的学习经验畅想一下：后续学习中还可能研究哪些形式的函数？ 【初步感知】学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请你运用学习一次函数积累的经验和方法，列表、描点、连线，对函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象与性质进行探究，并解决相关问题： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 　 　 3 1 　 … （1）补全表格中横线部分的数据，并在图1所给的坐标系中画出函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象； 【深入探究】 （2）观察函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当x≥1时，y的值随x的值增大而减小； ②当时，y＝0； ③当x＝1时，该函数取得最大值，最大值为3； ④该函数图象是轴对称图形． 其中正确的是　 　 （请写出所有正确命题的序号）； （3）当﹣3≤x＜2时，求y的取值范围； 【拓展应用】 （4）①若关于x，y的方程组无解，则a的取值范围是？ ②若与y＝a有3个交点，请你根据以上探究过程所得经验，直接写出a的取值范围． 15.【学习探究】 我们学习课本115页知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解，如果将二元一次方程x﹣y＝1的每个解对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，以方程x﹣y＝1的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣y＝1的图象． 【实践探究】 （1）探究二元一次方程x﹣y＝1的图象． 在表格中列出二元一次方程x﹣y＝1的解： x … ﹣2 ﹣1 0 b 2 … y … a ﹣2 ﹣1 0 1 … ①写出a＝　 　 ，b＝　 　 ． ②发现：若把上表中上下每对x，y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，请在图1的坐标系中描出上表格中的5个点，你会发现　 　 ． ③结论：以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条　 　 ． 【拓展探究】 （2）探究方程组的解与图象的联系 ①请你在如图2所示的平面直角坐标系中直接画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象． ②直接写出这个方程组的解． 16．在二元一次方程组“数学活动”的学习中，小丽同学对二元一次方程x+y＝3的解与平面直角坐标系内点的对应关系做了如下探究，请将小丽同学的探究过程补充完整． （1）补全下列表格，使上下每对x，y的值都是方程x+y＝3的解． x ﹣1 m 3 5 y 4 3 0 n 则表格中的m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； （2）如果将表中的各组解表示为点的坐标（x，y）的形式，例如，方程x+y＝3的解对应的点是（﹣1，4），请在所给的平面直角坐标系中依次描出方程x+y＝3的五组解所对应的点； （3）观察这些点，猜想方程x+y＝3的所有解的对应点所组成的图形是 　　 ； （4）若关于x，y的二元一次方程x+y＝3，ax+by＝1的所有解所组成的图形的交点坐标为（3，0），则二元一次方程组的解为 　 ． 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $