第20章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 第20章二次根式单元复习强化卷，120分钟120分，覆盖基础计算到创新应用，适配单元培优，体现抽象能力、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|自变量取值范围、二次根式计算、最简二次根式合并|基础巩固，梯度分布| |填空题|6/12|化简、代数式求值、数轴化简、魏晋数学文化|文化传承，关联核心素养| |解答题|8/72|新定义运算、均值不等式应用、材料阅读推理|创新应用，综合考查运算与推理能力|

第20章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在函数中，自变量的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵函数， ∴， ∴． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 3．下列各式计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的基本运算，根据二次根式的加减乘除运算法则，逐一验证各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A，与不是同类二次根式，无法合并，，A计算错误． 选项B，根据二次根式乘法法则，可得，B计算正确． 选项C，计算得，C计算错误． 选项D，化简得，D计算错误． 4．若（）的值是有理数，那么的最小偶数值是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题根据二次根式的性质，若为有理数，则必须是完全平方数，结合是偶数的要求，找出最小的即可． 【详解】解：是有理数，二次根式被开方数非负，且 是正的完全平方数，且要求为偶数 ，故首先排除奇数选项A、C 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是有理数，符合要求， 因此的最小偶数值是． 5．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 6．若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】先化简，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式能与合并， ∴． 7．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 8．在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 9．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 10．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 11．若，则的算术平方根是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方和绝对值的非负性得，求解，后计算，再求出的算术平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∵算术平方根为非负数， ∴的算术平方根为． 12．对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据给定的运算规则分别计算，，然后得出，再通过二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．计算______． 【答案】 【详解】解：． 14．化简：化成最简二次根式为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简为最简二次根式． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：， ． 15．已知，，则代数式的值为______． 【答案】8 【分析】先利用完全平方公式将所求代数式因式分解，再代入，的值计算即可得到结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 16．已知在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】/ 【分析】先由点在数轴上的位置确定字母及式子符号，再由二次根式性质化简，然后去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由在数轴上的位置可得，且， ， 则． 17．已知，则的值是____． 【答案】2027 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再化简绝对值，整理等式后两边平方变形，即可求出的值． 【详解】解：根据二次根式的定义，被开方数非负，可得， 解得， 因此，根据绝对值的性质，可得， 将代入原方程得， 移项整理得， 两边同时平方得， 移项得． 18．魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数，若（其中为正整数，为非零整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为_______．（结果保留两位小数） 【答案】 【分析】根据题干给出的近似计算方法，先将改写为的形式，确定使最小的正整数和整数，再代入公式计算，保留两位小数即可得到结果． 【详解】解：由题意得，． ，． 将表示为，此时． 若取，则，． 因此取，． 代入近似公式，得： ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）先化简二次根式，再计算加减法； （2）先根据完全平方公式及二次根式的乘法公式去括号，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简的结果为，值为 【详解】解： ， 当时，原式． 21．已知，，求的值． 【答案】 【分析】先求出，，，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴ ． 22．计算：“”，其中“□”部分印刷不清楚． (1)若“□”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第____步开始出错的，正确的结果应该是__________； ……第一步 ……第二步 ………………第三步 ……………………第四步 (2)若原式的计算结果为，求“□”代表的数． 【答案】(1)二， (2) 【分析】（1）嘉淇第二步未先算乘除、后算加减，运算错误；根据二次根式的运算法则计算即可； （2）根据“原式的计算结果为”列方程求出“□”代表的数即可． 【详解】（1）解：嘉淇第二步未先算乘除、后算加减，运算错误； ； （2）解：若原式的计算结果为， 则， ， ， ， ∴． 23．计算下列各题： (1)对实数，定义一种新运算“”：，其中，等式右边是实数运算．计算：． (2)已知多项式，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：将，代入得： ． 24．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ，， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为分母是含有二次根式的差式，所以利用平方差公式对分母有理化，给分子分母同乘分母的有理化因式即可化简． （2）先对a的表达式分母有理化，得到a的最简形式；再将a的最简形式变形得到关于a的一次式，两边平方后整理得到与a的关系式；因为所求代数式是二次多项式，所以将其变形为含有上述关系式的形式，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ，，             ， ． 25．已知，为非负实数， ， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)当长、宽均为时，所用篱笆最短，最短篱笆长度为 (3)当时，代数式取到最大值，最大值为 【分析】（1）直接套用均值不等式即可得到最小值和对应的x的值； （2）设出矩形的长，将篱笆周长表示为两个正数和的形式，再利用均值不等式求解最小值； （3）先对代数式变形，将其转化为分母为两个正数和的形式，利用均值不等式得到分母的最小值，即可得到原代数式的最大值． 【详解】（1）解：令，，则由，得． 当且仅当时，等号成立， 解得（负值舍去）， 即时，代数式取到最小值，最小值为． （2）解：设矩形花园的长为x米，篱笆总长度为y米， 矩形花园的面积为， 矩形的宽为， 由均值不等式得， ∴， 当且仅当时，等号成立， 解得（负值舍去）， 此时宽为（m）， 即当长、宽均为时，所用篱笆最短，最短篱笆长度为； （3）解：， ， 由均值不等式得， 当且仅当时，等号成立， 解得（负值舍去）， 此时取最小值8，分母取最小值， 取最大值， 即当时，代数式取到最大值，最大值为． 26．【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且 ，（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且，（两个正数比较大小，平方大的数就大） 【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式时：；这里运用了平方差公式，使得这些无理数通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题： (1)化简∶ ； (2)请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小． 与； 与； (3)已知，求、的值． 【答案】(1) (2) ； (3) ， 【分析】（1）利用题干给出的分母有理化的方法化简即可； （2）取倒数比较正数大小求解即可；运用平方比较正数大小的方法求解即可； （3）分别两式相乘和两式相除，得到与的数量关系，解关于、的方程组即可． 【详解】（1） 解：； （2） 解： ，， ，， ， ， 与 两个数均为正数，， 根据两个正数比较大小，倒数大的反而小，得； ，， ， ，即， 与 两个数均为正数，， 根据两个正数比较大小，平方大的数就大，得； （3） 解：， 得，， 整理得， 得，， 整理得， 两边平方得， 整理得， 将代入得 ， 化简得， ， ，解得， ， 即，． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在函数中，自变量的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 3．下列各式计算正确的是（  ） A． B． C． D． 4．若（）的值是有理数，那么的最小偶数值是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 6．若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 8．在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 9．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 10．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 11．若，则的算术平方根是（） A． B． C． D． 12．对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．计算______． 14．化简：化成最简二次根式为______． 15．已知，，则代数式的值为______． 16．已知在数轴上的位置如图所示，化简：______． 17．已知，则的值是____． 18．魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数，若（其中为正整数，为非零整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为_______．（结果保留两位小数） 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．计算： (1)； (2)． 20．先化简，再求值：，其中． 21．已知，，求的值． 22．计算：“”，其中“□”部分印刷不清楚． (1)若“□”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第____步开始出错的，正确的结果应该是__________； ……第一步 ……第二步 ………………第三步 ……………………第四步 (2)若原式的计算结果为，求“□”代表的数． 23．计算下列各题： (1)对实数，定义一种新运算“”：，其中，等式右边是实数运算．计算：． (2)已知多项式，，求． 24．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ，， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 25．已知，为非负实数， ， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 26．【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且 ，（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且，（两个正数比较大小，平方大的数就大） 【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式时：；这里运用了平方差公式，使得这些无理数通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题： (1)化简∶ ； (2)请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小． 与； 与； (3)已知，求、的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第20章二次根式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 2 3 4 6 7 8 10 11 12 C C B D A A D D B 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 13.2 14.a 15.8 16.c-b/-b+c 17.2027 18.7.81 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19. 【答案】)35-2V2 (2)11 【解析】(1)解： +- =2N5+3x5-2N2 3 =25+V5-2√2 =3√5-2W2 (2)解：(5-+55+2) =5+1-25+5+25 =11. 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-3 20.【答案】化简的结果为x+3,值为1-25 x2-6x+9 【解析】解：x-2 ÷x+2-5） x-2 =x2-6x+9x2-4-5 x-2 x-2 =x2-6x+9.x2-9 x-2 x-2 =(x-3 x-2 x-2（x+3)(x-3) =t3 x+3’ 5-3-3=1-25 当x=5-3时，原式V3-3+3 8V5-1 21.【答案】 【解析】解：：a=V5+2.b=V5-2 a+b=5+2+5-2=2W5,a-b=5+2-(5-2=4,ab=-(5+2)x(5-2=5-4=1 :a2-b2-b =(a+b)(a-b)-ab =2V5×4-1 =8V5-1 2.【答案】)二，52 2 (2)2 【解析】(1)解：嘉淇第二步未先算乘除、后算加减，运算错误； 217 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √6x25-V12÷√6 =218-√2 =6√2-2 =5V2 (2)解：若原式的计算结果为 6-2 则x25-i2÷6=V6-V2 ox2W5-√2=√6-√2 ox2√5=√6 0=v6÷23 V6√6x532√2 0= .2525×V562, 23.【答案】(1)25 ,+2 【解析】(1)解：（←5)⊕V5 =(-52+5-(5 =25+5-5 =25； (2)解：将A=x2-x+1,B=x2-2x代入2A-B得： 2A-B=2(x2-x+1)-(x2-2x) =2x2-2x+2-x2+2x =x2+2. 317 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.【答案】)5+2 (2)3 3 35+2) 35+2) 【解折】(4)解：5-2(5-25+可(5-(2 -5+5 1 √2-1 =2-1 （2)解：a2+12+12-可V2-, .a+1=V2 (a+1)2=(2)}2=2a2+2a+1=2 ∴a2+2a=1 ∴.4a2+8a-1=4a2+2a）-1=4×1-1=3 25.【答案1N6.26 (2)当长、宽均为20m时，所用篱笆最短，最短篱笆长度为80m 1 (3)当x=4时，代数式取到最大值，最大值为3 b=6 6 【解折】山解a三，测a+b22b,得+之2r26 6 当且仅当x=时，等号成立， 解得x=V6(负值舍去)， 2w6 即=6时，代数式取到最小值，最小值为 (2)解：设矩形花园的长为x米，篱笆总长度为y米， “矩形花园的面积为 00m2 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 400 m :矩形的宽为x 400 400 x+ 2，x =40 由均值不等式得 y=2x+ 400 ≥2×40=80 400 当且仅当x= x时，等号成立， 解得x=20(负值舍去)， 400 此时宽为20 =20(m), 即当长、宽均为20m时，所用篱笆最短，最短篱笆长度为80m; (3)解：x>0 x2-5x+16x+16-5, *6 16 =8 由均值不等式得x 16 当且仅当=x时，等号成立， 解得x=4(负值舍去)， 此时+取最小值8，分母x+16 16 -5取最小值8-5=3 1 x+16一5取最大值 3 即当x=4时，代数式取到最大值，最大值为3， 26.【答案】(1) √7-3 4 (2) 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①W1-√7<√9-√5②√23+√2<√22+5 (3) 1x7-V3 7-5万-√3 【解析】(1)解：1 +5(7+57-(-4 i+万i+万 1 5+53+5 2）解：0-万(1-7m+可4,9-59-55+ 4 :1>3√7>√5 ∴V11+√7>3+√5>0 1 1 m-万9-5· 1 1 i-万与-5两个数均为正数，-万之9-5， 六产根据两个正数比较大水，倒数大的反而小，得-厅<9-5 ②(23+2=23+246+2=25+246.(V22+5=22+266+3=25+266 :√46<V66 25+246<25+26,即(V23+2<(22+V5. :23+2与2+5两个数均为正数，(23+<(2+. “根据两个正数比较大小，平方大的数就大，得V云+5<2+5」 a-b 1① Ja+b-Ja-b 2 (3)解： Va-b2 a+b+√a-b6② 617 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Va-b a-b (a- a2-b2a2-b2_1 ①x②得，a+b-va-ba+b+a-b(a+b-（a-ba+b-(a-b)2b2, 整理得2-6-®， 6 Va2-b2 a2-b2 va-bixatb+va-b_la+b+va-b-3 ①÷②得，Va+b-Va-bVa+b+Va-bVa+b-va-bVa2-b2Va+b-a-b, 整理得V0+6=2a-6 两边平方得0+h=4(a-b) 整理得a 5b④ 5b 将④代入③得(3 6 16b2b 化简得9=6' b≠0， :1661 96,解得b=3 32 535 .a= 33232, 32· 717