第20章 二次根式（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 九年级上册第20章二次根式单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合生活情境与数学文化，适配单元核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|最简二次根式、意义、化简等|第5题结合数轴化简考查几何直观| |填空题|5/15|同类二次根式、取值范围等|14题求最小值体现运算能力| |解答题|8/75|运算、应用与探究|20题广场问题培养应用意识，23题对偶式概念发展创新意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第20章二次根式能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 4 6 8 10 A C C A B A D C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.2 12.x≥0且x≠1 13.3 14.11 15.c-b/-b+c 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分) 【详解】1)解：8- -4 =22-(4V2-22) =22-2V2 =0;(4分) (2)解：5-22+5--3} =(V52-22-3 =5-4-3 =-2,(8分) 17.(8分) 【详解】解： 3 x2+4X+4 x+5 x2+5x 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+5-3.x2+4x+4 x+5 x2+5x =+2.xx+5 x+5x+22 X+2 (5分) 当x=5时，原式=5 55-2 =5-2V5.(8分) V5+2V5+2IRV5-2 18.(8分) 【详解】解：x2-4≥0且4-x≥0， 4-x2=0, 解得X=2或x=-2,(3分) ∴.y=1,(4分) 当x=2,y=1时，Vy-x没有意义，(6分) 当X=-2,y=1时，x+y没有意义，(8分) ./x+yy-x无意义. 19.(9分) 【详解】(1)解：3×旧/8+3V12 =V3×2V2+6V3' =26+18;(4分) (2)解：X+y+2y=x+yP:(6分) 将x=-2y=1+2代入，得-2+1+2=1（9分) 20.(9分) 【详解】1)解：周长C=2×5V75+327=2×253+93=2×343=683米.4分) (2)解：广场面积：S1=5V7万×3927=253×93=25×9×3=675平方米，(5分) 2/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两块绿地面积：2V50×2/32×2=10/2×82×2=160×2=320平方米，(6分) 需要铺地砖的面积：675-320=355平方米，(7分) 费用：355×50=17750元，(8分) 答：这个广场铺地砖的费用为17750元.(9分) 21.(9分) 【详解】(1)解：除法没有分配律，故从第一步开始出现错误：(2分) 2)解：48=2+-2×2+24 =43:23+3-2×2+26 =4V3÷3V3-V6+2V6 4+V6:(7分) (3)解：4<6<9， V4<6<V9,即2<V6<3, 号+2号+6音+.时音+6<4兮 3 33 又33 号+6元9分》 22.(12分) 【详解】(1)解： 1 3-2 3+23+V23-2 =3-2(2分) (2)解：原式=V2-1+3-V2+4-3+…+/121-120 =V121-1 =11-1 =10(7分) 1一=10+3， (3)解：·a=10-3 ∴.a-3=/10, 3/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a-32=10 .a2-6a+11 =a-32+2 =10+2 =12.(12分) 23.(12分) 【详解】(1)解：“2+3×2-3=4-3=1 .2+V3和2-V3互为倒数；(2分) (2)解：“18-x+6-x/18-x-V6-x=18-x-6-x=12 又/18-x+V6-x=6, :.V18-x-6-x=12÷6=2;(5分) (3)解：(V10+x+2+X)(10+x-2+x)=(/10+x2-(V2+x=10+x-2-x=8 又.：V10+x+V2+x=4, .V10+x-V2+x=2,(7分) 8+28 (9分) ①+②得，2/10+x=6,即V10+x=3, 两边平方得，10+x=9, 解得x=-1,(11分) 经检验，x=-1是原方程的解.（12分) 4/4 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第20章 二次根式·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，可化简，不是最简二次根式； 不可以化简，是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； 根指数是 ，不是最简二次根式； 所以最简二次根式只有 个． 2．当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件逐个分析即可． 【详解】解： ， ， 二次根式没有意义的是． 3．下列式子：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），化简正确的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】结合同类二次根式的合并规则与运算法则，逐一验证等式，即可作答． 【详解】解：（1）与不是同类二次根式，不能直接合并，原式错误； （2），原式正确； （3），则，，原式错误； （4），原式正确； （5），，，原式错误； 综上，化简正确的有2个， 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先依据二次根式性质化简各式，再结合加减、除法运算法则逐一验算每个选项的正误． 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，计算错误． B选项：，计算错误． C选项：，计算正确． D选项：，计算错误． 5．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可判断出的符号，根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 6．估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】根据二次根式的除法得到，再进行无理数的估算即可． 【详解】解：． ． 又． ． 即． ． 7．若，则值为（     ） A． B． C． D．无理数 【答案】B 【分析】设1013为中间量，将1012、1014转化为含该量的式子，利用完全平方公式简化运算． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】∵最简二次根式和可以合并， ∴， 解得：. 9．已知实数a满足，那么的值是（     ） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 【答案】D 【分析】本题先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再去掉绝对值符号化简等式，最后整理得到的值． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴， ∴， 将代入原等式得： 整理得 两边同时平方得 移项得． 10．如果一个三角形的三边长分别为，，，记，设该三角形的面积为．古希腊几何学家海伦提出公式①：，我国南宋数学家秦九韶提出公式②：．公式②通过变形后可化为公式①．两个公式都是计算三角形面积的重要公式，在不同情境下有各自的优势．现有一个三角形的三边长分别为，，，请你利用公式①或公式②，计算该三角形的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用题目给出的海伦公式①计算面积，先根据三边长求出，再代入公式计算化简即可得到结果． 【详解】，，， ， ∴，，， 将各值代入公式①得：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 【答案】 【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式： ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； 因此与是同类二次根式的共有个. 12．当x满足______时，在实数范围内有意义． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式，取所有条件的公共范围即可求解． 【详解】解：∵要使在实数范围内有意义， ∴，且， 解不等式，得； 解不等式，得； ∴当且时，在实数范围内有意义． 13．若都是实数，且，则的算术平方根是______． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数非负的性质求出的值，再代入求出的值，最后计算的算术平方根. 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴，， 解得， 把代入，得， ∴， ∵的算术平方根为， ∴的算术平方根是． 14．已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先化简，根据二次根式的性质，若二次根式运算结果为整数，则被开方数应为完全平方数，据此即可求出最小正整数． 【详解】解：， 已知是整数，是正整数，因此为整数，即为完全平方数． 因为是质数，所以满足条件的最小正整数为． 15．已知在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】/ 【分析】先由点在数轴上的位置确定字母及式子符号，再由二次根式性质化简，然后去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由在数轴上的位置可得，且， ， 则． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解决下列问题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ；（4分） （2）解： ，（8分） 17．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【详解】解： ．（5分） 当时，原式．（8分） 18．（8分）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】无意义 【分析】根据二次根式的性质，不等式的性质，计算即可； 【详解】解：∵且， ∴， 解得或，（3分） ∴，（4分） 当，时， 没有意义，（6分） 当，时，没有意义，（8分） ∴无意义． 19．（9分）计算和求值 (1)计算：； (2)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ；（4分） （2）解：，（6分） 将，代入，得．（9分） 20．（9分）如图，某小区内有一个长方形广场，广场长为米，宽米，中间有两块大小相同的小长方形绿地（涂色部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长． (2)除绿地部分，广场其他部分都要铺地砖，已知铺地砖的费用每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用． 【答案】(1)米 (2)元 【分析】（1）长方形周长（长宽），据此计算即可； （2）用广场面积减去两块绿地面积可得出需要铺地砖的面积，再乘以每平方米铺地砖的费用即可． 【详解】（1）解：周长米．（4分） （2）解：广场面积：平方米，（5分） 两块绿地面积：平方米，（6分） 需要铺地砖的面积：平方米，（7分） 费用：元，（8分） 答：这个广场铺地砖的费用为17750元．（9分） 21．（9分）下面是某同学二次根式运算的过程： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)该同学从第________步开始出现错误； (2)写出正确的解题过程； (3)直接写出正确的运算结果与的大小关系． 【答案】(1)一 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据二次根式的运算法则逐步判断即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可； （3）利用“夹逼法”判断即可. 【详解】（1）解：除法没有分配律，故从第一步开始出现错误；（2分） （2）解： ；（7分） （3）解：∵， ∴，即， ∴，即， 又， ∴.（9分） 22．（12分）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）进行分母有理化即可； （2）分母有理化后求和即可； （3）把分母有理化，变形后代入计算即可． 【详解】（1）解：（2分） （2）解：原式 （7分） （3）解：， ， ， ．（12分） 23．（12分）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数      B．互为倒数      C．绝对值相等 (2)已知：，则 ； (3)已知，求x的值． 【答案】(1)B (2)2 (3) 【分析】（1）根据倒数的性质，互为倒数的两数相乘得1，即可判断； （2）将两式相乘，得到积的值，再利用已知式子的值，求解即可； （3）同（2），构造对偶式，再相乘求出积，从而得到的值，再相消求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴和互为倒数；（2分） （2）解：∵， 又， ∴；（5分） （3）解：， ， ，（7分） ∴，（9分） 得，，即， 两边平方得，， 解得，（11分） 经检验，是原方程的解．（12分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第20章 二次根式·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 2．当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），化简正确的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 6．估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 7．若，则值为（     ） A． B． C． D．无理数 8．最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 9．已知实数a满足，那么的值是（     ） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 10．如果一个三角形的三边长分别为，，，记，设该三角形的面积为．古希腊几何学家海伦提出公式①：，我国南宋数学家秦九韶提出公式②：．公式②通过变形后可化为公式①．两个公式都是计算三角形面积的重要公式，在不同情境下有各自的优势．现有一个三角形的三边长分别为，，，请你利用公式①或公式②，计算该三角形的面积（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 12．当x满足______时，在实数范围内有意义． 13．若都是实数，且，则的算术平方根是______． 14．已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 15．已知在数轴上的位置如图所示，化简：______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解决下列问题： (1)； (2) 17．（8分）先化简，再求值：，其中． 18．（8分）若x，y为实数，且，求的值． 19．（9分）计算和求值 (1)计算：； (2)已知，，求代数式的值． 20．（9分）如图，某小区内有一个长方形广场，广场长为米，宽米，中间有两块大小相同的小长方形绿地（涂色部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长． (2)除绿地部分，广场其他部分都要铺地砖，已知铺地砖的费用每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用． 21．（9分）下面是某同学二次根式运算的过程： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)该同学从第________步开始出现错误； (2)写出正确的解题过程； (3)直接写出正确的运算结果与的大小关系． 22．（12分）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 23．（12分）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数      B．互为倒数      C．绝对值相等 (2)已知：，则 ； (3)已知，求x的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第20章二次根式·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 2 1.在16x、- -05、没 3 325中，最简二次根式的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.当X=3时，下列二次根式没有意义的是() A.4-x B.x-4 C.3+x D.3-x 3.下列式子：1)2a-Va=a(2)-5P=5:(3)3-2=3-2:(4) 运-a--6:637号-7-0.化简瑞的有←)个 V2 A.0 B.1 C.2 D.3 4.下列计算正确的是（) A.3+V2=5B.-2P=-2C.V75-V27=23D.8÷2=4 5.实数a'b在数轴上的位置如图所示，则化简a+6-Q-(62的结果是（） A.-2a B.0 C.2b D.2a-2b 6.估计3/21÷V7-2的值在() A.2和3之间B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 7.若10122+10142=x,则V2x-4值为() A.2025 B.2026 C.2027 D.无理数 8.最简二次根式24m-1和V2m+3可以合并，那么m=() A.2 B.-2 C.3 D.-3 9.已知实数a满足2011-a+Va-2012=a,那么a-2011的值是() 1/4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2009 B.2010 C.2011 D.2012 10.如果一个三角形的三边长分别为a,b,C,记p=a+b+ 2 二，设该三角形的面积为S.古希腊几何学家 海伦提出公式①：S=Vpp-ap-b(p-c,我国南宋数学家秦九韶提出公式②： a2+b2-c2 公式②通过变形后可化为公式①.两个公式都是计算三角形面积的重要 公式，在不同情境下有各自的优势.现有一个三角形的三边长分别为a=2,b=3,c=4,请你利用公式① 或公式②，计算该三角形的面积S=() A.5 。/15 3V15 B. c.35 D. 4 2 4 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在二次根式： 24,V18中，与3是同类二次根式的个数有 个 V2x+1 12.当x满足 时， 1-x 在实数范围内有意义， 13.若x,y都是实数，且y=√x-6+V6-x+3,则x+y的算术平方根是 14.己知m是正整数，V176m是整数，则m的最小值为 15.己知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：lb-a+c乎-a-一 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)解决下列问题： 8- 32-42 25-22+5--3 17.(8分)先化简，再求值： 1-3 X+4x+4,其中x=5 x+5 x2+5x 214 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(8分)若，y为实数，且y=X-4+4=X+1求x+y-y-x的值. 19. (9分)计算和求值 (1)计算：3x/8+3V12 (2)已知x=-V2,y=1+2,求代数式x2+y2+2y的值. 20.(9分)如图，某小区内有一个长方形广场，广场长为5/7米，宽3V27米，中间有两块大小相同的 小长方形绿地（涂色部分），每块小长方形绿地的长为250米，宽为232米， (1)求广场的周长。 (2)除绿地部分，广场其他部分都要铺地砖，己知铺地砖的费用每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用. 21.(9分)下面是某同学二次根式运算的过程： V48÷V12+3- ×12+V24 =48÷亚+948=3-2×12+286…第-步 =V48÷12+V48÷3-V6+2V6…第二步 =2+4+6…第三步 =6+/6…第四步 (1)该同学从第 步开始出现错误： (2)写出正确的解题过程： (3)直接写出正确的运算结果与π的大小关系. 22.(12分)在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 1 己知a= 2+3求2a-8a+1的值.他们是这样解答的： 、1 2-V3 a= 2+9/32+V32-V3 =2-V3 314 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.a-2=-V3, .a-22=3即02-4a+4=3 ∴.a2-4a=-1, ∴.2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×-1+1=-1 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： 1 3+92 1 1 1 (2)化简：2+1+3+24+3 十…十 V120+119/121+9V120 )若a=10-3求a-6a+1的值. 23.12分)定义：我们将a+6卢a-6称为一对“对偶式”： 因为a+bVa-6=/a?-6=a-b:可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对 偶式”来解决。 例如：已知12-x-8-x=2,求V12-x+8-x的值，可以这样解答： 因为V12-x-/8-x×/12-x+8-x=R/12-x-R/8-x=12-x-8+x=4' 所以V12-x+V8-x=2. 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式2+3与2-只3之间的关系是： A.互为相反数B.互为倒数C.绝对值相等 (2)已知：V18-x+6-x=6,则V/18-x-6-x=: (3)已知10+x+V2+x=4,求x的值. 414