专题01 圆的对称性（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“对称性”为核心，构建“概念-定理-应用”三层体系，通过题型分类提炼通法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆心角、弧、弦关系|1典例+5变式|“知一推二”定理应用|从等弧定义到圆心角-弧-弦关系推导| |垂径定理及推论|2典例+10变式|“知二推三”推论+勾股计算模型|垂径定理条件结论互推，弦心距-半径-半弦长关系| |垂径定理应用|2典例+8变式|五步解题策略（建模-设元-直角三角形-方程-回代）|生活实例抽象为圆弧模型，用定理解决实际问题| |对称作图|1典例+2变式|三步法（找弦-作中垂线-定位圆心）|利用垂径定理推论作弦中垂线确定圆心| |对称求最值|1典例+3变式|三类模型（过定点弦、点圆距离、点线距离）|结合圆的对称性与几何性质推导最值|

专题01 圆的对称性（题型突破·举一反三） 题型01 圆心角、弧、弦之间的关系 题型02 垂径定理及其推论 题型03 垂径定理的应用 题型04 与圆的对称性有关的作图 题型05 利用圆的对称性求最值 ▌题型01 圆心角、弧、弦之间的关系 1.等弧的定义：在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧叫作等弧。 2.核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.推论（知一推二）：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 【典例1】（2026•雷州市校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC＝AD，∠AOD＝70°，则∠BCO的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．55° 【变式1-1】（2026•四平二模）如图，点A、B、C、D在⊙O上，且，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【变式1-2】（2026•五华区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【变式1-3】如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（　　） A．25 B．25 C． D． 【变式1-4】（2026•昌平区一模）如图，点A为射线OM上一点，将射线OM绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到射线ON，以O为圆心，OA长为半径画圆，交射线ON于点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交⊙O于点C（A，C不重合），连接AC交OB于点D，连接OC．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（　　） A．AC⊥OB B．AD＝CD C．∠AOB＝∠BOC D．OD＞BD 【变式1-5】（2025秋•江都区月考）小明在完成作业“如图1，∠AOB＝90°，C、D是以点O为圆心的的三等分点，弦AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE＝BF＝CD”的基础上，做了如下尝试如图2，“把∠AOB＝90°改为∠AOB＝120°，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，∠AOB＝n°，C、D是以点O为圆心的的三等分点，弦AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE＝BF＝CD”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． ▌题型02 垂径定理及其推论 一．垂径定理的概念 1. 垂直于弦的直径平分这条弦以及弦所对的两条弧（优弧、劣弧）。 条件：①直径 ②垂直弦 结论：③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 2. 弦心距的概念：圆心到弦的距离。如上图中OP的长度即为弦心距。 二．核心推论（知二推三） 一条直线只要满足下面五条中的任意两条，就可以推出剩余三条： 1. 过圆心（直径 / 半径） 2. 垂直于弦 3. 平分弦 4. 平分弦所对劣弧 5. 平分弦所对优弧 三．常考的推论 推论 1（★） 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 易错点：如果被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分，但不一定垂直，必须加限制 “弦不是直径”。 推论 2 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论 3 平分弦所对一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对另一条弧。 四．垂径定理的常见应用 1. 圆内两条平行弦所夹的弧相等； 2. 同圆或等圆中，两条弦相等 ⇔ 弦心距相等； 3. ★弦心距、半径、弦长一半构成直角三角形，常用勾股计算： ：半径，d：圆心到弦距离，l：弦长。 【典例2】（2026•天心区校级三模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，设⊙O的半径为4，CE＝2，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【变式2-1】（2026•岳麓区校级模拟）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式2-2】如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为 　 　 ． 【变式2-3】（2026•东港区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DF⊥AB于点E，交⊙O于另一点F．若AC＝12，AE＝3，则⊙O的半径是（　　） A． B． C．6 D．10 【变式2-4】（2025秋•苍梧县期末）如图，P是⊙O内一点．若圆的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2-5】（2025秋•沙市区期末）如图，半径为5和的两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，若CD＝8，则AB的大小为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-6】（2026•鼓楼区二模）如图，在⊙O中，C，D分别是和弦AB的中点，若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径是　　 ． 【典例3】（2026•仪陇县模拟）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三个格点，那么所对的圆心角的大小是（　　） A．75° B．80° C．90° D．100° 【变式3-1】（2025秋•龙湾区月考）如图，直角坐标系中，一条圆弧经过点A（0，4），B（4，4），C（6，2），则该圆弧所在圆的圆心为（　　） A．（2，0） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，1） 【典例4】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（　　） A． B．2 C．2 D．8 【变式4-1】（2025•安阳校级模拟）如图，将⊙O沿AB折叠，半径OC长12，且OC⊥AB，恰好经过OC的中点D，则折痕AB长为（　　） A． B． C．12 D． 【变式4-2】（2026•桓台县模拟）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 　 ． 【变式4-3】（2025秋•临淄区校级月考）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝105°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】（2026•泗阳县校级三模）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是 　 ． 【变式4-5】（2025秋•汉阳区期末）如图，半径为1的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，分别以AE、BE，EC，ED为边作正方形AEHI，BEPQ，CEFG，EDNM，若记这四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　） A．2 B． C． D．4 【典例5】（2025秋•崆峒区校级期末）已知⊙O半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD之间距离为（　　） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【变式5-1】（2025秋•衢州月考）如图1，已知AB，CD是⊙O中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦AB＝x，CD2＝y，y关于x的函数图象如图2所示，当CD＝2AB时，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025秋•安阳期末）如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、点D都不与点A、B重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于点F，若CD＝4，AB＝8． （1）当CD∥AB时，EF的长为　　 ； （2）CD在滑动过程中，EF的最大值是　　 ． 【变式5-3】（2026•乐清市校级自主招生）如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD，经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E． （1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长； （2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长． 【典例6】（2026•蜀山区校级三模）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝12，，求⊙O的半径． 【变式6-1】（2026•湖北模拟）如图，AB，AC是⊙O中相等的两条弦，过点O分别作OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G． （1）求证：OF＝OG； （2）延长OG交⊙O于点D，连接BD交FO的延长线于点E．若OE＝3，AB＝24，求⊙O的半径． 【变式6-2】（2026•瑶海区三模）如图，在⊙O中，E为直径AB上一动点，过点E作CD⊥AB交⊙O于点C，D，过点C作CF⊥AD于点F，交AB于点G，连接BC． （1）连接EF，若AB＝6，则EF的最大值是　　 ； （2）若点G在半径OB上，OG＝1，⊙O的半径为5，求CD的长． 【变式6-3】（2025秋•响水县期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为4cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： （1）通过计算（结果保留根号与π）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为　　 ； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为　　 ； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为　　 ； （2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． ▌题型03 垂径定理的应用 一、常见生活应用模型 垂径定理生活应用题均围绕圆弧+水平弦核心结构展开，高频实物模型包括：圆弧拱桥、圆形水管积水、圆柱形油槽、弧形隧道、圆形门洞、车轮圆弧等。 题干常见已知量：水面宽度、槽体跨度、拱高、水深、液面高度； 题干常见求解量：圆弧半径、最大通行高度、水深、水面跨度、物体能否通行等。 二、五步解题策略 第1步：建模画图，实物转几何图形 1. 将生活实物抽象为圆弧，补全完整圆形，标注圆心O； 2. 将水面、桥面、液面水平宽度转化为圆的弦AB； 3. 过圆心O作弦AB的垂线，垂足为M，垂线交圆弧最高点/最低点为C； 4. 明确核心线段：OM为弦心距，CM为拱高/水深（题目给定高度）。 第2步：设元转化，统一半径表示线段 设圆的半径为R，固定两个核心计算量： 1. 半弦长：（所有题型必须先算半弦长，不可用整弦计算）； 2. 弦心距：（h为题目给出的拱高、水深、液面高度）。 第3步：锁定核心直角三角形 由垂径定理可得：OM⊥AB，△OMA为直角三角形，三边对应关系： 斜边：OA=R（圆的半径） 直角边1：半弦长 直角边2：弦心距 第4步：勾股定理列方程求解 根据直角三角形勾股定理： 代入固定公式： 展开方程后可消去，转化为一元一次方程，直接求出半径R。 第5步：回代数据，求解最终问题 1. 求半径：直接取用方程计算结果； 2. 求高度/水深：通过回代计算； 3. 求跨度/宽度：先求半弦长，再乘以2得到完整弦长； 4. 通行判断问题：计算对应高度/宽度，与物体尺寸对比作答。 【典例7】（2025•南京）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图，这枚古钱币的半径为　 　 m． 【变式7-1】（2026•七星关区校级模拟）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式7-2】（2024•武都区一模）如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度AB＝（　　） A．8cm B．4cm C． D． 【变式7-3】（2026•宜州区二模）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10cm，AB＝16cm．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16min，则“图上”太阳升起的平均速度为（　　） A．1.0cm/min B．0.8cm/min C．1.2cm/min D．1.4cm/min 【变式7-4】（2026•罗江区模拟）水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点A处放空水，同时有1个水斗刚好在点B处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径OA为5m，点A到水面的距离为7m，则水面宽度CB为（　　） A．6m B．7m C．6m或8m D．7m或8m 【变式7-5】（2024•椒江区校级模拟）如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆EF与地面BD垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为6mm，整个地漏的高度EG＝75mm（G为磁体底部中点），密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 　　 mm；当有水时如图2所示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点M'恰好落在BG中点，若点M'到E'F'的距离为36mm，则密封盖下沉的最大距离为 　　 mm． 【变式7-6】已知，有一个井泵如图1所示，它的一个纵向截面如图2，当活塞EF向上移动时，底面BC上的阀门打开，EF上的阀门关闭，外部液体被吸入活塞下方的空间内，活塞EF上方的液体被上推；当活塞EF向下移动时，BC上的阀门关闭，EF上的阀门打开，液体从活塞EF下方空间被压入活塞内EF上方空间． 在图2中，点J在直径AD上，水泵底面直径BC＝10cm，活塞直径EF∥BC，G为EF中点．手柄IH支撑杆ID长2cm，弧JI是直径为4cm的半圆，连轴JG的长为25cm（点C，D，F，I四点共线，J，I，H三点共线，水泵材质厚度忽略不计），则DF＝　 cm，当手柄IH从图2位置按压到与CD重合（如图3）过程中井泵的最大出水量是 　 　 cm3． 【典例8】（2026春•香洲区校级期中）如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为4m，宽为2.6m．一辆卡车装满货物后，高为3.6m，宽为2.4m，它能通过该隧道吗？ 【变式8-1】（2025秋•丽水期末）图（1）是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图（2）的⊙O是其示意图．某学习小组用一根长为7m的笔直竹竿CD去辅助测量，点C在圆弧上，点D在地面AB上，且CD⊥AB，测得AB＝8m，AD＝1m． （1）若OE⊥AB于点E，求DE的长； （2）求公路隧道轮廓的最大高度． 【变式8-2】“美丽乡村”的建设行动，让我们的家园拥有了靓丽的风景．如图1，是某乡村一角的草坪，草坪是由一块弓形草地和一块三角形草地组成．为了更科学地管理草坪，现需要给草坪装上自动喷灌装置，并且用喷灌龙头浇水时，既要保证草坪的每个角落都能浇上水，又能最大化的节约水，于是选择了一种转角在0°～180°内（含180°）可以自由设定（按设定的转角可以往复转动喷灌）、射程长短也可以自主设定的喷灌龙头．如图2，已知弓形高DE＝6米，弓形宽AB＝24米．△ABC的边BC＝12米，AC＝12米．若经测算，将喷灌龙头安装在△ABC的顶点C时为最优方案，则： （1）喷灌龙头的最小转角应设置为　　 度； （2）喷灌龙头的最短射程应设置为　 　 米． 【变式8-3】（2026春•莱西市期中）如图1，校园中有两面互相垂直的围墙，在美化校园的活动中，学校想借助围墙（两边足够长），用10m长的篱笆围成一个小花园． 小明设计了两种方案： 方案一：如图2，围成矩形花园AEDF，DE和DF需用篱笆围成； 方案二：如图3，围成一个由以DF为直径的半圆和矩形AEDF两部分构成的花园，半圆（实线部分）和DE需用篱笆围成． （1）方案一围成的花园面积能否达到25m2？若能求出DE的长；若不能说明理由； （2）方案二围成的花园面积能否达到25m2？若能求出DE的长；若不能说明理由． 【变式8-4】（2025•江阴市二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离L＝40m，弓形的高度S＝10m． （1）计算桥拱圆弧所在圆的半径； （2）图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，AB为船身宽，为保证安全，点A、B与其正上方拱桥线上的对应点E、F的距离均应不小于2m．某日，测得拱顶C点高出水面15m．现有一艘货轮露出水面部分的高度为13.2m，AB＝14m．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降0.1m，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ ▌题型04 与圆的对称性有关的作图 一、作图核心原理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对两段弧；推论：平分一条非直径弦的直线，过圆心且垂直这条弦。作图本质：作弦的垂直平分线，垂直平分线必经过圆心，所有相关作图都围绕 “弦的中垂线” 展开。 二、通用作图万能思路（三步法） 1. 找弦：在圆弧 / 圆上任意取两个点，两点连线即为弦； 2. 作垂直平分线：分别以弦两端点为圆心，大于弦长一半为半径画弧，上下各交出两个交点，连接两交点得到直线； 3. 利用中垂线作图：这条直线就是过圆心、垂直弦、平分弦、平分弧的直线，结合需求完成画图。 【典例9】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点． （1）实践与操作：在上求作点P，使得P为的中点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）推理与计算：在（1）的条件下，连接AP，AC，若，AC＝6，求⊙O的半径． 【变式9-1】（2024秋•新吴区期中）如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP＝5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有 　　 条． 【变式9-2】（2024秋•泸州期末）如图所示的拱桥，用表示桥拱． （1）若所在圆的圆心为O，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图 痕迹） （2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m，拱高（的中点到弦AB的距离）为4m，求拱桥的半径R． ▌题型05 利用圆的对称性求最值 一、核心定理 1. 直径是圆中最长的弦； 2. 圆心到弦距离越远，弦越短，距离越近，弦越长； 3. 点圆最值：定点到圆心距离d，圆半径R，最值为d±R。 二、最值模型 1. 过圆内定点的弦的最值 已知：⊙O半径R，圆内定点P，OP=d 最长弦：过P的直径，长度=2R； 最短弦：过P且垂直OP的弦，长度=。 2. 圆上动点到定点距离最值 最大值：定点与圆心连线延长线与圆交点，距离=d+R； 最小值：定点与圆心连线线段与圆交点，距离=|d−R|。 3. 圆上动点到定直线距离最值 圆心到直线距离h，最大距离=h+R，最小距离=|h−R|。 【典例10】如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD＝4时， 求：（1）AP+BP的最小值． （2）AP﹣BP的最大值． 【变式10-1】如图1为某酒店的圆形旋转门，可看成如图2由外围的⊙O和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道弧AB和弧CD，且它们关于圆心O中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心O转动，且所成的夹角∠EOF＝∠FOG＝∠GOE＝120°，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图2位置时，大厅内外空气被隔风玻璃OF，OG隔离．则通道弧AB所对圆心角的度数的最大值为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【变式10-2】（2026•金水区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆分别与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，线段CF⊥AE于点F，线段FG长度的最小值为　 　 ，最大值为　 　 ． 【变式10-3】（2025秋•龙岩期末）如图，⊙O的直径CD⊥AB，垂足为N，CD＝8，ON＝2，点P是⊙O上的动点（不与A，C两点重合），CM⊥AP，垂足为M，点P在运动过程中线段OM的最小值为　 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆的对称性（题型突破·举一反三） 题型01 圆心角、弧、弦之间的关系 题型02 垂径定理及其推论 题型03 垂径定理的应用 题型04 与圆的对称性有关的作图 题型05 利用圆的对称性求最值 ▌题型01 圆心角、弧、弦之间的关系 1.等弧的定义：在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧叫作等弧。 2.核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.推论（知一推二）：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 【典例1】（2026•雷州市校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC＝AD，∠AOD＝70°，则∠BCO的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．55° 【分析】首先由AC＝AD，∠AOD＝70°可得∠AOC＝∠AOD＝70°，再由OB＝OC可得出． 【解答】解：∵AC＝AD，∠AOD＝70° ∴∠AOC＝∠AOD＝70°， ∴∠ABC，∠AOC＝35°， ∵OB＝OC， ∴， 故选：B． 【变式1-1】（2026•四平二模）如图，点A、B、C、D在⊙O上，且，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【分析】连接OA，根据圆心角、弧、弦的关系求得∠AOC的度数，再由三角形内角和定理及等腰三角形的性质计算∠ACO的度数即可． 【解答】解：如图，连接OA． ∵，∠BOD＝84°， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∴∠ACO+∠CAO＝180°﹣∠AOC＝96°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO， ∴∠ACO96°＝48°． 故选：D． 【变式1-2】（2026•五华区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°， 故选：D． 【变式1-3】如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（　　） A．25 B．25 C． D． 【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题． 【解答】解：连OC，如图， ∵C是的中点，∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°， 又∵OA＝OC＝OB， ∴△OAC和△OBC都是等边三角形， ∴S四边形AOBC＝2． 故选：D． 【变式1-4】（2026•昌平区一模）如图，点A为射线OM上一点，将射线OM绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到射线ON，以O为圆心，OA长为半径画圆，交射线ON于点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交⊙O于点C（A，C不重合），连接AC交OB于点D，连接OC．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（　　） A．AC⊥OB B．AD＝CD C．∠AOB＝∠BOC D．OD＞BD 【分析】根据线段垂直平分线的性质，圆周角定理以及圆心角、弦、弧之间的关系逐项进行判定即可． 【解答】解：由题意可知，OA＝OC，BC＝BA， ∴OB是AC的垂直平分线， ∴OB⊥AC，AD＝CD， 因此选项A不符合题意，选项B不符合题意； ∵OA＝OC，OD⊥AC， ∴∠AOB＝∠BOC， 因此选项C不符合题意； 当α为钝角时，如图， 此时OD＜BD， 因此选项D符合题意， 故选：D． 【变式1-5】（2025秋•江都区月考）小明在完成作业“如图1，∠AOB＝90°，C、D是以点O为圆心的的三等分点，弦AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE＝BF＝CD”的基础上，做了如下尝试如图2，“把∠AOB＝90°改为∠AOB＝120°，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，∠AOB＝n°，C、D是以点O为圆心的的三等分点，弦AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE＝BF＝CD”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 【分析】连接AC，BD，根据∠AOB＝120°得出∠AOC的度数，由OA＝OB知∠OAE度数，继而得∠AEC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠ACO的度数，根据等角对等边可得出AC＝AE，同理可得BF＝BD，再根据AC＝CD＝BD，由此可得出结论． 【解答】证明：尝试：连接AC，BD， ∵在⊙O中，∠AOB＝120°，C、D为以O为圆心的弧AB的三等分点， ∴∠AOC， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∵∠AOC＝∠BOD＝40°， ∴∠AEC＝∠OAB+∠AOC＝30°+40°＝70°， ∵OA＝OC，∠AOC＝40°， ∴∠ACE＝70°， ∴∠ACE＝∠AEC， ∴AC＝AE，同理BF＝BD， ∵C，D是的三等分点， ∴AC＝CD＝BD， ∴AE＝BF＝CD． 猜想：连接AC，BD， ∵在⊙O中，∠AOB＝n°，C、D为以O为圆心的弧AB的三等分点， ∴∠AOC， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AEC＝∠OAB+∠AOC， ∵OA＝OC，∠AOC， ∴∠ACE， ∴∠ACE＝∠AEC， ∴AC＝AE，同理BF＝BD， ∵C，D是的三等分点， ∴AC＝CD＝BD， ∴AE＝BF＝CD． ▌题型02 垂径定理及其推论 一．垂径定理的概念 1. 垂直于弦的直径平分这条弦以及弦所对的两条弧（优弧、劣弧）。 条件：①直径 ②垂直弦 结论：③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 2. 弦心距的概念：圆心到弦的距离。如上图中OP的长度即为弦心距。 二．核心推论（知二推三） 一条直线只要满足下面五条中的任意两条，就可以推出剩余三条： 1. 过圆心（直径 / 半径） 2. 垂直于弦 3. 平分弦 4. 平分弦所对劣弧 5. 平分弦所对优弧 三．常考的推论 推论 1（★） 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 易错点：如果被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分，但不一定垂直，必须加限制 “弦不是直径”。 推论 2 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论 3 平分弦所对一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对另一条弧。 四．垂径定理的常见应用 1. 圆内两条平行弦所夹的弧相等； 2. 同圆或等圆中，两条弦相等 ⇔ 弦心距相等； 3. ★弦心距、半径、弦长一半构成直角三角形，常用勾股计算： ：半径，d：圆心到弦距离，l：弦长。 【典例2】（2026•天心区校级三模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，设⊙O的半径为4，CE＝2，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【分析】连接AO，由垂径定理得出，由勾股定理求出AE，即可求出AB． 【解答】解：如图，连接AO， ∵AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为点E， ∴， ∵⊙O的半径为4，CE＝2， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-1】（2026•岳麓区校级模拟）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】连接OD，过点O作OH⊥DE，垂足为H，在Rt△DHO中，有勾股定理即可求出结果． 【解答】解：连接OD，过点O作OH⊥DE，垂足为H， ∴， 在Rt△DHO中，OH3， ∴直尺的宽度为3cm． 故选：A． 【变式2-2】如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为 　（6，0）　 ． 【分析】由以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，可以想到过点P作PC⊥AB，利用垂径定理，即可求得答案． 【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C， ∵以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点， ∴AC＝BC， ∵点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0）， ∴点C的坐标为（4，0），AC＝2， ∴BC＝2， ∴OB＝6， ∴点B的坐标为（6，0）． 故答案为：（6，0）． 【变式2-3】（2026•东港区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DF⊥AB于点E，交⊙O于另一点F．若AC＝12，AE＝3，则⊙O的半径是（　　） A． B． C．6 D．10 【分析】先证，进而得出，DF＝AC＝12，由垂径定理得，再用勾股定理解Rt△OEF即可． 【解答】解：∵点D是的中点， ∴， ∵DF⊥AB， ∴， ∴， ∴， ∴DF＝AC＝12， ∵DF⊥AB， ∴， 如图，连接OF，设⊙O的半径为r，设OE＝OA﹣AE＝r﹣3， 在Rt△OEF中，由勾股定理得OE2+EF2＝OF2， ∴（r﹣3）2+62＝r2， 整理得，6r＝45， 解得， 则⊙O的半径是， 故选：A． 【变式2-4】（2025秋•苍梧县期末）如图，P是⊙O内一点．若圆的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接OP，过P作弦AB⊥OP，此时AB是过P的最短的弦，由垂径定理得到AB＝2AP，由勾股定理求出AP4，得到AB＝8，过P的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点P的弦长的取值范围，即可得到答案． 【解答】解：连接OP，过P作弦AB⊥OP，此时AB是过P的最短的弦， ∴AB＝2AP， ∵圆的半径为5，OP＝3， ∴AP4， ∴AB＝8， ∵过P的最长的弦是圆的直径是10， ∴8≤经过点P的弦的长≤10， ∴经过点P的弦的长度不可能是7． 故选：A． 【变式2-5】（2025秋•沙市区期末）如图，半径为5和的两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，若CD＝8，则AB的大小为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】连接OA、OC，作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE，∠OEA＝90°，由题意可知OC＝5，OA，因为CD＝8，所以CECD＝4，求得OE3，则AE5，所以AB＝2AE＝10，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OA、OC，作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE，∠OEA＝90°， ∵半径为5和的两个圆都以点O为圆心，且5， ∴OC＝5，OA， ∵CD＝8， ∴CECD＝4， ∴OE3， ∴AE5， ∴AB＝2AE＝10， 故选：C． 【变式2-6】（2026•鼓楼区二模）如图，在⊙O中，C，D分别是和弦AB的中点，若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径是　5　 ． 【分析】连OA，OD，根据垂径定理得O，D，C共线，且OD⊥AB，在Rt△OAD中，设半径为r，CD＝2，则OD＝r﹣2，然后利用勾股定理得到关于r的方程，解方程即可． 【解答】解：如图，连OA，OD， 根据垂径定理可得O，D，C共线，且OD⊥AB， ∵AB＝8，D是弦AB的中点， ∴AD＝4， 在Rt△OAD中，设半径为r， ∵CD＝2， ∴OD＝r﹣2， ∵OA2＝OD2+AD2， ∴r2＝（r﹣2）2+42， 解得r＝5， 所以⊙O的半径为5． 故答案为：5． 【典例3】（2026•仪陇县模拟）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三个格点，那么所对的圆心角的大小是（　　） A．75° B．80° C．90° D．100° 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可． 【解答】解：如图，连接BC，作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线相交于点Q， 则点Q为这条圆弧所在圆的圆心． 连接AQ，CQ， 在△APQ与△QNC中 ， ∴△APQ≌△QNC（SAS）， ∴∠AQP＝∠QCN，∠PAQ＝∠CQN， ∵∠AQP+∠PAQ＝90°， ∴∠AQP+∠CQN＝90°， ∴∠AQC＝90°， 故选：C． 【变式3-1】（2025秋•龙湾区月考）如图，直角坐标系中，一条圆弧经过点A（0，4），B（4，4），C（6，2），则该圆弧所在圆的圆心为（　　） A．（2，0） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，1） 【分析】由圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心，可知圆心为两条弦的垂直平分线的交点，因此，只要作出弦AB、BC，再作出它们的垂直平分线的交点即可找到该圆弧所在圆的圆心． 【解答】解：连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线相交于点D，则点D为该圆弧所在圆的圆心， ∵D（2，0）， ∴该圆弧所在圆的圆心为（2，0）， 故选：A． 【典例4】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（　　） A． B．2 C．2 D．8 【分析】作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OHOP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH，所以CD＝2CH＝2． 【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图， ∵OH⊥CD， ∴HC＝HD， ∵AP＝2，BP＝6， ∴AB＝8， ∴OA＝4， ∴OP＝OA﹣AP＝2， 在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°， ∴∠POH＝60°， ∴OHOP＝1， 在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1， ∴CH， ∴CD＝2CH＝2． 故选：C． 【变式4-1】（2025•安阳校级模拟）如图，将⊙O沿AB折叠，半径OC长12，且OC⊥AB，恰好经过OC的中点D，则折痕AB长为（　　） A． B． C．12 D． 【分析】延长CO交AB于E点，连接OB，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长． 【解答】解：延长CO交AB于E点，连接OB， ∵CE⊥AB， ∴E为AB的中点， ∵OC＝12，D为OC的中点， ∴CD＝OD＝6，OB＝12， ∴DE（12×2﹣6）18＝9， ∴OE＝9﹣6＝3， 在Rt△OEB中，根据勾股定理可得：OE2+BE2＝OB2，即32+BE2＝122， 解得BE＝3， ∴AB＝6． 故选：B． 【变式4-2】（2026•桓台县模拟）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 　4　 ． 【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OFBCDF，从而求得BC＝DF，利用勾股定理即可求得AC． 【解答】解：如图，连接OD，交AC于F， ∵D是的中点， ∴OD⊥AC，AF＝CF， ∴∠DFE＝90°， ∵OA＝OB，AF＝CF， ∴OFBC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 在△EFD和△ECB中， ， ∴△EFD≌△ECB（AAS）， ∴DF＝BC， ∴OFDF， ∵OD＝3， ∴OF＝1， ∴BC＝2， ∴AC4． 故答案为：4． 【变式4-3】（2025秋•临淄区校级月考）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝105°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于点G，连接OB、OD、OE，根据垂径定理得到DF＝CF，，则EG＝2，用勾股定理求出OG＝2，得到△OEG是等腰直角三角形，可得，再利用含30°角的直角三角形性质求出EF、OF的长，在Rt△ODF中用勾股定理求出DF的长，即可得到结果． 【解答】解：过点O作OG⊥AB于点G，OF⊥CD于点F，连接OB、OD、OE，如图所示： 则，DF＝CF， ∴EG＝AG﹣AE＝2， 在Rt△BOG，， ∴EG＝OG， ∴△EOG是等腰直角三角形， ∴，∠OEG＝45°， ∵∠DEB＝105°， ∴∠OEF＝60°， ∴∠EOF＝30°， ∴， ∴， 在Rt△ODF中，， ∴； 故选：B． 【变式4-4】（2026•泗阳县校级三模）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是 　3+2　 ． 【分析】作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，作PE⊥AB于E，连接PB，由于OC＝3，PC＝a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE＝BE，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE，则PDPE＝2，继而可得答案． 【解答】解：作PC⊥轴于点C，交AB于点D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图， 由条件可知OC＝3，PC＝a， 把x＝3代入y＝x得y＝3， ∴D点坐标为（3，3）， ∴CD＝3， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴△PED也为等腰直角三角形， ∵PE⊥AB， ∴AE＝BEAB， ∴PE， ∴PDPE＝2， ∴a＝3+2． 故答案为：3+2． 【变式4-5】（2025秋•汉阳区期末）如图，半径为1的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，分别以AE、BE，EC，ED为边作正方形AEHI，BEPQ，CEFG，EDNM，若记这四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　） A．2 B． C． D．4 【分析】取CD的中点M，AB的中点N，连接OA、OC、OM、ON，则CM＝DM，AN＝BN，由垂径定理可得，OM⊥CD，ON⊥AB，可证明四边形OMEN是矩形，利用线段之间的和差关系表示出CE2+ED2、AE2+EB2，利用完全平方公式进行化简，以及勾股定理进行等量代换，即可得解． 【解答】解：如图，取CD的中点M，AB的中点N，连接OA、OC、OM、ON，则CM＝DM，AN＝BN， 由垂径定理可得，OM⊥CD，ON⊥AB， ∴四边形OMEN是矩形， ∴OM＝EN，ON＝EM， ∵CE2+ED2＝（CM﹣EM）2+（CM+EM）2 ＝CM2﹣2CM•EM+EM2+CM2+2CM•EM+EM2 ＝2（OC2﹣OM2）+2EM2， AE2+EB2＝（AN﹣EN）2+（AN+EN）2 ＝AN2﹣2AN•EN+EN2+AN2+2AN•EN+EN2 ＝2（OA2﹣ON2）+2EN2， ∴S1+S2+S3+S4 ＝AE2+EB2+CE2+ED2 ＝2（OA2﹣ON2）+2EN2+2（OC2﹣OM2）+2EM2 ＝2OA2﹣2ON2+2EN2+2OC2﹣2EN2+2ON2 ＝2OA2+2OC2 ＝4OA2 ＝4． 故选：D． 【典例5】（2025秋•崆峒区校级期末）已知⊙O半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD之间距离为（　　） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【分析】分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论即可求解． 【解答】解：如图1，当AB，CD在点O的两侧，作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OA，OC， ∵AB∥CD，AB＝24，CD＝10， ∴ON⊥CD， ∴， ∴，， ∴MN＝OM+ON＝5+12＝17； 如图2，当AB，CD在点O的同侧，作OQ⊥CD于Q，交AB于P，连接OA，OC， ∵AB∥CD，AB＝24，CD＝10， ∴OQ⊥CD， ∴， ∴，， ∴PQ＝OQ﹣OP＝12﹣5＝7， ∴此时弦AB与CD的距离为7， 综上所述，弦AB与CD的距离为17或7． 故选：C． 【变式5-1】（2025秋•衢州月考）如图1，已知AB，CD是⊙O中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦AB＝x，CD2＝y，y关于x的函数图象如图2所示，当CD＝2AB时，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥CD于点E，OF⊥AB于点F，则，，，，由已知可得∠AOB+∠COD＝180°，即得∠AOF+∠DOE＝90°，进而得到∠DOE＝∠FAO，即可证△OED≌△AFO（AAS），得到，即得到，再根据函数图象可知⊙O的直径为，即得，设OE＝x，则DE＝2x，利用勾股定理求出x的值即可求解． 【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥CD于点E，OF⊥AB于点F，则，，，， 由条件可知∠AOB+∠COD＝180°， ∴， ∵∠AOF+∠FAO＝90°， ∴∠DOE＝∠FAO， ∵∠DEO＝∠AFO＝90°，OD＝OA， ∴△OED≌△AFO（AAS）， ∴， ∵CD＝2AB， ∴， 由函数图象可知，当x＝0时，y＝9，此时CD为直径， ∴⊙O的直径为， ∴， 设OE＝x，则DE＝2x， 由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：C． 【变式5-2】（2025秋•安阳期末）如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、点D都不与点A、B重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于点F，若CD＝4，AB＝8． （1）当CD∥AB时，EF的长为　4　 ； （2）CD在滑动过程中，EF的最大值是　4　 ． 【分析】（1）如图①，连接OD，OC，OE，判定△OCD是等边三角形，推出OE⊥CD，判定四边形OECF是矩形，推出EF＝OC＝4； （2）如图②，延长CF交圆于G，连接DG，由垂径定理得到F是CG中点，得到EF是△CDG的中位线，因此EFDG，当DG是圆的直径时，DG最大，此时EF最大，即可得到EF的最大值． 【解答】解：（1）如图①，连接OD，OC，OE， ∵AB＝8， ∴OD＝OC＝CD＝4， ∴△OCD是等边三角形， ∵E是CD的中点， ∴OE⊥CD， ∵CD∥AB时，CF⊥OB， ∴四边形OECF是矩形， ∴EF＝OC＝4， 故答案为：4； （2）如图②， 延长CF交圆于G，连接DG， ∵直径AB⊥CG， ∴F是CG中点， ∵E是CD中点， ∴EF是△CDG的中位线， ∴EFDG， ∴当DG是圆的直径时，DG最大，此时EF最大， ∴EF的最大值是8＝4． 故答案为：4． 【变式5-3】（2026•乐清市校级自主招生）如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD，经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E． （1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长； （2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长． 【分析】（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．利用勾股定理构建方程组解决问题即可． （2）如图2中，作CH⊥AB于H．证明△ACH是等腰直角三角形，四边形EFHC是矩形，求出EF即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y． ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴∠CEF＝∠BFO＝90° ∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2， 根据勾股定理可得：， 解得（舍弃）或， ∴BF＝4，AB＝2BF＝8． 解法二：在Rt△OEC中，OC＝5，CECD＝12×42， ∴OE1 因此设BF＝EF＝x，则OF＝EF﹣OE＝x﹣1， ∴由勾股定理可得OF2+BF2＝OB2，即（x﹣1）2+x2＝52， 解得x＝4（x＝﹣3＜0，不合题意舍去）． （2）如图2中，作CH⊥AB于H． ∵OB⊥OC， ∴∠A∠BOC＝45°， ∵AH⊥CH， ∴△ACH是等腰直角三角形， ∵ACCH， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°， ∴四边形EFHC是矩形， ∴CH＝EF， 在Rt△OEC中，∵EC，OC， OE2， ∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°， ∴∠FOB＝∠ECO， ∵OB＝OC， ∴△OFB≌△CEO（AAS）， ∴OF＝EC， ∴CH＝EF＝3， ∴ACEF＝6． 【典例6】（2026•蜀山区校级三模）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝12，，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接BD，根据垂径定理推出AD＝BD，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出BD＝CD，等量代换即可得解； （2）连接OA，根据垂径定理推出AH＝6，根据勾股定理求出DH＝4，设OD＝OA＝r，则OH＝r﹣4，根据勾股定理（r﹣4）2+62＝r2，据此求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接BD． ∵AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB， ∴D是的中点， ∴， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAD+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°， ∴∠C＝∠DBC， ∴BD＝CD， ∴AD＝CD， 即D为AC的中点； （2）解：如图，连接OA． ∵半径OD⊥AB，垂足为H，AB＝12， ∴， ∵D是AC的中点，， ∴， ∴根据勾股定理得，， 设OD＝OA＝r，则OH＝r﹣4， 在Rt△OAH中，根据勾股定理得，OH2+AH2＝OA2， ∴（r﹣4）2+62＝r2， 整理得，8r＝52， ∴， 即⊙O的半径为． 【变式6-1】（2026•湖北模拟）如图，AB，AC是⊙O中相等的两条弦，过点O分别作OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G． （1）求证：OF＝OG； （2）延长OG交⊙O于点D，连接BD交FO的延长线于点E．若OE＝3，AB＝24，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OA，证明Rt△OAF≌Rt△OAG，即可求证； （2）连接AD，根据垂径定理可得∠EBF＝∠DAG，可证明△BEF≌△ADG，可得EF＝DG，设OF＝x，则OG＝x，DG＝EF＝OE+OF＝3+x，OA＝OD＝2x+3．在Rt△OAG中，根据勾股定理可得x的值，即可求解． 【解答】（1）证明：连接OA． ∵OF⊥AB，OG⊥AC， ∴∠OFA＝∠OGA＝90°，，， ∵AB＝AC， ∴AF＝AG． 在Rt△OAF≌Rt△OAG中， ， ∴Rt△OAF≌Rt△OAG（HL）， ∴OF＝OG； （2）解：连接AD． ∵OG⊥AC， ∴， ∴∠EBF＝∠DAG， 在△BEF和△ADG中， ， ∴△BEF≌△ADG（AAS）， ∴EF＝DG． 设OF＝x，则OG＝x， DG＝EF＝OE+OF＝3+x，OA＝OD＝2x+3． 由（1）得， 在Rt△OAG中，OA2﹣OG2＝AG2， ∴（2x+3）2﹣x2＝122， ∴x＝5或﹣9（舍去）， ∴OA＝13，即⊙O的半径为13． 【变式6-2】（2026•瑶海区三模）如图，在⊙O中，E为直径AB上一动点，过点E作CD⊥AB交⊙O于点C，D，过点C作CF⊥AD于点F，交AB于点G，连接BC． （1）连接EF，若AB＝6，则EF的最大值是　3　 ； （2）若点G在半径OB上，OG＝1，⊙O的半径为5，求CD的长． 【分析】（1）由垂径定理得到CE＝DE，由直角三角形斜边中线的性质推出EFCD，当CD是圆的直径时，即可得到EF的最大值； （2）连接OC．由垂径定理得到CD＝2CE．判定△BCE≌△GCE（ASA），推出EG＝EB，求出EGBG＝2，得到OE＝OG+GE＝3，由勾股定理得到CE＝4，即可得到CD的长． 【解答】解：（1）∵直径AB⊥CD， ∴CE＝DE， ∵CF⊥AD， ∴∠CFD＝90°， ∴EFCD， ∴当CD是圆的直径时，EF的值最大，EF的最大值是63， 故答案为：3． （2）连接OC． ∵直径AB⊥CD， ∴CD＝2CE． ∵CF⊥AD， ∴∠D+∠FCD＝90°， ∵∠B＝∠D，∠B+∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝∠FCD， ∵CE＝CE，∠CEG＝∠CEB＝90°， ∴△BCE≌△GCE（ASA）， ∴EG＝EB， ∵OG＝1，OB＝5， ∴BG＝OB﹣OG＝4， ∴EGBG＝2， ∴OE＝OG+GE＝3， 由勾股定理得到：， ∴CD＝2CE＝8． 【变式6-3】（2025秋•响水县期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为4cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： （1）通过计算（结果保留根号与π）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为　4　 ； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为　8　 ； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为　8　 ； （2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 【分析】（1）（Ⅰ）根据勾股定理得出AC4， （Ⅱ）直径是边长为4的正方形对角线的2倍； （Ⅲ）直径是边长时8的对角线的长； （2）将两个正方形并排放置成长是8，长是4的矩形，然后将第三个正方形放置在矩形的上，且正方形的中心在边长为8的垂直平分线上，从而得出AD＝8，BD＝2，CD＝6，进而根据勾股定理得出AB和AC的长，sin∠ACB的值，进而得出结果． 【解答】解：（1）（Ⅰ）如图①， 连接AC， ∵∠ABC＝90°， ∴AC4， ∴最小直径为：4， 故答案为：4； （Ⅱ）如图②， ∵OD＝4， ∴最小直径为：8， 故答案为：8； （Ⅲ）如图③， 直径EF＝8， 故答案为：8； （2）设圆心为O，GH与AB交点为P，连接OA、OB、ON， ∵PG垂直平分NF，OA＝OB＝ON， ∴O在PG上，AP＝BP＝AB＝2cm， 设OG＝xcm，则OP＝PG﹣OG＝（8﹣x）cm， 在Rt△AOP中，OA2＝AP2+OP2， 在Rt△NGO中，ON2＝NG2+OG2， ∴AP2+OP2＝NG2+OG2， ∴22+（8﹣x）2＝42+x2， 解得x， ∴ONcm， ∴直径为cm． ▌题型03 垂径定理的应用 一、常见生活应用模型 垂径定理生活应用题均围绕圆弧+水平弦核心结构展开，高频实物模型包括：圆弧拱桥、圆形水管积水、圆柱形油槽、弧形隧道、圆形门洞、车轮圆弧等。 题干常见已知量：水面宽度、槽体跨度、拱高、水深、液面高度； 题干常见求解量：圆弧半径、最大通行高度、水深、水面跨度、物体能否通行等。 二、五步解题策略 第1步：建模画图，实物转几何图形 1. 将生活实物抽象为圆弧，补全完整圆形，标注圆心O； 2. 将水面、桥面、液面水平宽度转化为圆的弦AB； 3. 过圆心O作弦AB的垂线，垂足为M，垂线交圆弧最高点/最低点为C； 4. 明确核心线段：OM为弦心距，CM为拱高/水深（题目给定高度）。 第2步：设元转化，统一半径表示线段 设圆的半径为R，固定两个核心计算量： 1. 半弦长：（所有题型必须先算半弦长，不可用整弦计算）； 2. 弦心距：（h为题目给出的拱高、水深、液面高度）。 第3步：锁定核心直角三角形 由垂径定理可得：OM⊥AB，△OMA为直角三角形，三边对应关系： 斜边：OA=R（圆的半径） 直角边1：半弦长 直角边2：弦心距 第4步：勾股定理列方程求解 根据直角三角形勾股定理： 代入固定公式： 展开方程后可消去，转化为一元一次方程，直接求出半径R。 第5步：回代数据，求解最终问题 1. 求半径：直接取用方程计算结果； 2. 求高度/水深：通过回代计算； 3. 求跨度/宽度：先求半弦长，再乘以2得到完整弦长； 4. 通行判断问题：计算对应高度/宽度，与物体尺寸对比作答。 【典例7】（2025•南京）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图，这枚古钱币的半径为　0.013　 m． 【分析】如图，设圆心为O，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB．利用勾股定理求解． 【解答】解：如图，设圆心为O，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB． 由题意OC＝5，CB＝5+7＝12， ∴OB13（mm）＝0.013（m）． 故答案为：0.013． 【变式7-1】（2026•七星关区校级模拟）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可． 【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点， ∴BC＝ACAB16＝8， 在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC6， 故选：D． 【变式7-2】（2024•武都区一模）如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度AB＝（　　） A．8cm B．4cm C． D． 【分析】过圆心O，作OC⊥AB，根据垂径定理得出，根据图示得出OC＝4，AO＝8，勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，过圆心O，作OC⊥AB，则， 在Rt△AOC中，OC＝18﹣14＝4，AO＝OC+（14﹣10）＝4+OC＝8， ∴， ∴， 故选：D． 【变式7-3】（2026•宜州区二模）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10cm，AB＝16cm．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16min，则“图上”太阳升起的平均速度为（　　） A．1.0cm/min B．0.8cm/min C．1.2cm/min D．1.4cm/min 【分析】设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，利用勾股定理求出OD，进而求出海平线以下部分的高度，根据太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间即可解答． 【解答】解：如图，设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D， ∴AB＝16cm，8cm，OA＝10cm， ∴， ∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（cm）， ∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16min， ∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（cm/min）． 故选：A． 【变式7-4】（2026•罗江区模拟）水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点A处放空水，同时有1个水斗刚好在点B处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径OA为5m，点A到水面的距离为7m，则水面宽度CB为（　　） A．6m B．7m C．6m或8m D．7m或8m 【分析】作OD⊥BC，AE⊥BC，OF⊥AG，设OD＝xm，先说明四边形ODEF是矩形，得到OD＝EF，证明△DOB≌△FOA，得到DB＝AF，根据勾股定理列出方程，求出OD，BD，最后根据垂径定理，计算即可求解． 【解答】解：如图，作OD⊥BC、AE⊥BC交BC于点D、E，作OF⊥AG于点F， 设OD＝xm， ∵OD⊥BC，AE⊥BC，OF⊥AG， ∴∠ODE＝∠DEA＝∠OFE＝∠OFA＝90°， ∴四边形ODEF是矩形， ∴∠DOF＝90°，OD＝EF＝xm， ∵点A到水面的距离为7m， ∴AE＝7m，则AF＝AE﹣EF＝（7﹣x）m， ∵圆形轮盘分布了12个水斗，水斗A和B中间还有2个水斗， ∴， ∴∠FOA+∠BOF＝90°， 又∵∠DOF＝90°，即∠DOB+∠BOF＝90°， ∴∠DOB＝∠FOA， 在△DOB和△FOA中， ， ∴△DOB≌△FOA（AAS）， ∴DB＝AF＝（7﹣x）m， ∵OB＝5m， DB2+OD2＝OB2，即（7﹣x）2+x2＝52， 解得：x1＝3，x2＝4， ∴DB＝7﹣x＝3m或4m， ∵OD⊥BC， ∴BC＝2DB， ∴BC＝6m或8m， 故选：C． 【变式7-5】（2024•椒江区校级模拟）如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆EF与地面BD垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为6mm，整个地漏的高度EG＝75mm（G为磁体底部中点），密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 　39　 mm；当有水时如图2所示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点M'恰好落在BG中点，若点M'到E'F'的距离为36mm，则密封盖下沉的最大距离为 　16.5　 mm． 【分析】①根据已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理得到OH的长度，进而得到半径； ②利用三角形中位线的性质得到M'Z，再利用勾股定理及矩形的性质得到密封盖下沉的最大距离． 【解答】解：①设作圆O，连接CD交CE于点H， 设OH＝xmm， ∵最高点E到地面的距离为6mm， ∴OE＝（6+x）mm， ∵， ∴， ∴在Rt△OHD中，， ∵OE＝OD， ∴， ∴x＝33， ∴OE＝39mm， 故答案为：39． ②作M'P'⊥E'G，延长GE'，交AB于点Q'，作M'Z⊥AB交AB于点Z， ∵M'P'⊥E'G， ∴M′Z∥E′G， ∴点Z是BQ'的中点， ∵M'为BG的中点， ∴M'Z为△GQ'B的中位线， ∴， ∵EG＝75mm，EQ'＝6mm， ∴GQ'＝69mm， ∴， ∵点M'到E'F'的距离为36mm， ∴MJ＝M'P'＝36mm， ∵OM＝OE＝39mm， 回到图1，作MJ⊥EG， 由勾股定理得：（mm）， ∴移动前M到地面的距离为：JH＝39﹣15﹣6＝18（mm）， ∵M移动的距离为密盖下沉的距离， ∴MM'＝M'Z﹣JH＝34.5﹣18＝16.5（mm）， ∴密封盖下沉的最大距离为16.5mm． 故答案为：16.5． 【变式7-6】已知，有一个井泵如图1所示，它的一个纵向截面如图2，当活塞EF向上移动时，底面BC上的阀门打开，EF上的阀门关闭，外部液体被吸入活塞下方的空间内，活塞EF上方的液体被上推；当活塞EF向下移动时，BC上的阀门关闭，EF上的阀门打开，液体从活塞EF下方空间被压入活塞内EF上方空间． 在图2中，点J在直径AD上，水泵底面直径BC＝10cm，活塞直径EF∥BC，G为EF中点．手柄IH支撑杆ID长2cm，弧JI是直径为4cm的半圆，连轴JG的长为25cm（点C，D，F，I四点共线，J，I，H三点共线，水泵材质厚度忽略不计），则DF＝　4　 cm，当手柄IH从图2位置按压到与CD重合（如图3）过程中井泵的最大出水量是 　（150100250）π　 cm3． 【分析】如图2中，连接AD，过点G作GP⊥AD于P．解直角三角形求出PG，IF在图3中，求出IF，求出线段EF的移动的距离，可得结论． 【解答】解：如图2中，连接AD，过点G作GP⊥AD于P． 在Rt△JDI中，∠JDI＝90°，IJ＝4cm，ID＝2cm， ∴DJ6（cm）， ∵PD＝GFEF＝5cm， ∴JP＝DJ﹣DP＝1（cm）， 在Rt△PGJ中，PG4（cm）， ∴DF＝PJ＝4（cm）， ∴IF＝（24）（cm）， 如图3中，JF10（cm）， ∴IF＝JF﹣IJ＝（104）cm， ∴EF移动的距离＝（24）﹣（104）＝（6410）cm， ∴井泵的最大出水量＝π×52×（6410）＝（150100250）π（cm3）． 故答案为：4，（150100250）π． 【典例8】（2026春•香洲区校级期中）如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为4m，宽为2.6m．一辆卡车装满货物后，高为3.6m，宽为2.4m，它能通过该隧道吗？ 【分析】作弦EF∥AD，且EF＝2.4m，OH⊥EF于H，连接OF，在直角三角形OFH中，由勾股定理求出OH，再求出隧道高，就可以判断． 【解答】解：如图，作弦EF∥AD，且EF＝2.4m，OH⊥EF于H，连接OF， ∴HFEF＝1.2m， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝OG＝2.6m， ∴OH1.6（m）， ∴HG＝OH+OG＝2.6+1.6＝4.2（m）， ∵4.2＞3.6， ∴这辆卡车能通过隧道． 【变式8-1】（2025秋•丽水期末）图（1）是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图（2）的⊙O是其示意图．某学习小组用一根长为7m的笔直竹竿CD去辅助测量，点C在圆弧上，点D在地面AB上，且CD⊥AB，测得AB＝8m，AD＝1m． （1）若OE⊥AB于点E，求DE的长； （2）求公路隧道轮廓的最大高度． 【分析】（1）由垂径定理得到AE＝BEAB＝4（m），即可求出DE＝AE﹣AD＝3（m）； （2）过O作OM⊥CD于M，连接OC，OB，延长NO交圆于N，由垂径定理推出N是的中点，得到公路隧道轮廓的最大高度是NE的长，设OE＝xcm，判定四边形MDEO是矩形，得到MO＝DE＝3m，MD＝OE＝xcm，CM＝（7﹣x）cm，由勾股定理得到（7﹣x）2+32＝x2+42，求出x＝3，得到OE＝3，由勾股定理求出OB＝5（m），得到NE＝ON+OE＝8（m），即可得到答案． 【解答】解：（1）∵OE⊥AB于点E， ∴AE＝BEAB8＝4（m）， ∴DE＝AE﹣AD＝4﹣1＝3（m）； （2）过O作OM⊥CD于M，连接OC，OB，延长NO交圆于N， ∴N是的中点， ∴公路隧道轮廓的最大高度是NE的长， 设OE＝xcm， ∵CD⊥AB，OE⊥AB， ∴∠OMD＝∠MDE＝∠OED＝90°， ∴四边形MDEO是矩形， ∴MO＝DE＝3m，MD＝OE＝xcm， ∴CM＝（7﹣x）cm， 由勾股定理得到：CM2+OM2＝OE2+BE2， ∴（7﹣x）2+32＝x2+42， ∴x＝3， ∴OE＝3， ∴OB5（m）， ∴ON＝OB＝5m， ∴NE＝ON+OE＝8（m）， ∴公路隧道轮廓的最大高度是8m． 【变式8-2】“美丽乡村”的建设行动，让我们的家园拥有了靓丽的风景．如图1，是某乡村一角的草坪，草坪是由一块弓形草地和一块三角形草地组成．为了更科学地管理草坪，现需要给草坪装上自动喷灌装置，并且用喷灌龙头浇水时，既要保证草坪的每个角落都能浇上水，又能最大化的节约水，于是选择了一种转角在0°～180°内（含180°）可以自由设定（按设定的转角可以往复转动喷灌）、射程长短也可以自主设定的喷灌龙头．如图2，已知弓形高DE＝6米，弓形宽AB＝24米．△ABC的边BC＝12米，AC＝12米．若经测算，将喷灌龙头安装在△ABC的顶点C时为最优方案，则： （1）喷灌龙头的最小转角应设置为　90　 度； （2）喷灌龙头的最短射程应设置为　7　 米． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据垂径定理以及解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB＝24米，BC＝12米，AC＝12米， ∴BC2+AC2＝122+（12）2＝576＝242＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴喷灌龙头的最小转角应设置为90°； （2）如图3，作射线ED交AC于点M ∵AD＝DB，ED⊥AB，是劣弧， ∴所在圆的圆心在射线DC上， 假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA＝r，OD＝r﹣6，ADAB＝12， 在Rt△AOD中，r2＝122+（r﹣6）2， 解得：r＝7， ∴OD， 过点C作CN⊥AB，垂足为N， ∵∠ACB＝90°，AB＝24，BC＝12， ∴sin∠BAC， ∴∠BAC＝30°， ∴CNAC＝6，AN＝18，BN＝6， ∴DMAD＝4， ∴OD＜MD， ∴点O在△ACB内部， ∴连接CO并延长交于点F，则CF为草坪上的点到C点的最大距离， ∵在上任取一点异于点F的点G，连接GO，GC， ∴CF＝OC+OF＝OC+OG＞CG， 即CF＞CG， 过O作OH⊥CN，垂足为H，则OH＝DN＝6，CH＝65， ∴OC， ∴CF＝OC+r＝7（米）， 答：喷灌龙头的射程至少为（7）米， 故答案为：（1）90；（2）7． 【变式8-3】（2026春•莱西市期中）如图1，校园中有两面互相垂直的围墙，在美化校园的活动中，学校想借助围墙（两边足够长），用10m长的篱笆围成一个小花园． 小明设计了两种方案： 方案一：如图2，围成矩形花园AEDF，DE和DF需用篱笆围成； 方案二：如图3，围成一个由以DF为直径的半圆和矩形AEDF两部分构成的花园，半圆（实线部分）和DE需用篱笆围成． （1）方案一围成的花园面积能否达到25m2？若能求出DE的长；若不能说明理由； （2）方案二围成的花园面积能否达到25m2？若能求出DE的长；若不能说明理由． 【分析】（1）设DE的长为xm，根据已知数据得到矩形花园的DF的长，再运用矩形的面积公式，得出关于x的方程，解方程即可； （2）首先，设DE的长为ym，根据题意用含y的式子表示出半圆的直径，然后，根据花园的面积等于矩形AEDF的面积+半圆的面积＝25，列出关于y的一元二次方程，再化为一般式，最后，根据判别式判断根的情况即可得出结论． 【解答】解：（1）能，设DE的长为xm． ∵用10m长的篱笆围成一个小花园， ∴x（10﹣x）＝25，即x2﹣10x+25＝0． 解得x1＝x2＝5． ∴DE的长为5m； （2）不能，理由如下： 设DE的长为ym． 根据题意，得， 即3y2﹣20y+50π﹣100＝0． Δ＝（﹣20）2﹣4×3×（50π﹣100）＝1600﹣600π＜0， ∴方程无实数根， ∴不能． 【变式8-4】（2025•江阴市二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离L＝40m，弓形的高度S＝10m． （1）计算桥拱圆弧所在圆的半径； （2）图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，AB为船身宽，为保证安全，点A、B与其正上方拱桥线上的对应点E、F的距离均应不小于2m．某日，测得拱顶C点高出水面15m．现有一艘货轮露出水面部分的高度为13.2m，AB＝14m．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降0.1m，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【分析】（1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点O，连接OM、OQ，利用垂径定理可得，设OQ＝OM＝xm，在Rt△OPM中利用勾股定理列出方程，解出x的值即可解答； （2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点O，连接OE、EF，连接OC交EF于点G，由题意得四边形ABFE是矩形，则有EF＝AB＝14m，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出OG的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过12m，再结合货轮露出水面部分的实际高度13.2m，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可． 【解答】解：（1）如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点O，连接OM、OQ， 由条件可知， 设OQ＝OM＝xm，则OP＝OQ﹣PQ＝（x﹣10）m， ∵在Rt△OPM中，（x﹣10）2+202＝x2， 解得：x＝25， ∴桥拱圆弧所在圆的半径为25m． （2）如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点O，连接OE、EF，连接OC交EF于点G， 由题意得，四边形ABFE是矩形， ∴EF＝AB＝14m， 由条件可知， 由（1）得，OE＝OC＝25m， ∴OG24（m）， ∴CG＝OC﹣OG＝25﹣24＝1m， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过15﹣1﹣2＝12m， ∵13.2＞12， ∴需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． ▌题型04 与圆的对称性有关的作图 一、作图核心原理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对两段弧；推论：平分一条非直径弦的直线，过圆心且垂直这条弦。作图本质：作弦的垂直平分线，垂直平分线必经过圆心，所有相关作图都围绕 “弦的中垂线” 展开。 二、通用作图万能思路（三步法） 1. 找弦：在圆弧 / 圆上任意取两个点，两点连线即为弦； 2. 作垂直平分线：分别以弦两端点为圆心，大于弦长一半为半径画弧，上下各交出两个交点，连接两交点得到直线； 3. 利用中垂线作图：这条直线就是过圆心、垂直弦、平分弦、平分弧的直线，结合需求完成画图。 【典例9】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点． （1）实践与操作：在上求作点P，使得P为的中点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）推理与计算：在（1）的条件下，连接AP，AC，若，AC＝6，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据角平分线作法作出图形即可； （2）设OP与AC交于H，根据垂径定理得到OP⊥AC，AHAC，根据勾股定理得到PH1，设OA＝OP＝r，则OH＝r﹣1，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示，点P即为所求； （2）设OP与AC交于H， ∵P为的中点， ∴， ∴OP⊥AC，AHAC， ∴PH1， 设OA＝OP＝r，则OH＝r﹣1， ∵AO2＝AH2+OH2， ∴r2＝32+（r﹣1）2， 解得r＝5， ∴⊙O的半径为5． 【变式9-1】（2024秋•新吴区期中）如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP＝5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有 　4　 条． 【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可； （2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB＝24，即可得出答案； ②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论． 【解答】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP， 则弦AB即为所求； （2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短， 连接OA，如图2所示： ∵OP⊥AB， ∴AP＝BP12， ∴AB＝2AP＝24， ∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26； ②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24， ∴长度为25的弦有两条， ∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条， 故答案为：4． 【变式9-2】（2024秋•泸州期末）如图所示的拱桥，用表示桥拱． （1）若所在圆的圆心为O，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图 痕迹） （2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m，拱高（的中点到弦AB的距离）为4m，求拱桥的半径R． 【分析】（1）作弦AB的垂直平分线，交于G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，则点O即为所求作的圆心； （2）首先连接OA，由（1）可得：△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH＝4，即可求得AH的长，然后在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2，即可求得拱桥的半径R． 【解答】解：（1）作弦AB的垂直平分线，交于G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，则点O即为所求作的圆心．（如图1）（2分） （2）连接OA．（如图2） 由（1）中的作图可知：△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH＝4， ∴AHAB＝8．（3分） ∵GH＝4， ∴OH＝R﹣4． 在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2， ∴R2＝82+（R﹣4）2．（4分） 解得：R＝10．（5分） ∴拱桥的半径R为10m． ▌题型05 利用圆的对称性求最值 一、核心定理 1. 直径是圆中最长的弦； 2. 圆心到弦距离越远，弦越短，距离越近，弦越长； 3. 点圆最值：定点到圆心距离d，圆半径R，最值为d±R。 二、最值模型 1. 过圆内定点的弦的最值 已知：⊙O半径R，圆内定点P，OP=d 最长弦：过P的直径，长度=2R； 最短弦：过P且垂直OP的弦，长度=。 2. 圆上动点到定点距离最值 最大值：定点与圆心连线延长线与圆交点，距离=d+R； 最小值：定点与圆心连线线段与圆交点，距离=|d−R|。 3. 圆上动点到定直线距离最值 圆心到直线距离h，最大距离=h+R，最小距离=|h−R|。 【典例10】如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD＝4时， 求：（1）AP+BP的最小值． （2）AP﹣BP的最大值． 【分析】（1）本题是要在CD上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P．此时PA+PB＝A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果． （2）连接AO，BO，AB，过点A作AN⊥OB，利用AP﹣BP最大值＝AB求出即可． 【解答】解：（1）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，则PA+PB最小， 连接OA′，AA′． ∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，PA＝PA′， ∵点B是弧AD的中点， ∴∠BOD＝30°， ∴∠A′OB＝∠A′OD+∠BOD＝90°， 又∵OA＝OA′＝2， ∴A′B＝2． ∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝2． （2）连接AO，BO，AB，过点A作AN⊥OB， ∵CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，CD＝4， ∴∠AOB＝30°，ANAO＝1， ∴ON，BN＝2， ∴AP﹣BP最大值＝AB． 【变式10-1】如图1为某酒店的圆形旋转门，可看成如图2由外围的⊙O和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道弧AB和弧CD，且它们关于圆心O中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心O转动，且所成的夹角∠EOF＝∠FOG＝∠GOE＝120°，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图2位置时，大厅内外空气被隔风玻璃OF，OG隔离．则通道弧AB所对圆心角的度数的最大值为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【分析】根据题意∠AOC与∠BOD的最小值为120°，则∠AOB与∠COD最大值的和为120°，进而求得∠AOB＝∠COD的最大值为60°． 【解答】解：∵∠EOF＝∠FOG＝∠GOE＝120°， ∴∠AOC与∠BOD的最小值为120°， ∴∠AOB与∠COD最大值的和为120°， ∵弧AB和弧CD关于圆心O中心对称， ∴， ∴∠AOB＝∠COD的最大值为60°， 故选：B． 【变式10-2】（2026•金水区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆分别与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，线段CF⊥AE于点F，线段FG长度的最小值为　22　 ，最大值为　22　 ． 【分析】过G作GM⊥AC于M，连接AG．由∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，当点F′在GM的延长线上时，F′G的长最大，最大值＝F′M+MG． 【解答】解：过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示： ∵GO⊥AB， ∴OA＝OB， ∵G（0，2）， ∴OG＝2， 在Rt△AGO中，AG＝4，OG＝2， ∴AG＝2OG，OA2， ∴∠GAO＝30°，AB＝2OA＝4， ∴∠AGO＝60°， ∵GC＝GA＝4， ∴∠GCA＝∠GAC， ∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC， ∴∠GCA＝∠GAC＝30°， ∴AC＝2OA＝4，MGCG＝2， ∵∠AFC＝90°， ∴点F在以AC为直径的⊙M上， 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝22， 当点F′在GM的延长线上时，F′G的长最大，最大值＝F′M+MG＝22， 故答案为：；． 【变式10-3】（2025秋•龙岩期末）如图，⊙O的直径CD⊥AB，垂足为N，CD＝8，ON＝2，点P是⊙O上的动点（不与A，C两点重合），CM⊥AP，垂足为M，点P在运动过程中线段OM的最小值为　　 ． 【分析】由CM⊥AP可判断点M的轨迹是以AC为直径的圆弧，则当G、O、M三点共线时，OM最短．根据垂径定理和勾股定理计算出GM和GO，作差即可． 【解答】解：如图，连接AO，AC，以AC为直径作⊙G， ∵CM⊥AP， ∴∠AMC＝90°， ∴点M在⊙G上， ∴当G、O、M三点共线时，OM最短． ∵CD＝8， ∴OC＝AO＝4， ∵CD⊥AB， ∴∠ANC＝90°， 在Rt△OAN中，， ∵ON＝2， ∴CN＝OC+ON＝6， 在Rt△ACN中，， ∵点G为AC中点， ∴OG⊥AC，， 在Rt△CGO中，， ∴点P在运动过程中线段OM的最小值为． 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $