2.2 一元二次方程的解法 第2课时（教学课件） 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，通过抢答完全平方式复习旧知，衔接二次项系数为1的解法，搭建从已有知识到新知的学习支架，帮助学生逐步理解转化过程。 其亮点在于以数学思维为核心，通过“化1、移项、配方、开方、求解”五步法培养逻辑推理能力，结合小球高度问题等实例，用数学眼光观察现实世界，通过多项式证明、三角形形状判断等探究活动发展创新意识。学生能提升运算与应用能力，教师可借助清晰步骤和丰富实例提高教学效率。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第2课时 学 习 目 标 1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;（重点） 2.能够熟练地利用配方法解一元二次方程及解决有关问题.（难点） 3.在合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣. 将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答). 1. x2+2x+________= (x +______)2 抢答！ 12 1 2. x2+________+36 = (x +______)2 12x 6 3. x2 + 10x +________= (x +______)2 52 5 4. x2-x+________= (x -______)2 复习导入 配方法 移项，得 x2－6x = 40 方程两边都加上 32 （一次项系数一半的平方），得 x2－6x + 32 = 40 + 32 即 (x－3)2 = 49 开平方，得 x－3 = ±7 即 x－3 = 7 或 x－3 =－7 所以 x1 = 10，x2 = -4 x2－6x－40 = 0 新知探究 探究一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0. 解：方程两边同时除以3,得 x2 + 6x + 8 = 0 . 移项，得 x2 + 6x = -8 , 配方, 得 （x + 3）2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2 , x2= -4 . 二次项系数化为1 新知探究 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 知识归纳 基本思路：在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系数化为1后，再根据配方法步骤进行求解. 探究新知 x2－6x－40 = 0 思考 观察下面两个是一元二次方程的联系和区别： 3x2－18x－120 = 0 当方程的二次项系数不为 1 时，应该如何用配方法解方程？ 二次项系数不为 1 3x2－18x－120 = 3(x2－6x－40) 两边都除以 3 例2 解方程： 3x2 + 8x – 3 = 0。 解：方程两边都除以 3，得 配方，得 将二次项系数化为1 即 新知探究 解：两边同除以3,得 x2 +x - 1=0. 配方,得 x2 +x + () 2 - ()2 - 1 = 0, 即 （x +）2 -=0. 移项,得 （x +）2 -=0 两边开平方，得 x +=±, 即 x += 或 x +=. 所以 x1=, x2 = -3 . 1.解方程： 3x2 + 8x -3 = 0. 新知探究 用配方法解一元二次方程的步骤： 知识归纳 ①化：二次项系数化为1； ②移项：将常数项移到右边，含未知数的项移到左边； ③配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为( x + m) 2 = n的形式； ④开方：若方程右边为负数，则方程没有实数根，若方程右边为非负数，就可以左右两边开平方得x + m =； ⑤求解：解两个一元一次方程，得方程的解为x=. 两边开平方，得 所以 例2 解方程： 3x2 + 8x – 3 = 0。 即 移项，得 一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (单位：m)与时间 t (单位：s)满足关系：h=15t - 5t2. 小球何时能达到10m高？ 新知探究 探究二：配方法的应用 解：根据题意，得 15t - 5t2 =10. 两边同除以-5,得 t2 - 3t = -2, 配方,得 t2 - 3t + ()2= ()2 - 2, 即 （t -）2 = ∴ t -= . ∴ t1= 2 , t2 = 1 . ∴在1s时小球上升到10m处，至最高点后下落，在或2s时，小球的高度又为10m. (1)你是怎么解决这个问题的? 新知探究 (2)你认为用配方法解一元二次方程时，要注意哪些方面?与同伴进行 交流。 ①配方前把二次项系数化为1; ②配方时方程左右两边要同时加上一次项系数一半的平方. 另外，在解决实际问题时，还要注意判断求得的结果是否合理。 思考·交流 （1）一个小球从地面以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度 h（单位：m）与运动的时间 t（单位：s）满足关系： 小球何时能达到 10 m 高？你是怎么解决这个问题的？ h = 15t－5t2。 解：将 h = 10 代入方程中， 15t－5t2 = 10， 方程两边同时除以－5，得 t2－3t =－2， 配方，得 即 两边开平方，得 即 所以 t1 = 2，t2 = 1。 新知探究 证明：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 ∵（k－2）2≥0， ∴（k－2）2＋1≥1. ∴k2－4k＋5的值必定大于零. 试用配方法证明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零. 典例分析 若a,b,c为△ABC的三边长,且 试判断△ABC的形状. 例2 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 ∴=3，=4，=5, ∴, ∴△ABC为直角三角形. 请你描述一下，在做一做中 t 有两个值，它们所在时刻小球的运动状态。 t = 1 时，小球向上运动， t = 2 时，小球向下运动。 小球何时能达到 10 m 高？你是怎么解决这个问题的？ 当 t = 1 或 2 时，小球达到 10 m。 h = 15t－5t2 小球何时能达到 10 m 高？你是怎么解决这个问题的？ h = 15t－5t2 因为 ≥ 0 ，－5 < 0， 所以 ≤ 0 ， 当 时，h 有最大值，为 。 巩固练习 3.若9x2 -ax +4是一个完全平方式，则a等于（ ） A. 12 B. -12 C. 12或-12 D. 6或-6 C C D 巩固练习 5.“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：x2+4x+5=x2+4x+22−22+5=x2+4x+22−22+5=(x+2)2+1． ∵(x+2)2≥0， ∴(x+2)2+1≥1，即x2+4x+5≥1， ∴x2+4x+5的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式−x2−6x+4的最值，下列说法正确的是（    ） A．最大值为13 B．最大值为−5 C．最小值为13 D．最小值为−5 A 4.已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2−10a+b2−16b+89=0，则这个三角形的最大边c的取值范围是（ ） A．c>8 B．5<c<8 C．8<c<13 D．5<c<13 C 思考·交流 （2）你认为用配方法解一元二次方程时，要注意哪些方面？与同伴进行交流。 移项时需注意改变符号， 配方后常数值要随之变化，能让展开后的式子可以还原成原式。 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程步骤： 二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数 课堂小结 移项：常数项移到方程右边 配方：左右同时加上一次项系数一半的平方 开方：转化成一元一次方程 解方程：解一元一次方程 课堂小结 一元二次方程的解法-第2课时 ①化：二次项系数化为1； ②移项：将常数项移到右边,含未知数的项移到左边； 配方法的步骤 ③配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为( x + m) 2 = n的形式; 应用 求代数式的最值或证明等. ⑤求解：解两个一元一次方程,得方程的解为x=. ④开方：若方程右边为负数,则方程没有实数根,若方程右边为非负数,就可以左右两边开平方得x + m =； EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $