1.1集合的表示同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础全面练”与“综合应用练”分层设计，覆盖集合表示核心知识点，从概念辨析到综合应用，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|集合表示方法（列举法、描述法）、元素与集合关系、集合相等|题型含选择（多选）、填空、解答，如第1题辨析集合元素性质，第7题实现列举法与描述法转换，夯实概念理解| |综合应用练|含参数集合、集合与函数图像、集合与方程综合|题型涉及多选、填空、解答，如第13题分析集合整数解参数范围，第15题探究含参数方程的集合元素个数，深化逻辑推理与数学建模|

二　集合的表示 (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)下列命题中正确的是 (　　) A.集合{x∈N|x2=1}中有两个元素 B.集合{0}中没有元素 C.集合{x|x<2}可以用列举法表示 D.{1,2}与{(1,2)}不是相等集合 2.(5分)(2026·延庆高一检测)方程x2-5x-6=0的解集为 (　　) A.x=-1或x=6　　 B.{-1,6} C.{-2,-3}　　 D.{1,-6} 3.(5分)(2026·辽阳高一检测)若2∈{a2+1,2a},则a= (　　) A.-1 B.1 C.-1或1 D.-1或2 4.(5分)用描述法表示如图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是 (　　) A.{-2≤x≤0,且-2≤y≤0} B.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0} C.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y<0} D.{(x,y)|-2≤x≤0,或-2≤y≤0} 5.(5分)(多选)下列集合中表示相等集合的是 (　　) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={x|x>2},N={t|t>2} 6.(5分)(多选)已知集合A={x∈N|x<6},则下列关系式成立的是 (　　) A.0∈A B.1.5∉A C.-1∉A D.6∈A 7.(5分)由大于-1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为　　,用描述法表示为　　.  8.(5分)设-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2+ax+3=0}=　　.  9.(5分)用列举法表示集合D={(x,y),x∈N,y∈N|y=-x2+8}为　　.  10.(10分)用适当的方法表示下列集合: (1)大于-1且小于10的偶数组成的集合; (2)方程x(x-1)(x2-x-2)=0的所有实数根组成的集合; (3)被3除余2的正整数组成的集合; (4)将抛物线y=x2沿y轴向下平移1个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合. 【综合应用练】 11.(5分)集合{(x,y)|y=2x-1}表示 (　　) A.方程y=2x-1 B.点(x,y) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.一次函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合 12.(5分)(多选)(2026·重庆高一检测)设A={x|x=3m+1,m∈Z},B={x|x=3n+2,n∈Z},则 (　　) A.若a,b∈A,则a+b∈A B.若a,b∈A,则a+b∈B C.若a,b∈B,则ab∈A D.若a,b∈B,则ab∈B 13.(5分)已知集合A={x|a≤x≤2-a}(a∈R)中仅有3个整数,则a的取值范围为　　.  14.(10分)设集合B={x∈N|∈N}. (1)试判断元素1和2与集合B的关系; (2)用列举法表示集合B. 15.(10分)(2025·贺州高一检测)已知集合A={x∈R|(a-1)x2-2x+1=0},a为实数. (1)若集合A中有2个元素,求实数a的取值范围; (2)若集合A是单元素集,求实数a的值. 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)下列命题中正确的是 (　　) A.集合{x∈N|x2=1}中有两个元素 B.集合{0}中没有元素 C.集合{x|x<2}可以用列举法表示 D.{1,2}与{(1,2)}不是相等集合 【解析】选D.{x∈N|x2=1}={1},只有一个元素; 集合{0}是单元素集,有一个元素,这个元素是0; {x|x<2}表示小于2的所有实数,不能用列举法表示;集合{1,2}是数集,{(1,2)}是点集,不相等. 2.(5分)(2026·延庆高一检测)方程x2-5x-6=0的解集为 (　　) A.x=-1或x=6　　 B.{-1,6} C.{-2,-3}　　 D.{1,-6} 【解析】选B.方程x2-5x-6=0可化为(x-6)(x+1)=0,所以x=-1或x=6, 所以方程x2-5x-6=0的解集为{-1,6}. 3.(5分)(2026·辽阳高一检测)若2∈{a2+1,2a},则a= (　　) A.-1 B.1 C.-1或1 D.-1或2 【解析】选A.若2a=2,则a=1,a2+1=2,不满足互异性; 若a2+1=2,则a=1(舍去)或a=-1,则2a=-2,满足互异性. 4.(5分)用描述法表示如图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是 (　　) A.{-2≤x≤0,且-2≤y≤0} B.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0} C.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y<0} D.{(x,y)|-2≤x≤0,或-2≤y≤0} 【解析】选B.由题图可知,阴影部分的点的横坐标满足-2≤x≤0,纵坐标满足-2≤y≤0,所以所表示的集合为{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}. 5.(5分)(多选)下列集合中表示相等集合的是 (　　) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={x|x>2},N={t|t>2} 【解析】选BD.选项A中的集合M是由点(3,2)组成的点集,集合N是由点(2,3)组成的点集,故M与N不是相等集合; 选项C中的集合M是由一次函数y=1-x图象上的所有点组成的集合,集合N是由一次函数y=1-x图象上的所有点的纵坐标组成的集合,故M与N不是相等集合; 选项B,D中的集合M与N是同一个集合. 6.(5分)(多选)已知集合A={x∈N|x<6},则下列关系式成立的是 (　　) A.0∈A B.1.5∉A C.-1∉A D.6∈A 【解析】选ABC.因为A={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5},所以6∉A,故D不成立,其余都成立. 7.(5分)由大于-1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为　{0,1,2,3,4}　,用描述法表示为　{x∈N|-1<x<5}　.  【解析】大于-1小于5的自然数有0,1,2,3,4, 故用列举法表示集合为{0,1,2,3,4},用描述法表示可用x表示代表元素,其满足的条件是x∈N且-1<x<5,所以集合表示为{x∈N|-1<x<5}. 8.(5分)设-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2+ax+3=0}=　{1,3}　.  【解析】由题意知-5是方程x2-ax-5=0的一个根,所以(-5)2+5a-5=0,得a=-4, 所以方程x2+ax+3=0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3, 所以{x|x2-4x+3=0}={1,3}. 9.(5分)用列举法表示集合D={(x,y),x∈N,y∈N|y=-x2+8}为　{(0,8),(1,7),(2,4)}　.  【解析】由已知得集合D为点集,结合元素的条件可知答案只有三组,列举可得答案. 10.(10分)用适当的方法表示下列集合: (1)大于-1且小于10的偶数组成的集合; 【解析】(1)列举法表示为{0,2,4,6,8}; (2)方程x(x-1)(x2-x-2)=0的所有实数根组成的集合; 【解析】(2)由x(x-1)(x2-x-2)=0可得,x=0,1,2,-1,列举法表示为{0,1,2,-1} (3)被3除余2的正整数组成的集合; 【解析】(3)描述法表示为{x|x=3k+2,k∈N} (4)将抛物线y=x2沿y轴向下平移1个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合. 【解析】(4)描述法表示为{(x,y)|y=x2-1} 【综合应用练】 11.(5分)集合{(x,y)|y=2x-1}表示 (　　) A.方程y=2x-1 B.点(x,y) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.一次函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合 【解析】选D.本题中的集合是点集,其表示一次函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合. 12.(5分)(多选)(2026·重庆高一检测)设A={x|x=3m+1,m∈Z},B={x|x=3n+2,n∈Z},则 (　　) A.若a,b∈A,则a+b∈A B.若a,b∈A,则a+b∈B C.若a,b∈B,则ab∈A D.若a,b∈B,则ab∈B 【解析】选BC.若a,b∈A,设a=3m1+1,b=3m2+1,m1,m2∈Z,则a+b=3(m1+m2)+2, 因为m1+m2∈Z,所以a+b∈B,故A错误,B正确; 若a,b∈B,设a=3n1+2,b=3n2+2,n1,n2∈Z, 则ab=(3n1+2)(3n2+2)=9n1n2+6n1+6n2+4=3(3n1n2+2n1+2n2+1)+1, 因为3n1n2+2n1+2n2+1∈Z,所以ab∈A,故C正确,D错误. 13.(5分)已知集合A={x|a≤x≤2-a}(a∈R)中仅有3个整数,则a的取值范围为　{a|-1<a≤0}　.  【解析】因为=1,所以在数轴上集合A的端点关于点1对称,从而A中的三个整数为0,1,2,所以-1<a≤0,且2≤2-a<3,解得-1<a≤0. 14.(10分)设集合B={x∈N|∈N}. (1)试判断元素1和2与集合B的关系; 【解析】(1)当x=1时,=2∈N; 当x=2时,∉N,所以1∈B,2∉B. (2)用列举法表示集合B. 【解析】(2)因为∈N,x∈N, 所以2+x只能取2,3,6,所以x只能取0,1,4,所以B={0,1,4}. 15.(10分)(2025·贺州高一检测)已知集合A={x∈R|(a-1)x2-2x+1=0},a为实数. (1)若集合A中有2个元素,求实数a的取值范围; 【解析】(1)若A中有2个元素,则 解得a<2且a≠1. 所以实数a的取值范围为{a|a<2且a≠1}. (2)若集合A是单元素集,求实数a的值. 【解析】(2)若集合A是单元素集,则 ①当a-1=0,即a=1时,A={x∈R|-2x+1=0}={,满足题意; ②当a-1≠0,即a≠1时,Δ=(-2)2-4(a-1)=0,解得a=2, 此时A={x∈R|x2-2x+1=0}={1}. 所以a=1或a=2. 学科网（北京）股份有限公司 $