作业十三 数列的应用、分期还款与数列、政府支出的“乘数”效应与数列-【新课程暑假作业】2026年高二数学暑假作业

高二数学 第 周 年 日 作业十三 作业内容 作业内容 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 复习选择性必修三教材第45一49页：数列的应用、分期还款与数列、政府支出的“乘 数”效应与数列 实基础 夯实基础 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■口 1.(分期还款与数列，教材第45页)现存入银行8万元，年利率为1.50%，若采用1年 期自动转存业务，则5年末的本利和共有() 能力提升 A.8×1.0153万元 B.8×1.0154万元 C.8×1.0155万元 D.8×1.0156万元 思 2.(数列的应用，教材第48页)某单位制作了一个热气球用于广告宣传.已知热气球在 维拓展 第一分钟内能上升30m,以后每分钟上升的高度都是前一分钟的2，则该气球上升到70m 至少要经过( A.3 min B.4 min C.5 min D.6min 3.(数列的应用，教材第48页)根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的个月内 累计的需求量8.（单位：万件）大约是S=号(21n--5)=l,2,,12).据此预测，本 年度内，需求量超过5万件的月份是() A.5月、6月 B.6月、7月 C.7月、8月 D.8月、9月 4.(数列的应用，教材第48页)《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书 中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿.欲以爵 次分之，问各得几何”其大意是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪裹、上造、公士的五 个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数 依次成等差数列)，问各得多少鹿”已知上造分得号只鹿，则公士所得鹿数为（） A.1只 B号只 c. D.只 5.（数列的应用，教材第49到)已知明数)=+3n}+号，数列似满足a203· 则fa)+fa)+…+f(am)=（ A.2022 B.2023 C.4044 D.4046 37 新课程作业 第 周 年月 日 6.(数列的应用，教材第49页)（多选题）已知数列{am}的前n项和为Sm,且a=1, nS,=nSita,+I a≥2)，若S号，则正整数m的值可以为(） A.6 B.7 C.8 D.9 7.(数列的应用，教材第48页)某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每 年按10%的速度折旧，若他打算用满4年后卖掉这辆车，则他能得到 元 能力提升 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 8.已知数列{a}是公差为1的等差数列，且a,a,成等比数列. (1)求数列{a}的通项公式； (2)记b=a+3-1,求数列{bJ的前n项和Tn 9.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每 件获利a元的前提下，可卖出b件：若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为(n-1)千 元时多卖出b(neN)件. (1)试写出销售量Sn与n的函数关系式： (2)当a=10,b=4000时，厂家应该生产多少件产品、做几千元的广告，才能获利最大？ 高二数学 第 周 年月 日 10.已知数列{a满足a1=a+1(n∈N),且a2=2. (1)若数列{b满足b1=1,b1=b+2a-1,求数列{b的通项公式： (2)求数列{a,·3}的前n项和Sn 作业内容 实基础 能力提升 思维拓展 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 新定义数列 思维拓展 定义新性质（如“速增数列”“受限数列”）、新运算（如行列式定义、生成数列）问 题，需转化为熟悉的数列问题 方法点拨： (1)紧扣定义：将新定义翻译为数学表达式（如“速增数列”转化为am2a1>a1-a). (2)回归基础：将问题转化为等差、等比数列的通项、前项和问题，或利用单调性、 周期性、有界性分析」 (3)特殊值验证：通过前3一5项的计算，发现规律（如周期性、单调性），辅助解题 1l.对于数列{a,记△a=a1-a,neN,称数列{△a为数列{a的差分数列. (1)已知a,=n2+n+1,证明：{a}的差分数列为等差数列； (2)已知{a}的差分数列为 2m+2+1,=l,求a的通项公式. n2tn 【分析】(1)根据定义可求△a,再利用定义法可证{a}的差分数列为等差数列： (2)利用累加法可求{a}的通项公式 39新课程假作业 则数列{a}是首项为4、公差为1的等差数列，∴.a=4+(n-1)×1=n+3. 令n(4+n+3)≥75+6m,整理，得n2-5m-150≥0，解得n≥15或n≤-10. 2 又.n是正整数，则n≥15. 当≥16时，处理后的废水排放量大于新产生的6t废水，.不会有废水存积， 故该厂在2026年9月底第一次将废水池中的废水排放完毕。 (2)设从2025年7月起第n个月深度净化的废水量为b。t, 由已知条件，b1=b2==b=0,当n≥7时，数列{b是首项为5、公比为1.2的等比数列， 则数列6」的前n项和T=51-12=25(1261), 1-1.2 而从2025年7月起第n个月的废水存量为75+6×m-(4+5+6+7+8+9)=36+6n. 当n=16时，T16=25x(1.20-1)≈129.79<36+6×16=132， 当n=17时，T1=25×(1.2-1)≈160.75>36+6×17=138， .2026年的11月开始，废水池中的废水能全部被深度净化. 10.(1)证明：由题可得，2"a+1=2x2-a-1,2"a1-1=2x(2ra-1). 又a=3,则2°a-1=2,则2-a,-1≠0，故数列{2-a,-1}是首项为2、公比为2的等比数列. 2)解：由0知2a-122,a-岁-24 2+2++1 ,S=a+a+ta,=2+1+1+1+ 32m+22m+2 11 2 B)江明：由2知，82r2.则bS+2nt1.a2ia 111 1 n(n+),则c1=1_L 令c=1 n(n+1)nn+1’ 的商n项和为1号+分日女中1中中 nn+1n+1n+1 1 11 令p,a++2,则pHn+2)n中2 1 的前a项和为宁甘+兮叶1应方品 n22n222)2+2cTK n+1 N22产合，当al时等号度，因名1合7 n n 作业十三 1.C2.B3.C4.C5.A6.CD 7.65610 8.解：(1)设等差数列的通项公式为a=tn-1, a1,a,成等比数列，(a+2)2=a(a+8),解得4=l,.a,=n (2)由题意，得b,=+3,T=(1+2+3++n)+(39+34+3-=n(+D+3-1 2 2 9解：（①设品表示广告费为0元时的销售量，由题意知S-S会，，S-5会 b ，S1-S= 由叠加法可得=+乡+会+…+多=6： 6二2，-=b2-. (2)设当a=10,b=4000时，获利为T,元. 96 高二数学 由题意知，T=10S.-1000m=400002-1 2 -1000m, 欲使7最大，则≥·即2≥20 'lTn≥T, 易知n=5,此时S=7875. 12"≤40， 作业内容 10.解：(1)由a+1=a+1知数列{a}是公差为1的等差数列， 故a=atd=2,∴.m=l,:.a=n,∴.bn=b+2n-1, h.-b=1+3+5++2n-3=m-1)(1+2n-3,n≥2. 2 h=1+-1)+2m-3）=1+m-1)2n2-2n+2,n≥2. 2 实基础 又b=1满足上式，b=n2-2n+2. (2)）由(1)可得a3=n…3,.S=1x3+2x32+3×3+…+nx3”①， 3S=1×32+2×33+3x344…+nx3m1②， ①-②得-2S,=1×3+1×32+1×33+.+1×3-nx3 能力提升 -2S=31-32-nx3,S=2n-l)343 1-3 4 11.(1)证明：△a=(n+1)2+(n+1)+1-(n2+n+1)=2n+2,其中n≥1， 故△aw-△an1=2,故{a}的差分数列为等差数列. (2)解：由题设有a4-=2+2+1-241_1 n'+n nn+l' 思维拓展 故a-4=2+1-1(m≥2)，由累加法可得4-4=2m-1)+1- n-1 n n 而a-l,a-1+2(n-1)+1-1-2n-L,而4=1也满足该式，故a=2n- n n 作业十四 1.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.ABCD &689}4 10.解：(1)由题意得(a+d)(a+13d)=(a+4d)2,整理得2ad=d d0,a=l,:.d=2,∴a=at(n-1)d=2n-1(neN). (2)由（①）知6，=na+52n+2nn本 1 1111} 8b+…6--号分号r+日中小-2 11.解：(1)设数列{a}的公比为g,数列{bJ的公差为d. 由a=2,a+=6,得a=4,q=2-2..a=g-2 由2ra=b,得26+8brd.解得，h=b+n-1d3n-2 1S=3a2, 3b1+3d=12, d=3. （2)由)）知a-2,6=3n-2,ca=4-28 数刻的前项和T8阳-号(-). 12.解：(1)由点(a,S)都在函数fx)=2-2的图象上，可得S=2a,-2① 当n=1时，a=S1=2a-2,解得am=2: 当n≥2时，由Sm=2a-2得S=2ar-2②， ①-②，得a=S-Sn-=2a,-2-2a-1+2,即a=2a. 又a=2≠0，：.数列{a是首项为2、公比为2的等比数列..a=2,neN (2)由《（①）知b=(2n-1)a,=(2n-1)2",则T=1x2+3x2+5x2++(2n-1)×2, 2T=1×22+3×2+.+(2n-3)×2+(2n-1)×21,两式相减可得 97