2026年高二数学秋季开学学情自测卷02（浙江专用，测试范围：人教A版必修一+必修二）

**基本信息** 聚焦必修知识，融合AI算法、教改实践等真实情境，梯度设计检测数学抽象、逻辑推理与数据建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、百分位数、空间线面关系|第5题以AI准确率提升为背景，考查函数模型应用| |多选|3/18|向量运算、复数几何意义、立体几何动态问题|第11题结合直三棱柱直观图，考查空间轨迹与体积| |填空|3/15|三角函数最值、向量数量积、函数零点|第13题以单位圆直径为载体，融合平面几何与向量| |解答|5/77|立体几何折叠、统计概率、解三角形、函数不等式、数论|第16题通过教改实验班成绩分析，考查数据处理与独立性判断；第19题创新设计连续正整数构数问题，检测数学抽象与逻辑推理|

2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][CI[D] 10[A][B][C][D] 11[A[B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13. 14. 请在各题目附瘩题仗内容，灭超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) D E 请在各题目的役务作琴9出黑色矩形边框限定区域的答案无效1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) ◆频率/组距 ◆频率/组距 0.024----------- 0.020 0.016 0.016 0.012 8816 0.008 0.008 0.004.. 888 0708090100110120130140150数学成绩/分 0708090100110120130140150数学成绩/分 非实验班 实验班 请在各题目的密题表或究替·超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ■■■■ ■■■■ 国■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) SOS 请在各题数韵第题顶域：佑氨)超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目数筝2巅内笔，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各数併第项巫倾鹂，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ☑ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2026年秋季高二开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019必修一第一章~必修二第十章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了名同学的第一个解答题的得分，得分为：，，，，，，，，这组数据的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，不共线，且则实数（   ） A． B．1 C． D．2 4．已知，，是空间中三条不同的直线，，为空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，，则 D．若，是异面直线，，，，，则 5．工程师对某种AI图象识别算法模型进行优化，该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数．已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20；当准确率提升倍数时，该算法模型就能达到商用标准．若要想达到商用标准，则数据投喂量至少应为（     ） A． B． C． D． 6．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．签筒中有支外形完全相同的签，签面上分别写有数字．从中不放回地依次随机抽取支签，先后抽得的数字分别记为．若满足，，，则为锐角三角形的概率为（     ） A． B． C． D． 8．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，满足，，则（   ） A． B． C．当时，，同向 D．当时，在上的投影向量为 10．已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．复数在复平面内对应的点位于第二象限 B．若复数，则 C．复数的共轭复数 D．若，则的最小值为 11．直三棱柱中，，底面的直观图如图所示，为棱的中点，为内（含边界）的一动点，下列说法正确的是（   ） A． B．若平面，则四棱锥的体积为定值 C．若在线段上，直线与平面所成角的余弦最大值为 D．若，则的轨迹长度一定大于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的最大值是______． 13．如图，在中，，，，若是以为圆心的单位圆的一条动直径，则的最大值是__________ 14．已知函数的一个零点为，且在上单调递减，则方程在上所有根的和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； 16．（15分）某校积极开展教改活动，将20个水平相近的教学班（每班学生数均相等）分成两组，其中10个班采用全新的教学法，称之为实验班，另外10个班采用原来的教学法，称之为非实验班，通过一个学期的教学实验，为检验新教改的效果，统计了这20个班的数学期末成绩（满分150分），成绩均在内，按，，，，，，，分组，作出如下频率分布直方图： (1)设非实验班、实验班数学平均分分别为，（同一组数据以该组所在区间的中间值作代表），若，则认为非实验班与实验班数学成绩有明显差异，否则，认为非实验班与实验班数学成绩无明显差异．请通过计算说明非实验班与实验班数学成绩是否有明显差异； (2)从实验班数学成绩在区间，，内的学生中，按区间采用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间的概率； (3)若以频率估计概率，从非实验班、实验班各随机抽取一名学生的数学成绩，记事件表示“抽取的两学生的数学成绩均低于120分”，事件表示“抽取的两学生中仅有一人的数学成绩不低于90分”，证明：事件，不相互独立． 17．（15分）海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为，． (1)救援出发时，船距离雷达站的距离为多少？ (2)判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（通过计算说明理由）？ (参考数据) 18．（17分）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 19．（17分）将连续正整数1，2，…，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求． (2)当时，求的表达式． (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值． 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A D C C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12． 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(1)证明：因为，为中点，所以.（3分） 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面.（5分） （2）连接，如图： 中，，，， 所以，（7分） 且， 所以，所以. 又因为,（9分） 由，，，，所以是直角三角形. 故.（11分） 设点到平面的距离为，则.（13分） 16．（1）非实验班数学平均分的近似值为 （2分） 实验班数学平均分的近似值为 （4分） 因为，所以非实验班与实验班数学成绩有明显差异．（5分） （2）因为实验班数学成绩在区间,,内的学生人数之比为． 所以从区间,,内抽取的学生人数分别为2,3,1．（6分） 记数学成绩在区间的2人为,，在区间的3人为,,,在区间的1人为c．     从这6人中随机抽取3人的样本空间 ,共有20个样本点．    （7分） 用事件A表示“抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间”, 则,有10个样本点，    （9分） 故．（10分） （3）证明：从非实验班随机抽取一名学生，该生数学成绩低于120分的概率为0.8，低于90分的概率为0.2；从实验班随机抽取一名学生，该生数学成绩低于120分的概率为0.7，低于90分的概率为0.1． ，    （11分） ，    （12分） 所以，（13分） 又，   （14分） 显然，     故事件，不相互独立．（15分） 17．（1）在中，因为，, 所以,.（3分） 又, 所以由正弦定理可得，即，（6分） 解得,所以A船距离雷达站C的距离为60海里. （7分） （2）在中，根据正弦定理可得,即,（10分） 解得,（11分） 在中，由余弦定理可得,（12分） 解得,（13分） 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而,（14分） 所以能在小时内赶到救援. （15分） 18.（1）因为是奇函数，定义域为，由奇函数性质，（1分） 代入得，（2分） 验证可得，满足奇函数定义，故.（3分） （2）已知，可知是上的增函数. （4分） 当时，的最小值为.（5分） 对任意，存在使， 等价于在上的最小值大于等于在上的最小值.（6分） 令，，则， ，是开口向上的二次函数，对称轴，（8分） 则最小值为，（9分） 令，即实数的取值范围为.（10分） （3）由（1）知，是定义域为的奇函数，得，因此. 将代入得，已知对任意，都有， 不等式两边同乘正数，整理得，（11分） 对系数分类讨论： ①：若，不等式变为，恒成立； 若 ，，不等式变形为，此时右边，而恒成立，不等式恒成立. 因此，当时，解集为.（13分） ②：此时，不等式变形为，由于， 因此右边，而恒成立，不等式无解 因此，当时，解集为空集.（15分） ③：此时，不等式变形为，此时， 对不等式两边以3为底取对数得. 因此，当时，解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为.（17分） 19．（1）当时，，（1分） 即这个数中共有个数字，其中数字的个数为，（3分） 则恰好取到的概率为；（4分） （2）当时，这个数有位数组成，；（5分） 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，则；（6分） 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，；（7分） 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，个四位数组成，；（8分） 综上所述：.（10分） （3）由集合的定义，只需考虑． 当时，数字0和数字9都没有出现，所以，从而． 当时，，所以，即． 当时，设，其中，． 从1写到时，个位上的0出现在10，20，…，中，共有个，因此． 个位上的9在不超过的数中出现次；当且仅当时，数又增加一个个位数字9． 在此范围内十位尚未出现9，所以．（12分） 于是当且仅当，即． 当时，设，其中． 此时数字0的个数为． 个位数字9在9，19，…，89中出现9次，十位数字9在90，91，…，中出现次， 所以，从而． 因此只有时，即． 当时，，所以． 当时，100又增加2个0，所以，而，故．（9分） 综上，．（14分） 当时，． 当，时，． 并且，所以随增大而增大． 因此这些点中的最大值为．（15分） 当时，． 因为，所以当时，的最大值为．（17分） 答案第8页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 2026年秋季高二开学学情自测卷 6.己知奇函数(x)的定义域为(-m,0)U0,+o),满足对任意、x2E(0.+∞)，且无≠2，都有 数学 )-f),0,且f2=1,则不等式>2的解集为() (考拔时侧：120分钟流卷满分：150分) X-X 注意事项： A.(-2,0)U(0,2) B.(-m,-2)U(02) 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 C.(-2.0U(2.+m) D.(-m,-2)U(2,+n) 2,回容选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答要卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选 涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上，写在本试卷上无效 7.签筒中有6支外形完全相同的签，签面上分别写有数字1,23,4,5,6.从中不放回地依次随机抽取2支签。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 先后抽得的数字分别记为x,y.若aABC满足AB=x,AC=y,∠A=60°，则△ABC为锐角三角形的概率为 4.考试范国：人敦A版2019必修一第一章-必修二第十章 () 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 A B. 5 c. D. 求的。 3 8.若0<a<5,0<B<,cos(a+B)mB-四3 43,则cosa=() 1已知集合A=eR-2-3>0吗，柴合B=eR则子20，则AnB=() A.472 B.89 130 130 C.56 65 D.335 65 A.(-m,-4]U(3,+m） B.(-m,-4)U(3,+m) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 C.(-m,-1)U(2+o) D.(-n,-1)U2+o) 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 2,在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10,5,7,8， 9.已知向量a,五满足a+=4,a-b=2,则() 7,10,4,2,这组数据的第75百分位数是() A.a+B=10 B.a-b=8 A.6.5 B.8 C.83 D.9 3.已知向量马，6不共线.且(2R-g)/1(3g+2,则实数1=() c.当同=3时.a,6同向 D.当：5时，a在万上的投影向量为3 10.已知i为虚数单位，则下列结论正确的是() B.1 C.-2 D,2 A复数：号吉在复平面内对应的点位于第二象限 B.若复数=1-(2-)，则=可 4.已知，m,是空间中三条不同的直线，a,P为空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是() A.若a∩p=m,lga,lm,则l∥B C.复数：=2计的共扼复数：=-5-2 D.若：-=2，则：-1-3列的最小值为2 -i B.若mCa,nCa,I⊥m,1⊥，则1上 11.直三棱柱ABC-ABC中，A4=2,底面ABC的直观图如图所示，M为棱BB的中点，P为4ABC内 C.若mCa,cB,a∩B=I,m⊥1，n⊥1，则a上p (含边界)的一动点，下列说法正确的是() D.若m,n是异面直线，mCa,nCB,mp,nMa,则a∥p A.BC=3 5,工程师对某种A!图象识别算法模型进行优化，该算法模型的准确率提升倍数A与数据投喂量x(单位： GB)的关系式为A=k·2,其中k为常数.已知数据投喂量为100G田时，算法模型的准确率提升倍数为 B.若1平面9，则四棱锥P-BCC马的体积为定值2E 20:当准确率提升倍数A2160时，该算法模型就能达到商用标准。若要想达到商用标准，则数据投喂量至少 C.若P在线段AC上，直线MP与平面ACCA所成角的余弦最大值 应为() 为0 10 A.10'GB B.10°GB C.10GB D.10GB D,若4州2正，则P的航迹长度一定大于号 3 第1页共6页 第2页共6页 命学科网·上好课 第二部分（非选择题共2分） 16.(15分)某校积极开展教改活动，将20个水平相近的教学班（每班学生数均相等）分成两组，其中10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 个班采用全新的牧学法，称之为实验班，另外10个班采用原来的教学法，称之为非实验班，通过一个学期 12.若x<1,则-2+6的最大值是一 x-1 的教学实验，为检验新教改的效果，统计了这20个班的数学期末成绩（满分150分），成绩均在[70,150] 13,如图，在△ABC中，4C=5,AB=6,4=号，若P9是以A为圆心的单位圆的一条动直径，则 内，按[70,80)，[80,90，[90,100)，[100,110)，[110.120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分组，作出如 BP,CO的最大值是 下领率分布直方图： 卡幅率/组距 4频事/组距 0.024… 0.024--- 0.020 0.016 0.016 0.012 88 0 0.00 0.008 出 0.004 14.已知西数=扁欧+骨引@>0)的一个零点为，且在仔可上单调莲减，则方程 070800101102013010150数学成铺分 0700100110120130140150数学成分 非实验班 实验班 +e-2(晋 上所有根的和为 (1)设非实验班、实验班数学平均分分别为离，3（同一组数据以该组所在区间的中间值作代表），若 ※ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 民一引>5，则认为非实验班与实验班数学成绩有明显差异，否则，认为非实验班与实验班数学成绩无明显 15.(13分)如图，在直角梯形ABCD中，AB/IDC,∠BAD=90°，AB=4,AD=2,DC=3,点E在CD 差异，请通过计算说明非实验班与实验班数学成绩是否有明显差异： 上，且DE=2,将△ADR沿AB折起，使得平面ADB⊥平面ABCE,C为AE中点. (2)从实验班数学成绩在区间[80,90)，[90,100)，[140,150]内的学生中，按区间采用比例分配的分层随机抽样 (1)求证：DG⊥平面ABCE (2)求点G到平面ADB的距离： 方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间[90,100)的概率： (3)若以频率估计概率，从非实验班、实验班各随机抽取一名学生的数学成领，记事件4表示“抽取的两学生 的数学成绩均低于120分”，事件A表示“抽取的两学生中仅有一人的数学成绩不低于90分”，正明：事件 A,4不相互独立 第3页共6页 第4页共6页 命学科网·上好课 17.(15分)海岸上建有相距20√5海里的雷达站C,D,某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号 19,(17分)将连续正整数1,2，，(neN)从小到大排列构成一个数123…n,F(m)为这个数的位数 后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为α=∠BCA=45, (如当n=12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字， B=∠ACD=30,Y=∠BDC=45,8=∠ADB=75 P(2)为恰好取到0的概率 (1)救援出发时，A船距离雷达站C的距离为多少？ (1)求p(100). (2)判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在1.5小时内赶到救援（通过计算说明理由）？（参考 数据√5#2235) (2)当ns2026时，求F(n的表达式. (3)令g()为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，(u)=f(n)-g(n), S={hm)=l,ns100,neN},求当nES时p(m)的最大值。 18.(17分)已知函数的=+口为奇函数 3+1 (1)求实数a的值； 数 (设函数g)=1og1e言+m,若对任意的与∈B.,2列.总存在0，使得3)2飞)成立，求实数 m的取值范围： (3)解关于x的不等式f(x)<1。 环 第5页共6页 第6页共6页 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由解得或，可得集合； 由可得，解得或，可得集合； 所以. 2．在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了名同学的第一个解答题的得分，得分为：，，，，，，，，这组数据的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将数据按升序排列可得：2，4，5，7，7，8，10，10， 因为，所以这组数据的第百分位数是. 3．已知向量，不共线，且则实数（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】因为向量，不共线，且， 那么存在实数，使得， 则有，解得. 4．已知，，是空间中三条不同的直线，，为空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，，则 D．若，是异面直线，，，，，则 【答案】D 【详解】已知，，是空间中三条不同的直线，，为空间中两个不同的平面， 若，，，则，或，A错误； 若，，，，当时，则可以成立，B错误； 若，，，，，所成角不是直角时，则不成立，C错误； 若，是异面直线，，，，存在是相交直线，所以，则，D正确. 5．工程师对某种AI图象识别算法模型进行优化，该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数．已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20；当准确率提升倍数时，该算法模型就能达到商用标准．若要想达到商用标准，则数据投喂量至少应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20，可以计算出常数；再令准确率提升倍数时，计算出. 【详解】根据该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数， 又已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20，那么 ，故， 令，得 ， ，，故C正确. 6．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解. 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数. 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 7．签筒中有支外形完全相同的签，签面上分别写有数字．从中不放回地依次随机抽取支签，先后抽得的数字分别记为．若满足，，，则为锐角三角形的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理可构造不等式确定为锐角三角形时，所满足的不等关系，采用列举法，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】在中，由余弦定理得； 若为锐角三角形，则，， 即且， 整理可得：且，且； 从支签中不放回依次随机抽取支签，所有可能的结果记为，则有种可能的结果； 其中满足且的有，共种情况； 为锐角三角形的概率. 8．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用同角三角函数的平方关系与两角和与差的正余弦公式计算. 【详解】由，，得， 由，得， ，由，得， 因 而， ， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，满足，，则（   ） A． B． C．当时，，同向 D．当时，在上的投影向量为 【答案】ACD 【详解】A选项：由，得，即， 解得，故选项A正确； B选项：当，时，符合，但不满足， 故选项B错误； C选项：当时，由A选项知，即， 解得，因为，所以， 所以，同向，故选项C正确； D选项：在上的投影向量为，故选项D正确. 10．已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．复数在复平面内对应的点位于第二象限 B．若复数，则 C．复数的共轭复数 D．若，则的最小值为 【答案】BC 【分析】根据复数的几何意义、模的运算、乘除法运算逐项分析判断即可. 【详解】对于A：复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A错误； 对于B：由，故，故B正确； 对于C：由，得，故C正确； 对于D：因表示对应的点在以为圆心、半径为2的圆上， 而表示圆上动点到定点的距离，因圆心到定点的距离为3， 故的最小值为，故D错误.    11．直三棱柱中，，底面的直观图如图所示，为棱的中点，为内（含边界）的一动点，下列说法正确的是（   ） A． B．若平面，则四棱锥的体积为定值 C．若在线段上，直线与平面所成角的余弦最大值为 D．若，则的轨迹长度一定大于 【答案】ABD 【分析】根据直观图还原图形判断A，根据面面平行、线面平行性质及棱锥体积公式判断B，根据线面角及正余弦函数的关系判断C，利用球的性质及弧长公式、不等式性质判断D. 【详解】由底面直观图可知，为直角三角形，， 所以，故A正确； 取的中点，连接，如图， 由可得，所以四边形为平面四边形， 又，平面，平面，所以平面， 同理可得平面，又平面， 所以平面平面，因为平面，所以点轨迹为线段， 设到平面的距离为，由可得， 所以点到平面的距离为，所以四棱锥的体积为，故B正确； 取中点，连接，如图， 在直三棱柱中，由，可知平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角，, 当最大，即与重合时，有最小值, 此时有最大值，故C错误； 若，则的轨迹为以为球心，为半径的球与所在平面截得圆的一部分， 设圆的半径为，因为平面，所以为圆的圆心， 所以，设圆弧与分别交于，如图， 设，则由余弦定理可得，解得或（舍去）， 所以，由正弦定理，，所以， 设，所以弧的长，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，则的最大值是______． 【答案】 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 13．如图，在中，，，，若是以为圆心的单位圆的一条动直径，则的最大值是__________ 【答案】2 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解. 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 由题意可知，，. 因为为圆心为的单位圆的一条动直径， 设，则， 所以，， 所以 ， 其中. 因为，所以， 所以当时，取得最大值， 最大值为. 14．已知函数的一个零点为，且在上单调递减，则方程在上所有根的和为________． 【答案】 【分析】先由零点条件求出，再根据单调性锁定；解含绝对值的三角方程时，分和两种情况讨论，得到或，最后在给定区间内找出所有根并求和. 【详解】已知函数的一个零点为， 将代入得，即， 又在单调递减，正弦函数单调区间长度不超过半个周期，则， 取，验证单调性，此时，当时，， 该区间是正弦函数单调递减区间的子区间，符合条件， 取，验证单调性，此时，当时，， 该区间不是正弦函数单调递减区间的子区间，不符合条件， 取，不符合条件， 综上，，此时， 令，则， 当时，有，即 当，则，或； 当时，有，即 当，则， 即方程在上所有根的和为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15．（13分）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； 【答案】(1)证明：因为，为中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. (2) 【详解】（1）略 （2）连接，如图： 中，，，， 所以， 且， 所以，所以. 又因为, 由，，，，所以是直角三角形. 故. 设点到平面的距离为，则. 16．（15分）某校积极开展教改活动，将20个水平相近的教学班（每班学生数均相等）分成两组，其中10个班采用全新的教学法，称之为实验班，另外10个班采用原来的教学法，称之为非实验班，通过一个学期的教学实验，为检验新教改的效果，统计了这20个班的数学期末成绩（满分150分），成绩均在内，按，，，，，，，分组，作出如下频率分布直方图： (1)设非实验班、实验班数学平均分分别为，（同一组数据以该组所在区间的中间值作代表），若，则认为非实验班与实验班数学成绩有明显差异，否则，认为非实验班与实验班数学成绩无明显差异．请通过计算说明非实验班与实验班数学成绩是否有明显差异； (2)从实验班数学成绩在区间，，内的学生中，按区间采用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间的概率； (3)若以频率估计概率，从非实验班、实验班各随机抽取一名学生的数学成绩，记事件表示“抽取的两学生的数学成绩均低于120分”，事件表示“抽取的两学生中仅有一人的数学成绩不低于90分”，证明：事件，不相互独立． 【答案】(1)，所以非实验班与实验班数学成绩有明显差异 (2) (3)证明：从非实验班随机抽取一名学生，该生数学成绩低于120分的概率为0.8，低于90分的概率为0.2；从实验班随机抽取一名学生，该生数学成绩低于120分的概率为0.7，低于90分的概率为0.1． ，     ，     所以， 又，    显然，     故事件，不相互独立． 【分析】（1）利用平均分的定义分别计算实验班与非实验班的分数，然后根据题中所给的成绩有明显差异的判断条件进行判断. （2）根据题意列出从这6人中随机抽取3人的样本空间,然后列出抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间的样本点，最后利用古典概型公式求解. （3）利用独立事件的定义,判断事件是否独立即可. 【详解】（1）非实验班数学平均分的近似值为 实验班数学平均分的近似值为 因为， 所以非实验班与实验班数学成绩有明显差异． （2）因为实验班数学成绩在区间,,内的学生人数之比为． 所以从区间,,内抽取的学生人数分别为2,3,1． 记数学成绩在区间的2人为,，在区间的3人为,,, 在区间的1人为c．     从这6人中随机抽取3人的样本空间 ,共有20个样本点．     用事件A表示“抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间”, 则,有10个样本点，     故． （3）略 17．（15分）海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为，．    (1)救援出发时，船距离雷达站的距离为多少？ (2)判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（通过计算说明理由）？ (参考数据) 【答案】(1)60海里 (2)能在小时内赶到救援 【分析】（1）在中，求出，利用正弦定理求解即可； （2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断. 【详解】（1）在中，因为，, 所以,. 又, 所以由正弦定理可得，即，解得, 所以A船距离雷达站C的距离为60海里. （2）在中，根据正弦定理可得, 即,解得, 在中，由余弦定理可得, 解得, 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而, 所以能在小时内赶到救援. 18．（17分）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 【分析】（1）利用奇函数性质求参数，再验证即可； （2）由单调性得其最小值，将存在性条件转化为在给定区间的最小值不小于该值，换元后求二次函数最值； （3）将表达式代入不等式，由于分母恒正可直接去分母，对参数分类讨论，解指数不等式. 【详解】（1）因为是奇函数，定义域为，由奇函数性质， 代入得， 验证可得，满足奇函数定义，故. （2）已知，可知是上的增函数. 当时，的最小值为. 对任意，存在使， 等价于在上的最小值大于等于在上的最小值. 令，，则， ，是开口向上的二次函数，对称轴， 则最小值为， 令，即实数的取值范围为. （3）由（1）知，是定义域为的奇函数，得，因此. 将代入得，已知对任意，都有， 不等式两边同乘正数，整理得，对系数分类讨论： ①：若，不等式变为，恒成立； 若 ，，不等式变形为，此时右边，而恒成立，不等式恒成立. 因此，当时，解集为. ②：此时，不等式变形为，由于， 因此右边，而恒成立，不等式无解 因此，当时，解集为空集. ③：此时，不等式变形为，此时， 对不等式两边以3为底取对数得. 因此，当时，解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 19．（17分）将连续正整数1，2，…，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求． (2)当时，求的表达式． (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，数字0的个数为11，得到概率. （2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案. （3）只需研究，按的十位区间分类，分别统计数字0和数字9的个数，先确定集合，再比较各个候选点处的大小． 【详解】（1）当时，， 即这个数中共有个数字，其中数字的个数为， 则恰好取到的概率为； （2）当时，这个数有位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，则； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，个四位数组成，； 综上所述：. （3）由集合的定义，只需考虑． 当时，数字0和数字9都没有出现，所以，从而． 当时，，所以，即． 当时，设，其中，． 从1写到时，个位上的0出现在10，20，…，中，共有个，因此． 个位上的9在不超过的数中出现次；当且仅当时，数又增加一个个位数字9． 在此范围内十位尚未出现9，所以． 于是当且仅当，即． 当时，设，其中． 此时数字0的个数为． 个位数字9在9，19，…，89中出现9次，十位数字9在90，91，…，中出现次， 所以，从而． 因此只有时，即． 当时，，所以． 当时，100又增加2个0，所以，而，故． 综上，． 当时，． 当，时，． 并且，所以随增大而增大． 因此这些点中的最大值为． 当时，． 因为，所以当时，的最大值为． 试卷第8页，共18页 试卷第18页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：人教A版2019必修一第一章~必修二第十章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了名同学的第一个解答题的得分，得分为：，，，，，，，，这组数据的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，不共线，且则实数（   ） A． B．1 C． D．2 4．已知，，是空间中三条不同的直线，，为空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，，则 D．若，是异面直线，，，，，则 5．工程师对某种AI图象识别算法模型进行优化，该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数．已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20；当准确率提升倍数时，该算法模型就能达到商用标准．若要想达到商用标准，则数据投喂量至少应为（     ） A． B． C． D． 6．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．签筒中有支外形完全相同的签，签面上分别写有数字．从中不放回地依次随机抽取支签，先后抽得的数字分别记为．若满足，，，则为锐角三角形的概率为（     ） A． B． C． D． 8．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，满足，，则（   ） A． B． C．当时，，同向 D．当时，在上的投影向量为 10．已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．复数在复平面内对应的点位于第二象限 B．若复数，则 C．复数的共轭复数 D．若，则的最小值为 11．直三棱柱中，，底面的直观图如图所示，为棱的中点，为内（含边界）的一动点，下列说法正确的是（   ） A． B．若平面，则四棱锥的体积为定值 C．若在线段上，直线与平面所成角的余弦最大值为 D．若，则的轨迹长度一定大于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，则的最大值是______． 13．如图，在中，，，，若是以为圆心的单位圆的一条动直径，则的最大值是__________ 14．已知函数的一个零点为，且在上单调递减，则方程在上所有根的和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15．（13分）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； 16．（15分）某校积极开展教改活动，将20个水平相近的教学班（每班学生数均相等）分成两组，其中10个班采用全新的教学法，称之为实验班，另外10个班采用原来的教学法，称之为非实验班，通过一个学期的教学实验，为检验新教改的效果，统计了这20个班的数学期末成绩（满分150分），成绩均在内，按，，，，，，，分组，作出如下频率分布直方图： (1)设非实验班、实验班数学平均分分别为，（同一组数据以该组所在区间的中间值作代表），若，则认为非实验班与实验班数学成绩有明显差异，否则，认为非实验班与实验班数学成绩无明显差异．请通过计算说明非实验班与实验班数学成绩是否有明显差异； (2)从实验班数学成绩在区间，，内的学生中，按区间采用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间的概率； (3)若以频率估计概率，从非实验班、实验班各随机抽取一名学生的数学成绩，记事件表示“抽取的两学生的数学成绩均低于120分”，事件表示“抽取的两学生中仅有一人的数学成绩不低于90分”，证明：事件，不相互独立． 17．（15分）海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为，． (1)救援出发时，船距离雷达站的距离为多少？ (2)判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（通过计算说明理由）？ (参考数据) 18．（17分）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 19．（17分）将连续正整数1，2，…，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求． (2)当时，求的表达式． (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值． 试卷第2页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $