2026年高三数学秋季开学学情自测卷02（浙江专用，测试范围：高中全部内容）

**基本信息** 立足高三开学学情，以战国环权（数列）、餐厅就餐（概率）为情境，覆盖函数、几何、统计等核心模块，突出数学抽象与数据观念素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|统计残差、向量分解、函数奇偶性、抛物线性质|单多选梯度设计，如第6题以环权考等差等比数列，渗透文化传承| |填空题|3/15|导数切线、直线与圆、等差等比综合|注重运算推理，如第14题正整数列综合考查逻辑思维| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、概率统计、椭圆、新定义函数|突出应用与创新，第17题用就餐数据考分布列与期望体现数据观念，第19题“分割函数”考查创新思维|

2026年秋季高三开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：人教A版2019必修一~选修三 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．现统计了某品牌新店开业前个月每个月的成本（万元）和收益（万元）的情况，计算可得：，，且与的经验回归方程为．已知第个月的成本为万元，实际收益为万元，则第个月收益的残差为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（） A．1 B．0 C．1013 D．2026 5．若，则 （    ） A． B． C． D． 6．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 7．若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为点A在准线上的射影．若共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，的共轭复数分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则或 B．若，则 C． D．一定是实数 10．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 11．如图，在棱长为2的正方体中，M是棱BC的中点，N是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（    ） A．点N到平面的距离为定值 B．若N是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 C．若N是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为 D．若CN与平面所成的角为θ，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为______． 13．已知直线与圆交于A，B两点，设线段AB的中点为，则点到点的距离的最大值为__________. 14．已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)证明：，，成等差数列； (2)若，延长至，使得，求． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点． (1)求证：； (2)若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）某校有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 （午餐，晚餐） 甲 30天 23天 37天 10天 乙 20天 22天 18天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. (1)记为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X的分布列和数学期望； (2)设乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，当取最大值时，求k的值； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明：. 18．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，且． ①求证：直线经过定点． ②设和的面积分别为，，求的最大值． 19．（17分）三个互不相同的函数和在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”． (1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由； (2)若二次函数是与在区间上的“分割函数”，求； (3)设，若存在函数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 试卷第4页，共5页 试卷第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 目 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 6-------=------------2 题；字体工整、笔迹清晰。 典 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5,正确填涂 选择题（每小题5分，共40分) 1「AIIB1IC1[D1 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][CI[D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][CI[D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 日 12 13 14. 剂 请在各题目棘奢题！内体，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） (道9并)道S熊点谁 :必壬耄品，海习马的到狂鲜毋盖用避‘易锡海习璐品阴目酷号平巢 (女LI)·8I :￥差号阴海习马的到狂毋黉吊避‘号卦4海习踞品阳目酷号安 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）2026年秋季高三开学学情自测卷 .: 数学 .: .: (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮 : 擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 4.考试范围：人教A版2019必修一~选修三 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 : 求的， 1.现统计了某品牌新店开业前5个月每个月的成本x(万元)和收益y(万元)的情况，计算可得： x=5,y=60,且y与x的经验回归方程为)=x+27.5.已知第4个月的成本为4万元，实际收益为60万 : : 元，则第4个月收益的残差为() A.-16.5万元 B.16.5万元 C.-6.5万元 D.6.5万元 : : 2. 已知集合A= sim7元，cos5，tan 61 3 {} 则AUB=() A n. 照 拟 : 3.如图，△ABC中，点D是线段BC上靠近B的三等分点，点E是线段AD上靠 近A的三等分点，若CE=2BA+LBC,则1+u=() D.- 14 : 北 4.己知f(x)是定义域为(-n,+w)的奇函数，满足f(x)=f(2-),若f(1)=1,则 f①)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2026)=() A.1 B.0 C.1013 D.2026 试题第1页（共4页） : 6学科网·上好课 5.若1+m2-2,则amx-4 cos 2x A.-1 B. C. 2 D.1 6.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已 知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a},该数列的前3项成等差数列，后7 项成等比数列，且4=1，a,+a。=36,4=48,则这9枚环权的质量和为() A.284 B.381 C.384 D.484 7.若函数f()1+心的最小值为-2，则正实数a的值为（） 1 1 A.2e B. c D. 8.已知抛物线y=2x(p>0)的焦点为F(2,O),准线l交x轴于点D,过D的直线与抛物线交于A,B两 FB 点，且B在线段AD上，点P为点A在准线1上的射影.若P,B,P共线，则BP 的值为() A. B. C. D.3 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分·选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数二，马，的共轭复数分别为三，马，马，则下列结论正确的是() A.若·22=0，则3=0或3=0 B.若+z3=0,则31=33=0 C.3(3+z3=国3+z D.2+与52一定是实数 10.将西数)-=sm6x+p以←习引的图象向左平移名个单位得到函数g()的图象，若g(y的图象与 6 f(x)的图象关于y轴对称，则下列说法正确的有() A.=I 4 B.8()-o3+到 C.《=4是8(9的一条对称轴 7北 D.对任意的n∈ 4'12 都存在m∈-亚，卫] 4'12,使得f(叫=gm) 试题第2页（共4页） 6学科网·上好课 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,C1D中，M是棱BC的中点，N是棱DD上的动点（含端点）， 则下列说法中正确的是() A.点N到平面AAM的距离为定值 B.若N是棱DD的中点，则四面体D-AMN的外接球的表面积为9r C.若N是棱DD的中点，则过A,M,N的平面截正方体 B C ABCD-4BCD所得的截面图形的周长为5 Aie----- D D.若CN与平面AB,C所成的角为0，则sinB∈ 「36 3’3 M 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f(x)=x+2x,过点P(1,3)作曲线y=f(x)的切线，则此切线的方程为 13.已知直线x+w-m=0(m∈R)与圆x2+y2+4x-6y+4=0交于A,B两点，设线段AB的中点为P,则 点P到点(1,0)的距离的最大值为 14.已知等比数列{a}与等差数列{b}的各项均为正整数，其公比与公差分别为9，d,{a}的前n项和为 Sn.若对任意正整数n,Sn=b-b,则qd= 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 15.(13分)记△4BC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,且，simB sinC “1+cosB2-cosC (1)证明：a,b,c成等差数列： (2)若B=60,延长BC至D,使得BC=2CD,求4D AB 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA1平面 ABCD,点E是棱PB的中点. (1)求证：AB⊥CE: (②)若点8到平面PCD的距离为，求平面2HB与平面PCD夹角的余弦值。 试题第3页（共4页） 17.(15分)某校有A,B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校 就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： .: 选择餐厅情况 (A,A) (A,B) (B,A) (B,B) (午餐，晚餐) 甲 30天 23天 37天 10天 ☑ 乙 20天 22天 18天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率， (1)记X为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X的分布列和数学期望E(X): O 张 (2)设乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为R,当P取最大值时，求k的值； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐'，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，0<P(M)<1, : 数 0<P(N)<1,一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下 去该餐厅就餐的概率要大.证明：P(MN)>P(MN) 辽分)已知椭圆C云+1Q>b>0的离心率为3，左、右顶点分别为A、8,点P、9为椭 2 O 圆上异于A、B的两点，△PAB面积的最大值为2. (1)求椭圆C的方程： : (2)设直线AP,BQ的斜率分别为k,k2,且3k=5k2 ①求证：直线P9经过定点. E : ②设△POB和△POA的面积分别为S,S2,求S-S的最大值. 19.(17分)三个互不相同的函数f(x),g(x)和h(x)在区间D上恒有∫(x)≥h(x)≥g(x)或恒有 f(x)≤h(x)≤g(x),则称h(x)为f(x)与g(x)在区间D上的“分割函数”. (1)设h(x)=4x,乃(x)=x+1,试分别判断h(x)、%(x)是否是y=2x2+2与y=-x2+4x在区间(-o,+0)上 : 的“分割函数”，请说明理由： (2)若二次函数h(x)是y=2x2+2与y=4x在区间(-0，+∞)上的“分割函数”，求(x): (3)设[m,n]s[-2,2],若存在函数h(x)=c+b(k,beR),使得h(x)为y=x4-4x2与y=4x2-16在区间 [m,川上的分割函数”，求n-m的最大值. : 试题第4页（共4页) 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B A C C A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 或 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． (1)证明：因为， 所以，（1分） 所以，（2分） 因为，所以，（3分） 所以，（4分） 由正弦定理得，，所以，，成等差数列．（6分） （2）因为，代入，可得，（7分） 因为，所以，所以是等边三角形，（8分） 设，则， 在中，由余弦定理， 得，（11分） 所以．（13分） 16．(1)证明如下： 取的中点，连接， 因为点是棱的中点，所以，（1分） 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以，（2分） 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以，（4分） 又因为，且平面，所以平面，（5分） 因为平面，所以.（6分） （2）取的中点，连接，因为是的中点，可得， 因为，所以，（7分） 又因为平面，且平面，所以， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，（8分） 设，可得， 所以， 设平面的法向量为，可得， 令，可得，所以，（10分） 因为点到平面的距离为，可得，（11分） 则，解得，所以，所以，且.（12分） 又因为平面与轴所在直线垂直，所以平面的一个法向量为，（13分） 设平面与平面夹角为，可得，（14分） 所以平面与平面夹角的余弦值.（15分） 17．（1）由题可得，（1分） 且，（2分） ，（3分） 所以X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 所以X的数学期望；（4分） （2）由题意可得乙在一天中午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，（5分） 所以乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，（6分） 令，即，（7分） 化简为，即，（8分） 即，解得，（9分） 因为k为整数，且， 所以乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率取最大值时或.（10分） (3)证明：由题可知，， 所以，（11分） 所以，则，（12分） 所以，即，（13分） 所以，即.（15分） 18．(1) ）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为，（1分） 由题意可得，解得，（3分） 所以，椭圆的标准方程为.（4分） (2)①证明：设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意. （5分） 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则， 联立可得， ，可得， 由韦达定理可得，，则，（7分） 所以， ，解得，（10分） 即直线的方程为，故直线过定点.（11分） ②由韦达定理可得，， 所以， ，（13分） ，则， 因为函数在上单调递增，故，（15分） 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为.（17分） 19．(1)是与在区间上的“分割函数”； 不是与在区间上的“分割函数”（1分） 因为恒成立，且恒成立， 所以当时，恒成立，（2分） 故是与在区间上的“分割函数”； （3分） 又因为，当与1时，其值分别为1和， 所以与在上都不恒成立，（4分） 故不是与在区间上的“分割函数”. （5分） （2）设是与在区间上的“分割函数”，则对一切实数恒成立，（6分） 因为，当时，它的值为4， 可知的图象在处的切线为直线， 它也是的图象在处的切线，如图：（7分） 所以，可得，（8分） 所以对一切实数恒成立， 可得且，即，（9分） 又因为时，与为相同函数，不合题意， 故所求的函数为.（10分） （3）关于函数，令，可得， 当与时，， 当与时，， 可知是函数的极小值点，0是极大值点，（11分） 该函数与的图象如图所示： 若函数是与在区间上的“分割函数”， 故存在使得且直线与的图象相切， 并且切点横坐标，（12分） 此时切线方程为，即， 设直线与的图象交于点， 则由，可得，（13分） 所以 （14分） 令，，（当且仅当时，）， 所以严格减，故的最大值为，（16分） 可知的最大值为，所以的最大值为.（17分） 答案第6页，共7页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：人教A版2019必修一~选修三 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．现统计了某品牌新店开业前个月每个月的成本（万元）和收益（万元）的情况，计算可得：，，且与的经验回归方程为．已知第个月的成本为万元，实际收益为万元，则第个月收益的残差为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（） A．1 B．0 C．1013 D．2026 5．若，则 （    ） A． B． C． D． 6．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 7．若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为点A在准线上的射影．若共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分·选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，的共轭复数分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则或 B．若，则 C． D．一定是实数 10．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 11．如图，在棱长为2的正方体中，M是棱BC的中点，N是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（    ） A．点N到平面的距离为定值 B．若N是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 C．若N是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为 D．若CN与平面所成的角为θ，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为______． 13．已知直线与圆交于A，B两点，设线段AB的中点为，则点到点的距离的最大值为__________. 14．已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)证明：，，成等差数列； (2)若，延长至，使得，求． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点． (1)求证：； (2)若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）某校有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 （午餐，晚餐） 甲 30天 23天 37天 10天 乙 20天 22天 18天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. (1)记为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X的分布列和数学期望； (2)设乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，当取最大值时，求k的值； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明：. 18．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，且． ①求证：直线经过定点． ②设和的面积分别为，，求的最大值． 19．（17分）三个互不相同的函数和在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”． (1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由； (2)若二次函数是与在区间上的“分割函数”，求； (3)设，若存在函数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ · 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．现统计了某品牌新店开业前个月每个月的成本（万元）和收益（万元）的情况，计算可得：，，且与的经验回归方程为．已知第个月的成本为万元，实际收益为万元，则第个月收益的残差为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】D 【分析】本题主要考查经验回归方程及残差的计算，先根据已知条件求出，再将第个月的预测收益求出，最后根据残差定义求出残差即可. 【详解】解：由，知样本中心为，其必在回归直线上， 则，解得，因此回归方程为. 当时，万元，根据残差定义可得， 第个月收益的残差为万元. 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数诱导公式求值，即得集合A，再利用并集的定义求解. 【详解】因为，， ，即集合，且集合， 所以. 3．如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分点的向量关系，先将通过和分解，再把用表示、用与表示，通过线性运算整理出关于的表达式，进而得到系数和，最后计算的值． 【详解】由点是线段上靠近的三等分点，得， 由点是线段上靠近的三等分点，得， 所以 ， 由，得，， 所以． 4．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（） A．1 B．0 C．1013 D．2026 【答案】A 【分析】由函数轴对称性质与奇函数性质推得周期为4,求出一个周期内四项函数值之和为0,再用整除余数确定2026项余下对应,相加得出最终结果. 【详解】由已知，且是定义域为的奇函数， 可得， 即，所以， 即函数的最小正周期为4，即，， 又，， 所以，，， 所以， 所以． 5．若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正余弦的二倍角公式、弦化切求出，再由两角差的正切公式可得答案. 【详解】若，则， 解得，则. 故选：C. 6．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 【答案】C 【详解】设由前3项构成的等差数列的公差为，后7项构成的等比数列的公比为， 则，，两式相除得，解得或（舍去）， ，故， 又，， . 7．若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解. 【详解】已知函数，则， 令，由于，正实数，所以得， 令，则，由于，正实数，所以恒成立， 所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，； 因此方程有且仅有一个实数根，设为，即， 因为，当时，有，解得，矛盾，因此， 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增； 所以函数在处取得最小值， 由于函数的最小值为，即，则有， 同时极值点满足， 代入上式得，解得， 则有，解得，故A正确. 8．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为点A在准线上的射影．若共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列方程求出A，B两点坐标，再由两点距离公式求解. 【详解】抛物线 的焦点为 ，所以，所以， 则抛物线方程为 ，准线 ，准线与 轴交点 ， 设 ，，由抛物线定义： （ 为 到准线的垂足，故 ） 、、 共线，故三点斜率相等： 又 共线，故 ，即 由 ，，解得： 对应 ，， 即 ，， , ， 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，的共轭复数分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则或 B．若，则 C． D．一定是实数 【答案】ACD 【分析】根据复数的运算、模的性质、共轭复数的性质，结合复数基本运算法则逐一判断选项. 【详解】， 则， ， ， 所以， 选项A，若，则， 可得或，即或，A正确； 选项B，举反例，取，， 此时，但均不为0，B错误； 选项C，根据复数模的运算性质，， 又复数与其共轭复数的模相等，即， 故，C正确； 选项D：设，则， 代入计算得：， 虚部抵消结果为实数；D正确. 10．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 【答案】ACD 【分析】由正弦函数与余弦函数的性质求解即可. 【详解】对于A，根据题意得，， 因为的图象与的图象关于轴对称，所以， 即， 可得或， 因,则得，又因，所以，故A正确； 对于B，由A得，所以，故B错误； 对于C，由，可得，当时，，故C正确； 对于D，当时，，此时， 而当时，，此时 所以，故D正确. 11．如图，在棱长为2的正方体中，M是棱BC的中点，N是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（    ） A．点N到平面的距离为定值 B．若N是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 C．若N是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为 D．若CN与平面所成的角为θ，则 【答案】ABD 【分析】选项A，通过证明平面，得到直线上的点到平面的距离为定值；选项B，将三棱锥补为圆柱，通过圆柱来计算外接球直径得到三棱锥外接球半径；选项C，画出截面，线段求和即可；选项D，求出平面的法向量，利用空间向量夹角公式得到的值是有关函数，进行最值求解即可. 【详解】选项A，因为平面,平面，所以平面， 即上的点到平面的距离为定值，又因为，所以N到平面的距离为定值，A正确； 选项B，如图所示，将三棱锥补全为直三棱柱，直三棱柱的外接圆柱如图所示， 则三棱锥、直三棱锥、外接圆柱的外接球相同，因为， 所以圆柱底面圆心在线段上(为中点），设为三角形的外接圆圆心，半径为， 则， 圆柱外接球直径为，则三棱锥外接球半径为， 外接球面积为，B正确； 选项C，在平面内作平行，交于点Q，易求，截面周长为： ，C错误； 选项D，建立如图所示空间直角坐标系，则， ，设平面的法向量, 则，令，则， 有, 当，；当，， 仅当时等号成立，又， 综上所述，，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为______． 【答案】或 【分析】分点P为切点和点P不为切点两种情况讨论，结合导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 当点P为切点时，则切线的斜率为， 所以所求切线方程为，即； 当P点不为切点时，设切点坐标为， 切线的斜率为， 则切线方程为， 因为切线过点，且， 所以， 整理，得，解得或1（舍去）， 则， 所以切点坐标为，切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 所以所求切线的方程为或或． 故答案为：或． 13．已知直线与圆交于A，B两点，设线段AB的中点为，则点到点的距离的最大值为__________. 【答案】 【详解】，所以圆心，半径， 由垂径定理，， ，直线恒过定点， 所以，因为为定点，所以点的轨迹是以为直径的圆， 圆心为的中点，半径为，圆的方程为， 设点，则到的距离， 所以点到的最大距离为. 14．已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 【答案】 【分析】先利用建立首项关系，再由时，推出公比，结合数列各项为正整数的整除性约束，得，，最终求得． 【详解】因为等差数列的各项均为正整数，所以公差为非负整数， 由等差数列的通项公式可得，所以 当时，，则， 因为等比数列的各项均为正整数，所以， 若，则，不成立， 故，且， 当时，， 整理得，即， 由等比数列的定义可得， 则， 因为与互质，所以要使对于任意正整数，均为整数，必须满足分母能够整除首项， 若，则必然存在某个正整数使得，此时不可能为整数， 所以，则， 所以，，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)证明：，，成等差数列； (2)若，延长至，使得，求． 【答案】(1)证明：因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 由正弦定理得，，所以，，成等差数列． (2) 【分析】（1）根据已知结合两角和的正弦公式，诱导公式及正弦定理即可证明； （2）由及已知得出是等边三角形，设，则，由余弦定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）因为，代入，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 设，则， 在中，由余弦定理， 得， 所以． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点． (1)求证：； (2)若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明如下： 取的中点，连接， 因为点是棱的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. (2) 【分析】（1）取的中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求得向量和平面的法向量，利用向量的距离公式，列出方程，求得，再由的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，因为是的中点，可得， 因为，所以， 又因为平面，且平面，所以， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 设，可得， 所以， 设平面的法向量为，可得， 令，可得，所以， 因为点到平面的距离为，可得， 则，解得，所以，所以，且. 又因为平面与轴所在直线垂直，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，可得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）某校有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 （午餐，晚餐） 甲 30天 23天 37天 10天 乙 20天 22天 18天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. (1)记为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X的分布列和数学期望； (2)设乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，当取最大值时，求k的值； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明：. 【答案】(1)X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 X的数学期望； (2)或 (3) 证明：由题可知，， 所以 ， 所以 ，则， 所以 ，即， 所以 ，即. 【分析】（1）求出随机变量X的取值以及相应概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求解期望； （2）先求出，再利用即可计算求解； （3）由条件结合条件概率公式求出即可分析求证. 【详解】（1）由题可得， 且，， 所以X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 所以X的数学期望； （2）由题意可得乙在一天中午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为， 所以乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为， 令，即， 化简为，即， 即，解得， 因为k为整数，且， 所以乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率取最大值时或. （3）略 18．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，且． ①求证：直线经过定点． ②设和的面积分别为，，求的最大值． 【答案】(1) (2)①证明：设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则， 联立可得， ，可得， 由韦达定理可得，，则， 所以， ，解得， 即直线的方程为，故直线过定点. ② 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）①分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点、.将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可得出直线所过定点的坐标； ②写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值. 【详解】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得， 所以，椭圆的标准方程为. （2）①略 ②由韦达定理可得，， 所以， ， ，则， 因为函数在上单调递增，故， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 19．（17分）三个互不相同的函数和在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”． (1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由； (2)若二次函数是与在区间上的“分割函数”，求； (3)设，若存在函数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 【答案】(1)是与在区间上的“分割函数”； 不是与在区间上的“分割函数” (2) (3) 【分析】（1）通过作差法来判断符号，从而确定是不是恒成立问题即可； （2）利用导数得到在处的切线，再结合在处与该切线相切的条件列方程，最后根据不等式恒成立确定参数范围即可求得； （3）通过联立直线与的方程求出交点横坐标的距离表达式，再结合之前得到的的表达式转化为关于的函数，最后通过求导判断函数单调性，得出的最大值. 【详解】（1）因为恒成立，且恒成立， 所以当时，恒成立， 故是与在区间上的“分割函数”； 又因为，当与1时，其值分别为1和， 所以与在上都不恒成立， 故不是与在区间上的“分割函数”. （2）设是与在区间上的“分割函数”，则对一切实数恒成立， 因为，当时，它的值为4， 可知的图象在处的切线为直线， 它也是的图象在处的切线，如图： 所以，可得， 所以对一切实数恒成立， 可得且，即， 又因为时，与为相同函数，不合题意， 故所求的函数为. （3）关于函数，令，可得， 当与时，， 当与时，， 可知是函数的极小值点，0是极大值点， 该函数与的图象如图所示： 若函数是与在区间上的“分割函数”， 故存在使得且直线与的图象相切， 并且切点横坐标， 此时切线方程为，即， 设直线与的图象交于点， 则由，可得， 所以 令，，（当且仅当时，）， 所以严格减，故的最大值为， 可知的最大值为，所以的最大值为. 试卷第20页，共20页 试卷第19页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $