4.1等式与方程（第2课时 方程）（教学设计）数学苏科版2024七年级上册

4.1等式与方程（第2课时 方程） 教学设计 1.教学内容 本课为新教材苏科版七年级上册第四章《一元一次方程》4.1“等式与方程”第2课时，主要探讨含未知数的等式（即方程）的概念与解的含义。通过实际问题（如天平平衡、篮球得分、长方形面积等），引出“由等量关系建立方程”的方法，帮助学生在理解方程语义的基础上，掌握列方程的基本步骤。 2.内容解析 本课层层引导学生从“等式”的稳定关系出发，利用字母表示未知量，通过建立数学模型，归纳出“含有未知数的等式叫作方程”，以及“能使方程两边数值相等的未知数值就是方程的解”。在此过程中，学生既能体会方程的工具价值，也能深化对“等量关系—方程—解”的逻辑认识。 1.教学目标 •经历根据实际问题建立方程，归纳方程概念的过程，会根据实际问题中的等量关系列出方程。 •通过操作体验活动感悟方程的解的本质属性，了解方程的解的概念，能判断未知数的值是否是方程的解。 2.目标解析 •要求学生能识别关键量间的等量关系，运用 等未知数建立方程模型。 •要求学生通过代入检验、数值比较等方法，准确判断某数是否为方程的解，理解“解方程”与“方程的解”的区别。 3.重点难点 • 教学重点：准确提炼等量关系并列出方程。 • 教学难点：正确理解并检验方程解的本质，即能否使方程左右两边数值相等。 学生已具备简单文字题转化为算式的经验，但对方程的严谨定义和解的代入检验方法尚不熟悉；理解方程中的未知数与已知量关系较易，但对多步式方程的列式过程和检验解的准确性较难，需要结合具体实例深化认知与应用。 创设情景，引入新课 问题情境： 寻找以下问题中的等量关系，学会表示未知的量，用等式表示找出的等量关系. 1.教师提问：天平两边托盘中小球的质量是多少？ 学生思考并讨论：等量关系：左边托盘中物品的质量＝右边托盘中物品的质量 用x表示小球的质量，上述等量关系可以表示为2x＋1＝x＋5. 教师提问：篮球联赛规则规定：胜一场得2分，负一场得1分，第一中学球队赛了12场，共得20分，该球队胜、负各多少场？ 学生思考并讨论：等量关系：胜的场数＋负的场数＝12场，胜场得分＋负场得分＝20分． 用a，b分别表示胜的场数和负的场数，上述等量关系可以表示为：a＋b＝12，2a＋b＝20． 教师提问：一幅长方形油画的长与宽的比为1 : 0.618，面积为 1.6 ，它的长为多少？ 学生思考并讨论：等量关系：长×宽＝1.6 ． 用x表示长方形的长，则宽为 0.618x，上述等量关系可以表示为：0.618＝1.6． 【设计意图】通过三个富有生活意义的情境激发学生的兴趣，帮助学生经验式地观察“等量关系—未知数表示—等式建立”的过程，初步感知“方程”在解决实际问题中的价值，为接下来的系统探究做好铺垫。 探究点1：方程的概念与列方程 1.探究交流： 教师提问：这些等式中的字母表示的量有什么共同特点？ 2x＋1＝x＋5；a＋b＝12；2a＋b＝20；0.618＝1.6 学生思考并讨论：都是含有未知数的等式，可以用来刻画实际问题中的等量关系。 教师总结： 这些等式中，都是用字母表示要求的未知的量，这样的字母叫作未知数 。 像这样，含有未知数的等式叫作方程. 2.典例分析 例1 根据所设未知数列方程： (1)用16m长的篱笆围一个长方形的小兔乐园，当长方形的一边为多少时，乐园面积为15？(设长方形的一边长为xm) 【分析】等量关系：2×(长＋宽)＝16m，长×宽＝15。设长方形的一边长为xm，则另一边为 (16－2x)m. 解：(1) 根据题意，得 x·(16－2x)＝15； (2) 花费90元购买了硬面抄和软面抄共30本，硬面抄每本5元，软面抄每本2元．硬面抄和软面抄各买了多少本？(设购买了x本硬面抄和y本软面抄) 解：(2)根据题意，得x＋y＝30，5x＋2y＝90． 3.讨论交流，共同总结可得： ◎根据所设未知数列方程的一般步骤：①审题—理解题意，明晰题中的相关量，找出等量关系；②表示—用所设未知数表示出相关量；③列式—根据找出的等量关系列方程. ◎确定实际问题中的等量关系的方法：①根据题目中的不变量寻找；②利用相关公式寻找；③根据关键词寻找. 如和差关系通常用“一共有…”“比…多…”“比…少…”表示， 倍数关系通常用“是…的几倍”表示等等. 【设计意图】通过“审题—表示—列式”的活动，让学生体验从现实情境抽象到数学方程的过程，帮助学生掌握列方程的思路与方法，并进一步理解方程在刻画实际问题时的价值。 探究点2：方程的解及解方程 1.尝试交流 大英博物馆收藏的古埃及《莱因德纸草书》上记载着一道著名的求未知数的问题：“一个数加上它的，其和等于19，你能求出这个数吗？你能根据题意列出方程吗？” 解：设这个数为x，则x＋x＝19． 教师提问：方程是解决实际问题的常用工具．我们根据实际问题中的等量关系列出方程后，还需要进一步求出未知数的值．那么x＋x＝19中x等于多少？ 2.新知探究 ①填表： x 1 2 3 4 5 2x＋1 5+x 当x＝_____时，方程2x＋1＝5＋x两边的值相等． 解： x 1 2 3 4 5 2x＋1 3 5 7 9 11 5+x 6 7 8 9 10 ②分别把0，1，2，3，4代入下列方程，哪个数能使方程两边的值相等？ (1) 2x－1＝5； (2) 3x－2＝4x－3． 解：(1) x 0 1 2 3 4 2x-1 -1 1 3 5 7 当x＝3时，方程2x－1＝5两边的值相等． (2) x 0 1 2 3 4 3x－2 -2 1 4 7 10 4x－3 -3 1 5 9 13 当x＝1时，方程3x－2＝4x－3两边的值相等． 3.讨论交流，共同总结可得： 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解． 求方程的解的过程叫作解方程. 方程的解与解方程的区别与联系 ： 方程的解 解方程 区别 是一个具体的数 求方程的解的过程 联系 方程的解是通过解方程求得的 【设计意图】通过让学生亲手代入与计算，能直观体会“方程的解”的内涵，形成“方程两边相等”这一判断标准。借助对具体数值的验证操作，学生在活动中加深对“解方程”含义的理解，培养严谨的数学思维与良好的探究品质。 探究点3：判断数值是否为方程的解的一般步骤 1.典例分析 例2 两个数1，－1中，哪一个是方程＋2x＝－1的解？ 解：将x＝1代入方程＋2x＝－1，左边＝＋2×1＝3 ，右边＝－1， 因为左边≠右边，所以x＝1不是方程＋2x＝－1的解； 将x＝－1代入方程＋2x＝－1，左边＝＋2×(－1)＝－1 ， 右边＝－1， 因为左边＝右边，所以x＝－1是方程＋2x＝－1的解. 2.讨论交流，共同总结可得： 判断数值是否为方程的解的一般步骤： 第一步：将数值分别代入原方程的左、右两边进行计算； 第二步：比较方程左、右两边的值； 第三步：根据方程的解的定义判断是否是原方程的解. 【设计意图】通过典例分析，引导学生观察并学习方程的解的一般步骤，理解解方程的合理性与步骤，培养从具体到抽象的数学思维能力，为后续习题练习奠定基础。 1．根据所设未知数列方程： (1) 一个长方形花坛，长比宽多3m，面积为270，该花坛长为多少？(设花坛的长为x m) (2) 甲、乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间运行的平均速度从240 km/h提高到300 km/h，运行时间缩短了0.5h，两城市间的铁路里程为多少千米？(设两城市间的铁路里程为x km) (3) 有一种毛竹，前四年一共只长10 cm高，到了第五年春天会以平均每天30 cm的速度向上蹿，第五年春天经过多少天毛竹可以长到10m高？(设第五年春天经过x天毛竹可以长到10m高) 解：(1) x(x－3)＝270；(2) －＝0.5；(3) 0.1＋0.3x＝10． 2.判断 x＝－2是否为下列方程的解. 　 (1) x＋ ＝0； (2) ＝4． 解：(1)将x＝－2代入x＋ ＝0，左边＝－2＋ ＝－ ，右边＝0，因为左边≠右边， 所以x＝－2不是x＋ ＝0的解. (2)将x＝－2代入＝4，左边＝＝4，右边＝4，因为左边＝右边，所以x＝－2是＝4的解. 拓展提升 1. 小张去水果市场购买苹果和橘子，每千克苹果要比每千克橘子多12元，买2千克苹果与买5千克橘子的费用相等，设橘子的单价为x元. (1) 根据题意列出方程； (2) 在x＝7，x＝8中，哪一个是(1)中所列方程的解. 解：(1) 根据题意，得2(x＋12)＝5x. (2) 把x＝7，x＝8分别代入2(x＋12)＝5x， 当x＝7时，左边＝2×(7＋12)＝38，右边＝5×7＝35， 因为左边≠右边，所以x＝7不是方程的解； 当x＝8时，左边＝2×(8＋12)＝40，右边＝5×8＝40， 因为左边＝右边，所以x＝8是方程的解. 综上，x＝8是(1)中所列方程的解. 2.一列方程及其解如下排列： ＋x－ ＝1的解是x＝2， ＋x－ ＝1的解是x＝3， ＋x－ ＝1的解是x＝4， …… 根据观察得到的规律，写出解是x＝2 024的方程：_____. ⁠. 解：+=1 【设计意图】本环节重点围绕“检验某数是否为方程解”“根据题意列方程”的基本技能，让学生进行针对性、重复性的巩固练习，以进一步稳固对方程概念与解方程方法的掌握. 主板书 4.1等式与方程（第2课时 方程） 探究点1 方程的概念与列方程 探究点2 方程的解及解方程 探究点3 判断数值是否为方程的解的一般步骤 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 基础练习：完成课本相关练习中“等式与方程”部分的计算题。 2. 拓展提高：选做教材中综合应用题，体会在更复杂情境下如何应用方程解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $