2.2数轴（知识精讲+题型讲解+课后练习） 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“数轴”核心知识点，从数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）入手，逐步衔接有理数在数轴上的表示与大小比较，再延伸到点的运动规律（左减右加）及距离计算，辅以覆盖问题、规律探究等题型和巩固练习，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过精选例题（如辨析数轴画法）、变式练习（如点运动距离计算）及规律探究（如圆滚动问题），培养学生抽象能力（数学眼光）、运算能力与推理意识（数学思维）、模型意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后帮助学生强化知识、查漏补缺，提升学习效果。

第二章 有理数 2.2 数轴 知识点1 数轴的概念 我们常常通过一条直线和点去表示转化生活中地点位置的关系。在数学中，我们用下面的方法建立数与形的联系。 ① 画出一条直线，在这条直线上任取一个点表示0，这个点称之为原点； ② 在这条直线上画一个箭头，规定箭头所指的方向（一般向右）为正方向，则相反的方向为负方向； ③ 取合适的长度作为单位长度，在直线上从原点正方向每隔一个单位长度取一点，依次表示1, 2, 3, 4...；从原点向负方向每隔一个单位长度取一点，依次表示-1, -2, -3, -4... 如上图所示，像这样规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。因此数轴的三要素分别为：原点、正方向、单位长度。 【精选例题】下列选项中能正确表示数轴画法的是（ ） 【解析】A选项未明确原点，B选项中单位长度不一致，D选项不是直线且未表明数轴正方向，故选C。 【变式练习1】下列图形中哪些是正确的数轴，哪些是错误的并说明原因。 知识点2 数轴与有理数的关系 所有的有理数都可以在数轴上用一个点进行表示，如2.5可以用原点右边距离原点2.5个单位长度的点表示；-2可以用原点左边距离原点2个单位长度的点表示。 注意：所有的有理数都可以在数轴上进行表示，但数轴上可以表示的点并不都是有理数。 数轴上的点的大小关系特征（规定向右为正方向）：数轴上在原点右边的数均大于0（正数）；原点左边的数均小于0（负数）。越往右，数轴上点表示的数就越大；越往左，数轴上点表示的数就越小。总结一下就是，在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大。 【精选例题1】如下图，分别写出数轴上A、B、C三个点表示的数，并比较大小。 【解析】点A表示的数为-3.5；点B表示的数为0；点C表示的数为2.5。根据数轴上的数的大小关系，A < B < C，即-3.5 < 0 < 2.5。 【精选例题2】在数轴上画出表示下列各数的点：-1、1/2、3.5、0、-2.5 【变式练习2】如图在数轴上点A表示的数可能为_____ 【变式练习3】下列数轴上各点表示的数分别是多少，并将字母按照数字大小从小到大进行排序。 经过学习我们知道所有的有理数都可以用数轴上的点表示。下面我们需要了解几个数轴上特殊的数： ① 数轴上能表示的最小的正整数是1； ② 数轴上能表示的最大的负整数是-1，没有最小的负整数； ③ 数轴上能表示的最小的自然数是0。 知识点3 数轴上点的运动以及点之间的距离 根据数轴上的点的位置关系，可以发现有理数的大小关系具有传递性。对于三个有理数a, b, c，若a > b, b > c，则a > c。若a < b, b < c，则a < c。如b < 4，a < b，则可以推出a < 4。 根据数轴上的点越往右越大可知，当数轴上的点向右运动时该点表示的数就会变大，向右运动的距离就是这个数具体增加了多少。例如点A表示的数是1，当点A向右运动5个单位长度后，此时A点表示的数就是1+5=6；同理，当数轴上的点向左运动时，该点表示的数就会减小，此时我们使用减法进行计算。因此数轴上的点的运动规律可以总结为：左减右加。 【精选例题】如图数轴上有点A、B、C三个点。 ① 若把点A向左移动5个单位长度到点D，此时点D表示的数是几？B、C、D三个数中，哪个数最小？ ② 将点C向右移动3个单位长度，此时点B与点C的距离是多少？ 【解析】① 点A表示的数是4，向左移动5个单位长度到-1。所以点D表示的数是-1。此时点B最小。② 点C表示的数是2，向右移动3个单位长度即2+3=5，B点表示数为-2，所以B、C两点的距离为|5-(-2)|=7。 【精选例题2】已知点A在数轴上表示的数为2，点B与A点的距离为4，则点B表示的数是_______ 【解析】此类题目最容易忽略情况，「与A点的距离为4」既可以表示A点左侧4个单位长度，也可以表示A点右侧4个单位长度，所以有两种情况。B在A左侧4个单位长度时，点B表示的数为-2；若B在A右侧4个单位长度时，点B表示的数为6。所以答案为-2或6。 【变式练习4】已知数轴上有A、B两点，点A表示的数是3，点B在数轴的负半轴上，且AB=4，则B点表示的数是_______ 【变式练习5】数轴上一个点A向左运动8个单位长度后，与原点的距离为1，求点A原来表示的数是多少？ 【变式练习6】☆ 数轴上点A、B对应的数分别为1和4，点P从A出发以每秒1个单位长度向左运动，同时点Q从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，经过________秒后，P、Q两点的距离为9。 【变式练习7】☆ 将半径为1个单位长度的圆片上的一点A与1重合，将圆片沿正方向向右滚动3圈，则此时A点表示的数为_________ 题型一 覆盖问题 【精选例题】小张不小心将墨水滴在了数轴上，有部分数字已经看不清了，则被盖住的数中表示的整数有_______个。 【解析】从图中可以看出盖住的数在-6.2和-1，0和4.3之间，所有被盖住的数为-6、-5、-4、-3、-2、1、2、3、4，共9个。 【变式练习8】李凡在写作业时将墨水滴在了数轴上，根据下图求出盖住部分的整数的和是________ 题型二 规律探究 【精选例题】如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆周上有四个点A、B、C、D将圆周平均分成四份，如图所示，点A与1重合，将圆从点A沿数轴正方向向右滚动数周后，与数字2026重合的点是________ 【解析】圆滚动一周的长度即为周长，长度为4，起始点A位置在1上，滚动一圈后A点与5重合，再滚动一圈点A与9重合，以此类推，得到周期为4。所以用(2026-1)÷4=506...1。所以与2026重合的点是点D。 【变式练习9】如下图所示，等边三角形ABC边长为1，在数轴上向右滚动2026圈，此时点C表示的数是_________ 巩固练习 1、关于数轴的三要素，下列说法错误的是（ ） A. 原点表示数0 B. 正方向通常取向右为正 C. 单位长度可以根据需要选取 D. 同一条数轴上可以选取不同的单位长度 2、下列各数：-3, 0, 2.5, -1/2, 4，在数轴上离原点最远的点表示的数是______，离原点最近的点表示的数是______ 3、数轴上点A表示的数是-2，将点A向右移动4.5个单位长度后到达点B，则点B表示的数是______ 4、一只蚂蚁从数轴上表示-3的点出发，先向右爬了2个单位长度，再向左爬了5个单位长度，最后又向右爬了4个单位长度。此时蚂蚁所在的位置表示的数是_____ 5、数轴上点A表示的数是2，点B在点A的左侧，且AB=7。将点B向右移动3个单位长度到达点C，求点C表示的数。 6、写出所有大于-3且不大于2的整数，并在数轴上表示出来。这些整数的和是多少？ 7、一个半径为1的圆，圆周上有一点A标记在1处，圆沿数轴正方向滚动1圈后，点A落在数轴上表示的数是______。（圆周率取3.14） 8、数轴上有一线段MN，M表示-2，N表示5，则线段MN覆盖的整数有______个，这些整数的和为____ 9、圆的周长为4个单位长度，圆周上有A、B、C、D四个点将圆周四等分，点A与数轴上的1重合。将圆沿数轴正方向滚动，当点A第5次落在数轴上时，点A对应的数是______ 10、数轴上点A表示的数是-5，点B表示的数是3。一只蚂蚁从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右爬行，同时另一只蚂蚁从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左爬行。 (1) 两只蚂蚁出发后几秒相遇？ (2) 相遇点表示的数是多少？ 11、数轴上点A、B分别表示-2和4。点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动；点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动。 (1) 2秒后，点P和点Q分别表示什么数？ (2) 经过几秒，点P追上点Q？ (3) 追上时，点P表示的数是多少？ 参考答案 【变式练习1】A选项，数轴负方向向左依次为-1, -2，图中为-2, -1 故错误。B选项是正确的数轴画法。C选项未表明正方向，故C错误。 【变式练习2】-0.25 【变式练习3】E: -5；D: -3.5；C: -1；B: 3.5；A: 5。大小关系：E < D < C < B < A 【变式练习4】-1（点A为3，B在负半轴且AB=4，故B=3-4=-1） 【变式练习5】7或9（与原点的距离为1的数可能是1也可能是-1。若为1，原来=1+8=9；若为-1，原来=-1+8=7） 【变式练习6】2（A=1向左，B=4向右。相背而行，初始距离3，目标距离9，还需拉开6。合速度=1+2=3，6÷3=2秒） 【变式练习7】1+6π（一周为2π，3圈总长6π，故A点表示1+6π） 【变式练习8】1（盖住整数-3,-2,1,2,3，和为(-3)+(-2)+1+2+3=1） 【变式练习9】6079（等边三角形周长=3，每滚一周加3。起点1，滚2026圈：1+2026×3=6079） 巩固练习答案 1、D（同一条数轴上只能选取一个单位长度） 2、最远：4；最近：0（-3距3，0距0，2.5距2.5，-1/2距0.5，4距4） 3、2.5（A=-2，向右+4.5得B=2.5） 4、-2（-3→+2→-1→-5→-6→+4→-2） 5、-2（A=2，B在左侧且AB=7，B=-5。向右+3得C=-2） 6、整数：-2, -1, 0, 1, 2；和为0（> -3即从-2起，≤ 2即到2止。和为0） 7、7.28（周长=2πr=2×3.14×1=6.28，1+6.28=7.28） 8、8个；和为12（从-2至5：-2,-1,0,1,2,3,4,5共8个，和=12） 9、21（每滚1周A移动4，第5次落在数轴上：1+4×5=21） 10、(1) 8/3秒相遇；(2) 相遇点表示1/3（AB=8，合速度=3，时间=8/3秒。相遇点=-5+2×(8/3)=1/3） 11、(1) P表示4，Q表示6；(2) 3秒追上；(3) 追上时P表示7（追及距离=6，速度差=2，时间=3秒。P=-2+3×3=7） 学科网（北京）股份有限公司 $