重难点专题17 旋转与几何综合（含压轴）（3大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以旋转性质为核心，构建线段求值、角度计算、面积求解三大模块的方法体系，通过问题转化与模型应用培养几何直观与推理能力，实现综合题突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |旋转与线段求值综合|11道（含8选择2填空1解答）|旋转性质应用、等量替换、圆轨迹最值模型、勾股定理与全等简化计算|以旋转性质为基础，通过线段转化构建“已知→未知”逻辑链，结合圆与三角形三边关系突破最值问题| |旋转与角度综合|7道（含2选择5解答）|旋转角与对应角关系、等腰/直角三角形角度推导、动态旋转不变量分析、全等倒角模型|从旋转角不变性出发，推导对应角与图形内角关系，通过多步旋转中的固定角建立角度计算逻辑| |旋转与求面积综合|10道（含2选择3填空5解答）|面积不变性、割补法、动态面积中不变底高应用、多图形重叠面积分步计算|基于旋转不改变面积的性质，将不规则图形转化为规则图形，结合动态过程中的不变量求解面积问题|

重难点专题17 旋转与几何综合（含压轴） 重难点一 旋转与线段求值综合（含最值） 1 旋转核心性质：旋转前后对应线段长度完全相等，对应点到旋转中心距离不变； 2 遇线段求值，优先利用等量替换，把旋转后的未知线段转化为已知边长； 3 线段最值通用模型：定点绕点旋转轨迹为圆，利用 “圆外一点到圆的距离”求最值； 4 最大值=定点到圆心距离+半径，最小值=定点到圆心距离-半径； 5 复杂压轴结合三角形三边关系，三点共线时取到最大、最小值； 6 计算时配合勾股定理、全等三角形，简化复杂线段长度。 1．如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，若点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得，即可得，根据勾股定理可得，根据旋转的性质得，，根据勾股定理即可得． 【详解】解：在中，，，， 则， ∴， ∴， ∵绕点C逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和旋转的性质． 2．如图，中，且，D为外一点，连接，过D作交于点E，F为上一点且，连接，．将线段绕点C逆时针旋转90°到线段，连接分别交、于点M、N，连接、．下列结论（　　） ： ： ； ： ⑤若，，，则四边形面积为． 其中正确的个数为（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【分析】先证明，再证明，得到对应边相等，对应角相等，依次得出正确和错误，由等腰直角三角形的性质和勾股定理，得出正确，由三角形的三边关系，可以得出正确，利用勾股定理逆定理和三角形面积公式即可判定正确． 【详解】如图，连接， ∵，根据旋转有：，， ∴， 又∵,， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，故正确； ∵在中，，， ∴，， ∴，故正确； ∵， ∴，即，故正确； ∵在等腰和等腰中，，，， ∴， ∴，故错误； 若，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形，， ∴，故正确； 即正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形等内容，解决本题的关键是能正确分析图形中的相等关系，能在相等的边和角中进行转化，能构造直角三角形进行求解等． 3．如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长． 【详解】解：如图： ∵将ΔABG绕点B逆时针旋转60°得到ΔEBF， ∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴ΔBFG是等边三角形， ∴BF=BG=FG， ∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”， ∴当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，如上图所示： ∴∠EBH=60°， ∵， ∴，EH=3， ∴EC=2EH=6， ∵∠CBE=120°， ∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．如图，平行四边形ABCD中，，．，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（      ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明∠GNB=60°，点G的运动轨迹是射线NG，由 “SAS”可证△EGN≅△BGN，可得GB=GE，推出，求出EC即可解决问题． 【详解】解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BD， ∵AE=2DE， ∴AE=4，DE=2， ∵点N是AB的中点， ∴AN=NB=4， ∴AE=AN， ∵∠A=60°， ∴△AEN是等边三角形， ∴∠AEN=∠FEG=60°， ∴∠AEF=∠NEG， ∵EA=EN，EF=EG， ∴△AEF≅△NEG（SAS)， ∴∠ENG=∠A=60°， ∴∠ANE=60°， ∴∠GNB=180°-60°-60°=60°， ∴点G的运动轨迹是射线NG， ∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG， ∴△EGN≅△BGN（SAS)， ∴GB=GE， ∴GB+GC=GE+GC≥EC， 在Rt△DEH中， ∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°， ∴DH==1，EH=， 在Rt△ECH中，EC=， ∴GB+GC≥， ∴GB+GC的最小值为 故选：A． 【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 5．如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，设，只要证得，利用全等三角形的性质可得，，进而得到，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，   又， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 当时，有最小值为， ∴的最小值为， 故选：C 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，作出适当的辅助线是解题的关键． 6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ．则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（    ） A．4 B．5 C．10 D．5 【答案】D 【分析】将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，再设线段的中点为M，并连接CM．根据线段BP的旋转方式确定点Q在线段上运动，再根据垂线段最短确定当Q与点M重合时，CQ取得最小值为CM．根据∠C=90°，∠A=30°，AB=20求出BC的长度，再根据旋转的性质求出和的长度，根据线段的和差关系确定点C是线段的中点，进而确定CM是的中位线，再根据三角形中位线定理即可求出CM的长度． 【详解】解：如下图所示，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，再设线段的中点为M，并连接CM． ∵点P是AC边上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ， ∴点Q在线段上运动． ∴当，即点Q与点M重合时，线段CQ取得最小值为CM． ∵∠C=90°，∠A=30°，AB=20， ∴BC=10． ∵Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到， ∴=BC=10，． ∴． ∴． ∴点C是线段中点． ∵点M是线段的中点， ∴CM是的中位线． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半，垂线段最短，三角形中位线定理，综合应用这些知识点是解题关键． 7．如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD，则DA＝PA，连CD，DP，CP，由△ABC为等边三角形ABC，得到∠DAC＝∠BAP，AC＝AB，于是有△DAC≌△PAB，则DC＝PB，所以PC≤DP＋DC，即可得到PC所能达到的最大值． 【详解】解：把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD， 则DA＝PA，连CD，DP，CP，如图， ∵△ABC为等边三角形ABC， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB， ∴∠DAC＝∠PAB， 在△DAC和△PAB中， ， ∴△DAC≌△PAB（SAS）， ∴DC＝PB， ∵DA＝PA，, ∴为等边三角形， ∴, 而PB＝2，PA＝1， ∴DC＝2， ∵PC≤DP＋DC， ∴PC≤3， 所以PC所能达到的最大值为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质． 8．如图，在等边中，，是内一点，将线段绕点逆时针旋转，得到，直线与交于点，则的最大值是___________． 【答案】 【分析】结合等边三角形的性质及旋转的性质，由可判定，由全等三角形的性质得，由三角形内角和得，可得、、、四点共圆，圆心为等边三角形的外心，当点在线段的延长线上时，时，最小，当点在线段上时，时，最小，点的运动轨迹为以为圆心，的长为半径的，当是的直径时，取得最大值，即可求解． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， ， 线段绕点逆时针旋转至， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 、、、四点共圆，圆心为等边三角形的外心， 如图， 点的运动轨迹为以为圆心，的长为半径的， 当是的直径时，取得最大值， 连接，过点作交于， ，， ∴， ∴ ， 取得最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，圆的基本性质，勾股定理等；掌握等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，圆的基本性质，能找出动点的运动轨迹，并能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 9．如图，是等边三角形的边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】延长到，使，根据等边三角形的性质和旋转的性质得出，，根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例可得，，推得，，根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应角相等得出，得出点在的边上运动，根据三角形的外角性质和等边对等角得出，求得，，作点关于的对称点，连接，根据轴对称的性质得出，，根据垂线段最短和两点之间，线段最短得出满足，，三点共线，且时，的值最小，根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形是矩形，根据矩形的对边相等和勾股定理求出的值，即可求解． 【详解】解：延长到，使．如图： ∵为等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由可得， ∴， ∴， ∴点在的边上运动， ∵，， ∴， 故，， 作点关于的对称点，连接， 则，， 故， 当，，三点共线时，， 当时，的值最小， 故满足，，三点共线，且时，的值最小， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 故最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等边对等角，轴对称的性质，垂线段最短，两点之间，线段最短，矩形的判定和性质，勾股定理等．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10．如图，已知等腰直角，， ，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为 ________________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质，锐角三角函数可求得，当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，求得根据勾股定理求得，即；当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，则根据勾股定理求得，即，进而求出的值 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ， ∴， 当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，如图： 则 在中，， ， 当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，如图： 则 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据旋转推出线段最长和最短时的位置是解题的关键 11．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，且一次函数的图像交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的一次函数图像上有一点P，满足，请求出点P的坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． (4)在中找一点Q，使的值最小，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或． (4) 【分析】（1）先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式；然后将A点的坐标代入反比例函数解析式就可以求出a的值，确定点A的坐标，最后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数解析式求得C、D的坐标，进而求得，进一步根据题意得到的长度，利用距离公式求得点P的坐标； （3）通过图像观察就可以直接看出当时，x的取值范围； （4）如图：将绕O旋转得到，易得是等边三角形，则，；进而得到如图：当D，Q、、共线时，有最小值，此时；再求得点的坐标，运用待定系数法求得直线的方程为；然后说明是等腰直角三角形，即；设，即，然后代入直线解析式求得t即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像过点， ∴， ∴， ∵在双曲线上， ∴，即， ∴， ∵一次函数的图像经过A、B两点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式． （2）解：在中，当时，；当时，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设点P的坐标为，则， 解得或（舍去）， ∵点P在第四象限， ∴， ∴，则， ∴P的坐标为； （3）解：由（1）可知：一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， 观察图像可知，当时，x的取值范围是或． （4）解：如图：将绕O旋转得到，则，，， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴如图：当D，Q、、共线时，有最小值，此时， 如图：过作轴于F， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的方程为， ，解得：， ∴直线的方程为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：过作轴于G，则是等腰直角三角形， ∴， 设，即， ∵点Q在直线的方程为上， ∴，解得：， ∴． 重难点二 旋转与角度综合（含压轴） 1 旋转前后对应角大小相等，旋转角处处相等，所有对应点连线夹角等于旋转角； 2 求未知角度优先找：旋转角、等腰三角形底角、直角三角形余角三类关系； 3 图形重叠角度问题，用整体角度减去重叠角度，避免角度混乱； 4 多步旋转压轴，先锁定不变角、固定直角、固定等边，作为解题突破口； 5 遇动态旋转角度变化，抓住 “旋转角恒定、对应角不变” 的不变量； 6 压轴难题常用全等+倒角模型，反复推导内外角关系，求出定值角度。 1．如图将绕点C逆时针旋转得到，点B恰好落在上，若，则旋转角为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】C 【分析】先求出，根据旋转的性有，即可证明，即问题得解． 【详解】解：∵， ∴， 根据旋转的性有， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即旋转角度为40°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的定义的知识，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 2．如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转，得到，连结，过点A作交的延长线于点H，连结，则的度数（    ） A． B． C． D．随若的变化而变化 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解． 【详解】解：根据旋转有：， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 3．如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． (1)如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； (2)在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； (3)如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 【答案】(1)40 (2)时；当时 (3)t为或 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由平角的定义及计算得到，在四边形中根据内角和定理即可求解； （2）由折叠的性质得：，，结合图形分类讨论：当在的左侧时（）；当在的右侧时（）；结合角度的数量关系列式求解即可； （3）根据题意得到射线到的时间为秒，射线到的时间为秒，，，结合运动情况分类讨论：与相遇前；在与相遇后；由平角的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵与关于直线对称，点落在边上，，与关于直线对称，点落在边上， ∴， ∴， ∵，则， ∴， 在四边形中，， 故答案为：40； （2）解：由折叠的性质得：，， ，， ①当在的左侧时（）， ， ， ， ； ②当在的右侧时（）， ， ， ， ． 综上，x，y满足当时；当时． （3）解：当时，， ∵射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，到位置停止， ∴射线到的时间为秒，射线到的时间为秒， 由题意可知，，， ①与相遇前，则， ∴， 解得； ②与相遇后，则， ∴， 解得，不合题意舍去； ∴在与相遇后，当时，射线已停止旋转， ∴此时， ， 解得， 综上，当t为或时，． 4．【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上． (1)如图1， ； 【操作探究】 (2)如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？ 【拓展延伸】 (3)如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据平角的定义列式计算即可； （2）先求出的度数，然后分在内部和在外部两种情况，根据角的和差关系列式求解； （3）分旋转后与所在直线垂直、与所在直线垂直、与所在直线垂直三种情况求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：由（1）可知， ， 如图，当在内部时， 由旋转可知， ， ； 如图，当在外部时， 由旋转可知， ， ； 综上所述，或； （3）解：如图，当旋转得到的边所在的直线时，垂足为， ， 四边形是矩形， ， 由折叠可知， ； 如图，当旋转得到的边所在的直线时，此时在线段上， 由折叠可知， ； 如图，当旋转得到的边所在的直线时， ， ． 综上所述，当与的一边所在直线垂直时，旋转角的度数为或或． 5．问题提出 （）如图所示，将含有 和角的一副直角三角板与 在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则 ． 问题探究 （）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究 度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由； 问题解决 （）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒 速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当 与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．    【答案】（）；（）度数不会发生变化，为；（）或． 【分析】（）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解； （）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解； （）由，可判断出与重合前（含重合）和与重合后这两个阶段不存在满足条件的值，由此得到满足条件的值在与重合后到与重合时这个阶段，根据角的和差关系列出方程即可求解； 本题考查了角的旋转，角的计算及角平分线的定义，能通过图形找到所求角的和差关系是解题的关键． 【详解】解：（）∵点在直线上，，， ∴， ∵为平分线， ∴， 故答案为：； （）∵将三角板绕点逆时针旋转， ∴，， ∵平分，为平分线， ∴， ， ∴， ∴度数不会发生变化，为； （）由图可知，当与重合前（含重合）和与重合后，， ∴在这两个阶段不存在满足条件的值， 当与重合后到与重合时， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时，的值为或． 6．已知是等腰三角形，，将绕点B逆时针旋转得到， (1)感知：如图①，当落在AB边上时，与之间的数量关系是 （不需要证明）； (2)探究：如图②，当不落在AB边上时，AB与是否相等？如果相等；如果不相等，请说明理由； (3)应用：如图③，若，、交于点E，则 度． 【答案】(1)相等； (2)相等；理由见解析； (3)． 【分析】（1）根据旋转的性质及图中各角之间的数量关系可得，利用等边对等角求解即可得； （2）根据旋转的性质及相似三角形的判定和性质即可证明； （3）根据（2）中结论及各角之间的等量代换可得，设与AE相交于点O，可得，利用等腰直角三角形的性质可得，据此计算即可得． 【详解】（1）感知：∵将绕点B逆时针旋转得到，， ∴，当落在AB边上时， 即， ∵，， ∴， 即， 故答案为：相等； （2）探究：，证明如下： ∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （3）应用：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与AE相交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 7．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 度； (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值． 【答案】(1) (2) 解：当在外部时，，理由如下∶ ， ，， 当在内部时，，理由如下∶ ， ； (3)或或或 【分析】（1）先根据平分得到，即可求出； （2）根据题意可得，作差即可求解； （3）先求出旋转前的夹角，然后再求出第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：平分， ， 三角板旋转的角∶ ， 故答案为：． （2）略 （3）射线平分，射线平分， ， 旋转前， 旋转前与的夹角为：， 与第一次相遇的时间为： 秒， 此时旋转的角度为： 此时OC与的夹角为： 与OD第二次相遇的时间为： (秒)， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为， ①， 解得∶， ②， 解得∶， ③， 解得∶， ， ④， 解得∶， ． 在OC与OD第二次相遇前，当时，旋转时间为或或或． 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念才能在求解角度时需要合理运用“等量代换”；求解角的旋转时会出现多种情况运用“分类讨论思想”．本题难点在于旋转后的多种情况的分析，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 重难点三 旋转与求面积综合（含压轴） 1 旋转不改变图形面积大小，旋转前后图形面积完全相等； 2 不规则阴影面积，利用旋转割补法，将零散图形拼接为规则图形； 3 重叠面积题型：总面积减去空白面积，或对称替换相等面积部分； 4 动态旋转面积变化，抓住 “不变图形、不变底高”，排除动态干扰； 5 三角形面积套用公式 ，旋转后底高不变可直接秒算； 6 压轴大题多图形旋转重叠，分步计算单个区域面积，再合并或作差求解。 1．如图，中，，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，当面积最大时，的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接点A和中点F，过点F作，垂足为点H，连接，证明点H、F、E三点共线，则为的高，根据三角形的面积公式将的面积表示出来即可解答． 【详解】 连接点A和中点F，过点F作，垂足为点H，连接， ∵点F为中点F， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则点H、F、E三点共线， 故为的高， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ， ∴当面积最大时，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形和相似三角形的判定，以及二次函数的性质，解题的关键是根据题意画出辅助线构造全等三角形． 2．如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形判定与性质及二次函数求最值．先过点作，先通过证明与全等，得到对应边相等，再用和表示的面积，最后通过二次函数求面积的最大值． 【详解】解：如图，过点作，则．    设()． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∴． 又， ∴． 在和中：， ∴． ∴， ∴， ∴的面积， ∵是关于的二次函数，图象开口向下，， ∴当时，面积取得最大值：， 故选：A． 3．如图，一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1）．现将绕点按顺时针方向旋转，边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 _____________． 【答案】 【分析】将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，，是旋转到的过程中任意位置，作于N，过点B作交的延长线于M，首先证明是等边三角形，点在直线上，然后可得线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，求出和，然后根据线段扫过的面积 列式计算即可． 【详解】解： 如图，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，， 由旋转的性质得，，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即垂直平分， ∵是等腰直角三角形， ∴点在直线上， 是旋转到的过程中任意位置， 则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积， ∵， ∴， ∴， 作于N， 则， ∴， 过点B作交的延长线于M， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴线段扫过的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点在直线上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键． 4．如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 【答案】/6.25/ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形三线合一的性质．连接，利用正方形的性质及已知条件得出，，再由得出，从而证明，进而得出，求出面积． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， ∴， 又∵O为对角线中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在矩形中， ，以点 为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形得到矩形 ，旋转角为（ ）．取的中点 ，连接 ，， ，在矩形旋转的过程中， 面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】依题意，为等腰直角三角形，由题意证得当三点共线时，面积最大，此时，的最大值为，计算即可得出答案． 【详解】解： 连，由题意得 ， ∵ ， ， ∴，为等腰直角三角形， ， ∵的底边是个定值， 如图，作边上的高， ∴当高最大时， 面积才能取得最大值， ∴如图，当矩形旋转到三点共线时，高才能取得最大值， 此时， 的最大值为， ∴ 的面积最大值为． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是_______． 【答案】1 【分析】作于，如图，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，再根据旋转的性质得，然后利用点在线段上时，点到的距离最小，从而可计算出的面积的最小值． 【详解】解：作于，如图， ，，， ， ， ， 点是的中点，   ， 将绕着点逆时针旋转，在旋转过程中点的对应点为点， ，即点在以为圆心，2为半径的圆上， 点在线段上时，点到的距离最小， 的面积的最大值为． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理． 7．图，为等边三角形，点为外的一点，，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE，连接DE，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F，由设DF＝a，则EF＝a，DE＝CE＝2a，由勾股定理可求出a的值，进而即可求解． 【详解】：将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE，连接DE，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F， ∴CD＝CE，∠ECD＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝∠ECD＝60°， ∵∠ADC＝60°， ∴∠ADC＝∠ECD， ∴AD∥CE， ∴S△ACE＝S△CDE， ∵将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE， ∴S△BCD＝S△ACE， ∴S△CDE＝S△BCD， ∵∠ADC＝∠CDE＝60°， ∴∠EDF＝60°， 在Rt△FDE中，设DF＝a，则EF＝a，DE＝CE＝2a， ∵，， ∴AE=， ∴在Rt△AEF中，，解得：a=1或a=-3（舍去）， ∴S△BCD= S△CDE=×2a×a=×2×=． 故答案是：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 8．如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． (1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，再推出，即可得出结论，然后利用三角形中位线的性质推出得，最后根据互余即可得出结论； （2）证明得，利用三角形的中位线得出，，继而得到，结合（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图中，线段与的数量关系是，位置关系是； （2）解：是等腰直角三角形．理由如下： ∵把绕点逆时针方向旋转到图的位置， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知：是等腰直角三角形，且， ∴， ∴最大时，的面积最大， ∵绕点在平面内自由旋转，，， ∴当在的延长线上时，最大 此时， ∴， 即面积的最大值． 9．定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”． (1)如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕看点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等，并说明理由； (2)如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC和BE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由； (3)如图4，在等边△ABC中，D是△ABC内部一点，且，，，直接写出△ABC的面积． 【答案】(1)全等；理由见解析 (2)； (3) 【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE，得∠BAD＝∠CAE，利用SAS可证结论； （2）由（1）同理可证△ABE≌△ACD（SAS），得DC＝BE，∠ABE＝∠ACD，从而得BE⊥CD； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，可证DE2＋CE2＝CD2，则∠CED＝90°，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于F，得CF＝CE＝2，EF＝，在Rt△ACF中，运用勾股定理求出AC的长，从而求出等边△ABC的面积． 【详解】（1）解：全等，理由如下： ∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAD＝∠BAC−∠DAC，∠CAE＝∠EAD−∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：DC⊥BE，DC＝BE，理由如下： ∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°， ∵∠BAE＝∠BAC＋∠EAC，∠CAD＝∠EAD+∠EAC， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE与△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴DC＝BE，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ABE＋∠EBC＋∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠EBC＋∠ACB＝90°， ∴∠EAC＋∠DCB＝90°， ∴DC⊥BE； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，如图所示： ∴AD＝AE，∠DAE＝60°，CE＝BD＝4， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝3，∠AED＝60°， ∵，， ∴， ∴∠CED＝90°， ∴∠AEC＝∠AED＋∠DEC＝60°+90°=150°， 过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于F， ∴CF＝CE＝2，EF＝， ∴， 在Rt△ACF中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是运用旋转将分散条件集中到一个三角形中进行求解． 10．如图，与均为等腰直角三角形，，F，G，H分别是，，的中点，连接，，． (1)当E在延长线上时，如图①，的形状是_____； (2)将绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由； (3)若，，绕点C逆时针旋转一周，直接写出面积的最大值和最小值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)成立，理由见解析 (3)最大值：，最小值： 【分析】（1）根据F、G分别是、的中点和、是等腰直角三角形即可得出结论． （2）分别取和的中点M、N，连接、、、，根据中位线的性质可求得，再结合是等腰直角三角形，可证，从而得出结论． （3）绕点C逆时针旋转一周，则相当于H在点C为圆心，为半径的圆上移动，当点H运动到N点时，有最小值，运动到M点时，有最大值． 【详解】（1）是等腰直角三角形， 解：∵F、G分别为、的中点，且， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴是等腰直角三角形． （2） 成立，理由如下， 解：取的中点M，的中点N，连接、、、，交于点P， ∵F、G分别 、的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， 同理， ∴， 又∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 同理， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：若绕点C逆时针旋转一周，则相当于H在以C为圆心，为半径的圆上移动， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， 由（2）知是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，l为H到的距离， ∴当H在与交点N处时，有最小值，在交点M处时有最大值， ∵与相交与点P， ∴， ∴，， ∴面积最大值为，最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题17 旋转与几何综合（含压轴） 重难点一 旋转与线段求值综合（含最值） 1 旋转核心性质：旋转前后对应线段长度完全相等，对应点到旋转中心距离不变； 2 遇线段求值，优先利用等量替换，把旋转后的未知线段转化为已知边长； 3 线段最值通用模型：定点绕点旋转轨迹为圆，利用 “圆外一点到圆的距离”求最值； 4 最大值=定点到圆心距离+半径，最小值=定点到圆心距离-半径； 5 复杂压轴结合三角形三边关系，三点共线时取到最大、最小值； 6 计算时配合勾股定理、全等三角形，简化复杂线段长度。 1．如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，若点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 2．如图，中，且，D为外一点，连接，过D作交于点E，F为上一点且，连接，．将线段绕点C逆时针旋转90°到线段，连接分别交、于点M、N，连接、．下列结论（　　） ： ： ； ： ⑤若，，，则四边形面积为． 其中正确的个数为（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 3．如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 4．如图，平行四边形ABCD中，，．，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（      ） A． B． C． D．10 5．如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ．则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（    ） A．4 B．5 C．10 D．5 7．如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在等边中，，是内一点，将线段绕点逆时针旋转，得到，直线与交于点，则的最大值是___________． 9．如图，是等边三角形的边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，若，则的最小值为________． 10．如图，已知等腰直角，， ，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为 ________________． 11．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，且一次函数的图像交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的一次函数图像上有一点P，满足，请求出点P的坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． (4)在中找一点Q，使的值最小，直接写出点Q的坐标． 重难点二 旋转与角度综合（含压轴） 1 旋转前后对应角大小相等，旋转角处处相等，所有对应点连线夹角等于旋转角； 2 求未知角度优先找：旋转角、等腰三角形底角、直角三角形余角三类关系； 3 图形重叠角度问题，用整体角度减去重叠角度，避免角度混乱； 4 多步旋转压轴，先锁定不变角、固定直角、固定等边，作为解题突破口； 5 遇动态旋转角度变化，抓住 “旋转角恒定、对应角不变” 的不变量； 6 压轴难题常用全等+倒角模型，反复推导内外角关系，求出定值角度。 1．如图将绕点C逆时针旋转得到，点B恰好落在上，若，则旋转角为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 2．如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转，得到，连结，过点A作交的延长线于点H，连结，则的度数（    ） A． B． C． D．随若的变化而变化 3．如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． (1)如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； (2)在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； (3)如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 4．【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上． (1)如图1， ； 【操作探究】 (2)如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？ 【拓展延伸】 (3) 如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ． 5．问题提出 （）如图所示，将含有 和角的一副直角三角板与 在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则 ． 问题探究 （）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究 度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由； 问题解决 （）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒 速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当 与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．    6．已知是等腰三角形，，将绕点B逆时针旋转得到， (1)感知：如图①，当落在AB边上时，与之间的数量关系是 （不需要证明）； (2)探究：如图②，当不落在AB边上时，AB与是否相等？如果相等；如果不相等，请说明理由； (3)应用：如图③，若，、交于点E，则 度． 7．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 度； (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值． 重难点三 旋转与求面积综合（含压轴） 1 旋转不改变图形面积大小，旋转前后图形面积完全相等； 2 不规则阴影面积，利用旋转割补法，将零散图形拼接为规则图形； 3 重叠面积题型：总面积减去空白面积，或对称替换相等面积部分； 4 动态旋转面积变化，抓住 “不变图形、不变底高”，排除动态干扰； 5 三角形面积套用公式 ，旋转后底高不变可直接秒算； 6 压轴大题多图形旋转重叠，分步计算单个区域面积，再合并或作差求解。 1．如图，中，，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，当面积最大时，的长为（    ） A．2 B． C． D． 2．如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 3．如图，一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1）．现将绕点按顺时针方向旋转，边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 _____________． 4．如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 5．如图，在矩形中， ，以点 为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形得到矩形 ，旋转角为（ ）．取的中点 ，连接 ，， ，在矩形旋转的过程中， 面积的最大值为_________． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是_______． 7．图，为等边三角形，点为外的一点，，，，则的面积为______． 8．如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． (1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 9．定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”． (1)如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕看点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等，并说明理由； (2)如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC和BE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由； (3)如图4，在等边△ABC中，D是△ABC内部一点，且，，，直接写出△ABC的面积． 10．如图，与均为等腰直角三角形，，F，G，H分别是，，的中点，连接，，． (1)当E在延长线上时，如图①，的形状是_____； (2)将绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由； (3)若，，绕点C逆时针旋转一周，直接写出面积的最大值和最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $