重难点专题16 中心对称及其性质（8大题型）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题16 中心对称及其性质 重难点一 识别中心对称图形 1 确定图形中心点，将图形绕该点旋转 180°； 2 观察旋转后的图形能否与原图完全重合，以此完成判断； 3 注意和轴对称沿直线折叠重合的判定方法区分开。 1．篆字保存着古代象形文字的明显特点，下列几个篆字中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2．下列图形中，是中心对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意． 3．云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中．下列的云纹图案中，是中心对称图形的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意. 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A 、既不是轴对称图形又不是中心对称图形； B、是中心对称图形，不是轴对称图形； C、是轴对称图形，不是中心对称图形； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形. 5．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是_______． （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（4） 【分析】根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形）依次对各个图形进行判断即可． 【详解】解：（1）该图形不是中心对称图形， （2）该图形不是中心对称图形， （3）该图形不是中心对称图形， （4）该图形是中心对称图形， ∴这些汽车标识中，是中心对称图形的是（4）． 6．线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ____________________ ． 【答案】线段，正方形，圆，正六边形，正八边形 【详解】解：线段是轴对称图形（有对称轴）和中心对称图形（绕中点旋转180度重合）； 正方形是轴对称图形（有4条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）； 圆是轴对称图形（有无数条对称轴）和中心对称图形（绕圆心旋转180度重合）； 正六边形是轴对称图形（有6条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）； 正八边形是轴对称图形（有8条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）． 等腰三角形、等腰梯形、、等边三角形、正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故它们不符合题意． 故既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段，正方形，圆，正六边形，正八边形， 故答案为：线段，正方形，圆，正六边形，正八边形． 重难点二 补充一个图形使整体成为中心对称图形 1 先找出整个组合图形的对称中心点； 2 标出现有图形所有顶点，找到各顶点旋转 180° 在网格里的对应位置； 3 在对应点位补画图形，最后整体验证是否满足中心对称。 1．如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【详解】解：如图，再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，可选取小正方形①或选取小正方形②，这样的涂法共2种． 2．在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：根据中心对称图形的定义可得，该小正方形的序号是②． 3．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（     ） A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处 【答案】C 【详解】解：把正方形添加在区域3处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形． 4．如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形，理解其定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，选取方格为时，整个阴影部分如图，为中心对称图形． 故选：A ． 5．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【答案】2 【分析】根据中心对称的定义，逐个验证剩余白色方格，填入后旋转可以使图形与原图形重合的即为所求． 【详解】解：如图，将A方格涂黑或将B方格涂黑可以使形成的图形成为中心对称图形，共2个方格． 6．如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是__________．    【答案】② 【详解】解：由中心对称图形的定义可知选择标有序号②的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形， 故答案为：②． 重难点三 求关于原点对称的点的坐标 1 套用公式：点关于原点对称的点； 2 分别给横坐标、纵坐标取相反数，直接写出结果。 1．点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点关于原点对称， 点关于原点对称的点的坐标为． 2．已知的对角线交点恰好落在原点，若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线交点落在原点， ∴原点是对角线的中点，即点与点关于原点中心对称， ∵关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标为． 3．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是． 4．在平面直角坐标系中，点与点Q关于原点中心对称，则点Q的坐标为______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数即可求解． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特征，点关于原点中心对称的点的坐标为． 5．在平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，即横坐标和纵坐标都互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为原来的相反数． 而点的横坐标为，相反数为；纵坐标为，相反数为， 故关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，的对角线与的交点是原点O，已知点A的坐标是，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，若对角线的交点为原点时，则点A与点C关于原点对称，从而根据点A坐标可求点C坐标． 【详解】解：四边形是平行四边形，且平行四边形是中心对称图形， 当其对角线的交点为原点时，则点A与点C关于原点对称， 点A的坐标是， 点C的坐标为． 重难点四 根据关于原点对称求参数的值 1 利用横、纵坐标互为相反数列出方程； 2 解方程算出参数； 3 把结果代回原题条件进行检验。 1．已知点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D．9 【答案】D 【分析】利用关于原点对称的点的坐标性质，先求出和的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 2．在平面直角坐标系中，，两点关于原点对称，则的值是（   ） A．8 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，负整数指数幂． 根据关于原点对称的点的坐标特征，即横坐标和纵坐标均互为相反数，求出a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 3．已知点和关于原点对称，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2025 【答案】B 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数，进而求出的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：由题意， ∴， ∴； 故选B． 4．点与点关于原点对称，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标、代数式求值等知识点，掌握关于原点对称的点坐标符号相反是解题的关键． 先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出a、b的值，然后再计算的值即可． 【详解】解：∵点关于原点对称的点为， ∴， ∴． 故选D． 5．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于， ∵点的纵坐标为，已经满足要求， ∴只需满足横坐标小于，即 ， 解得． 6．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征和二元一次方程组的应用． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解． 【详解】解：∵点 与点 关于原点对称， ∴将， 解得， 故选：D 7．已知点和点关于原点对称，则___________． 【答案】/ 【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ， ． 8．若点与点关于点成中心对称，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查了成中心对称的点的坐标特征，根据二次根式的性质化简，掌握中心对称的性质是解题的关键．根据成中心对称的两个点之间的坐标关系求出，即可解决问题． 【详解】解：点与点关于点中心对称， ，， 解得，， ∴ 故答案为：． 9．已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案． 【详解】解：点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点为：（﹣2﹣m，1﹣m）， ∵（﹣2﹣m，1﹣m）在第二象限， ∴﹣2﹣m＜0，1﹣m＞0， 解得：﹣2＜m＜1． 故答案为：﹣2＜m＜1． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 重难点五 与中心对称有关的线段求值 1 根据中心对称性质，对应线段长度相等，进行等量替换； 2 结合已知边长或者勾股定理列式计算。 1．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理等．根据与关于点O成中心对称，推出，，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（　　） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键， 根据中心对称图形的特点得到，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴， ∴， 在中，， 故选：D ． 3．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得到 对称性得到，，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，对角线、相交于点，， ∴， ∵与关于点成中心对称， ∴，，三点共线， ∴， 在中，． 4．如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 5．如图，已知与关于点A中心对称，若，则的长为____________．    【答案】6 【详解】解∶∵与关于点A中心对称， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为∶6． 重难点六 根据图形的变换画另一部分图形 1 标记出已知图形的全部顶点； 2 逐一作出每个顶点关于对称中心旋转 180° 的对应点； 3 按照原有顺序依次连接对应顶点，补全图形。 1．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）． （1）请画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）找到△ABC各顶点关于原点O对称的对应点，再顺次连接即可； （2）找到△A1B1C1各顶点关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）如图所示△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示△A2B2C2，即为所求． 2．在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)将绕点O顺时针旋转90°得到，作出； (2)的中心对称图形为，其中点的坐标为，作出． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 如图，即为所求． 【分析】题考查作图旋转变换，中心对称等知识； （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【详解】（1） 略 （2）略 3．如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； (3) 【分析】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合，即可得出答案． 【详解】（1）解∶如图，线段、即为所求； （2）解：如图，即为所求． （3）解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P．则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合， 点P的坐标为， 故答案为∶． 4．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣5，2），C（﹣3，4）． (1)画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标； (2)将△ABC绕B点顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并直接写出A2点的坐标； (3)已知△A2B2C2可以看作由△A1B1C1绕点P逆时针旋转90°得到的图形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)图见解析，A1点的坐标为（4，﹣5） (2)图见解析，A2点的坐标为（﹣2，1） (3)P(-2，-5) 【分析】(1)关于原点对称，横坐标与纵坐标均互为相反数，分别求出A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标，然后再连接成三角形即可； (2)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可； (3)对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心即可求解． 【详解】（1）解：A(-4，5)关于原点O对称的点A1坐标为(4，5)， B(-5，2)关于原点O对称的点B1坐标为(5，-2)， C(-3，4)关于原点O对称的点C1坐标为(3，-4)， △A1B1C1图形如下所示： （2）解：如下图，△A2B2C2即为所求，A2点的坐标为(-2，1)； （3）解：如下图所示：连接C1C2，过其中点E作PE⊥C1C2，则PE为C1C2垂直平分线， 连接A1A2，过其中点F作PF⊥A1A2，则PF为A1A2垂直平分线， 由旋转的性质可知：旋转前后对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心， ∴PE与PF的交点P即为旋转中心，P(-2,-5)． 【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称的性质，理解对应点连线段的垂直平分线的交点为旋转中心． 重难点七 利用中心对称的性质求面积 1 中心对称的两部分面积相等，满足； 2 采用割补法，将不规则阴影转化为三角形、矩形等规则图形计算面积。 1．如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E， ∵直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故选：B 2．如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的面积公式．根据中心对称图形的性质得出是解题关键． 【详解】解：∵阴影部分图形关于点O成中心对称， ∴, ∴． ∵的高， ∴． 故选D． 3．如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（    ） A．8 B．10 C．15 D．30 【答案】C 【分析】图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答． 【详解】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分， 则阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键． 4．如图，已知长方形的长为10，宽为4，则图中阴影部分的面积为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 【答案】A 【分析】观察图形可知，阴影与空白图形都是互相对称的，故其面积相等，则图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半． 【详解】解：根据题意观察图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2， 再根据中心对称的性质得： 图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半， 则图中阴影部分的面积=×40=20cm2． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称，难度适中，关键是利用中心对称的性质得出答案． 5．如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点， ∴，，图形①与图形②面积相等， ∴． 6．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】7 【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为8和正方形的边长为6， ∴正方形的面积为64，正方形的面积为36， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故答案为：7． 7．将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是__________．    【答案】9 【详解】解：如图，连接、，    ， ， ，， ， ， 一个阴影部分的面积等于正方形的面积的， 四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积， 五个正方形的边长都为， 四块阴影面积的总和为， 故答案为：9． 重难点八 中心对称中的变化规律 1 确定周期：连续 2 次中心对称变换后图形回到初始位置，周期为2； 2 用总变换次数÷周期，计算余数； 3 依靠余数判定最终位置，不需要一步步重复画图。 1．在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 3．如图，一段抛物线记为，它与x轴的交点为O，，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为，…，如此进行下去，直至得到．当n为偶数时，抛物线的表达式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象及其性质，中心对称的性质，先求出抛物线与x轴的交点的坐标及两交点的距离，再根据轴对称和中心对称找顶点坐标的规律，得到抛物线与x轴的交点的坐标及开口方向，即可得到答案； 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向下，且抛物线与x轴两交点的距离为：； ∵将绕点旋转得，将绕点旋转得， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向上； ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向下； 同理：当n为偶数时，抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向上； ∴抛物线的表达式为： 故答案为：． 4．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（________，________） 【答案】 / 【分析】作轴于点C，先根据1是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，B1的坐标为；分别求出点、、的坐标各是多少，最后总结出An的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：如图，作轴于点C， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， …， ∵，，，，…， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∵当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是， ∴顶点的纵坐标是， ∴顶点的坐标是． 故答案为：，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题16 中心对称及其性质 重难点一 识别中心对称图形 1 确定图形中心点，将图形绕该点旋转 180°； 2 观察旋转后的图形能否与原图完全重合，以此完成判断； 3 注意和轴对称沿直线折叠重合的判定方法区分开。 1．篆字保存着古代象形文字的明显特点，下列几个篆字中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中，是中心对称图形的为（　　） A． B． C． D． 3．云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中．下列的云纹图案中，是中心对称图形的是（     ） A．B． C． D． 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 5．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是_______． （1）；（2）；（3）；（4） 6．线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ____________________ ． 重难点二 补充一个图形使整体成为中心对称图形 1 先找出整个组合图形的对称中心点； 2 标出现有图形所有顶点，找到各顶点旋转 180° 在网格里的对应位置； 3 在对应点位补画图形，最后整体验证是否满足中心对称。 1．如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 3．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（     ） A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处 4．如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（    ） A． B． C． D． 5．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 6．如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是__________．    重难点三 求关于原点对称的点的坐标 1 套用公式：点关于原点对称的点； 2 分别给横坐标、纵坐标取相反数，直接写出结果。 1．点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．已知的对角线交点恰好落在原点，若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点与点Q关于原点中心对称，则点Q的坐标为______． 5．在平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是______． 6．如图，在平面直角坐标系中，的对角线与的交点是原点O，已知点A的坐标是，则点C的坐标是_____． 重难点四 根据关于原点对称求参数的值 1 利用横、纵坐标互为相反数列出方程； 2 解方程算出参数； 3 把结果代回原题条件进行检验。 1．已知点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D．9 2．在平面直角坐标系中，，两点关于原点对称，则的值是（   ） A．8 B． C．9 D． 3．已知点和关于原点对称，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2025 4．点与点关于原点对称，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 5．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．已知点和点关于原点对称，则___________． 8．若点与点关于点成中心对称，则________． 9．已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m的取值范围是_____． 重难点五 与中心对称有关的线段求值 1 根据中心对称性质，对应线段长度相等，进行等量替换； 2 结合已知边长或者勾股定理列式计算。 1．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（    ） A．5 B． C． D． 2．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（　　） A．3 B．5 C． D． 3．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 4．如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 5．如图，已知与关于点A中心对称，若，则的长为____________．    重难点六 根据图形的变换画另一部分图形 1 标记出已知图形的全部顶点； 2 逐一作出每个顶点关于对称中心旋转 180° 的对应点； 3 按照原有顺序依次连接对应顶点，补全图形。 1．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）． （1）请画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2． 2．在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)将绕点O顺时针旋转90°得到，作出； (2)的中心对称图形为，其中点的坐标为，作出． 3．如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 4．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣5，2），C（﹣3，4）． (1)画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标； (2)将△ABC绕B点顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并直接写出A2点的坐标； (3)已知△A2B2C2可以看作由△A1B1C1绕点P逆时针旋转90°得到的图形，直接写出点P的坐标． 重难点七 利用中心对称的性质求面积 1 中心对称的两部分面积相等，满足； 2 采用割补法，将不规则阴影转化为三角形、矩形等规则图形计算面积。 1．如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 2．如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（    ） A．8 B．10 C．15 D．30 4．如图，已知长方形的长为10，宽为4，则图中阴影部分的面积为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 5．如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____． 6．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是______． 7．将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是__________．    重难点八 中心对称中的变化规律 1 确定周期：连续 2 次中心对称变换后图形回到初始位置，周期为2； 2 用总变换次数÷周期，计算余数； 3 依靠余数判定最终位置，不需要一步步重复画图。 1．在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 3．如图，一段抛物线记为，它与x轴的交点为O，，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为，…，如此进行下去，直至得到．当n为偶数时，抛物线的表达式为______． 4．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（________，________） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $