重难点专题09 反比例函数的定义及其参数问题（4大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以定义判断-参数求解-点与函数关系-解析式推导为逻辑主线，通过步骤化方法提炼实现反比例函数基础能力的系统突破，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断反比例函数|4题|3种标准形式+2条件（次数为-1、系数≠0）+排除法|从概念本质出发，建立反比例函数与其他函数的区分标准| |参数问题|5题|列方程组（次数方程+系数不等式）→求解→验系数|结合定义深化对参数限制条件的理解，培养逻辑推理| |点与函数关系|5题|计算坐标乘积→对比k值→判断点是否在图象上|体现反比例函数k=xy的核心模型，强化模型意识| |求解析式|6题（含1解答）|设解析式→代入点坐标求k→写完整表达式|综合应用定义与点的关系，形成“概念-性质-应用”闭环|

重难点专题09 反比例函数的定义及其参数问题 重难点一 判断函数是否为反比例函数 1.牢记反比例3种标准形式：； 2.两个硬性条件：的次数必须为，比例系数； 3.排除一次函数、二次函数、常数函数，不满足两个条件则不是反比例函数。 1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 2．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列关系式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，是的反比例函数的共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 重难点二 反比例函数中的参数问题 1.对照，列出方程组：未知数次数，系数； 2.先解次数方程，算出字母所有解； 3.把解代入系数不等式，剔除使系数为 0 的答案，剩余为最终参数。 1．下表中和两个量成反比例关系，则的值是（    ） x a y 2 A． B． C． D． 2．若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 3．若是反比例函数，则m的值为_______． 4．若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 5．已知函数是反比例函数，则________． 重难点三 反比例函数图象上的点与函数的关系 1.取点坐标，计算的值； 2.将乘积与解析式中的对比； 3.相等则点在双曲线上，不相等则不在。 1．若反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象也一定经过点（   ） A． B． C． D． 3．平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 4．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则在下列点中，可能是反比例函数图像上的点是（   ） A． B． C． D． 重难点四 求反比例函数的解析式 1.设基础解析式； 2.将图像经过的点代入，计算； 3.把代回，写出完整反比例函数解析式。 1．已知点，，在下列某个函数的图象上，则这个函数是（    ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 3．已知点都在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 4．如图，反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点，连接 ，如果的面积为，那么反比例函数的解析式为___________． 5． 已知反比例函数的图象经过点，求反比例函数的解析式 6．如图，点在正比例函数的图象上，过点A作轴于点B，反比例函数的图象经过的中点C，求反比例函数的解析式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题09 反比例函数的定义及其参数问题 重难点一 判断函数是否为反比例函数 1.牢记反比例3种标准形式：； 2.两个硬性条件：的次数必须为，比例系数； 3.排除一次函数、二次函数、常数函数，不满足两个条件则不是反比例函数。 1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 【详解】解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 2．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数，且），只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：是正比例函数， 不符合反比例函数定义， 故A不合题意． 符合（）的形式， 是反比例函数， 故B符合题意． 的分母是，不是单独的， 不符合反比例函数定义， 故C不合题意． 是二次函数， 不符合反比例函数定义， 故D不合题意． 3．下列函数中不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如为常数，的函数称为反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、是反比例函数，不符合题意； B、是一次函数，符合题意； C、是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，不符合题意． 故选：B． 4．下列关系式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，是的反比例函数的共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，）是解题的关键．根据反比例函数的定义（形式为或，），逐一判断各关系式是否符合该定义． 【详解】解：∵ 反比例函数需满足或（）， ∴ ①是正比例函数，不符合； ②即，是正比例函数，不符合； ③符合形式，是反比例函数； ④是一次函数，不符合； ⑤是二次函数，不符合； ⑥中的指数为，不符合反比例函数定义； ⑦即，符合形式，是反比例函数； ∴ 是反比例函数的有③⑦，共2个． 故选：C． 重难点二 反比例函数中的参数问题 1.对照，列出方程组：未知数次数，系数； 2.先解次数方程，算出字母所有解； 3.把解代入系数不等式，剔除使系数为 0 的答案，剩余为最终参数。 1．下表中和两个量成反比例关系，则的值是（    ） x a y 2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的运算，熟练掌握反比例函数式子是解题的关键． 反比例关系中，与的乘积为常数，利用已知数据求，再求即可． 【详解】∵与成反比例， ∴， 当，时，， 当时，， ∴，即， 故选：B． 2．若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 3．若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【分析】反比例函数的一般形式为 (, 为常数)，可得分母中的次数为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 4．若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 【答案】 【详解】解：由反比例函数的定义得，，． 5．已知函数是反比例函数，则________． 【答案】1 【分析】根据反比例函数的定义，列出关于的指数方程与系数不等式，求解后舍去不符合条件的解，即可得到的值． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴， 解方程，得或， 解不等式，得 ∴． 重难点三 反比例函数图象上的点与函数的关系 1.取点坐标，计算的值； 2.将乘积与解析式中的对比； 3.相等则点在双曲线上，不相等则不在。 1．若反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象与点的关系，求出反比例函数解析式成为解题的关键． 先求得反比例函数解析式，然后将各选项代入判断即可． 【详解】解：设反比例函数表达式为， 把代入得：，即反比例函数解析式为． A．由，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； B．由，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； C．由，则点在反比例函数图象上，故本选项符合题意； D．由，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象也一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数，掌握待定系数法求解析式是关键． 根据题意，运用待定系数法得到反比例函数解析式，再将选项代入计算即可判定． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式， ∴A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意， 故选：D ． 3．平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式是解答此题的关键．把各选项代入反比例函数，求出k的值，再根据判断即可． 【详解】解：A.把点代入得，故A选项不符合题意； B.把点代入得，故B选项不符合题意； C.把点代入得，故C选项符合题意； D.把点代入得，故D选项不符合题意． 故选：C． 4．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6， ∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6， （﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6， 1×（﹣6）＝﹣6， ,6×1＝6≠﹣6， 则它一定还经过（1，﹣6）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5．已知，则在下列点中，可能是反比例函数图像上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知等式求出k的值，再计算反比例函数的比例系数，最后利用反比例函数图象上点的坐标满足比例系数，判断选项即可． 【详解】解：∵ ，，两边同乘，再整理得， 解得 ，， 经检验，，是方程的解， 当时，，此时反比例函数满足， 当时，，此时反比例函数满足， 依次计算各选项横纵坐标乘积： A、，不符合题意； B、，符合； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 重难点四 求反比例函数的解析式 1.设基础解析式； 2.将图像经过的点代入，计算； 3.把代回，写出完整反比例函数解析式。 1．已知点，，在下列某个函数的图象上，则这个函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别把点，，代入各个函数进行验证判断即可． 【详解】解：A、当时，，当时，， ∴点，不能同时在函数图象上； B、当时，，当时，， 当时，， ∴有，， 此时，，符合题意， ∴点，，可同时在函数图象上； C、当时，，当时，， ∴点，不能同时在函数图象上； D、当时，，当时，， 当时，， ∵若，则， ∴，不符合题意， ∴点，，不能同时在函数图象上； 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与函数，会运用坐标代入法进行验证是解题的关键． 2．已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数一般式，求出系数k即可得到函数表达式． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 3．已知点都在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数解析式；设反比例函数的解析式为，把A、B两点坐标分别代入函数解析式中，得到关于m的方程，解方程即可求得m的值，从而得到函数解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为，把A、B两点坐标分别代入函数解析式中， 得，即， 解得：， ∴， 即函数解析式为； 故选：B． 4．如图，反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点，连接 ，如果的面积为，那么反比例函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，，故，，根据，求解即可； 【详解】解：设，根据题意，得反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点， 故，， 的面积为， ， ， 设反比例函数的解析式为， ， ， 故反比例函数的解析式为； 5．已知反比例函数的图象经过点，求反比例函数的解析式 【答案】 【分析】本题考查待定系数法解函数解析式，掌握待定系数法的解题步骤正确计算是关键．把代入求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 6．如图，点在正比例函数的图象上，过点A作轴于点B，反比例函数的图象经过的中点C，求反比例函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，正比例函数的性质．把点代入，可得求出点，从而得到点，再把点代入，求出k，即可求解． 【详解】解：把点代入，得：， 解得：， ∴点， ∵轴，且点C为的中点， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $