第10章空间直线与平面单元检测基础篇-2026-2027学年高二上学期数学沪教版必修第三册

**基本信息** 2026-2027学年高中数学沪教版必修第三册第10章空间直线与平面单元检测基础篇，120分钟150分，覆盖空间线面关系核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，培养空间观念、推理能力与创新意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|直线与平面位置关系（如第2题符号表示）、异面直线（如第4题正方体中异面直线条数）、空间四边形中点连线（如第5题形状）|基础概念辨析，强调空间观念| |选择题|4题/18分|线面平行垂直判定（如第13题）、充要条件（如第14题）|逻辑推理能力考查，选项设置具迷惑性| |解答题|5题/78分|异面直线证明（17题）、线面角计算（18题）、二面角（19题）、类比推理（21题三面角余弦定理）|分层设计，从证明到计算再到创新应用，体现数学思维与表达|

2026-2027学年高中数学沪教版必修第三册第10章空间直线与平面 单元检测·基础篇(解析版) 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分。） 1.（4分）已知直线 与平面 ，点 ，判断下列说法正确的是______（填序号）。 ① 若点 ，点 ，则直线 ； ② 若三点 都在平面 内，则 一定不共线； ③ 若直线 有一个点在平面 内，则 ； ④ 两个不重合平面若有公共点，则它们有无数个公共点。 答案： ①④ 解析： ① 正确。公理1：一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直线在该平面内。 ② 错误。三点都在平面 内，可能共线，也可能不共线。 ③ 错误。直线与平面有一个公共点，直线可能在平面内，也可能与平面相交。 ④ 正确。公理3：两个不重合平面若有一个公共点，则它们有一条过该点的公共直线，因此有无数个公共点。 易错点提醒： ① “两个点确定直线在平面内”是公理1，一个点不能判断；② “三个点确定一个平面”的前提是三点不共线；③ 两个平面有一个公共点即有一条公共直线，不是只有一个公共点。 2.（4分）若点 平面 ，点 平面 ，则直线 ______平面 。（填合适的符号） 答案： 解析： 由公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。 因为 ，，所以直线 上的所有点都在平面 内。 符号表示为：。 易错点提醒： 直线与平面的包含关系用“”，不能用“”（元素与集合的关系符号）或“”。 3.（4分）在空间中，垂直于同一个平面的两条直线位置关系为__________。 答案： 平行 解析： 由线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 即若 ，，则 。 易错点提醒： ① “垂直于同一个平面的两条直线平行”是定理，可直接使用；② 不要与“垂直于同一条直线的两条直线”混淆，后者位置关系不确定。 4.（4分）在正方体 各条棱所在的直线中，与直线 异面的直线有__________条。 答案： 6 解析： 正方体共有12条棱。 是右侧面的面对角线，逐条棱判断： 与 异面的棱为：、、、、、，共6条。 易错点提醒： ① 是面对角线，不是棱；② 判断时以“既不平行也不相交”为准；③ 与面对角线异面的棱包含上下底面的棱和部分侧棱。 5.（4分）空间四边形四条边中点顺次连接，所得四边形形状为__________。 答案： 平行四边形 解析： 设空间四边形 ， 分别为 的中点。 连接 ，在 中，，。 在 中，，。 所以 ，，四边形 为平行四边形。 易错点提醒： ① 任意空间四边形各边中点顺次连接一定得到平行四边形；② 若要得到菱形、矩形或正方形，需满足额外条件。 6.（4分）在空间四边形 中， 分别是棱 的中点，则当 满足条件__________时，四边形 是正方形。 答案： 且 解析： 由三角形中位线定理： 要使 为正方形，需同时满足： ① 菱形条件：，即 ； ② 矩形条件：，即 。 易错点提醒： ① 正方形需同时满足菱形和矩形条件，缺一不可；② 只写 只能推出菱形；③ 只写 只能推出矩形。 7. （5分）如图，在正方体 中， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的正弦值为__________。 答案： 解析： 设正方体棱长为2，建立空间直角坐标系，，，，，。 设异面直线 与 所成角为 ，则： 所以： 易错点提醒： ① 异面直线所成角余弦值取绝对值；② 若题目要求正弦值，需先求余弦值再转化。 8.（5分）若直线 平面 ，直线 ，则直线 的位置关系为__________。 答案： 平行或异面 解析： 由线面平行的定义：直线 与平面 无公共点。 又 ，所以直线 与 也无公共点。 在空间中，无公共点的两条直线可能平行，也可能异面。 易错点提醒： ① 直线与平面平行时，平面内的直线与已知直线不相交；② 不相交的两条直线在空间中可能是平行或异面，不能只写“平行”。 9.（5分）在直棱柱 中，底面 是边长为 的正方形，。点 是线段 上的点，且 ，则点 到平面 的距离为__________。 答案： 解析： 建立空间直角坐标系：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴。 ，，，。 由 ，得 。 设平面 的法向量为 ： 由法向量垂直于平面内两条相交直线： 取 ，得 。 点 到平面 的距离为： 易错点提醒： ① 点坐标由定比分点公式确定；② 点到平面距离公式中取平面内一点与点 的向量；③ 法向量取不同倍数不影响结果。 10.（5分）如图，在正方体 中，平面 平面 __________。 答案： 解析： 平面 与平面 的共同点： 两个平面都经过点 和点 。 由公理3：两个不重合平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。 所以交线为过 和 的直线，即 。 易错点提醒： ① 两个平面的交线是直线，答案应写 或 ；② 不能只写一个点；③ 判断公共点时应找两个平面共同经过的顶点。 11.（5分）已知 为三个不同平面， 为两条不同直线，给出下列命题： ① 若 ，，则 ； ② 若 ，，则 ； ③ 若 ，，，，则 ； ④ 若 ，，，，则 。 其中真命题的个数为__________。 答案： 2 解析： 逐项判断： ① 正确，面面平行具有传递性。 ② 错误，垂直于同一平面的两个平面可能平行也可能相交。 ③ 错误，线面平行判定需两条相交直线，题中未说明 相交。 ④ 正确，面面垂直的性质定理：，，，。 真命题为①④，共2个。 易错点提醒： ① 面面平行具有传递性；② 面面垂直不具有传递性；③ 线面平行判定需两条相交直线；④ 面面垂直性质定理需满足“垂直于交线”这一关键条件。 12.（5分）在正方体 中，平面 与平面 的位置关系是__________。（填“平行”“相交但不垂直”或“垂直”） 答案： 平行 解析： 在正方体中，平面 与平面 没有公共点。可证明面面平行： 连接 和 ， 和 ，两平面内对应边平行，故面面平行。 易错点提醒： ① 原初稿答案误写为“垂直”，已修正为“平行”；② 判断面面位置关系时，注意观察两平面在正方体中的位置。 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 13.（4分）已知 是三条不重合的直线， 是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若 ，，则 B. 若 ，，，，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，，则 答案： A 解析： 逐项判断： A. 正确。面面平行具有传递性：，。 B. 错误。线面平行的判定中， 内的两条直线 必须相交，才能推出 。题中未说明 相交。 C. 错误。， 只能说明直线 平行于两个平面，不能推出 。两个平面可能相交。 D. 错误。，，则 可能在平面 内（此时 ），也可能平行于 。必须补充 才能推出 。 易错点提醒： ① 面面平行判定定理要求一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；② 线面平行判定定理要求直线不在平面内；③ 面面平行具有传递性，但线面平行不具有传递性。 14.（4分）已知直线 ，平面 平面 ，那么“”是“”的（　　） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 答案： A 解析： 由 ： 充分性： 若 ，则 或 。但当 时， 不可能在 内（若 ，则 垂直于 内的所有直线，但 与 的交线在 内，矛盾）。更严谨的说法：，垂直于 的直线一定平行于 。充分性成立。 必要性： 若 ，不一定能推出 （ 可能与 斜交或平行于 ）。必要性不成立。 所以“”是“”的充分非必要条件。 易错点提醒： ① 面面垂直时，垂直于一个平面的直线一定平行于另一个平面（或在另一个平面内）；② 充分必要条件的判断需从两个方向分别验证。 15.（5分）已知二面角 的平面角为 ，在 平面内有一条射线 与棱 成锐角 ，与平面 成角 ，则下列成立的是（　　） A. B. C. D. 答案： A 解析： 设 在棱 上， 在平面 内， 与棱 所成角为 。 由三垂线定理及空间角的计算公式： 线面角 的正弦值等于该直线与平面内某条直线的夹角与二面角平面角的余弦值的乘积。 设 与棱 所成角为 ，二面角平面角为 ，线面角为 ，则有： 当 为锐角时，，公式成立。 因此正确答案为 A：。 易错点提醒： ① 二面角的平面角、棱上的锐角、线面角三者之间的关系需通过三垂线定理来建立；② 公式中 对应的是 与棱 所成锐角的余弦值，注意角度的取值范围。 16.（5分） 是空间四边形， 且 和 成 角，、 分别是 和 的中点，则 和 所成的角是（　　） A. B. C. D. 或 答案： D 解析： 取 的中点 ，连接 、。 在 中， 是 中点， 是 中点，故 ，且 。 在 中， 是 中点， 是 中点，故 ，且 。 已知 ，所以 ， 是等腰三角形。 与 成 角，即异面直线 与 所成角为 。 两条直线所成角为 时，平移后相交所成角可能是 或 （补角），需分类讨论： · 若 ，则 $\angle FEG=\dfrac{180°-40°{2}=70°$； · 若 ，则 $\angle FEG=\dfrac{180°-140°{2}=20°$。 所以 与 所成的角为 或 。 易错点提醒： ① 异面直线所成角的范围为 到 ；② 两条直线所成角为 时，平移后相交所成角可能是 或 ，需分类讨论；③ 等腰三角形底角公式：底角 。 三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（14分） （1）（7分）已知 是空间四边形， 是 的中点， 是 的中点，求证： （2）（7分）在正方体 中， 是正方形 的中心， 是正方形 的中心。求证：直线 与 为异面直线。 答案： 证明见解析。 解析： （1）证明： 取 的中点 ，连接 、。 .........（2分） 在 中， 是 中点， 是 中点，故： .........（2分） 在 中， 是 中点， 是 中点，故： .........（2分） 在 中，由三角形三边关系： .........（1分） 所以 。 易错点提醒： ① 添加辅助线 的中点 ，构造中位线是解题关键；② 三角形三边关系：两边之和大于第三边，是证明不等式的核心依据；③ 注意 与 是空间四边形中两条异面的对角线，但通过中位线转化为三角形边的关系。 （2）证明： 设正方体棱长为 ，建立空间直角坐标系，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴。 .........（1分） 则： .........（1分） 是正方形 的中心： .........（1分） 是正方形 的中心： .........（1分） 直线 的方向向量： .........（1分） 直线 的方向向量： .........（1分） 与 不成比例，故不平行。 .........（1分） 判断是否相交：直线 的参数方程为 ，直线 的参数方程为 。若相交，则存在 使 ，，。由 和 得 ，，代入第一式得 ，矛盾。故不相交。 .........（2分） 所以直线 与 既不平行也不相交，为异面直线。 .........（1分） 易错点提醒： ① 异面直线的判定有两种方法：几何法和坐标法；② 正方体中心坐标需准确计算；③ 用坐标法证明异面直线时，需同时排除“平行”和“相交”两种情况。 18.（14分）（本题用空间向量法作答不给分） 如图，在正三棱柱 中，底面正三角形边长是 ，侧棱长是 ，边 、 的中点分别为 、。 （1）证明： 平面 ；（7分） （2）求直线 与平面 所成角的正弦值。（7分） 答案： （1）证明见解析；（2）。 解析： （1）证明： 取 的中点 ，连接 。 .........（2分） 在正三棱柱中， 为 中点， 为 中点，故 ，且 。 .........（2分） 可证四边形 为平行四边形，故 。 .........（2分） 因为 平面 ，且 平面 ，故 平面 。 .........（1分） 易错点提醒： ① 题干第（1）问是 平面 ，不是 ；② 禁用空间向量法时需熟练掌握传统几何证明方法。 （2）求 与平面 所成角的正弦值： 过 作 平面 ，垂足为 ，连接 ，则 为所求线面角。 .........（2分） 由等体积法求高 ： 设正三角形边长 ，侧棱 。计算可得 。 .........（3分） .........（2分） 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。 易错点提醒： ① 线面角的计算可用等体积法或几何法求高；② 线面角的正弦值等于对边与斜边之比。 19.（14分） 如图，在边长为 的菱形 中，， 分别是 的中点，将 沿 折起，使点 到 的位置，且 。 （1）若平面 平面 ，判断 与 的位置关系并说明理由；（4分） （2）求直线 与平面 所成角的正弦值；（5分） （3）求二面角 大小的余弦值。（5分） 答案： （1）；（2）；（3）。 解析： （1）判断 与 的位置关系： 在菱形 中， 分别是 的中点，故 。 .........（2分） 折叠后， 平面 ， 平面 ，故 平面 。 .........（1分） 又 平面 ，平面 平面 ，由线面平行的性质定理，。 .........（1分） 易错点提醒： 面面交线的位置关系判断需先证明线面平行，再推得交线平行。 （2）求直线 与平面 所成角的正弦值： 设菱形边长为4，，则 ，。 .........（1分） 菱形中， 为 中点， 为 中点，，。 .........（1分） 折叠后，，。作 平面 ，垂足为 ，则 为所求线面角。 .........（1分） 利用等体积法或几何关系求 ，可得 。 .........（2分） 易错点提醒： 折叠前后长度和角度关系不变，关键是找对对应关系；线面角的计算需找斜线在平面内的射影。 （3）求二面角 的余弦值： 以 为原点建立坐标系，或利用三垂线定理构造平面角，可得二面角的余弦值为 。 .........（5分） 易错点提醒： 二面角的计算可用坐标法或几何法，需注意判断平面角是锐角还是钝角。 20.（18分） 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形，，，平面 平面 ，且 。 （1）求证： 平面 ；（6分） （2）求二面角 的正弦值；（6分） （3）已知点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求线段 的长。（6分） 答案： （1）证明见解析；（2）；（3）。 解析： 建立空间直角坐标系，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴。 .........（2分） 由 ，，平面 平面 ： .........（2分） （1）证明 平面 ： .........（1分） 平面 的法向量为 。 .........（2分） .........（1分） 所以 平面 。 .........（2分） （2）求二面角 的正弦值： 平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，利用坐标法计算，可得 。 .........（6分） （3）设 在 上，（），则 。 .........（1分） .........（1分） 由异面直线所成角余弦值公式： .........（2分） 解方程得 ，所以 。 .........（2分） 易错点提醒： ① 建系时注意平面 平面 ；② 异面直线所成角余弦值取绝对值；③ 方程求解时需验证根在区间 内。 21.（18分） 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线 构成的三面角 ，，，，二面角 的大小为 ，则 （1）已知 为射线 上一点， 交 于 点， 交 于 点，当 时，证明以上三面角余弦定理；（6分） （2）如图2，平行六面体 中，平面 平面 ，，。 ① 求 的余弦值；（6分） ② 在直线 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，说明理由。（6分） 答案： （1）证明见解析；（2）① ；② 存在， 为 上靠近 的四等分点。 解析： （1）证明三面角余弦定理： 在 中，设 ，则 在 中， 由 ，，可知 （二面角 的平面角）。 .........（2分） 在 中，由余弦定理： 在 中，由余弦定理： .........（2分） 两式相等，化简可得： .........（2分） 易错点提醒： ① 二面角 的平面角为 ，需正确识别；② 证明中需用 和 两次余弦定理；③ 化简过程需熟练掌握三角恒等变形。 （2）① 求 的余弦值： 由三面角余弦定理，在三面角 中： 平面 平面 ，得二面角 为 。 .........（2分） 代入公式： .........（4分） （2）② 判断是否存在点 ： 建立空间直角坐标系，以 为原点， 为 轴， 为 轴方向。设 ，则 （由 得）。 .........（2分） 设 在直线 上，，。由 平面 ，需满足 与平面内两条相交直线垂直，利用向量法求解可得 。 .........（4分） 所以 存在，为 上靠近 的四等分点（）。 易错点提醒： ① 三面角余弦定理中需正确识别 的对应关系；② 平行六面体中建系时注意各棱的夹角关系；③ 存在性问题需验证求出的点是否满足所有条件。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高中数学沪教版必修第三册第10章空间直线与平面 单元检测·基础篇(原卷版) 考试时间：120分钟 满分：150分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分。） 1.（4分）已知直线  与平面 ，点 ，判断下列说法正确的是______（填序号）。 ① 若点 ，点 ，则直线 ； ② 若三点  都在平面  内，则  一定不共线； ③ 若直线  有一个点在平面  内，则 ； ④ 两个不重合平面若有公共点，则它们有无数个公共点 2.（4分）若点 平面 ，点 平面 ，则直线 __________平面 。（填合适的符号） 3.（4分）在空间中，垂直于同一个平面的两条直线位置关系为__________。 4.（4分）在正方体 各条棱所在的直线中，与直线 异面的直线有__________条。 5.（4分）空间四边形四条边中点顺次连接，所得四边形形状为__________。 6.（4分）在空间四边形 中， 分别是棱 的中点，则当 满足条件__________时，四边形 是正方形。 7.（5分）如图，在正方体 中， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的正弦值为__________。 8.（5分）若直线 平面 ，直线 ，则直线 的位置关系为__________。 9.（5分） 中，底面 是边长为 的正方形，。点 是线段 上的点，且 ，则点 到平面 的距离为__________。 10. （5分）如图，在正方体 中，平面 平面 __________。 11.（5分）已知 为三个不同平面， 为两条不同直线，给出下列命题： ① 若 ，，则 ； ② 若 ，，则 ； ③ 若 ，，，，则 ； ④ 若 ，，，，则 。 其中真命题的个数为__________。 12.（5分）在正方体 中，平面 与平面 的位置关系是__________。（填“平行”“相交但不垂直”或“垂直”） 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 13.（4分）已知 是三条不重合的直线， 是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若 ，，则 B. 若 ，，，，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，，则 14.（4分）已知直线 ，平面 平面 ，那么“”是“”的（　　） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15.（5分）已知二面角 的平面角为 ，在 平面内有一条射线 与棱 成锐角 ，与平面 成角 ，则下列成立的是（　　） A. B. C. D. 16.（5分） 是空间四边形， 且 和 成 角，、 分别是 和 的中点，则 和 所成的角是（　　） A. B. C. D. 或 三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（14分） （1）如图（1），已知 是空间四边形， 是 的中点， 是 的中点， 求证： （2） 如图（2），在正方体 中， 是正方形 的中心， 是正方形 的中心。求证：直线 与 为异面直线。 18.（14分）（本题用空间向量法作答不给分） 如图，在正三棱柱 中，底面正三角形边长是 ，侧棱长是 ，边 、 的中点分别为 、。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值。 19.（14分） 如图，在边长为 的菱形 中，， 分别是 的中点，将 沿 折起，使点 到 的位置，且 。 （1）若平面 平面 ，判断 与 的位置关系并说明理由； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求二面角 大小的余弦值。 20.（18分） 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形，，，平面 平面 ，且 。 （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值； （3）已知点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求线段 的长。 21.（18分） 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线 构成的三面角 ，，，，二面角 的大小为 ，则 （1）已知 为射线 上一点， 交 于 点， 交 于 点，当 时，证明以上三面角余弦定理 （2）如图2，平行六面体 中，平面 平面 ，，。 ① 求 的余弦值； ② 在直线 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $