第10章 空间直线与平面（单元分层自测·能力提升卷）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 高二数学第10章空间直线与平面单元卷，聚焦线面关系、空间角等核心知识，通过分层设问与开放题型提升空间想象与逻辑推理能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|异面直线判定、斜二测画法、线面垂直条件|第2题开放条件设计，考查空间观念| |选择题|4题18分|直观图面积计算、空间共面与异面判断|结合正方体模型，强化几何直观| |解答题|5题78分|空间四边形共面证明、四棱锥线面角计算|分层设问（如17题分四点共面与三线共点），突出逻辑推理|

2026-2027学年高二数学单元自测 第10章 空间直线与平面·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、6 2、 3、 4、3 5、/ 6、②④ 7、③ 8、2 9、 10、/ 11、/ 12、 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 C D C C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】(1) 因为，分别为，的中点， 所以. 2分 又因为， 所以. 所以， 4分 所以E，F，G，H四点在同一平面内， 即E，F，G，H四点共面． 6分 (2) 因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，. 8分 由题意知＝，，， 所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M， 即， 10分 因为平面， 所以点平面， 同理可得点平面. 12分 又因为平面平面， 所以点直线， 所以直线，，三线共点． 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】(1)在△PAB中，，，， 所以，即. 2分 因为平面底面ABCD，平面底面，，平面PAB，所以底面ABCD， 所以， 4分 又，，且平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC. 6分 （2）过点A作，交PC于F，连接DF. 由（1）知平面PAC， 所以. 又，，平面PCD，平面PCD， 所以平面PCD. 所以直线AD和平面PCD所成的角为∠ADF. 9分 在四边形ABCD中，因为，，， 所以，，，所以. 又因为，所以. 11分 在△PAC中，因为，，， 所以，， 所以. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）(1)过作于， ∵平面平面，平面平面，平面， 由面面垂直的性质定理得：平面， 2分 又平面，∴. ∵平面，平面， ∴. 4分 ∵，，平面， ∴平面， 又平面，∴. 6分 （2）取的中点，连接，， ∵平面，为与平面的线面角，. ∵为中点，， ∴，，. ∴ 9分 ∵为中点，∴∥，， ∵平面，平面，∴. ∴， ∵，为中点，∴ ∴， ∴为二面角的平面角. 12分 , 在中，由余弦定理，得 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】(1)证明：因为四边形为矩形， 所以， 由平面，平面， 得平面． 3分 又平面，平面平面， 所以 4分 (2)证明：因为平面， 又平面，所以． 又底面为矩形，所以． 平面，， 所以平面． 6分 又平面，所以． 在中，，， 所以, , 在中，由余弦定理可得 , 所以, 8分 因为，所以． 因为，，平面，， 所以平面． 10分 (3)存在，证明如下： 如图：过作交于点， 过作交于点． 因为，平面，平面， 所以平面． 12分 同理平面． 又平面，， 所以平面平面． 14分 因为平面，所以平面, 由（2）知，， 又，则， 则, 16分 因为， 所以， 所以点为线段上靠近的四等分点，． 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】(1)因为分别为的中点， 于是，， 所以， 2分 又平面，平面， 所以平面 4分 (2)（ⅰ）因为是中点，所以， 在中，， 所以， 6分 因为分别为的中点， 所以， 所以， 又，平面， 所以平面， 8分 又平面， 所以平面平面 10分 （3）作垂直于点， 由（ⅰ）知：平面平面， 又因为，平面平面，，平面， 所以平面，在平面上的射影为， 所以即为直线与平面所成角，记为， 13分 在中，，为的中点， 所以， 在中，由正弦定理，，所以， 15分 当直线平面时，，取最大值， 所以，故与平面所成角的最大值. 18分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第10章 空间直线与平面·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．在正方体中，与异面的棱有________条. 【答案】6 【详解】如图，正方体中，与异面的棱有，，，，，共6条. 故答案为：6.    2．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件______时，有（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）. 【答案】 【详解】连接， 由直四棱柱可得平面， 因为平面，故， 当时，因为，故平面， 而平面，故. 故答案为：. 3．如图，是用斜二测画法绘制的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，与重合，且，，则在中，________． 【答案】 【详解】因为，， 所以，， 则，． 4．在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【详解】 由长方体性质可得：，平面. 因为平面, 所以， 则是异面直线和的公垂线， 所以异面直线和的距离为 故答案为： 5．在四棱柱中，平面，四边形为平行四边形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 【答案】/ 【详解】如图取中点为F，连接EF，易得， 则，则为异面直线与所成角或其补角. 因平面，几何体为四棱柱，. 则，，. ，，. 因，，则，又易得， 则. 从而. 故答案为： 6．如图是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下结论：①;  ②，③，④，其中结论正确的是____________. 填写序号 . 【答案】②④ 【详解】原正方体如图所示，由正方体的性质可知相交， ，则， 则四边形为平行四边形，则； 因为等边三角形，则， 所以直线与所成的角为； 因且，则，则①③错误，②④正确. .. 故答案为：②④. 7．已知m，n是两条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是：________（填序号） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． 【答案】③ 【详解】若，，则或，故①错误； 若，，则或或与相交，故②错误； 由线面垂直的性质定理可知，③正确； 若，，则或，故④错误． 故答案为：③ 8．如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 【答案】2 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，则，即. 故答案为：2. 9．点P在直二面角的棱上，C，D分别在，内，且，则________. 【答案】 【详解】设，过C作AB的垂线，垂足为Q，即， 因为，则，则， 因为，，，所以， 又，所以， 所以，则为等边三角形，则. 10．如图，已知二面角的大小为，平面内的直线m与平面成的角为30°，与棱l所成的角为60°，则__________.    【答案】/ 【详解】如图所示，过上一点作于点，连接， 则为与平面所成的角，则， 过作于，连接，因，则，又平面， 则平面，因平面，则， 从而为二面角的平面角，即， 因，，， 则， 故. 故答案为：.    11．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 【答案】/ 【详解】如图，若，，，四点共面， 则即为与平面的交点， 连接，交于点，连接， 则即为与的交点，如图所示： 在截面中，为的中点，为的三等分点，取的中点， 连接，则， 故，即，则． 故答案为： 12．在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为平面，所以为直线与平面所成的角， 中，，，外接圆的半径为， 所以， 不妨设点为定点，点在以为弦，半径为的圆上运动， 所以的最大值为直径， ，当时，的最小值为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，，，，，则原平面图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过点作轴，如下图所示： 因为，，，故为等腰直角三角形， 所以， 因为，轴，轴，故四边形为矩形，故， 故， 将直观图还原为原图形如下图所示： 则，，， 原平面图形为直角梯形，其下底边的长为，上底边的长为，高为， 故原平面图形的面积为． 14．在长方体中，分别为和的中点，则下列说法错误的是（   ） A．四点共面 B．三线共点 C．与是异面直线 D．与是相交直线 【答案】D 【详解】由分别为和的中点，则， 而，故为平行四边形， 所以，则，故四点共面，A对， 由A知与共面，且，，所以与必交于一点， 若，即，而平面，则平面， 由，平面，则平面， 由平面平面，故， 综上，三线共点，B对， 由平面，平面，平面，，则与是异面直线，C对， 由平面，平面，平面，，则与是异面直线，D错. 15．如图，在正方体中，下列结论错误的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【详解】对于A，在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，则. 又因为平面平面，所以平面，故A正确； 对于，在正方体中，侧棱底面，即平面，故正确； 对于C，平面即平面，在正方形中，. 若平面平面，因为平面平面，且平面. 因为，所以平面，因为平面，所以. 但在正方体中，为等边三角形，所以与不垂直， 这与平面矛盾.所以平面不垂直于平面，故错误； 对于D，由A可知，又平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面平面，故D正确. 16．如图，已知三棱锥中，平面平面，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接、，如图所示： 因、，由等腰三角形“三线合一”，得，. 又平面平面，平面平面，且平面， 根据面面垂直的性质定理，得平面， 又平面，则. 因此， 是在平面内的投影，即为直线与平面所成的角. 在中，由余弦定理，得， 因此. ，， 在中， ， 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 【详解】(1) 因为，分别为，的中点， 所以. 2分 又因为， 所以. 所以， 4分 所以E，F，G，H四点在同一平面内， 即E，F，G，H四点共面． 6分 (2) 因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，. 8分 由题意知＝，，， 所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M， 即， 10分 因为平面， 所以点平面， 同理可得点平面. 12分 又因为平面平面， 所以点直线， 所以直线，，三线共点． 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面底面ABCD，， ，，，，. (1)求证：平面PAC； (2)求直线AD和平面PCD所成角的正弦值. 【详解】(1)在△PAB中，，，， 所以，即. 2分 因为平面底面ABCD，平面底面，，平面PAB，所以底面ABCD， 所以， 4分 又，，且平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC. 6分 （2）过点A作，交PC于F，连接DF. 由（1）知平面PAC， 所以. 又，，平面PCD，平面PCD， 所以平面PCD. 所以直线AD和平面PCD所成的角为∠ADF. 9分 在四边形ABCD中，因为，，， 所以，，，所以. 又因为，所以. 11分 在△PAC中，因为，，， 所以，， 所以. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知四面体中，直线平面，平面平面. (1)求证：； (2)若，分别是棱，的中点，且，直线与平面所成角为，求二面角的余弦值. 【详解】（1）(1)过作于， ∵平面平面，平面平面，平面， 由面面垂直的性质定理得：平面， 2分 又平面，∴. ∵平面，平面， ∴. 4分 ∵，，平面， ∴平面， 又平面，∴. 6分 （2）取的中点，连接，， ∵平面，为与平面的线面角，. ∵为中点，， ∴，，. ∴ 9分 ∵为中点，∴∥，， ∵平面，平面，∴. ∴， ∵，为中点，∴ ∴， ∴为二面角的平面角. 12分 , 在中，由余弦定理，得 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，点在线段上，且． (1)设平面平面，证明： ； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【详解】(1)证明：因为四边形为矩形， 所以， 由平面，平面， 得平面． 3分 又平面，平面平面， 所以 4分 (2)证明：因为平面， 又平面，所以． 又底面为矩形，所以． 平面，， 所以平面． 6分 又平面，所以． 在中，，， 所以, , 在中，由余弦定理可得 , 所以, 8分 因为，所以． 因为，，平面，， 所以平面． 10分 (3)存在，证明如下： 如图：过作交于点， 过作交于点． 因为，平面，平面， 所以平面． 12分 同理平面． 又平面，， 所以平面平面． 14分 因为平面，所以平面, 由（2）知，， 又，则， 则, 16分 因为， 所以， 所以点为线段上靠近的四等分点，． 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 如图，在三棱锥中，，，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若．证明：平面平面； （3）在（2）的前提下，求与平面所成角的最大值． 【详解】(1)因为分别为的中点， 于是，， 所以， 2分 又平面，平面， 所以平面 4分 (2)（ⅰ）因为是中点，所以， 在中，， 所以， 6分 因为分别为的中点， 所以， 所以， 又，平面， 所以平面， 8分 又平面， 所以平面平面 10分 （3）作垂直于点， 由（ⅰ）知：平面平面， 又因为，平面平面，，平面， 所以平面，在平面上的射影为， 所以即为直线与平面所成角，记为， 13分 在中，，为的中点， 所以， 在中，由正弦定理，，所以， 15分 当直线平面时，，取最大值， 所以，故与平面所成角的最大值. 18分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第10章 空间直线与平面·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．在正方体中，与异面的棱有________条. 2．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件______时，有（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）. 第2题 第3题 3．如图，是用斜二测画法绘制的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，与重合，且，，则在中，________． 4．在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 5．在四棱柱中，平面，四边形为平行四边形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 6．如图是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下结论：①;  ②，③，④，其中结论正确的是____________. 填写序号 . 7．已知m，n是两条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是：________（填序号） ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 8．如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 9．点P在直二面角的棱上，C，D分别在，内，且，则________. 第8题 第10题 第11题 10．如图，已知二面角的大小为，平面内的直线m与平面成的角为30°，与棱l所成的角为60°，则__________. 11．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 12．在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，，，，，则原平面图形的面积为（   ） A． B． C． D． 14．在长方体中，分别为和的中点，则下列说法错误的是（   ） A．四点共面 B．三线共点 C．与是异面直线 D．与是相交直线 15．如图，在正方体中，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 第15题 第16题 16．如图，已知三棱锥中，平面平面，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面；(2)，，三线共点． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面底面ABCD，， ，，，，. (1)求证：平面PAC； (2)求直线AD和平面PCD所成角的正弦值. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知四面体中，直线平面，平面平面. (1)求证：； (2)若，分别是棱，的中点，且，直线与平面所成角为，求二面角的余弦值. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，点在线段上，且． (1)设平面平面，证明： ； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 如图，在三棱锥中，，，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若．证明：平面平面； （3）在（2）的前提下，求与平面所成角的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学单元自测 第10章 空间直线与平面·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．在正方体中，与异面的棱有________条. 2．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件______时，有（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）. 第2题 第3题 3．如图，是用斜二测画法绘制的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，与重合，且，，则在中，________． 4．在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 5．在四棱柱中，平面，四边形为平行四边形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 6．如图是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下结论：①;  ②，③，④，其中结论正确的是____________. 填写序号 . 7．已知m，n是两条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是：________（填序号） ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 8．如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 9．点P在直二面角的棱上，C，D分别在，内，且，则________. 第8题 第10题 第11题 10．如图，已知二面角的大小为，平面内的直线m与平面成的角为30°，与棱l所成的角为60°，则__________. 11．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 12．在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，，，，，则原平面图形的面积为（   ） A． B． C． D． 14．在长方体中，分别为和的中点，则下列说法错误的是（   ） A．四点共面 B．三线共点 C．与是异面直线 D．与是相交直线 15．如图，在正方体中，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 第15题 第16题 16．如图，已知三棱锥中，平面平面，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面；(2)，，三线共点． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面底面ABCD，， ，，，，. (1)求证：平面PAC； (2)求直线AD和平面PCD所成角的正弦值. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知四面体中，直线平面，平面平面. (1)求证：； (2)若，分别是棱，的中点，且，直线与平面所成角为，求二面角的余弦值. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，点在线段上，且． (1)设平面平面，证明： ； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 如图，在三棱锥中，，，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若．证明：平面平面； （3）在（2）的前提下，求与平面所成角的最大值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $