第10章 空间直线与平面（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版2020必修第三册

第10章 空间直线与平面（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知直线和平面，若，，则与的位置关系是 . 【答案】或 【分析】由线面的位置关系判断求解即可. 【详解】若，，如图：     ，  ， 则或. 故答案为：或 2．如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为 . 【答案】 【分析】利用斜二测画法，可得原图形是平行四边形，求得一边长及这边上的高即可求面积. 【详解】因为正方形为一个平面图形的水平直观图， 所以可得原图形是一平行四边形，且，，， 所以平行四边形的面积为. 故答案为：. 3．如图，已知平面，则图中互相垂直的平面有 对. 【答案】3 【分析】结合线面垂直的判定定理，根据面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】平面平面平面， 平面平面，平面平面，又平面，. 又平面,平面. 又平面平面平面. 故互相垂直的平面有3对. 故答案为：3 4．已知平面平面，点是平面外一点（如图所示），且直线分别与相交于点，若，则 ．      【答案】9 【分析】先由题意，根据面面平行性质定理，得到，推出，进而得到，根据题中数据，即可得出结果. 【详解】因为平面平面，根据面面平行的性质定理，可得：， 所以，，又， 所以， 因此， 又，所以. 故答案为：9 5．将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为 ． 【答案】12 【分析】分类讨论得到三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分，从而得到，，所以． 【详解】当三个平面无交线，即三个平面平行时，可以把空间分为4个部分； 当三个平面经过同一条直线或三个平面有两条交线（一个平面与两个平行平面相交）时，可以把空间分为6个部分； 当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分； 当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分， 所以三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分． 将一个苹果切3刀可得块数最多与最少问题，相当于三个平面把空间分成的部分数最多与最少问题， 故，，所以． 故答案为：12 6．已知正四面体，则二面角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，则，，由二面角的概念可知即为二面角的平面角，在中利用余弦定理求解即可. 【详解】取中点，连接， 因为正四面体，所以， 所以，， 又因为平面平面，所以结合图象可知即为二面角的平面角， 设正四面体的棱长为，则，， 在中由余弦定理可得， 所以二面角的余弦值为， 故答案为： 7．如图，在四面体中，底面为边长为2的正三角形，平面，是的中点，若，则异面直线和所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】取的中点，利用三角形中位线得出，将异面直线所成的角转化为共面直线的夹角；再借助线面垂直的性质及解三角形的知识即可求解. 【详解】 取的中点，连接. 因为是的中点， 所以由三角形中位线可得：， 则或其补角为异面直线和所成角. 因为平面，，平面， 所以，. 又因为三角形为边长为2的正三角形， 所以， ， ， 显然， 所以为直角三角形， 则 即异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 8．在三棱柱， 是棱的中点， 是棱上一点， ，若平面，则的值为 . 【答案】 【分析】根据线面平行可得线线平行，结合三角形相似可得参数值. 【详解】 如图所示，连接交于点，连接， 则平面平面， 又平面，且平面，， 又，是棱的中点， 所以，则， 所以，故， 故答案为：. 9．如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点的长为 .    【答案】/ 【分析】设三点确定的平面为，直线与直线交于点，连接，如图所示，由题意知，与的交点为，连接，可得直线是平面与平面的交线，在中求解即可. 【详解】设三点确定的平面为，则与平面的交线为直线. 设直线与直线交于点，连接，如图所示， 则直线是与平面的交线. 由题意知，与的交点为，连接， 则直线是平面与平面的交线. 由题意知. 因为，所以， 所以. 在中，， 所以. 故答案为：    10．已知矩形的边平面，现有数据：①；②；③；④；④，当在边上存在点，使时，则可以取 .（填序号） 【答案】①② 【分析】根据平面，结合已知可证平面，进而可得，得到点在以为直径的圆上，进而由与以为直径的圆有公共点，可求解. 【详解】连接， 因为平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 在平面内，直径所对的圆周角为直角， 所以点在以为直径的圆上， 故当与以为直径的圆有公共点时，在边上存在点，使， 因此，即. 故答案为：①②. 11．如图，在四棱台中，平面，四边形为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为 .    【答案】 【分析】根据线面垂直判定定理得出平面，则即为所求的线面角，再计算求解. 【详解】连接与交于点，因为平面，平面， 所以， 因为四边形为正方形，所以平面， 又，则平面， 故即为在平面上的射影，即为所求的线面角， 又，，故.    故答案为：. 12．如图所示，在三棱锥中，平面平面，若为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理得，记的中点为，得，根据面面垂直的性质定理得出、为等边三角形，把绕翻折，使得平面与平面在同一平面上，则的最小值为平面内的长度，再利用余弦定理可得答案. 【详解】 因为， 所以，， 记的中点为，连接，因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 由，得，所以为等边三角形， 把绕翻折，使得平面与平面在同一平面上， 连接交于点，则，如图所示， 则的最小值为平面内的长度，所以 ， 所以，即的最小值为． 故答案为： 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则（   ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 【答案】D 【分析】根据面面平行、面面垂直的判定和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，可能平行，也可能异面，所以A错误； 对于选项B： 若，则可能平行，也可能相交，所以B错误； 对于选项C： 若，则可能平行，可能垂直，可能异面，所以C错误； 对于选项D： 若，那么经过的平面与垂直，所以，所以D正确. 故选：D. 14．经过不在一条直线上的三个点的平面（   ） A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在 【答案】A 【分析】根据平面的性质即可求解. 【详解】由公理：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故A项正确. 故选：A. 15．在正方体中，，为侧面上一动点．若，则的长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，确定出点的运动轨迹为线段即可求解． 【详解】在正方体中，，连接，设，连接，如下图： 为侧面上一动点，要使得， ∵为的中点，∴， 又∵，，平面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵平面，平面， ∴， 又∵平面， ∴平面， 又∵平面， ∴， 反之，当时，， ∴点的运动轨迹为线段. 当点与重合时，的长取得最大值为：， 故选：C． 16．在棱长为3的正方体中，点D到平面的距离为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】明确点到平面的距离，利用正方体的线面关系求距离. 【详解】如图： 取的中点为点，连接， 因为为正方体，所以平面，又平面，所以； 又底面为正方体，所以. 因为，平面, 所以平面. 故点到平面的距离为． 故选：A． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点. 求证： (1) (2)平面 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析. 【分析】（1）根据正方体的性质，可得到，，利用线面垂直的判定定理得平面，从而得到； （2）由题知四边形为平行四边形，故，由线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）在正方体中，平面，而平面， 所以， 又正方形中，，平面， 所以平面， 而平面，所以. （2）在正方体中,， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面. 18．已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由题意得到，，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而，进而证明出故，所以为二面角的平面角，求出各边长，求出，进而求出二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故，， 因为，故． 所以在折叠后的几何体中，有，， 而，平面， 故平面ABE． （2）如图，在平面AEFD中，过D作且交EF于G． 在平面DBF中，过D作且交BF于H，连接GH． 因为平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD， 故平面EBCF， 因为平面EBCF，故，而，故平面DGH， 又平面DGH，故，所以为二面角的平面角， 在平面AEFD中，因为，，故， 又在直角梯形ABCD中，且， 故，故四边形AEGD为平行四边形，故，， 在直角中，， 因为为三角形内角，所以为锐角， ，，解得， 故，故， 因为三角形内角，故为锐角， ，，解得， 所以二面角的平面角的余弦值为． 19．如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    (1)证明：平面底面； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由四棱锥的体积为得到高 ，取的中点为，计算出，从而底面即可得证. （2）因为，所以即为异面直线和所成的角或其补角，最后在中利用余弦定理即可求出夹角. 【详解】（1）证明：设该四棱锥的高为，则体积 ， 从而， 等腰中，设边的中点为，易知， 在中，，所以，     所以该四棱锥的高为即为，                       即底面，又平面， 所以面底面.                            （2）因为， 所以即为异面直线和所成的角或其补角；             由（1）知平面底面，且平面底面， 在矩形中，，所以平面， 因为平面，从而，      中，，所以，            同理可得，       中，， 由余弦定理可得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 20．图1是由正方形和等边组成的平面图形，将沿折起． (1)折起时点与点重合，且平面平面，如图2，、分别是、的中点． ①证明：四点共面； ②证明：平面平面； (2)折起时点与点重合，且，如图3，求点到平面的距离． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)． 【分析】（1）①判断，即可得到结果；②通过说明，，然后利用面面垂直的判定定理可得结果； （2）利用等体积法计算即可. 【详解】（1）证明①：、分别是、的中点，则，又，所以，所以四点共面． ②因为平面平面，而，所以平面． 又因为平面，所以． 为等边三角形，是的中点，所以，因为，且两直线在平面内， 所以平面，而平面，所以平面平面． （2）连接交于点，连接， 因为，为的中点， 所以，故．． 所以，所以．且AD、AE是平面平面内的两条相交直线， 所以平面，设点到平面的距离为， 而，即，所以，解得． 所以点到平面的距离为． 21．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，M为棱BC的中点，且，，直线PM与平面所成的角为. (1)证明：. (2)在棱上是否存在一点E，使得直线平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. (3)求直线PB与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）由平面，利用线面垂直的性质定理得，再由线面垂直的判定定理得平面，又由线面垂直的性质定理得证； （2）存在点为中点时，平面，取的中点为，连接，即证，利用线面平行的判定定理即可求解； （3）连接，可得，根据已知条件求出，设点到平面的距离为，利用求出，进而可求出答案. 【详解】（1）由平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）存在点为中点时，平面，即， 证明如下： 取的中点，连接，取的中点为，连接， 所以，又点为中点，所以， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （3）连接，由平面，所以为直线PM与平面所成的角， 所以， 在中，， 所以，① 因为，所以，所以②， 由①②得， 所以， 设点到平面的距离为， 在中，， 所以， 因为，所以， 所以， ， 因为，所以，得， 设直线PB与平面PAM所成角为，则， 因为，所以， 所以， 所以直线PB与平面所成角的正切值为. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 空间直线与平面（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知直线和平面，若，，则与的位置关系是 . 2．如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为 . 3．如图，已知平面，则图中互相垂直的平面有 对. 4．已知平面平面，点是平面外一点（如图所示），且直线分别与相交于点，若，则 ．      5．将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为 ． 6．已知正四面体，则二面角的余弦值为 ． 7．如图，在四面体中，底面为边长为2的正三角形，平面，是的中点，若，则异面直线和所成角的余弦值为 . 8．在三棱柱， 是棱的中点， 是棱上一点， ，若平面，则的值为 . 9．如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点的长为 .    10．已知矩形的边平面，现有数据：①；②；③；④；④，当在边上存在点，使时，则可以取 .（填序号） 11．如图，在四棱台中，平面，四边形为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为 .    12．如图所示，在三棱锥中，平面平面，若为线段上一动点，则的最小值为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则（   ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 14．经过不在一条直线上的三个点的平面（   ） A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在 15．在正方体中，，为侧面上一动点．若，则的长的最大值为（    ） A． B． C． D． 16．在棱长为3的正方体中，点D到平面的距离为（   ） A． B．3 C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点. 求证： (1) (2)平面 18．已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 19．如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    (1)证明：平面底面； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 20．图1是由正方形和等边组成的平面图形，将沿折起． (1)折起时点与点重合，且平面平面，如图2，、分别是、的中点． ①证明：四点共面； ②证明：平面平面； (2)折起时点与点重合，且，如图3，求点到平面的距离． 21．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，M为棱BC的中点，且，，直线PM与平面所成的角为. (1)证明：. (2)在棱上是否存在一点E，使得直线平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. (3)求直线PB与平面所成角的正切值. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$