第五章 二元一次方程组 单元测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组单元卷，含选择（10题30分）、填空（6题24分）、解答（6题66分），以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合古代数学文化（《九章算术》）、科技前沿（智能机器人）及社会热点（双11囤货），培养抽象能力、模型意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程定义、方程组应用、坐标几何|第3题古代歌谣问题，渗透文化传承；第6题长方形拼图坐标，体现几何直观| |填空题|6/24|非负数性质、三元一次方程应用、函数与方程组|第15题《九章算术》雀燕问题，强化数学文化；第16题最短路径，培养空间观念| |解答题|6/66|解方程组、实际应用（购物/租车）、函数交点|第19题智能机器人购买，联系科技热点；第21题双11囤货，提升应用意识；第23题购书优惠，培养推理能力|

第五章 二元一次方程组 单元测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．二元一次方程x+y＝5中，当x＝2时，y的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．古代有一首歌谣是这样说的：栖树一群鸦，鸦树不知数．三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设鸦有x只，树有y棵，则由题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 4．当a，b都是实数，且满足ab＝6，则称点P（a+3，2﹣b）为完美点．已知关于x，y的方程，点A（x，y）是完美点，则m的值为（　　） A． B． C． D． 5．学校组织师生共360人参加游园活动，有载客量分别为45人、30人两种客车可供租用，要求可以租其中一种客车或者两种同时租但租的每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 6．如图，用几个大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知A（2，5），则B点的坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（﹣4，3） C．（﹣5，3） D．（﹣5，4） 7．关于x，y的方程组的解满足方程x+y＝2，则k的值为（　　） A．7 B．﹣8 C．9 D．﹣10 8．将长方形A和长方形B按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（　　） A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6 9．已知关于x，y的方程组的解为，那么，关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数yx交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．若方程x|a|﹣1+（a﹣2）y＝3是二元一次方程，则a的值为　　 ． 12．已知|2x﹣y|+（x+2y﹣5）2＝0，则x﹣y的值是 　　 ． 13．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需325元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需295元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 　　 元． 14．如图，已知一次函数y＝﹣x+4和y＝ax+2（a≠0）的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 　　 ． 15．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器（即天平）称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀和6只燕的总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”若假设一只雀重x斤，一只燕重y斤，则x＝　　 ，y＝　　 ． 16．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，1），B（2，3），点P在x轴上，且使PA+PB最小，请写出点P的坐标 　　 ． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．解方程组：（1）； （2）． （3） 18．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，求m+n的值． 19．2026年，科技“名场面”越来越多，一系列原创性、标志性科技成果令人振奋．为把科技融入课程，某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型号机器人模型的单价比B型号机器人模型的单价多200元，购买4台A型号机器人模型的费用比购买5台B型号机器人模型的费用多500元．现在需要购买A型号机器人模型4台，B型号机器人模型5台，问一共需要花费多少钱？ 20．在平面直角坐标系中，直线l1经过原点，且与直线l2：y＝2x﹣1交于点（﹣2，a）． （1）试求a的值及直线l1对应的函数表达式； （2）试问可看成是怎样的二元一次方程组的解； （3）设直线l1与l2的交点为P，直线l2与y轴交于点A，求△APO的面积． 21．在2025年双11到来之前，某商家为了囤货，投入28000元资金购进A、B两种商品共1000件，两种商品的成本价（元/件）和销售价（元/件）如表所示： 商品 成本价 销售价 A 25 35 B 30 45 （1）该商家购进两种商品各多少件？ （2）这批商品全部销售完后，该商家共获利多少元？ 22．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）． （1）求b的值； （2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解； （3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由． 23．为庆祝中国共产党百年华诞，某区组织各校给每个老师都购买一套价值150元的党史书，供全区教师学习，书店给出一次购买80套以上时8折优惠． （1）甲校购买此套书共付费5250元，求甲校购买此书的套数． （2）乙校购买此套书共付费10200元，求乙校购买此书的套数． （3）丙校单独支付购书款比丁校单独支付购书款少600元，两校单独支付购书款之和为22200元． ①求丙校、丁校单独支付书款数． ②若丙校和丁校两校合并一次性支付购书款，问与分别单独支付相比可以节省多少元？ 参考答案 第五章 二元一次方程组 单元测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．二元一次方程x+y＝5中，当x＝2时，y的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：把x＝2代入方程得：2+y＝5， 解得：y＝3， 故选：C． 2．下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A． ，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程满足二元一次方程组，故A选项符合题意； B． ，含有3个未知数，含未知数项的次数是1，所以是三元一次方程组，故B选项不符合题意； C.，其中xy的次数为2次，所以此方程组是二元二次方程组，故C选项不符合题意； D． ，第2个方程不是整式方程，不满足是整式方程，故D选项不符合题意； 故选：A． 3．古代有一首歌谣是这样说的：栖树一群鸦，鸦树不知数．三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设鸦有x只，树有y棵，则由题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依题意，得：，整理得， 故选：C． 4．当a，b都是实数，且满足ab＝6，则称点P（a+3，2﹣b）为完美点．已知关于x，y的方程，点A（x，y）是完美点，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， 解得：， 则x﹣3＝m，2﹣y＝m， 那么（x﹣3）（2﹣y）＝m2＝6， 则m＝±， 故选：A． 5．学校组织师生共360人参加游园活动，有载客量分别为45人、30人两种客车可供租用，要求可以租其中一种客车或者两种同时租但租的每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【解答】解：设租用载客量45人的客车x辆，载客量30人的客车y辆，其中x，y为非负整数， 根据题意总人数为360人，可得： 45x+30y＝360， 两边同除以15化简得： 3x+2y＝24， 变形得 ， ∵y为非负整数， ∴为整数，且， 可得x为非负偶数，且x≤8， 因此x的所有可能取值为0，2，4，6，8，对应y的值为12，9，6，3，0，均符合要求， ∴共有5种租车方案， 故选：C． 6．如图，用几个大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知A（2，5），则B点的坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（﹣4，3） C．（﹣5，3） D．（﹣5，4） 【解答】解：设相同的长方形的长为x，宽为y， 由A（2，5）得：， 解得， ∴B到y轴距离为x+2y＝3+2＝5，到x轴距离为x+y＝3+1＝4， ∴B的坐标为（﹣5，4）， 故选：D． 7．关于x，y的方程组的解满足方程x+y＝2，则k的值为（　　） A．7 B．﹣8 C．9 D．﹣10 【解答】解：关于x，y的方程组的解满足方程x+y＝2，则： ， ①+②得：（2x+y）+（x+2y）＝k+（﹣3）， 整理得：3（x+y）＝k﹣3， ∵x+y＝2， 则3×2＝k﹣3， 解得：k＝9． 故选：C． 8．将长方形A和长方形B按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（　　） A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6 【解答】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程．解：设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为（3﹣y）， 根据题意得：， 解得：， ∴x+y+（3﹣y）＝x+3＝3.75+3＝6.75． 故选：A． 9．已知关于x，y的方程组的解为，那么，关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：把代入关于x，y的方程组得： ， 当时，关于x，y的方程组可变为， 所以关于x，y的方程组的解为， 故选：D． 10．如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数yx交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【解答】解：将x＝2代入yx得y， ∴点C坐标为（2，）， 将（2，）代入y＝kx+2得2k+2， 解得k， ∴yx+2， 把y＝0代入yx+2得0x+2， 解得x＝3， ∴A（3，0）， ∴方程kx+2＝0的解为x＝3，x＜3时，y＞0， ∴①②正确； 把x＝0代入yx+2得y＝2， ∴B（0，2）， ∴对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＜2 ∴③错误； ∵直线y＝kx+2与直线yx交点坐标为（2，）， ∴方程组的解为， ∴④正确． 故选：D． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．若方程x|a|﹣1+（a﹣2）y＝3是二元一次方程，则a的值为　﹣2　 ． 【解答】解：根据二元一次方程的定义，得 |a|﹣1＝1且a﹣2≠0， 解得a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 12．已知|2x﹣y|+（x+2y﹣5）2＝0，则x﹣y的值是 　﹣1　 ． 【解答】解：∵|2x﹣y|+（x+2y﹣5）2＝0， ∴2x﹣y＝0，x+2y﹣5＝0， 即， 解得：x＝1，y＝2， ∴x﹣y＝1﹣2＝﹣1， 故答案为：﹣1． 13．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需325元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需295元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 　155　 元． 【解答】解：设甲的单价为x元，乙的单价为y元，丙的单价为z元， 由题意得：， ①+②得：4x+4y+4z＝620， 即x+y+z＝155， 故答案为：155． 14．如图，已知一次函数y＝﹣x+4和y＝ax+2（a≠0）的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 　　 ． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（3，1）， ∴关于x、y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 15．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器（即天平）称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀和6只燕的总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”若假设一只雀重x斤，一只燕重y斤，则x＝　　 ，y＝　　 ． 【解答】解：设一只雀重x斤，一只燕重y斤，根据题意，得， 整理，得， 解得， 故答案为：，． 16．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，1），B（2，3），点P在x轴上，且使PA+PB最小，请写出点P的坐标 　（﹣1，0）　 ． 【解答】解：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时PA+PB最小， ∵A（﹣2，1）B（2，3）， ∴C（﹣2，﹣1）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝x+1， 当y＝0时，x＝﹣1， ∴P的坐标是（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．解方程组：（1）； （2）． （3） 【解答】解：（1）两个方程相加得，x＝1， 把x＝1代入x+2y＝2得，y＝0.5， 所以此方程组的解为． （2）把3x＝3y+1代入4y＝3x+1得，y＝2， 把y＝2代入3x＝3y+1得，， 所以此方程组的解为． （3）②﹣①，得2x﹣z＝25④， 由④和③组成一个二元一次方程组： ， 解得：， 把代入①，得14+y+3＝22， 解得：y＝5， 所以方程组的解是． 18．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，求m+n的值． 【解答】解：把代入方程组得， 解得m＝﹣1，n＝11， 所以m+n＝10． 19．2026年，科技“名场面”越来越多，一系列原创性、标志性科技成果令人振奋．为把科技融入课程，某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型号机器人模型的单价比B型号机器人模型的单价多200元，购买4台A型号机器人模型的费用比购买5台B型号机器人模型的费用多500元．现在需要购买A型号机器人模型4台，B型号机器人模型5台，问一共需要花费多少钱？ 【解答】解：设A型号机器人模型的单价为x元，B型号机器人模型的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， ∴4x+5y＝4×500+5×300＝3500（元）． 答：一共需要花费3500元． 20．在平面直角坐标系中，直线l1经过原点，且与直线l2：y＝2x﹣1交于点（﹣2，a）． （1）试求a的值及直线l1对应的函数表达式； （2）试问可看成是怎样的二元一次方程组的解； （3）设直线l1与l2的交点为P，直线l2与y轴交于点A，求△APO的面积． 【解答】解：（1）设直线l1对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将x＝﹣2，y＝a代入y＝2x﹣1， 得a＝﹣5． 由直线l1过点（﹣2，﹣5）和（0，0）得， ， 解得， ∴直线l1对应的函数表达式为yx． （2）直线l1经过原点，且与直线l2：y＝2x﹣1交于点（﹣2，a）， x＝﹣2，y＝a可看作是二元一次方程组的解． （3）如图所示，P点坐标为（﹣2，﹣5），则P点到AO的距离为2． 将x＝0代入y＝2x﹣1得y＝﹣1，则点A的坐标为（0，﹣1）， ∴AO＝1， ∵P点到AO的距离为2，AO＝1， ∴S△APO1×2＝1． 21．在2025年双11到来之前，某商家为了囤货，投入28000元资金购进A、B两种商品共1000件，两种商品的成本价（元/件）和销售价（元/件）如表所示： 商品 成本价 销售价 A 25 35 B 30 45 （1）该商家购进两种商品各多少件？ （2）这批商品全部销售完后，该商家共获利多少元？ 【解答】解：（1）设购进A种商品x件，购进B种商品y件， 根据题意，得， 解得， 答：该商家购进A种商品400件，B种商品600件． （2）400×（35﹣25）+600×（45﹣30）＝13000（元）， 答：该商家共获利13000元． 22．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）． （1）求b的值； （2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解； （3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由． 【解答】解：（1）把P（1，b）代入y＝x+1得b＝1+1＝2； （2）由（1）得P（1，2）， 所以方程组的解为； （3）直线l3：y＝nx+m经过点P．理由如下： 因为y＝mx+n经过点P（1，2）， 所以m+n＝2， 所以直线y＝nx+m也经过P点． 23．为庆祝中国共产党百年华诞，某区组织各校给每个老师都购买一套价值150元的党史书，供全区教师学习，书店给出一次购买80套以上时8折优惠． （1）甲校购买此套书共付费5250元，求甲校购买此书的套数． （2）乙校购买此套书共付费10200元，求乙校购买此书的套数． （3）丙校单独支付购书款比丁校单独支付购书款少600元，两校单独支付购书款之和为22200元． ①求丙校、丁校单独支付书款数． ②若丙校和丁校两校合并一次性支付购书款，问与分别单独支付相比可以节省多少元？ 【解答】解：（1）5250÷150＝35（套）， 答：甲校买了35套； （2）设10200元买了x套， 当x≤80时，则150x＝10200，解得x＝68， 当x＞80 时，则150x•0.8＝10200，解得x＝85， 答：乙校买了68套或85套； （3）①设丙校单独购买支付款为a元，则丁校单独购买支付款为（a+600）元， 由题意得， a+a+600＝22200， 解得，a＝10800， a+600＝10800+600＝11400（元）， 答：丙校单独支付款为10800元，丁校单独支付款为11400元； ②10800÷150＝72（套），10800÷150÷0.8＝90（套）， 故丙校购书72套或90套； 11400÷150＝76（套），11400÷150÷0.8＝95（套）， 故丁校购书76套或95套； 若丙购买90套，丁购买95套，合并支付与分开支付费用一样； 若丙购买72套，丁购买95套，22200﹣（72+95）×150×0.8＝2160（元），此时合并支付可节省2160元； 若丙购买90套，丁购买76套，22200﹣（90+76）×150×0.8＝2280（元），此时合并支付可节省2280元； 若丙购买72套，丁购买76套，22200﹣（72+76）×150×0.8＝4440（元），此时合并支付可节省4440元． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $