精品解析：江苏省扬州市邗江区梅岭中学京华校区2021-2022学年九年级上学期开学数学试卷

2021-2022学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学京华校区 九年级（上）开学数学试卷 一．选择题（共8小题） 1. 关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 2. 已知的半径为5，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 过圆心的线段是直径 D. 圆心相同半径相同的两个圆是同心圆 4. 过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（   ） ①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5． A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①③ 5. 某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. 100（1+x）2=1000 B. 100+100×2x=1000 C. 100+100×3x=1000 D. 100[1+（1+x）+（1+x）2]=1000 6. 如图，两正方形彼此相邻内接于半圆，若半圆的半径为5cm，则小正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，形如的方程的图解是：画，使，，，再以B为圆心，长为半径画弧，分别交边及延长线于点D、E，则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 8. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共10小题） 9. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，则方程一定有一个根是x＝_____． 10. 一元二次方程（x﹣1）（x+2）=0的根是_____． 11. 关于的一元二次方程的一个根为零，则__________． 12. 一个点P到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为________ 13. 在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为______度． 14. 如图，的半径为3，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是___________ ． 15. 如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______． 16. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为______． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是以点A为圆心2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为__________． 18. 如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________． 三．解答题（共7小题） 19. 解下列方程： （1）2x（2x+5）=（x﹣1）（2x+5） （2）x2+2x﹣5=0． （3）x2﹣4x﹣1=0 （用公式法）        （4）2x2+1=3x（用配方法） 20. 如图，已知：是的两条弦，且，求证：． 21. 如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且，若． （1）求的长； （2）求的半径． 22. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC＝8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值． 23. 某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？ 24. 解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的． 例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0， 如果设x2﹣3＝y，∵x2﹣3＝y，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0． 应用：请用换元法解下列各题 （1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，则x2+y2的值； （2）解方程：； （3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值． 25. 如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP=5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学京华校区 九年级（上）开学数学试卷 一．选择题（共8小题） 1. 关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【详解】∵△=＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D． 2. 已知的半径为5，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r；点在圆内，d<r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）． 【详解】解：∵OP=6>5，故点P与⊙O的位置关系是点在圆外． 故答案为:C 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系,解题关键是掌握圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上， PO＝r；P在⊙O内，PO<r 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 过圆心的线段是直径 D. 圆心相同半径相同的两个圆是同心圆 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：过圆心的弦是直径，不是所有的弦都是直径，故A选项错误；圆上任意两点间的部分是弧，故半圆是弧，故B正确；过圆心的弦是直径，故C选项错误；圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，故D错误，所以本题选B. 考点：圆的有关定义. 4. 过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（   ） ①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5． A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【详解】经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆,因为只有C选项中的三点能构成三角形，故选C. 5. 某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. 100（1+x）2=1000 B. 100+100×2x=1000 C. 100+100×3x=1000 D. 100[1+（1+x）+（1+x）2]=1000 【答案】D 【解析】 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为100×（1+x）， ∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）=100×（1+x）2， ∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=1000， 即100[1+（1+x）+（1+x）2]=1000． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键． 6. 如图，两正方形彼此相邻内接于半圆，若半圆的半径为5cm，则小正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接圆心与大正方形在半圆上的交点，圆心与小正方形在半圆上的交点，在两个直角三角形中，通过勾股定理可将两个正方形的边长求出． 【详解】连接OD，OE， 设大正方形的边长为2a，小正方形的边长为b， 则（2a）2＋a2＝52解得：a＝ 在Rt△OEF中，OF2＋EF2＝OE2即（＋b）2＋b2＝52， 解得：b＝，则小正方形的边长为 故选C． 【点睛】此题主要考查圆与正方形的性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质． 7. 如图，形如的方程的图解是：画，使，，，再以B为圆心，长为半径画弧，分别交边及延长线于点D、E，则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据求根公式得出方程的根，根据等式，即可得解. 【详解】∵，，，， ∴ 又∵ ∴ ∴该方程的正根为 ∴ ∵ ∴x即为AE的长 故答案为A. 【点睛】此题主要考查勾股定理以及方程两根公式的运用，熟练掌握，即可解题. 8. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，即，代入得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：是方程的根， ， ， ， ，是方程两根， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程解的定义． 二．填空题（共10小题） 9. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，则方程一定有一个根是x＝_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】将x＝−1代入方程ax2＋bx＋c＝0中的左边，得到a−b＋c，由a−b＋c＝0得到方程左右两边相等，即x＝−1是方程的解． 【详解】解：将x＝−1代入ax2＋bx＋c＝0的左边得：a×（−1）2＋b×（−1）＋c＝a−b＋c， ∵a−b＋c＝0， ∴x＝−1是方程ax2＋bx＋c＝0的根． 故答案为：−1． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．掌握定义是解题的关键． 10. 一元二次方程（x﹣1）（x+2）=0的根是_____． 【答案】x1=1，x2=﹣2 【解析】 【详解】解：∵（x﹣1）（x+2）=0，∴x﹣1=0，x+2=0，∴x1=1，x2=﹣2．故答案为x1=1，x2=﹣2． 11. 关于的一元二次方程的一个根为零，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先把代入方程得，然后解关于的一元二次方程，再根据一元二次方程的定义取舍即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得或， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 12. 一个点P到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为________ 【答案】3cm或8cm 【解析】 【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解． 【详解】解：当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是8cm； 当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm； 故答案为 3cm或8cm 13. 在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为______度． 【答案】60 【解析】 【分析】画出图形，连接、，可证得是等边三角形，由此得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 14. 如图，的半径为3，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握勾股定理，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 过点O作于H，连接，则，利用勾股定理求出，则由垂径定理可得． 【详解】解：过点O作于H，连接， 则，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，圆的确定，连接，根据网格特点和三角形的外心的性质，得到的中垂线的交点即为圆心，根据点的坐标，确定圆心的坐标即可． 【详解】解：如图，由题意，点即为弧所在圆的圆心，且点恰好是坐标原点， 故弧所在圆的圆心坐标是． 16. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为______． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，设交于．解直角三角形求出，再在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于．半径为， ，平分， ，， ， 在中，则有， 解得， 故答案为：5． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是以点A为圆心2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作AB的中点E,连接EM,CE,AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM和CE长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值. 【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE,ME,AD, ∵E是AB的中点，M是BD的中点，AD=2， ∴EM为△BAD的中位线， ∴ , 在Rt△ACB中，AC=4,BC=3， 由勾股定理得，AB= ∵CE为Rt△ACB斜边的中线， ∴, 在△CEM中， ,即， ∴CM的最大值为 . 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以CM为边，另两边为定值的三角形是解答此题的关键和难点. 18. 如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OD，OE，因为=，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF，因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO，所以Rt△DOC∽Rt△EOF，所以CO=OF=，在Rt△DOC中，OD=，所以AO=DO=，AC=，BC=AB-AC=- =，所以以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得． 【详解】解：连接OE，OD， ∵=， ∴∠DOC=∠EOF， ∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴∠DCO=∠EFO=90°， 又∵DO=EO， ∴Rt△DOC≌Rt△EOF， ∴CO=OF=， ∵在Rt△DOC中，OD=， ∴AO=DO=，AC=AO-CO=，AB=2AO=，BC=AB-AC=- =， ∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得． 故答案为：x2-x+1=0． 【点睛】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用． 三．解答题（共7小题） 19. 解下列方程： （1）2x（2x+5）=（x﹣1）（2x+5） （2）x2+2x﹣5=0． （3）x2﹣4x﹣1=0 （用公式法）        （4）2x2+1=3x（用配方法） 【答案】（1）；（2）x=-1；（3）x=；（4）x=1或x= 【解析】 【分析】（1）因式分解法求解可得； （2）公式法求解可得； （3）公式法求解可得； （4）配方法求解可得． 【详解】（1）∵2x（2x+5）﹣（x﹣1）（2x+5）＝0，∴（2x+5）（2x﹣x+1）＝0，即（2x+5）（x+1）＝0，则2x+5＝0或x+1＝0，解得：； （2）∵a＝1，b＝2，c＝﹣5，∴△＝4﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，则x； （3）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，∴△＝16﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则x； （4）∵2x2﹣3x＝﹣1，∴x2，则x2，即（x）2，∴x或x，∴x＝1或x． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 20. 如图，已知：是的两条弦，且，求证：． 【答案】 证明：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可． 【详解】略 21. 如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且，若． （1）求的长； （2）求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形为正方形，得，则，又，，求出； （2）连接，构造直角三角形，求出和的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：， 连接，如图， ∵， ∴在中，， 即⊙O的半径为． 22. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC＝8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值． 【答案】（1）详见解析；（2）当△ABC为等腰三角形时，m的值为7或8． 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可证得结论；（2）根据△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，设AB＝x1＝8，代入得方程82﹣8（2m+1）+m（m+1）＝0，解方程求出m的值即可． 【详解】解：（1）∵△＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）＝1＞0， ∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）由于无论m为何值，方程恒有两个不等实根，故若要△ABC为等腰三角形，那么必有一个解为8； 设AB＝x1＝8，则有： 82﹣8（2m+1）+m（m+1）＝0，即：m2﹣15m+56＝0， 解得：m1＝7，m2＝8． 则当△ABC为等腰三角形时，m的值为7或8． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 23. 某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？ 【答案】第二周每个商品的单价应降低4元． 【解析】 【详解】设第二周每个商品的单价应降低x元，根据这批商品计划获利9500元建立方程，解方程即可． 【解答】解：第一周获利：（元）． 设第二周每个商品的单价应降低x元， 根据题意，得：， 即：， 解得：，， 当时，，（不合题意舍去）． 答：第二周每个商品的单价应降低4元． 24. 解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的． 例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0， 如果设x2﹣3＝y，∵x2﹣3＝y，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0． 应用：请用换元法解下列各题 （1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，则x2+y2的值； （2）解方程：； （3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）令可得，求解一元二次方程即可； （2）令，则，原方程可化为，求得，即可求解； （3）因为所以，方程两边同时除以，可得，令，方程可化简为，求解方程即可． 【详解】解：（1）令，则，原方程可化为 即，，解得或 又∵ ∴ 所以，x2+y2的值为1 （2）令，则 原方程可化为 即，解得或 当时，即， ，即 解得 当时，， 判别式，方程无解 综上所述，的解为 （3）∵ ∴， 两边同时除可得： 令，可化为， 解得， ∴或 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解方法，涉及了完全平方公式，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法以及整体代换的思想． 25. 如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP=5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条． 【答案】 （1）如图1，弦AB即为所求； （2）①过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②4 【解析】 【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可； （2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB=24，即可得出答案； ②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）①过点P的所有弦中，直径最长为直径26，与OP垂直的弦最短， 连接OA，如图2所示： ∵OP⊥AB， ∴AP=BP===12， ∴AB=2AP=24， ∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26； ②∵过P点最长的弦为直径26， 最短的弦24， 长度为25的弦有两条， ∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $