2026年八年级数学秋季开学学情自测卷（江苏无锡专用，新教材苏科版）

**基本信息** 2026年八年级开学数学学情自测卷，覆盖七年级及八年级三角形内容，通过古代数学问题、动态几何情境等，融合抽象能力与推理意识，实现基础巩固与创新应用的梯度检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、方程组应用、三角形面积|第2题以《增删算法统宗》“绳索量竿”体现文化传承| |填空题|8/24|三角形稳定性、平移面积、等腰三角形顶角计算|第11题结合汽车支撑杆实例培养模型意识| |解答题|10/96|全等证明、旋转问题、探究性几何|第26题三角板旋转动态问题发展空间观念，第28题等边三角形探究提升创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上.) 1 2 3 4 5 6 > 8 9 10 C D A B A B A B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相 应的位置上.) 11.三角形的稳定性 12.12 13.3cm 14.75 15.10 16.30°或150 17. 2≤X≤6 8号 24 三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤等.) 19.(8分) (a)解分-（π-3P+(-12 -2 =22-1+1 =4-1+1 =4;(4分) (2)解：(a+3b)(2a-b) =a·2a-a·b+3b·2a-3b·b =2a2-ab+6ab-3b2 =2a2+5ab-3b2.(8分) 1 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2x+y=8① 20.(1)解： x-3y=-3② ①×3+②得7X=21,解得x=3, 将x=3代入①，得6+y=8,解得y=2, x=3 、方程组的解为y=2 (4分) (2)解：解不等式2x-3<1得，x<2 解不等式1-4x≤4-2x得，X22 3 3 ·不等式组的解集为2≤x<2,(6分) 解集在数轴上表示：略(8分) 21.(10分)(1).∠DAB=∠EAC, ∴.∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE, ∴.∠DAE=∠BAC, 又.AD=AB,∠D=∠B, ∴.△ABC≌△ADE ASA:(4分) (2)解：.△ABC≌△ADE, ∴.AE=AC, ∴.∠AEC=∠C, 又.∠EAC=30° ∴.∠AEC=∠C=75°，(6分) 又.∠BAE=35°， .∠BAC=65, ∴.∠B=180°-∠BAC-∠C=40°， .∴.∠B=∠D=40°.(10分) 22.（10分)(1)点P如图所示： 2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5分) (2)△ABC如图所示： B B (10分) 23.(10分)(1)解：原式=12+-12-2×3=-4.(3分) (2)解：①原式=12+x2-1-y2×1 =x2+y2, x+y=10,xy=11, ∴x+y}=100,2y=22, ∴.x2+y2=x+y-2xy=100-22=78;(7分) ②由图知：S=(x-y)2=(x+y2-4Xy=100-4×11=56.(10分) 24.（1)解：.∠ABC=∠ACB, ∴，AB=AC,即△ABC是等腰三角形.(2分) :DE‖BC, ∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB, ∴.∠ADE=∠AED. ∴.AD=AE,即△ADE是等腰三角形.(3分) ,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∠DB0=∠CB0=3∠ABC,∠EC0=∠BC02∠ACB, .∠OBC=∠OCB, 3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OB=OC,即△OBC是等腰三角形.(4分) ,DE‖BC, ∴.∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠OCB, .∠DOB=∠DBO,∠EOC=∠ECO, ∴.DB=DO,EC=EO,即△DBO,△ECO都是等腰三角形. 综上所述，图中共有5个等腰三角形.(5分) (2)DE=BD+CE,理由如下： .BO平分∠ABC,CO平分∠ACB: :.∠DBO=∠CBO,∠ECO=∠BCO, DE‖BC, ∴.∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠OCB, .∠DOB=∠DBO,∠EOC=∠ECO, ∴.DB=DO,EC=EO, ..DE=DO+EO=BD+CE.(10 2x+5y=-6m3x-5y=16 25.(6分)解：关于x,y的方程组 ax-by=4和ax+by=-8的解相同， 联立不含参数的方程得乙， 将两个方程相加，得5x=10,解得x=2.（2分) 把x=2代入2x+5y=-6,得4+5y=-6,解得y=-2, 即，代入， 得乙，解得乙，(4分) .2a-b=2×(-1)-3=-5.(6分) 26.(10分)(1)解：由题意得∠AOB=45°，∠COD=90°， .∠B0D=135°， 设三角板ABO每秒旋转x°，三角板COD每秒旋转y°，且x<y, 15(x+y=135 X=3 根据题意得 45y-x=135解得y=6: 答：三角板ABO每秒旋转3°，三角板COD每秒旋转6°；(5分) 4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设经过t秒点D第二次落在边OB上， 由题意得6-3t=720-135, 解得t=195, 答：经过195秒点D第二次落在边OB上.(10分) 27.(12分)(1)证明：.∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠CAE=90°， .BD⊥AD .∠DBA+∠BAD=90°， .∴.∠CAE=∠DBA, .CE⊥AE, .∴.∠CEA=90°， .∠DBA=∠EAC,∠BDA=∠AEC,AB=CA, △ABD≌△CAE.(4分) (2)DE=BD+CE.证明如下： ,:∠EAC+∠CEA+∠ACE=180°， ∴.∠ECA=180°-∠CAE-∠CEA, ,∠CAB+∠CAE+∠BAD=180, ..∠BAD=180°-∠CAB-∠CAE, .∠AEC=∠CAB, .∠ECA=∠BAD, .'∠CEA=∠DAB,∠ACE=∠BAD,AC=AB, .∴.△CEA≌△ADB, ∴.CE=AD,BD=AE, .ED=EA+AD, .DE=BD+CE.(8分) (3)过点A作AD⊥X轴点D,过点B作BE⊥X轴于点E, 5 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B EL与 -4 -20 -2 由(1)可得：∠DAC=∠ECB, .:∠ADC=∠CEB,∠DAC=∠ECB,AC=BC, ∴.△ADC≌△CEB, ∴AD=CE,DC=EB, .B(1,3),C(-1,0) ∴.BE=3,OE=1,OC=1, ∴.AD=2,OD=4, .A(-4,2).(12分) 28.(12分)解：(1)根据以上数据，猜想：△AMN是等边三角形， 故答案为：等边三角形；(4分) (2)如图，在CA边上截取CP=CM,连接PM. :△ABC是等边三角形， E D ∴∠C=∠ABC=60°，CB=CA, ∴.∠ABD=120°， :BE平分∠ABD, :∠ABE=∠ABD=60 21 .∴.∠MBN=∠ABC+∠ABE=120°. .CP=CM, ∴△CPM是等边三角形， 6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC-PC=BC-CM, 即AP=BM, .∠CPM=∠CMP=60°， .∠APM=120°， ∴.∠APM=∠MBN, :∠DBE=∠BNM+∠BMN=60°，∠AMP+∠BMW=180°-（∠AMN+∠CMP)=60° ∴.∠BNM=∠AMP, 在△APM和△MBN中， ∠AMP=∠BNM ∠APM=∠MBN AP=BM :.△APM≌△MBN(AAS), .AM MN .'∠AMN=60°. △AMN是等边三角形；(8分) (3)如下图，在AM上截取AG=a,分别以A、G为圆心，a的长为半径画弧，两弧交于点D,连接 AD、DG,以D为圆心，b的长为半径画弧，交AM于CC,连接CDCD,作∠DCB=∠ADG=60°， ∠DC,B=∠ADG=60°，连接BC,B,C,BD,BD,△ABC即为求作： B G M E 理由： 由作法可知：AD=DG=AG=a,CD=C,D=b, :.△ADG是等边三角形三角形， 由前面的过程可知：△BCD、△B,CD是等边三角形， .BC=BC=CD=CD=b」 7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 延长BA至E,使AE=AC,连接CE, .∠MAN=120°， ∴△ACE是等边三角形， .∠ACE=∠E=60°， .∠BCE=∠DCA, 在△BCE和△DCA中， BC=DC ∠BCE=∠DCA, CE=AC .△BCE≌aDCA(SAS). .'BE=AD=a,AB+AE=AB+AC=a, 同理可证AB,+AC=a, ∠DCA<90°，∠DCB,=60°， .∠BCA<30°不合题意， .△ABC即为求作.(12分) 8 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七年级全部内容+八年级上册第1章三角形 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 3．如果，那么的值为（     ） A．10 B．12 C．16 D．25 4．如图，两个面积分别为6，13的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，则的值为（   ） A．35 B．63 C．56 D．49 5．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 8．如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 9．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。） 11．如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 12．当x取不同数时，代数式的值如下表，当时，代数式的值是______． x 1 2 0 13．如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为（     ） A． B． C． D． 14．如图，把一副三角板与一个直尺摆放成如图所示的图形，则______． 15．如图所示，在中，，现将沿着的方向平移到的位置．若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为______． 16．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 17．若不等式组的解集为，则不等式组的解集为_______． 18．如图，在中，点D是的中点，点E是边上一点，且满足，与相交于点O，且的面积比的面积大4，则______，的面积=______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等。） 19．（8分）计算： (1)； (2)． 20．（8分）按要求完成下列各题： (1)解二元一次方程组：； (2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 21．（10分）如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 22．（10分）根据题中要求解答下列作图问题． (1)如图1，已知，用直尺和圆规作的垂直平分线、的平分线，与交于点P； (2)如图2，在方格纸中画出绕点A按逆时针旋转后的． 23．（10分）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)________； (2)对于有理数、，若，． ①求的值； ②将两个边长为，的正方形按照如图方式进行放置，求图中阴影部分的面积． 24．（10分）在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 25．（6分）已知关于，的方程组和的解相同，求的值． 26．（10分）一副三角板如图放置（，，边与重合），同时绕点O匀速旋转，且三角板比三角板旋转的速度慢． (1)如果三角板按顺时针旋转，三角板按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上；如果三角板、三角板都按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上．求两块三角板每秒分别旋转多少度？ (2)在（1）的条件下，如果两块三角板按顺时针方向旋转，那么经过多长时间点D第二次落在边上？ 27．（12分）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 28．（12分）实践与探究 【提出问题】 如图1，是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点M是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点N，连接．猜想的形状．兴趣小组的三位同学分别度量和的长度，结果如下： 的长度（） 的长度（） 小明 小丽 小亮 （1）根据以上数据，猜想：是__________三角形． 【解决问题】 （2）请你对上述猜想进行证明． 【灵活运用】 （3）如图2，已知，线段a，b．若满足：点B在上，点C在上，，，，请利用无刻度直尺和圆规作出点C．（保留必要的作图痕迹） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2026年秋八年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选 准考证号 识 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 破。 5. 正确填涂 789 6789 6789 6789 123456789 123456789 0123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C]D] 9[A][B][C]D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 10[A1B1C1D1 效南 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分 1 名 13 4 15. 16. 17. 三、解答题（共96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(8分) 警 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 32十0十23→ 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) B 图1 图2 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) D E 25.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) A(C) 27.(12分) ID A 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(12分) E a B M C 6 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七年级全部内容+八年级上册第1章三角形 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 3．如果，那么的值为（     ） A．10 B．12 C．16 D．25 4．如图，两个面积分别为6，13的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，则的值为（   ） A．35 B．63 C．56 D．49 5．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 8．如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 9．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。） 11．如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 12．当x取不同数时，代数式的值如下表，当时，代数式的值是______． x 1 2 0 13．如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为（     ） A． B． C． D． 14．如图，把一副三角板与一个直尺摆放成如图所示的图形，则______． 15．如图所示，在中，，现将沿着的方向平移到的位置．若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为______． 16．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 17．若不等式组的解集为，则不等式组的解集为_______． 18．如图，在中，点D是的中点，点E是边上一点，且满足，与相交于点O，且的面积比的面积大4，则______，的面积=______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等。） 19．（8分）计算： (1)； (2)． 20．（8分）按要求完成下列各题： (1)解二元一次方程组：； (2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 21．（10分）如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 22．（10分）根据题中要求解答下列作图问题． (1)如图1，已知，用直尺和圆规作的垂直平分线、的平分线，与交于点P； (2)如图2，在方格纸中画出绕点A按逆时针旋转后的． 23．（10分）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)________； (2)对于有理数、，若，． ①求的值； ②将两个边长为，的正方形按照如图方式进行放置，求图中阴影部分的面积． 24．（10分）在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 25．（6分）已知关于，的方程组和的解相同，求的值． 26．（10分）一副三角板如图放置（，，边与重合），同时绕点O匀速旋转，且三角板比三角板旋转的速度慢． (1)如果三角板按顺时针旋转，三角板按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上；如果三角板、三角板都按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上．求两块三角板每秒分别旋转多少度？ (2)在（1）的条件下，如果两块三角板按顺时针方向旋转，那么经过多长时间点D第二次落在边上？ 27．（12分）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 28．（12分）实践与探究 【提出问题】 如图1，是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点M是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点N，连接．猜想的形状．兴趣小组的三位同学分别度量和的长度，结果如下： 的长度（） 的长度（） 小明 小丽 小亮 （1）根据以上数据，猜想：是__________三角形． 【解决问题】 （2）请你对上述猜想进行证明． 【灵活运用】 （3）如图2，已知，线段a，b．若满足：点B在上，点C在上，，，，请利用无刻度直尺和圆规作出点C．（保留必要的作图痕迹） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年秋八年级开学·学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 3 0 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题：本题共 8 小题，每 题 3 分，共 24 分． 1 ． ___________ 1 2 ． ___________ 1 3 ． ___________ 1 4 ． ___________ 15 ． ___________ 16 ． ___________ 17 ． ___________ 18 ． _________ 三 、解答题（共 96 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 9 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（8分） 2 1 ．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ． （1 0 分） 2 3 ． （1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( ) ( 2 4 ． （ 10分 ） 25 ． （6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26 ． （ 10 分） 27 ． （ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 28 ． （ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后能与自身重合的图形． 【详解】解：选项是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意找出两个等量关系，列出方程组即可得到答案． 【详解】解：设绳索长尺，竿长尺． ∵绳索比竿长尺， ∴， ∵将绳索对半折后量竿，比竿短尺，即竿长比对半折后的绳索长尺， ∴， 因此可得方程组． 3．如果，那么的值为（     ） A．10 B．12 C．16 D．25 【答案】A 【分析】本题利用换元思想结合完全平方公式的变形求解，无需展开解方程求，可简化计算，用到完全平方公式的变形公式． 【详解】解：设，， 由完全平方公式可得，变形得 ， ， 由题意得 ， 将，代入公式得：， 即． 4．如图，两个面积分别为6，13的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，则的值为（   ） A．35 B．63 C．56 D．49 【答案】B 【分析】本题考查整式加减的应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． 设空白部分的面积为，根据题意列式计算得到，再整体代入计算即可． 【详解】设空白部分的面积为，则，， ∴，则 ∴ ， 故选：B． 5．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 6．如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】连接，利用面积法将的面积表示为与的面积之和，结合即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 7．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形周长公式求出的值，最后利用线段的和差关系求出的长 【详解】解： 的周长为， 点为延长线上一点 ． 8．如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【详解】解：由题意可知， 又∵， ∴ ． 9．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再证出，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 10．如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】C 【分析】根据题意可分两种情况：和，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或3． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。） 11．如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：当汽车前机盖打开时，支撑杆、车身与机盖之间形成了一个三角形，这是利用了三角形的稳定性． 12．当x取不同数时，代数式的值如下表，当时，代数式的值是______． x 1 2 0 【答案】 【分析】根据表格中给出的x与对应代数式的值，列出二元一次方程组，求解得到和的值，再将代入代数式计算即可得到结果； 【详解】解：由题意得，当时，，即 当时，，即 用②减去①得 ， 解得 ； 将代入①得 ， 解得 ， 将，，代入得； 13．如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答． 【详解】解：∵点A，B对应的刻度分别为2，8， ， 在中，，点D为边的中点， ∴． 14．如图，把一副三角板与一个直尺摆放成如图所示的图形，则______． 【答案】75 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，根据三角板中角度的特点可得的度数，则由平角的定义可得的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， ∵直尺的对边平行，即， ∴， 故答案为：75． 15．如图所示，在中，，现将沿着的方向平移到的位置．若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 10 【分析】根据平移的性质可知，，，，阴影部分的面积等于的面积减去的面积，利用等腰直角三角形的性质求出的长即可解答； 【详解】解：， 是等腰直角三角形，， 由平移的性质可知，，，，， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ． 16．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 【答案】或 【分析】要分类讨论，当等腰三角形的顶角是钝角或等腰三角形的顶角是锐角两种情况，然后作出示意图，在锐角三角形中，由可得，结合，即可求出顶角度数；在钝角三角形中，由可得，根据邻补角的性质即可解答． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图： ∵ ∴， ②当为钝角三角形时，如图： ∵， ∴ ∴， 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 17．若不等式组的解集为，则不等式组的解集为_______． 【答案】 【分析】先对所求不等式组进行变形，整理得到与已知不等式结构一致的形式，结合已知不等式的解集，利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴整理得：，即， 当时，解得， ∵， ∴， ∴，即， 解得； 当时，解得， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得； 综上可得：不等式组的解集为：． 18．如图，在中，点D是的中点，点E是边上一点，且满足，与相交于点O，且的面积比的面积大4，则______，的面积=______． 【答案】 24 【分析】设，的面积为,则，连接，则，，设，则， 根据题意，得，求解即可； 【详解】解：设，的面积为,则， ∵点D是的中点， ∴， 设点C到的距离为， ， ， ， ， 的面积比的面积大4， ， 解得， 如图，连接，∵点D是的中点， 则，， 设，则， 根据题意，得， 解得， ； 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等。） 19．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂、有理数乘方的运算法则计算每一项，再进行加减运算得到结果； （2）根据多项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解 ； （2）解 ： ． 20．（8分）按要求完成下列各题： (1)解二元一次方程组：； (2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)； (2)，把解集在数轴上表示如图： 【详解】（1）解： 得，解得， 将代入①，得，解得， ∴方程组的解为； （2）解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示：略 21．（10分）如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， ， ， 又，， ； (2) 【分析】（1）利用“角边角”即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， 又， ， 又， ∴， ， ． 22．（10分）根据题中要求解答下列作图问题． (1)如图1，已知，用直尺和圆规作的垂直平分线、的平分线，与交于点P； (2)如图2，在方格纸中画出绕点A按逆时针旋转后的． 【答案】(1)点P如图所示： (2)如图所示： 【分析】（1）利用尺规作图作出的垂直平分线和的平分线即可； （2）利用旋转的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 23．（10分）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)________； (2)对于有理数、，若，． ①求的值； ②将两个边长为，的正方形按照如图方式进行放置，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①78；② 【分析】（1）直接根据计算即可； （2）①先根据新定义化简，再利用完全平方公式变形求解即可； ②根据图形用含x，y的式子表示出阴影部分的面积，再利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：①原式 ， ∵，， ∴，， ∴ ； ②由图知：． 24．（10分）在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 【答案】(1)图中共有5个等腰三角形 (2)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据得到是等腰三角形，根据平行线的性质得出，因此是等腰三角形．根据角平分线的定义得出，因此是等腰三角形．根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，因此，都是等腰三角形，即可解答； （2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此根据线段的和差得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴，， ∴，，即，都是等腰三角形． 综上所述，图中共有5个等腰三角形． （2）略 25．（6分）已知关于，的方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】先联立不含参数 的方程求出 的值，再代入含参数的方程求出 的值，即可求出． 【详解】解：关于，的方程组和的解相同， 联立不含参数的方程得， 将两个方程相加，得，解得． 把代入，得，解得， 即，代入， 得，解得， ． 26．（10分）一副三角板如图放置（，，边与重合），同时绕点O匀速旋转，且三角板比三角板旋转的速度慢． (1)如果三角板按顺时针旋转，三角板按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上；如果三角板、三角板都按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上．求两块三角板每秒分别旋转多少度？ (2)在（1）的条件下，如果两块三角板按顺时针方向旋转，那么经过多长时间点D第二次落在边上？ 【答案】(1)三角板每秒旋转，三角板每秒旋转； (2)经过秒点D第二次落在边上． 【分析】（1）由题意得，设三角板每秒旋转，三角板每秒旋转，根据三角板按顺时针旋转，三角板按逆时针旋转，后，点D第一次落在边上，三角板、三角板都按逆时针旋转，后，点D第一次落在边上．建立二元一次方程组求解即可； （2）设经过秒点D第二次落在边上，由（1）中结论结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 设三角板每秒旋转，三角板每秒旋转，且， 根据题意得，解得， 答：三角板每秒旋转，三角板每秒旋转； （2）解：设经过秒点D第二次落在边上， 由题意得， 解得， 答：经过秒点D第二次落在边上． 27．（12分）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）．证明如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 28．（12分）实践与探究 【提出问题】 如图1，是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点M是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点N，连接．猜想的形状．兴趣小组的三位同学分别度量和的长度，结果如下： 的长度（） 的长度（） 小明 小丽 小亮 （1）根据以上数据，猜想：是__________三角形． 【解决问题】 （2）请你对上述猜想进行证明． 【灵活运用】 （3）如图2，已知，线段a，b．若满足：点B在上，点C在上，，，，请利用无刻度直尺和圆规作出点C．（保留必要的作图痕迹） 【答案】（1）等边三角形；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，较复杂的尺规作图，熟知相关性质及正确作出辅助线是关键． （1）根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形进行判定即可； （2）在边上截取，连接，根据等边三角形的性质得出相等的角和边，证明是等边三角形，然后得出相等边和角，证明，得出，即可得出结论； （3）在上截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交于，连接，作，，连接，，即为求作． 【详解】解：（1）根据以上数据，猜想：是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）如图，在边上截取，连接． 是等边三角形， ，， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ∴， 即， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． ， 是等边三角形； （3）如下图，在上截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交于，连接，作，，连接，，即为求作； 理由： 由作法可知：，， ∴是等边三角形三角形， 由前面的过程可知：、是等边三角形， ∴， 延长至，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，即， 同理可证， ∵，， ∴不合题意， ∴即为求作． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $