精品解析：江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校2021-2022学年暑假自主学习检测 八年级数学试题

金陵中学河西分校2022年暑假自主学习检测 八年级数学 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，不正确的是（       ） A. B. C. D. 3. 若，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形三条边距离相等的点是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 一粒芝麻的质量约为千克，将用科学记数法表示为_____ 8. 已知方程，改写成用含的式子表示的形式______． 9. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 10. 等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为______． 11. 若，则___________． 12. 如果不等式3x－m≤0有3个正整数解，则 m的取值范围是______． 13. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为14，则的周长为 ___________． 14. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 15. 如图，点是的角平分线上一点，分别在上，且．则与的关系是___________． 16. 如图，三角形中，平分，，若，，则___________． 三、解答题： 17. 计算 （1）； （2） 18. 因式分解： （1）． （2）． 19. 解方程组、不等式组： （1）． （2）． 20. 已知：如图，，和相交于点，平分，和相交于点，．求证：． 21. 已知：如图，在中，，，，垂足分别为，与交于点． （1）求证：； （2）连接并延长，交于点，求证：垂直平分． 22. 如图，△ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为F、G． （1）求证：BG＝CF； （2）若AB＝17，AC＝5，求AF的长度． 23. 某商店购进甲、乙两种商品，若购进甲种商品3件和乙种商品4件需270元；若购进甲种商品6件和乙种商品5件需450元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别为元？ （2）该商店购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品以每件70元出售，乙种商品以每件40元出售，甲、乙两种商品全部销售完，该商店所获利润不少于1300元，求至少购甲种商品多少件？ 24. 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． （1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； ①； ②． （2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； （3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围． 25. 综合与实践 （1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（ ）；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，且，且，利用（1）中结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______； （3）类比探究：如图3，中，，，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至，连接，求的面积 （４）拓展提升：如图4，点B，C在的边AM，AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是、的外角，已知，，求证： （5）拓展应用：如图5，在中，，，点D在边BC上，，点E、F在线段AD上，，若的面积为15，则与的面积之和为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金陵中学河西分校2022年暑假自主学习检测 八年级数学 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意． 2. 下列各式中，不正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方可进行排除选项． 【详解】解：A、，原计算正确，故不符合题意； B、，原计算正确，故不符合题意； C、，原计算错误，故符合题意； D、，原计算正确，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查负指数幂、同底数幂的乘除法、积的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 3. 若，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案． 【详解】解：A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A不符合题意； B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B不符合题意； C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C不符合题意； D、如；故D符合题意； 故选D． 【点睛】主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选：B． 5. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形三条边距离相等的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到该角的两边的距离相等可得到三角形三边距离相等的点为该三角形三个内角的角平分线的交点，据此可得答案． 【详解】解：∵到三角形三边距离相等的点为该三角形三个内角的角平分线的交点， ∴由作图方法可知，只有B选项中的图形满足题意． 6. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【详解】解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 一粒芝麻的质量约为千克，将用科学记数法表示为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数据用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为负整数，据此进行作答即可． 【详解】解：将用科学记数法表示为 故答案为： 8. 已知方程，改写成用含的式子表示的形式______． 【答案】 【解析】 【分析】将看做已知数求出即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出． 9. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分角为底角和顶角两种情况求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当的角为底角时， 此时顶角为； 当的角为顶角时， 此时顶角为； 即该三角形的顶角为或， 故答案为：或． 10. 等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为______． 【答案】6或8##8或6 【解析】 【分析】分边长为的边为腰和底边两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：①当边长为的边是底边时，则腰长为， 此时三角形的三边分别为，能组成三角形，符合题意； ②当边长为的边是腰时，则底边长为 此时三角形的三边分别为，能组成三角形，符合题意； 综上所述，底边长为或． 故答案为：6或8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 11. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 12. 如果不等式3x－m≤0有3个正整数解，则 m的取值范围是______． 【答案】9≤m＜12. 【解析】 【分析】先解不等式，再结合不等式的正整数解可得关于m的不等式，解之可得． 【详解】解3x-m≤0得x≤， ∵不等式3x-m≤0有3个正整数解， ∴不等式的正整数解为1、2、3， ∴3≤＜4， 解得：9≤m＜12. 故答案为9≤m＜12. 【点睛】本题考查了不等式的正整数解，解题的关键是注意能根据整数解的具体数值，找出不等式解集的具体取值范围． 13. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为14，则的周长为 ___________． 【答案】22 【解析】 【详解】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和概念，根据线段垂直平分线的概念和性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为14， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：22． 14. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是， ∴ ； 故答案为：． 15. 如图，点是的角平分线上一点，分别在上，且．则与的关系是___________． 【答案】相等或互补 【解析】 【分析】当时，可证明，得到；当时，过点D分别作，，利用角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质得出，结合图形，利用等量代换即可得出结果． 【详解】解：如图所示，当时， ∵为的平分线上一点， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作，，垂足分别为G，H， ∵为的平分线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上所述，与的关系是相等或互补． 16. 如图，三角形中，平分，，若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点E，证明，得到，，，可证明得到，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，据此可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵平分 ∴ 又∵， ∴， ∴，，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 三、解答题： 17. 计算 （1）； （2） 【答案】（1）－ （2）－5a6 【解析】 【分析】（1）先根据乘方，零指数幂，负整数指数幂化简，再计算，即可求解； （2）先根据同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方计算，再合并同类项，即可求解． 【小问1详解】 解：原式＝－1－1＋ ＝－ 【小问2详解】 解∶原式＝a 6＋2a6－8a6 ＝ －5a6 【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18. 因式分解： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先提取y，再利用完全平方公式即可求解． （2）先提取，再利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）原式； （2）原式． 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法． 19. 解方程组、不等式组： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解； （2）分别解出两个不等式，进而求得不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 得， 解得， 将代入得， 解得， 因此该方程组的解为； 【小问2详解】 解： 解不等式，得， 解不等式，得， 因此该不等式组无解． 20. 已知：如图，，和相交于点，平分，和相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，证明得到，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 已知：如图，在中，，，，垂足分别为，与交于点． （1）求证：； （2）连接并延长，交于点，求证：垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据证明，可得； （2）由得，由得，进而证明，推出，进而即可证明垂直平分． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接并延长，交于点， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分． 22. 如图，△ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为F、G． （1）求证：BG＝CF； （2）若AB＝17，AC＝5，求AF的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，证明，由此可得； （2）由勾股定理证，由证，设，，则由题意可列出关于，的二元一次方程组，由此进行求解． 【小问1详解】 证明：连接，． 平分，，， ． 垂直平分， ． 在与中， ， ． ． 【小问2详解】 解：， ． ， ，即， ． 设，， 则①， ②． 联立①②，解得，． 的长度为． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解二元一次方程组，解决本题的关键是熟练掌握相关性质定理． 23. 某商店购进甲、乙两种商品，若购进甲种商品3件和乙种商品4件需270元；若购进甲种商品6件和乙种商品5件需450元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别为元？ （2）该商店购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品以每件70元出售，乙种商品以每件40元出售，甲、乙两种商品全部销售完，该商店所获利润不少于1300元，求至少购甲种商品多少件？ 【答案】（1）甲商品进价为50元，乙商品进价为40元 （2）至少购甲种商品50件 【解析】 【分析】（1）等量关系式：购进甲种商品3件的费用购进乙种商品4件的费用元；购进甲种商品6件的费用购进乙种商品5件的费用元；据此列方程组，即可求解； （2）不等关系式：出售甲种商品所获利润出售乙种商品所获利润元；据此列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件进价为元，由题意得 ， 解得， 答：甲商品进价为50元，乙商品进价为40元； 【小问2详解】 解：购甲种商品件，由题意得 ， 解得， 答：至少购甲种商品50件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 24. 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． （1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； ①； ②． （2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； （3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围． 【答案】（1）①组合是“无缘组合”，②组合是“有缘组合”；（2）a＜-3；（3）a< 【解析】 【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可； （2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围； （3）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围． 【详解】解：（1）①∵2x-4＝0， ∴x=2， ∵5x-2＜3， ∴x＜1， ∵2不在x＜1范围内， ∴①组合是“无缘组合”； ②， 去分母，得：2（x-5）＝12-3（3-x）， 去括号，得：2x-10＝12-9+3x， 移项，合并同类项，得：x＝-13． 解不等式， 去分母，得：2（x+3）-4＜3-x， 去括号，得：2x+6-4＜3-x， 移项，合并同类项，得：3x＜1， 化系数为1，得：x＜． ∵-13在x＜范围内， ∴②组合是“有缘组合”； （2）解方程5x+15＝0得， x＝-3， 解不等式，得： x＞a， ∵关于x的组合是“有缘组合”， ∴-3在x＞a范围内， ∴a＜-3； （3）解方程， 去分母，得5a-x-6＝4x-6a， 移项，合并同类项，得：5x＝11a-6， 化系数为1得：x＝， 解不等式+1≤x+a， 去分母，得：x-a+2≤2x+2a， 移项，合并同类项，得：x≥-3a+2， ∵关于x的组合是“无缘组合， ∴<-3a+2， 解得：a<． 【点睛】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解． 25. 综合与实践 （1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（ ）；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，且，且，利用（1）中结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______； （3）类比探究：如图3，中，，，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至，连接，求的面积 （４）拓展提升：如图4，点B，C在的边AM，AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是、的外角，已知，，求证： （5）拓展应用：如图5，在中，，，点D在边BC上，，点E、F在线段AD上，，若的面积为15，则与的面积之和为______． 【答案】（1）AAS；（2）50；（3）8；（4）见解析；（5）5 【解析】 【分析】（1）根据AAS证明△AEC≌△CDB； （2）利用（1）中的结论，△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，利用面积差求S的值； （3）如图3，过B′作B′E⊥AC于E，证明△AEB′≌△BCA，得AC=B′E=4，根据面积公式可得结论； （4）根据ASA证明ΔABE≅ΔCAF，即可解答； （5）根据与的面积之和等于与的面积之和，即可解答． 【详解】解：（1）如图1中， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ 故答案为：AAS． （2）如图2中， ∵，，，， 由（1）得：，， ∴，，，， ∴ 故答案为50. （3）如图3，过点作于E， 由旋转得：， ∵， 由（1）可知， ∴， ∴． （4）如图4中， ∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （5）如图5中， ∵的面积为15，， ∴的面积是：， 由图4中证出， ∴与的面积之和等于与的面积之和， 即等于的面积是5. 【点睛】此题考查了旋转的性质，三角形全等的性质和判定，解题关键在于熟练掌握判定定理，证明三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $