2026年八年级数学秋季开学学情自测卷（江苏南京专用）

**基本信息** 2026年秋季八年级开学学情自测卷（苏科版七年级全册+八年级上第1章），以“二十四节气”文化素材、营养摄入等现实情境为载体，通过基础题（如整式运算）、综合题（如几何变换）、探究题（如反直角三角形）的梯度设计，考查数学抽象、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|轴对称与中心对称、整式运算、三角形性质|结合文化遗产考查图形性质，如第1题“二十四节气”图形判断| |填空题|9/18|平移、全等三角形、新定义“反直角三角形”|设计动态问题，如第17题动点全等探究，培养空间观念| |解答题|10/66|二元一次方程组应用（营养摄入）、几何变换（平移旋转）、代数证明|24题以营养成分表构建模型，体现数学语言表达现实世界；28题平行线与角平分线探究，发展推理能力|

■■■ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 识 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0]0] 0]0] 0] [0] C0]0]C0] [01 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 C1] 1] 1]1] C11 1] 1 C1] 1 内作答，超出区域书写的答案无 [2 C2] [2 C2] C2] C2] [2 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 [3 [3 [31 C3] [3 C3 3] C3] C3] [3 4 C4] [41 4] [4 [4 [4] 4] [4] [4] 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 [5J [51 [5 [5 [5 [5 [5 [5 5J [5 破。 [6] 6 [6] [6] [6 [6 [6 C6- C6 [6 5. 正确填涂 [7] C7] [7] C7] [7 71 [7 7] [8] [8] [8] C8J [8 [8 [8 C8] C8] [8] 缺考标记 C9] [9] c9] L9] [9] [9] 9] C9] [9] 一、 选择题（本题共8小题，每小题2分， 共16分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[AJ[BIICI[D] 說 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][CI[D] 8[A][B][CI[D] 二、填空题（本题共9小题， 每小题2分，共18分) 14. 10. 15. 11. 16. 箭 12. 17. 1 三、解答题（本题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) 18.(6分)计算：(1)x2x4+(x2)3-(-3x3)2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (2)(x+2y)(x-2y)-x(x-y). 19.(4分)先化简，再求值：(2x-1)2+(x+2)(x-2)-4x(x-1), 其中=一 20.(4分)解不等式组 2-x>+经 3 2(x+1)-7<3x-4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) (1) (2) 22.(6分) (1) (2) M 0 ⊙ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(6分) B .- 24.(6分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25(6分) 【观察发现】 【探索应用】 (1) (2) 26.(6分) (1)① ② （2) D D 图 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(8分) (1) (2)=，b=,c= (3) a b a b 28.(8分) (1) (2) (3) E/GB 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材苏科版七年级全册+八年级上第1章 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A．a+a＝a2 B．a2•a2＝2a2 C．（2a2）3＝8a6 D． 3．下列命题中是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同位角相等 C．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 4．下列整式乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（﹣x+y）（﹣x﹣y） B．（﹣y﹣x）（﹣x﹣y） C．（2a﹣x）（2a+x） D．（﹣x+2y）（﹣x﹣2y） 5．三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（　　） A．36 B．40 C．44 D．50 6．以下说法正确的有（　　） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，已知四边形纸片ABCD中，AB∥CD，点E，F分别在边AB，AD上，将纸片沿着EF折叠，点A落在点G处，EG交CD于点H．若∠BEH比∠AEF的4倍多12°，则∠CHG的大小是（　　） A．124° B．126° C．134° D．136° 8．如图，等腰△ABC的底边BC长为6．面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F．若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值是（ ） ． A．11 B．12 C．13 D．14 （第7题图） （第8题图） 二、填空题：本题共9小题，每题2分，共18分． 9．请写出一个二元一次方程 　，使是该方程的一个解． 10．如图，三角形ABC的边长AB＝3，BC＝4，AC＝2，将三角形ABC沿BC方向平移a（a＜4），得到三角形DEF，连结AD，则阴影部分的周长为　 　 ． （第10题图） （第11题图） 11．如图，点C，D在线段AB上，∠EAD＝∠FCB，AE＝CF．只需添加一个条件即可证明△EAD≌△FCB，这个条件可以是 　 （写出一个即可）． 12．已知是关于x，y的二元一次方程ax+y＝3的一个解，则a的值为　 　 ． 13．已知关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解有4个，则m的取值范围是 　 　 ． 14．已知a+b＝4，ab＝﹣1，则（a﹣3）（b﹣3）＝　 　 ． 15．定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点P为边BC上一点，若△ABP为“反直角三角形”，则∠PAC的度数为　 　 ． 16．图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n＝8，m﹣n＝2，则S1﹣S2＝　 　 ． 17．如图，AB＝10cm，BC＝16cm，∠B＝∠C，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发以xcm/s的速度沿射线CD运动，经过t秒后，若以A、B、P为顶点的三角形与以P、C、Q为顶点的三角形全等，则x的值是　 　 ． （第15题图） （第16题图） （第17题图） 三、解答题：本题共10小题，共66分． 18．（6分）计算：（1）x2•x4+（x2）3﹣（﹣3x3）2 （2）（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）． 19．（4分）先化简，再求值：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1），其中x． 20．（4分）解不等式组． 21．（6分）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 关于x，y的二元一次方程组的解满足2x﹣3y＝1，求m的值． （1）按照小云的方法，x的值为　 　 ，y的值为　 　 ； （2）请按照小辉的思路求出m的值． 22．（6分）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D． （1）求∠DBC的度数； （2）若AB＝30cm，BC＝18cm，求△DBC的周长． 23．（6分）如图，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． （1）将△ABC向左平移4格，画出平移后的对应△A1B1C1； （2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的对应△AB2C2； （3）第（2）问中△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为 　 　 ． 24．（6分）丰富的营养对学生的身体和智力发展具有至关重要的作用．小治家长为初中生小治订购了某种盒装牛奶和袋装坚果作为早餐，它们的营养成分表如表： 食品种类 营养成分 一盒牛奶 一袋坚果 能量 280kJ 210kJ 蛋白质 3.5g 4.2g 脂肪 3.5g 13.4g 碳水化合物 5.6g 3.6g 钠 65mg 38mg 钙 130mg 75mg 某天早晨，小治从这两种食品中恰好摄入700kJ能量和11.9g蛋白质． （1）求这天小治早餐的牛奶及坚果数量； （2）初中生每日脂肪摄入量的标准约为55g﹣73g，若小治这天其他时间段从其他食品中共摄入40g脂肪，试判断这天小治脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 25．（6分）【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将4块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形①或长方形②（含拼接线）． 【观察发现】正方形的边长为 ，长方形的长为 ；（用含a，b的代数式表示） 【探索应用】 （1）若a＝2，求b的值； （2）直接写出等腰三角形纸片的面积． 26．（6分）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P，∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为　 　 ； 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为　 ； ②由（1）得出一个真命题，请补充该命题． 结论：如果两个角的两边　 　 ，那么这两个角　 　 ． （2）应用①中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，求这两个角的度数． 27．（8分）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知正整数a，b，c满足a≤b≤c，求证：ab+bc+ac≤3bc． 证明：∵a≤c，b＞0， ∴ab≤ ． ∴ab+bc≤bc+bc． 即ab+bc≤2bc． ∵ ，c＞0， ∴ ≤bc． ∴ab+bc+ac≤2bc+ac≤2bc+bc． 即ab+bc+ac≤3bc． （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）若ab+bc+ac＝2abc，则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （3）现有一张边长为6的正方形纸片，可画成如图所示的9宫格，其中a≤b≤c，bc＝4，则图中阴影部分面积的最小值为 　 　 ． 28．（8分）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P．试探究： （1）初步观察与推理：判断∠EPF和∠PEF的这两个角度数相等吗？并说明理由． （2）角度倍数关系的计算：若测量得∠FHG＝3∠EPF，请结合平行线的性质，求出∠EFD的度数． （3）动点角度的分析：点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2．下列计算正确的是（　　） A．a+a＝a2 B．a2•a2＝2a2 C．（2a2）3＝8a6 D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、a+a＝2a，故A不符合题意； B、a2•a2＝a4，故B不符合题意； C、（2a2）3＝8a6，故C符合题意； D、a6÷3a2a4，故D不符合题意； 故选：C． 3．下列命题中是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同位角相等 C．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【分析】根据对顶角，邻补角，平行公理及推论等知识点进行分析即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不是对顶角，故A是假命题，不符合题意； B、“两直线平行，同位角相等”是平行线的基本性质，故B是真命题，符合题意； C、若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，例如a＝2，b＝﹣2满足a2＝b2，但a≠b，故C是假命题，不符合题意； D、只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，选项缺少“直线外”的前提，故D是假命题，不符合题意． 故选：B． 4．下列整式乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（﹣x+y）（﹣x﹣y） B．（﹣y﹣x）（﹣x﹣y） C．（2a﹣x）（2a+x） D．（﹣x+2y）（﹣x﹣2y） 【答案】B 【分析】利用完全平方式，平方差公式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、（﹣x+y）（﹣x﹣y）＝x2﹣y2，故A不符合题意； B、（﹣y﹣x）（﹣x﹣y）＝﹣（x+y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2，故B符合题意； C、（2a﹣x）（2a+x）＝4a2﹣x2，故C不符合题意； D、（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）＝x2﹣4y2，故D不符合题意； 故选：B． 5．三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（　　） A．36 B．40 C．44 D．50 【答案】C 【分析】由三角形三边关系定理得到6＜x＜16，得到x可能的值为8、10、12、14，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边长为x， 由三角形三边关系定理得到：11﹣5＜x＜11+5， ∴6＜x＜16， ∵第三边长为偶数， ∴x可能的值为8、10、12、14， ∵8+10+12+14＝44， 故选：C． 6．以下说法正确的有（　　） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据语言文字叙述分别判断说法正确即可． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的三条高所在直线相交于一点，正确； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，正确； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点，正确； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，正确． 所以说法正确的有4个， 故选：C． 7．如图，已知四边形纸片ABCD中，AB∥CD，点E，F分别在边AB，AD上，将纸片沿着EF折叠，点A落在点G处，EG交CD于点H．若∠BEH比∠AEF的4倍多12°，则∠CHG的大小是（　　） A．124° B．126° C．134° D．136° 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得∠AEF＝∠FEH，再结合已知条件和三角形内角和定理可得6∠AEF+12°＝180°，解得∠BEH＝124°；然后根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：根据题意可得：∠AEF＝∠FEH， ∵∠BEH＝4∠AEF+12°，∠AEF+∠FEH+∠BEH＝180°， ∴6∠AEF+12°＝180°， ∴，∠BEH＝4∠AEF+12°＝124°， ∵AB∥CD， ∴∠CHG＝∠BEH＝124°． 故选：A． 8．如图，等腰△ABC的底边BC长为6．面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F．若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值是（ ） ． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】利用轴对称解决线段和最小问题．连接AD，△BDM的周长为BD+BM+DM，DB为定值，要使△BDM的周长最小，则BM+DM的值最小，AB的垂直平分线为EF，得到A，B关于EF对称，得到BM+DM＝AM+DM≥AD，当A，M，D三点共线时，BM+DM＝AD，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵△BDM的周长为BD+BM+DM，DB为定值， ∴当BM+DM的值最小时，△BDM的周长最小， 如图，连接AD，AM， 由条件可知A，B关于EF对称， ∴BM+DM＝AM+DM≥AD， ∴当A，M，D三点共线时，BM+DM＝AD， ∵等腰△ABC，点D为底边BC的中点， ∴AD⊥BC，， ∴， ∴AD＝8， ∴△BDM的周长的最小值为BD+BM+DM＝3+8＝11； 故答案为：A． 二、填空题：本题共9小题，每题2分，共18分． 9．请写出一个二元一次方程 　，使是该方程的一个解． 【答案】 x+y＝8（答案不唯一）． 【分析】根据二元一次方程的定义，结合已知方程的解，构造出符合要求的方程即可． 【详解】解：根据题意，设方程为ax+by＝c（a≠0，b≠0）， ∵是该方程的一个解， ∴将代入方程，得5a+3b＝c， 令a＝1，b＝1，得c＝5×1+3×1＝8，可得符合条件的二元一次方程为x+y＝8（答案不唯一）． 故答案为：x+y＝8（答案不唯一）． 10．如图，三角形ABC的边长AB＝3，BC＝4，AC＝2，将三角形ABC沿BC方向平移a（a＜4），得到三角形DEF，连结AD，则阴影部分的周长为　 　 ． 【答案】9 【分析】根据平移的性质进行计算即可． 【详解】解：由平移可知， ED＝AB，AC＝DF，AD＝BE， 所以AC+DE+AD+EC＝AC+AB+BE+EC＝AC+AB+BC＝2+3+4＝9， 即阴影部分的周长为9． 故答案为：9． 11．如图，点C，D在线段AB上，∠EAD＝∠FCB，AE＝CF．只需添加一个条件即可证明△EAD≌△FCB，这个条件可以是 　 （写出一个即可）． 【答案】 AD＝CB（答案不唯一）． 【分析】当添加条件AD＝CB或AC＝DB可依据“SAS”证明△EAD≌△FCB，当添加条件∠E＝∠F可依据“ASA”证明△EAD≌△FCB，当添加条件∠ADE＝∠B可依据“AAS”证明△EAD≌△FCB，因此可添加的条件是AD＝CB或AC＝DB或∠E＝∠F或∠ADE＝∠B中的一个． 【详解】解：∵点C，D在线段AB上，∠EAD＝∠FCB，AE＝CF， ∴当添加条件AD＝CB或AC＝DB或∠E＝∠F或∠ADE＝∠B都可以证明△EAD≌△FCB，理由如下： 当添加条件AD＝CF时， 在△EAD和△FCB中， ， ∴△EAD≌△FCB（SAS）； 当添加条件AC＝DB时， ∵点C，D在线段AB上， ∴AC+CD＝DB+CD， 即AD＝CB， 在△EAD和△FCB中， ， ∴△EAD≌△FCB（SAS）； 当添加条件∠E＝∠F时， 在△EAD和△FCB中， ， ∴△EAD≌△FCB（ASA）； 当添加条件∠ADE＝∠B时， 在△EAD和△FCB中， ， ∴△EAD≌△FCB（AAS）， 故答案为：AD＝CB（答案不唯一）． 12．已知是关于x，y的二元一次方程ax+y＝3的一个解，则a的值为　 　 ． 【答案】1 【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入关于x，y的二元一次方程ax+y＝3中即可求出a的值． 【详解】解：把代入关于x，y的二元一次方程ax+y＝3中，得a+2＝3， 解得a＝1， 故答案为：1． 13．已知关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解有4个，则m的取值范围是 　 　 ． 【答案】12≤m＜15 【分析】解不等式得x，由于正整数解有4个，故可判断的取值范围，求出m的取值范围． 【详解】解：3x﹣m≤0， 解得x， ∵解集中正整数解有1，2，3，4， ∴45， 解得12≤m＜15． 故答案为：12≤m＜15． 14．已知a+b＝4，ab＝﹣1，则（a﹣3）（b﹣3）＝　 　 ． 【答案】－4 【分析】先将所求多项式展开整理，变形为含有a+b和ab的式子，再整体代入已知条件求值即可． 【详解】解：∵a+b＝4，ab＝﹣1， ∴原式＝ab﹣3a﹣3b+9 ＝ab﹣3（a+b）+9 ＝﹣1﹣3×4+9 ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 15．定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点P为边BC上一点，若△ABP为“反直角三角形”，则∠PAC的度数为　 　 ． 【答案】75°或90° 【分析】由等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝40°，分四种情况，由反直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠B＝∠Cx（180°﹣100°）＝40°， 当∠PAB﹣∠B＝90°时，∠PAB＝130°， ∵∠PAB＞∠BAC， ∴不存在这样的△PAB是反直角三角形； 当∠APB﹣∠B＝90°时，∠APB＝130°， ∴∠PAC＝∠APB﹣∠C＝90°； 当∠APB﹣∠PAB＝90°时， ∵∠APB+∠PAB＝180°﹣40°＝140°， ∴∠APB＝115°， ∴∠PAC＝∠APB﹣∠C＝75°； 当∠PAB﹣∠APB＝90°时， ∵∠PAB+∠APB＝180°﹣40°＝140°， ∴∠PAB＝115°， ∵∠PAB＞∠BAC， ∴不存在这样的△PAB是反直角三角形， ∴当△PAB是反直角三角形时，∠PAC＝75°或90°． 故答案为：75°或90°． 16．图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n＝8，m﹣n＝2，则S1﹣S2＝　 　 ． 【答案】16 【分析】先根据已知求出S1﹣S2，并进行分解因式，把m+n与m﹣n的值代入计算即可． 【详解】解：∵m+n＝8，m﹣n＝2， ∴S1﹣S2 ＝（S1+SB）﹣（S2+SB） ＝m2﹣n2 ＝（m+n）（m﹣n） ＝8×2 ＝16， 故答案为：16． 17．如图，AB＝10cm，BC＝16cm，∠B＝∠C，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发以xcm/s的速度沿射线CD运动，经过t秒后，若以A、B、P为顶点的三角形与以P、C、Q为顶点的三角形全等，则x的值是　 　 ． 【答案】3或 【分析】已知∠B＝∠C，两个三角形全等存在两种对应情况：①△ABP≌△PCQ；②△ABP≌△QCP，分别根据全等三角形对应边相等列方程求解t，进而求出x． 【详解】解：由题意得：PC＝（16﹣3t）cm，CQ＝xtcm，BP＝3tcm， ∵∠B＝∠C，△ABP与△PCQ全等，分两种情况： 情况1：△ABP≌△PCQ， 此时对应边：AB＝PC，BP＝CQ， 由AB＝PC得10＝16﹣3t， 解得：t＝2， ∵BP＝CQ， ∴3t＝xt， 将t＝2代入，得6＝2x， 解得x＝3； 情况2：△ABP≌△QCP， 此时对应边：BP＝CP，AB＝QC， ∴BP＝CP，即3t＝16﹣3t， 解得：， ∵AB＝QC， ∴10＝xt， 将代入，得， 解得， 综上，x的值为3或， 故答案为：3或． 三、解答题：本题共10小题，共66分． 18．（6分）计算：（1）x2•x4+（x2）3﹣（﹣3x3）2 （2）（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）． 【答案】（1）﹣7x6 （2）﹣4y2+xy 【分析】利用合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：（1）x2•x4+（x2）3﹣（﹣3x3）2 ＝x6+x6﹣9x6 ＝﹣7x6． （2） 原式＝x2﹣4y2﹣x2+xy ＝﹣4y2+xy． 19．（4分）先化简，再求值：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1），其中x． 【答案】x2﹣3； 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式可以将括号去掉，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1） ＝4x2﹣4x+1+x2﹣4﹣4x2+4x ＝x2﹣3， 当x时，原式＝（）2﹣3． 20．（4分）解不等式组． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，两个解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式2﹣x得：， 解不等式2（x+1）﹣7＜3x﹣4得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集为． 21．（6分）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 关于x，y的二元一次方程组的解满足2x﹣3y＝1，求m的值． （1）按照小云的方法，x的值为　 　 ，y的值为　 　 ； （2）请按照小辉的思路求出m的值． 【答案】（1）2，1；（2） 【分析】（1）利用加减消元求解即可； （2）①+②得2x﹣3y＝6﹣2m，即可得到6﹣2m＝1，求出m的值即可． 【详解】解：（1）将①③联立得到， ①×2﹣③×3得，y＝1， 把y＝1代入①得，3x+4×1＝10， 解得x＝2， ∴， 故答案为：2；1； （2）， ①+②，得4x﹣6y＝12﹣4m， 即2（6﹣2m）＝2（2x﹣3y）， ∴2x﹣3y＝6﹣2m， ∵2x﹣3y＝1， ∴6﹣2m＝1， 解得． 22．（6分）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D． （1）求∠DBC的度数； （2）若AB＝30cm，BC＝18cm，求△DBC的周长． 【答案】（1）30°；（2）48cm 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出∠ABC＝∠C＝70°，利用垂直平分线的性质得出AD＝BD，再由等边对等角得出∠ABD＝∠A＝40°，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C（等边对等角）． ∵∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°， ∵AB的垂直平分线MN交AC于点D， ∴AD＝BD（线段垂直平分线的性质）， ∴∠ABD＝∠A， ∵∠A＝40°， ∴∠ABD＝∠A＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°； （2）∵AD＝BD，AB＝AC，AB＝30cm， ∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝AB＝30cm． ∵BC＝18cm， ∴C△DBC＝BD+CD+BC＝30+18＝48cm， 即△DBC的周长为48cm． 23．（6分）如图，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． （1）将△ABC向左平移4格，画出平移后的对应△A1B1C1； （2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的对应△AB2C2； （3）第（2）问中△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为 　 　 ． 【答案】（1）（2）见详解；（3）π 【分析】（1）将△ABC三个顶点向左平移4格得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点B，C绕点A顺时针旋转90°得到点B2，C2，再首尾顺次连接即可． （3）首先勾股定理求出AB2＝32+22＝13，然后得到△ABC旋转过程中边AB“扫过”的部分是以点A为圆心，以AB为半径的圆，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△AB2C2即为所求； （3）根据题意得，AB2＝32+22＝13， ∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB2C2， ∴△ABC旋转过程中边AB“扫过”的部分是以点A为圆心，以AB为半径的圆， ∴， 答：△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为π． 故答案为：π． 24．（6分）丰富的营养对学生的身体和智力发展具有至关重要的作用．小治家长为初中生小治订购了某种盒装牛奶和袋装坚果作为早餐，它们的营养成分表如表： 食品种类 营养成分 一盒牛奶 一袋坚果 能量 280kJ 210kJ 蛋白质 3.5g 4.2g 脂肪 3.5g 13.4g 碳水化合物 5.6g 3.6g 钠 65mg 38mg 钙 130mg 75mg 某天早晨，小治从这两种食品中恰好摄入700kJ能量和11.9g蛋白质． （1）求这天小治早餐的牛奶及坚果数量； （2）初中生每日脂肪摄入量的标准约为55g﹣73g，若小治这天其他时间段从其他食品中共摄入40g脂肪，试判断这天小治脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 【答案】（1）1盒牛奶，2袋坚果；（2）不超标 【分析】（1）设这天小治早餐包含x盒牛奶，y袋坚果，根据这天早晨小治从这两种食品中恰好摄入700kJ能量和11.9g蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）求出小治这天摄入脂肪的质量，再结合初中生每日脂肪摄入量的标准，即可得出结论． 【详解】解：（1）设这天小治早餐包含x盒牛奶，y袋坚果， 根据题意得：， 解得：． 答：这天小治早餐包含1盒牛奶，2袋坚果. （2）这天小治脂肪摄入量不超标，理由如下： ∵3.5+13.4×2+40＝70.3（g），55＜70.3＜73， ∴这天小治脂肪摄入量不超标． 25．（6分）【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将4块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形①或长方形②（含拼接线）． 【观察发现】正方形的边长为 ，长方形的长为 ；（用含a，b的代数式表示） 【探索应用】 （1）若a＝2，求b的值； （2）直接写出等腰三角形纸片的面积． 【答案】（1）a+b，a+2b（2）；（3）（a+b）2或ab+2b2 【分析】【观察发现】所拼成正方形的边长为a+b，所拼成长方形的边长为a+2b，宽为b，由此可得出答案； 【探索应用】（1）由拼图可知：正方形的面积与长方形的面积相等，则（a+b）2＝b（a+2b），整理得b2﹣ab﹣a2＝0，将a＝2代入得b2﹣2b﹣4＝0，由此得b的值为（舍去负值）； （2）由于所拼成正方形的面积为（a+b）2，长方形的面积为b（a+2b）＝ab+2b2，由拼图前后面积相等得：等腰三角形的面积为（a+b）2或ab+2b2． 【详解】解：【观察发现】所拼成正方形的边长为：a+b， ∴三角形1的长直角边为a+b，梯形3的两底为a，b，高也是b， ∴所拼成长方形的边长为：a+2b， 故答案为：a+b；a+2b； 【探索应用】（1）由拼图可知：正方形的面积与长方形的面积相等， ∴（a+b）2＝b（a+2b）， 整理得：b2﹣ab﹣a2＝0， 当a＝2时，则b2﹣2b﹣4＝0， ∴（b﹣1）2＝5， ∴b﹣1， ∴b，b，不合题意，舍去， ∴b的值为； （2）∵所拼成正方形的面积为：（a+b）2，长方形的面积为：b（a+2b）＝ab+2b2， 由拼图前后面积相等得：等腰三角形的面积为（a+b）2或ab+2b2． 26．（6分）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P，∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为　 　 ； 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为　 ； ②由（1）得出一个真命题，请补充该命题． 结论：如果两个角的两边　 　 ，那么这两个角　 　 ． （2）应用①中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，求这两个角的度数． 【答案】（1）∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF；分别互相平行，相等或互补（2）30°、30°或60°、120° 【分析】（1）①根据平行线的性质进行作答即可； ②根据平行线的性质进行作答即可； （2）设一个角的度数为x，另一个角的度数为3x﹣60，根据题意列出方程式即可． 【详解】解：（1）①如图一： ∵DE∥AB， ∴∠B＝∠DPC， ∵EF∥BC， ∴∠E＝∠DPB， ∵∠DPC+∠DPB＝180°， ∴∠B+∠E＝180°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°， 如图二： ∵DE∥AB， ∴∠B＝∠DPC， ∵EF∥BC， ∴∠E＝∠DPC， ∴∠B＝∠E， ∴∠ABC＝∠DEF． 故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°；∠ABC＝∠DEF． ②由①可得如果两个角的两边分别互相平行，那么这两个角相等或互补． 故答案为：分别互相平行；相等或互补． （2）设一个角的度数为x，另一个角的度数为3x﹣60， 则x＝3x﹣60或x+3x﹣60＝180， 解得：x＝30或x＝60， ∴3x﹣60＝30或120， ∴这两个角的度数为30°、30°或60°、120°． 27．（8分）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知正整数a，b，c满足a≤b≤c，求证：ab+bc+ac≤3bc． 证明：∵a≤c，b＞0， ∴ab≤ ． ∴ab+bc≤bc+bc． 即ab+bc≤2bc． ∵ ，c＞0， ∴ ≤bc． ∴ab+bc+ac≤2bc+ac≤2bc+bc． 即ab+bc+ac≤3bc． （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）若ab+bc+ac＝2abc，则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （3）现有一张边长为6的正方形纸片，可画成如图所示的9宫格，其中a≤b≤c，bc＝4，则图中阴影部分面积的最小值为 　 　 ． 【答案】（1）bc，a≤b，ac；（2）1，2，2；（3）12 【分析】（1）根据a≤c，b＞0得ab≤bc，进而得ab+bc≤2bc，再根据a≤b，c＞0得ac≤bc，继而得ab+bc+ac≤2bc+ac≤2bc+bc，由此即可得出结论； （2）由（1）的结论得ab+bc+ac≤3bc，进而得2abc≤3bc，根据a，b，c都是正整数，且a≤b≤c得a，则正整数a＝1，将a＝1代入ab+bc+ac＝2abc，得b+bc+c＝2bc，整理得（c﹣1）（b﹣1）＝1，再根据b≤c，且b，c是正整数得c﹣1＝1，b﹣1＝1，由此即可得出b，c的值； （3）依题意得a，b，c为正数，a≤b≤c，a+b+c＝6，图中阴影部分的面积S＝a2+b2+c2，进而得（a+b+c）2＝36，则ab+bc+ac，由（1）的结论得ab+bc+ac≤3bc，则ab+bc+ac≤12，继而得12，解此不等式得S≥12，由此即可得出图中阴影部分面积的最小值． 【详解】（1）证明：∵a≤c，b＞0， ∴ab≤bc， ∴ab+bc≤bc+bc． 即ab+bc≤2bc． ∵a≤b，c＞0， ∴ac≤bc， ∴ab+bc+ac≤2bc+ac≤2bc+bc， 即ab+bc+ac≤3bc， 故答案为：bc；a≤b；ac； （2）解：由（1）的结论得：ab+bc+ac≤3bc， ∵ab+bc+ac＝2abc， ∴2abc≤3bc， ∵a，b，c都是正整数，且a≤b≤c， ∴a， ∴正整数a＝1， 将a＝1代入ab+bc+ac＝2abc，得：b+bc+c＝2bc， ∴b+c＝bc， ∴bc﹣b﹣c＝0， ∴bc﹣b﹣c+1＝1， ∴b（c﹣1）﹣（c﹣1）＝1， ∴（c﹣1）（b﹣1）＝1， ∵b≤c，且b，c是正整数， ∴c﹣1＝1，b﹣1＝1， ∴c＝2，b＝2， 故答案为：1；2；2； （3）解：依题意得：a，b，c为正数，a≤b≤c，a+b+c＝6，图中阴影部分的面积S＝a2+b2+c2， ∴（a+b+c）2＝36， ∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝36， ∴ab+bc+ac， 由（1）的结论得：ab+bc+ac≤3bc， 又∵bc＝4， ∴ab+bc+ac≤12， ∴12， 解此不等式得：S≥12， ∴S的最小值为12， ∴图中阴影部分面积的最小值为12． 故答案为：12． 28．（8分）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P．试探究： （1）初步观察与推理：判断∠EPF和∠PEF的这两个角度数相等吗？并说明理由． （2）角度倍数关系的计算：若测量得∠FHG＝3∠EPF，请结合平行线的性质，求出∠EFD的度数． （3）动点角度的分析：点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数． 【答案】（1）∠EPF与∠PEF相等；（2）72°；（3）65°或20° 【分析】（1）根据角平分线得∠PEA＝∠PEF，再根据AB∥CD得∠PEA＝∠EPF，由此可得出结论； （2）设∠EPF＝α，则∠FHG＝3α，由（1）可知∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α，根据AB∥CD得∠EFD＝∠AEF＝2α，然后根据EF∥GH 得2α+3α＝180°，由此解出α即可得出∠EFD的度数； （3）设∠EQF＝β，则∠PEQ＝50°+β，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段GH上时，先证明∠1∠EFD，∠2∠AEF，再根据AB∥CD得∠1＝∠2，则PE∥FQ，又根据平行线的性质得50°+β+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数；②当点Q在线段GH的延长线上时，过点Q作QR∥CD交EF于R，证明∠3+∠2＝90°，AB∥QR，则∠AEQ+∠EQR＝180°，进而得∠2+50°+β+∠3+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数，进而得解． 【详解】解：（1）∠EPF与∠PEF相等，理由如下： ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠PEA＝∠PEF， ∵AB∥CD， ∴∠PEA＝∠EPF， ∴∠EPF＝∠PEF； （2）设∠EPF＝α， ∴∠FHG＝3∠EPF＝3α， 由（1）可知：∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α， ∴∠AEF＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEF＝2α， ∵EF∥GH， ∴∠EFH+∠FHG＝180°即2α+3α＝180°， ∴α＝36°． ∴∠EFD＝2α＝72°； （3）设∠EQF＝β，∠PEQ﹣∠EQF＝50°， ∴∠PEQ＝50°+β． ∵点Q为射线GH上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段GH上时，如图1所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH， ∴∠1∠EFD， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠2∠AEF， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD， ∴∠1＝∠2， ∴PE∥FQ， ∴∠PEQ+∠EQF＝180°，即50°+β+β＝180°， ∴β＝65°，即∠EQF＝β＝65°； ②当点Q在线段GH的延长线上时， 过点Q作QR∥CD交EF于R， 如图2所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH，∠3＝∠QFH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH＝∠3， ∴∠RFH＝2∠1＝2∠3， ∵∠RFH＝∠PFE， ∴∠PFE＝2∠3， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠AEF＝2∠2， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴2∠3+2∠2＝180°， ∴∠3+∠2＝90°， ∵AB∥CD，QR∥CD， ∴AB∥QR， ∴∠AEQ+∠EQR＝180°，即∠2+50°+β+∠3+β＝180°， ∴β＝20°， ∴∠EQF＝β＝20°， 综上所述：∠EQF 的度数为65°或20°． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B B C C A A 二、填空题：本题共9小题，每小题2分，共18分． 9.x+y＝8（答案不唯一）； 10．9； 11. AD＝CB（答案不唯一）； 12．1 ； 13．12≤m＜15 ； 14．－4 ； 15．75°或90°； 16．16； 17．3或. 三、解答题：本题共8小题，共60分． 18．（6分）解：（1）x2•x4+（x2）3﹣（﹣3x3）2 ＝x6+x6﹣9x6 ………………………………2分 ＝﹣7x6． ………………………………3分 （2） 原式＝x2﹣4y2﹣x2+xy ………………………………5分 ＝﹣4y2+xy． ………………………………6分 19．（4分）解：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1） ＝4x2﹣4x+1+x2﹣4﹣4x2+4x ＝x2﹣3， ………………………………3分 当x时，原式＝（）2﹣3．………………………………4分 20．（4分）解：， 解不等式2﹣x得：， ………………………………2分 解不等式2（x+1）﹣7＜3x﹣4得：x＞﹣1，………………………………3分 ∴不等式组的解集为． ………………………………4分 21．（6分）解：（1）将①③联立得到， ①×2﹣③×3得，y＝1，………………………………1分 把y＝1代入①得，3x+4×1＝10， 解得x＝2，………………………………2分 ∴，………………………………3分 （2）， ①+②，得4x﹣6y＝12﹣4m，………………………………4分 即2（6﹣2m）＝2（2x﹣3y）， ∴2x﹣3y＝6﹣2m，………………………………5分 ∵2x﹣3y＝1， ∴6﹣2m＝1，解得．………………………………6分 22．（6分）解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C（等边对等角）． ∵∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，………………………………1分 ∵AB的垂直平分线MN交AC于点D， ∴AD＝BD（线段垂直平分线的性质）， ∴∠ABD＝∠A，………………………………2分 ∵∠A＝40°， ∴∠ABD＝∠A＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；………………………………3分 （2）∵AD＝BD，AB＝AC，AB＝30cm， ∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝AB＝30cm．………………………………5分 ∵BC＝18cm， ∴C△DBC＝BD+CD+BC＝30+18＝48cm， 即△DBC的周长为48cm．………………………………6分 23．（6分）解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；………………………………2分 （2）如图所示，△AB2C2即为所求；………………………………4分 （3）根据题意得，AB2＝32+22＝13， ∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB2C2， ∴△ABC旋转过程中边AB“扫过”的部分是以点A为圆心，以AB为半径的圆， ∴， 答：△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为π．………………………………6分 24．（6分）解：（1）设这天小治早餐包含x盒牛奶，y袋坚果， 根据题意得：，………………2分 解得：．………………3分 答：这天小治早餐包含1盒牛奶，2袋坚果. （2）这天小治脂肪摄入量不超标，理由如下： ∵3.5+13.4×2+40＝70.3（g），55＜70.3＜73，………………5分 ∴这天小治脂肪摄入量不超标．………………6分 25．（6分）解：【观察发现】所拼成正方形的边长为：a+b，………………1分 ∴三角形1的长直角边为a+b，梯形3的两底为a，b，高也是b， ∴所拼成长方形的边长为：a+2b，………………2分 【探索应用】（1）由拼图可知：正方形的面积与长方形的面积相等， ∴（a+b）2＝b（a+2b），………………3分 整理得：b2﹣ab﹣a2＝0， 当a＝2时，则b2﹣2b﹣4＝0， ∴（b﹣1）2＝5， ∴b﹣1， ∴b，b，不合题意，舍去， ∴b的值为；………………4分 （2）∵所拼成正方形的面积为：（a+b）2，长方形的面积为：b（a+2b）＝ab+2b2， 由拼图前后面积相等得：等腰三角形的面积为（a+b）2或ab+2b2．………………6分 26．（6分）解：（1）①如图一： ∵DE∥AB， ∴∠B＝∠DPC， ∵EF∥BC， ∴∠E＝∠DPB， ∵∠DPC+∠DPB＝180°， ∴∠B+∠E＝180°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°，………………1分 如图二： ∵DE∥AB， ∴∠B＝∠DPC， ∵EF∥BC， ∴∠E＝∠DPC， ∴∠B＝∠E， ∴∠ABC＝∠DEF．………………2分 ②由①可得如果两个角的两边分别互相平行，那么这两个角相等或互补．………………4分 （2）设一个角的度数为x，另一个角的度数为3x﹣60， 则x＝3x﹣60或x+3x﹣60＝180， 解得：x＝30或x＝60，………………5分 ∴3x﹣60＝30或120， ∴这两个角的度数为30°、30°或60°、120°．………………6分 27．（8分）（1）证明：∵a≤c，b＞0， ∴ab≤bc，………………1分 ∴ab+bc≤bc+bc． 即ab+bc≤2bc． ∵a≤b，c＞0，………………2分 ∴ac≤bc，………………3分 ∴ab+bc+ac≤2bc+ac≤2bc+bc， 即ab+bc+ac≤3bc， （2）解：由（1）的结论得：ab+bc+ac≤3bc， ∵ab+bc+ac＝2abc， ∴2abc≤3bc， ∵a，b，c都是正整数，且a≤b≤c， ∴a， ∴正整数a＝1，………………4分 将a＝1代入ab+bc+ac＝2abc，得：b+bc+c＝2bc， ∴b+c＝bc， ∴bc﹣b﹣c＝0， ∴bc﹣b﹣c+1＝1， ∴b（c﹣1）﹣（c﹣1）＝1， ∴（c﹣1）（b﹣1）＝1， ∵b≤c，且b，c是正整数， ∴c﹣1＝1，b﹣1＝1， ∴c＝2，b＝2.………………6分 （3）解：依题意得：a，b，c为正数，a≤b≤c，a+b+c＝6，图中阴影部分的面积S＝a2+b2+c2， ∴（a+b+c）2＝36， ∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝36， ∴ab+bc+ac， 由（1）的结论得：ab+bc+ac≤3bc， 又∵bc＝4， ∴ab+bc+ac≤12， ∴12， 解此不等式得：S≥12， ∴S的最小值为12， ∴图中阴影部分面积的最小值为12．………………8分 28．（8分）解：（1）∠EPF与∠PEF相等，理由如下： ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠PEA＝∠PEF， ∵AB∥CD， ∴∠PEA＝∠EPF， ∴∠EPF＝∠PEF；………………2分 （2）设∠EPF＝α， ∴∠FHG＝3∠EPF＝3α， 由（1）可知：∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α， ∴∠AEF＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEF＝2α， ∵EF∥GH， ∴∠EFH+∠FHG＝180°即2α+3α＝180°， ∴α＝36°． ∴∠EFD＝2α＝72°；………………4分 （3）设∠EQF＝β，∠PEQ﹣∠EQF＝50°， ∴∠PEQ＝50°+β． ∵点Q为射线GH上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段GH上时，如图1所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH， ∴∠1∠EFD， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠2∠AEF， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD， ∴∠1＝∠2， ∴PE∥FQ， ∴∠PEQ+∠EQF＝180°，即50°+β+β＝180°， ∴β＝65°，即∠EQF＝β＝65°；………………6分 ②当点Q在线段GH的延长线上时， 过点Q作QR∥CD交EF于R， 如图2所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH，∠3＝∠QFH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH＝∠3， ∴∠RFH＝2∠1＝2∠3， ∵∠RFH＝∠PFE， ∴∠PFE＝2∠3， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠AEF＝2∠2， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴2∠3+2∠2＝180°， ∴∠3+∠2＝90°， ∵AB∥CD，QR∥CD， ∴AB∥QR， ∴∠AEQ+∠EQR＝180°，即∠2+50°+β+∠3+β＝180°， ∴β＝20°， ∴∠EQF＝β＝20°，………………8分 综上所述：∠EQF 的度数为65°或20°． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（本题共9小题，每小题2分，共18分） 9．_________ 14．___________ 10．_________ 15．___________ 11．_________ 16．___________ 12．_________ 17．___________ 13．_________ 三、解答题（本题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（6分）计算：（1）x2•x4+（x2）3﹣（﹣3x3）2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （2）（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）． 19．（4分）先化简，再求值：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1），其中x． 20．（4分）解不等式组． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6分） （1）_____________、___________ （2） 22．（6分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（6分） 24.（6分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25（6分） 【观察发现】_____________、___________ 【探索应用】 （1） （2） 26．（6分） （1）①_____________、___________；②_____________、___________； （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（8分） （1）_____________、_________________、___________ （2）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （3）___________ 28．（8分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学 (考试时间：100分钟试卷满分：100分) 注意事项： : 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新教材苏科版七年级全册+八年级上第1章 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 : 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上. % : 1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代 表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() : : O A D 2.下列计算正确的是( A.ara=a B.aa-2a C.(2a2)3=8a D.6÷3a2= : 3.下列命题中是真命题的是() : A.相等的角是对顶角 : B.两直线平行，同位角相等 : C.若实数a,b满足a=b,则a=b : D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 4.下列整式乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是() A.(-x+y)(-x-y) B.(-y-x)(-x-y) C.(2a-x)(2tx) D.(-x+2y)（-x-2y) 5.三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为() A.36 B.40 C.44 D.50 : 试题第1页（共6页） 6学科网·上好课 6.以下说法正确的有() ①三角形的中线、角平分线都是射线： ②三角形的三条高所在直线相交于一点： ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点： ④直角三角形的三条高相交于直角顶点： ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 7.如图，己知四边形纸片ABCD中，AB∥CD,点E,F分别在边AB,AD上，将纸片沿着EF折叠，点A 落在点G处，EG交CD于点H.若∠BEH比∠AEF的4倍多12°，则∠CHG的大小是() A.124 B.126 C.134° D.136° 8.如图，等腰△ABC的底边BC长为6.面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F.若 点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值是()· A.11 B.12 C.13 D.14 E B H D Q B D (第7题图) (第8题图) 二、填空题：本题共9小题，每题2分，共18分 9.请写出一个二元一次方程 一’使配=3是该方程的一个解。 x=5 10.如图，三角形ABC的边长AB=3,BC=4,AC=2,将三角形ABC沿BC方向平移a(a<4),得到三 角形DEF,连结AD,则阴影部分的周长为 A zB F (第10题图) (第11题图) 11.如图，点C,D在线段AB上，∠EAD=∠FCB,AE=CF.只需添加一个条件即可证明△EAD≌△FCB, 这个条件可以是 (写出一个即可). 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 12.已知6二2是关于x,y的=元一次方程y=3的一个解，则a的值为 13.己知关于x的不等式3x-≤0的正整数解有4个，则的取值范围是 14.已知tb=4,ab=-1,则(a-3)(b-3)= 15.定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC =100°，点P为边BC上一点，若△ABP为“反直角三角形”，则∠PAC的度数为 16.图1为某校八(1)(2)两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边 长为、的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S、S分别表示八(1)(2)两个班级的基地 面积.若叶n=8,-n=2,则S1-S=一· 17.如图，AB=10c,BC=16C,∠B=∠C,如果点P在线段BC上以3cms的速度由B点向C点运动， 同时，点Q从C点出发以xcs的速度沿射线CD运动，经过t秒后，若以A、B、P为顶点的三角形与 以P、C、Q为顶点的三角形全等，则x的值是 D S, B 图 图2 B P (第15题图) (第16题图) (第17题图) 三、解答题：本题共10小题，共66分 18.(6分)计算：(1)x2x4+(x2)3-（-3x3)2 (2)(x+2y)(x-2y)-x(x-y). 19.(4分)先化简，再求值：(2x-1)+(x+2)(x2)-4(x-1),其中x=-3 20.(4分)解不等式 2-x>号 2(x+1)-7<3x-4 21.(6分)数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 关于x,y的二元一次方程组 3x+4y=100 x-10y=2-4m② 。的解满足2x-3y=1,求m的值. 试题第3页（共6页） 将①③联立可得 哈哈！直接①十② 个新的不含m的二 O 可以更简便地求出 元一次方程组. m的值， 小云 小辉 (1)按照小云的方法，x的值为 一，y的值为 (2)请按照小辉的思路求出m的值 22.(6分)如图，AB=AC,∠A=40°，AB的垂直平分线N交AC于点D. : (1)求∠DBC的度数： .……… (2)若AB=30cIm,BC=1&cm,求△DBC的周长. 样 游 23.(6分)如图，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上. S (1)将△ABC向左平移4格，画出平移后的对应△A1B1C1: (2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的对应△AB2C2: (3)第(2)问中△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为 --> A O O 24.(6分)丰富的营养对学生的身体和智力发展具有至关重要的作用.小治家长为初中生小治订购了某种 .: 盒装牛奶和袋装坚果作为早餐，它们的营养成分表如表： 食品种类 一盒牛奶 一袋坚果 营养成分 能量 280kJ 210kJ 蛋白质 3.5g 4.2g : 脂肪 3.5g 13.4g 试题第4页（共6页） : 碳水化合物 5.6g 3.6g 钠 651mg 38mg 钙 130mg 15mg 某天早晨，小治从这两种食品中恰好摄入700kJ能量和11.9g蛋白质. : (1)求这天小治早餐的牛奶及坚果数量： (2)初中生每日脂肪摄入量的标准约为55g~73g,若小治这天其他时间段从其他食品中共摄入40g脂 : 肪，试判断这天小治脂肪摄入量是否超标，并说明理由， 25.(6分)【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将4块图形 进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形①或长方形②（含拼接线）. 【观察发现】正方形的边长为 ,长方形的长为 :(用含4，b的代数式表示) : 【探索应用】 (1)若a=2,求b的值； (2)直接写出等腰三角形纸片的面积. a 4 正方形① 14 : b 3a : 2 长方形② : 26.(6分)探究问题：已知∠ABC,画一个角∠DEF,使DE∥AB,EF∥BC,且DE交BC于点P,∠ABC 拟 : 与∠DEF有怎样的数量关系？ : (1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示. ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 : 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 : ②由(1)得出一个真命题，请补充该命题 结论：如果两个角的两边 ，那么这两个角 (2)应用①中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，求这两个角的度数. : 试题第5页（共6页） 6学科网·上好课 图1 图2 27.(8分)代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的 正确性，如下例题： 例：已知正整数a,b,c满足a≤b≤c,求证：ab+bc+ac≤3bc. 证明：，a≤c,b>0, b≤ ∴.ab+bc≤bc+bc. 即ab+bc≤2bc. ,c>0, ≤bc '.ab+bc+C≤2bc+ac≤2bc+bc. 即ab+bc+ac≤3bc. (1)请将上面的证明过程填写完整： (2)若ab+bc+ac=2abc,则a= ,b= (3)现有一张边长为6的正方形纸片，可画成如图所示的9宫格，其中a≤b≤c,bc=4,则图中阴影 部分面积的最小值为 28.(8分)【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系.现有实验器 材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸 如图，直线AB∥CD,EF∥GH,∠AEF的角平分线交CD于点P.试探究： (1)初步观察与推理：判断∠EPF和∠PEF的这两个角度数相等吗？并说明理由. (2)角度倍数关系的计算：若测量得∠FHG=3∠EPF,请结合平行线的性质，求出∠EFD的度数. (3)动点角度的分析：点Q为射线GH上一点，连结EQ,FQ.若∠QFH=∠FQH,且∠PEQ-∠EQF =50°，求∠EQF的度数 试题第6页（共6页） 6学科网·上好课 GB A E/GB D H 备用图 试题第7页（共6页） ………○………………………[1…………○……¥ ………………○………………………………○……………… 拜 冠 业 a 柒 和 …………○…………………○…………[1………○……………………○………………○……… 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材苏科版七年级全册+八年级上第1章 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A．a+a＝a2 B．a2•a2＝2a2 C．（2a2）3＝8a6 D． 3．下列命题中是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同位角相等 C．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 4．下列整式乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（﹣x+y）（﹣x﹣y） B．（﹣y﹣x）（﹣x﹣y） C．（2a﹣x）（2a+x） D．（﹣x+2y）（﹣x﹣2y） 5．三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（　　） A．36 B．40 C．44 D．50 6．以下说法正确的有（　　） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，已知四边形纸片ABCD中，AB∥CD，点E，F分别在边AB，AD上，将纸片沿着EF折叠，点A落在点G处，EG交CD于点H．若∠BEH比∠AEF的4倍多12°，则∠CHG的大小是（　　） A．124° B．126° C．134° D．136° 8．如图，等腰△ABC的底边BC长为6．面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F．若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值是（ ） ． A．11 B．12 C．13 D．14 二、填空题：本题共9小题，每题2分，共18分． 9．请写出一个二元一次方程 　，使是该方程的一个解． 10．如图，三角形ABC的边长AB＝3，BC＝4，AC＝2，将三角形ABC沿BC方向平移a（a＜4），得到三角形DEF，连结AD，则阴影部分的周长为　 　 ． 11．如图，点C，D在线段AB上，∠EAD＝∠FCB，AE＝CF．只需添加一个条件即可证明△EAD≌△FCB，这个条件可以是 　 （写出一个即可）． 12．已知是关于x，y的二元一次方程ax+y＝3的一个解，则a的值为　 　 ． 13．已知关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解有4个，则m的取值范围是 　 　 ． 14．已知a+b＝4，ab＝﹣1，则（a﹣3）（b﹣3）＝　 　 ． 15．定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点P为边BC上一点，若△ABP为“反直角三角形”，则∠PAC的度数为　 　 ． 16．图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n＝8，m﹣n＝2，则S1﹣S2＝　 　 ． 17．如图，AB＝10cm，BC＝16cm，∠B＝∠C，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发以xcm/s的速度沿射线CD运动，经过t秒后，若以A、B、P为顶点的三角形与以P、C、Q为顶点的三角形全等，则x的值是　 　 ． 三、解答题：本题共10小题，共66分． 18．（6分）计算：（1）x2•x4+（x2）3﹣（﹣3x3）2 （2）（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）． 19．（4分）先化简，再求值：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1），其中x． 20．解不等式组． 21．（6分）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 关于x，y的二元一次方程组的解满足2x﹣3y＝1，求m的值． （1）按照小云的方法，x的值为　 　 ，y的值为　 　 ； （2）请按照小辉的思路求出m的值． 22．（6分）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D． （1）求∠DBC的度数； （2）若AB＝30cm，BC＝18cm，求△DBC的周长． 23．（6分）如图，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． （1）将△ABC向左平移4格，画出平移后的对应△A1B1C1； （2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的对应△AB2C2； （3）第（2）问中△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为 　 　 ． 24．（6分）丰富的营养对学生的身体和智力发展具有至关重要的作用．小治家长为初中生小治订购了某种盒装牛奶和袋装坚果作为早餐，它们的营养成分表如表： 食品种类 营养成分 一盒牛奶 一袋坚果 能量 280kJ 210kJ 蛋白质 3.5g 4.2g 脂肪 3.5g 13.4g 碳水化合物 5.6g 3.6g 钠 65mg 38mg 钙 130mg 75mg 某天早晨，小治从这两种食品中恰好摄入700kJ能量和11.9g蛋白质． （1）求这天小治早餐的牛奶及坚果数量； （2）初中生每日脂肪摄入量的标准约为55g﹣73g，若小治这天其他时间段从其他食品中共摄入40g脂肪，试判断这天小治脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 25．（6分）【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将4块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形①或长方形②（含拼接线）． 【观察发现】正方形的边长为 ，长方形的长为 ；（用含a，b的代数式表示） 【探索应用】 （1）若a＝2，求b的值； （2）直接写出等腰三角形纸片的面积． 26．（6分）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P，∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为　 　 ； 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为　 ； ②由（1）得出一个真命题，请补充该命题． 结论：如果两个角的两边　 　 ，那么这两个角　 　 ． （2）应用①中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，求这两个角的度数． 27．（8分）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知正整数a，b，c满足a≤b≤c，求证：ab+bc+ac≤3bc． 证明：∵a≤c，b＞0， ∴ab≤ ． ∴ab+bc≤bc+bc． 即ab+bc≤2bc． ∵ ，c＞0， ∴ ≤bc． ∴ab+bc+ac≤2bc+ac≤2bc+bc． 即ab+bc+ac≤3bc． （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）若ab+bc+ac＝2abc，则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （3）现有一张边长为6的正方形纸片，可画成如图所示的9宫格，其中a≤b≤c，bc＝4，则图中阴影部分面积的最小值为 　 　 ． 28．（8分）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P．试探究： （1）初步观察与推理：判断∠EPF和∠PEF的这两个角度数相等吗？并说明理由． （2）角度倍数关系的计算：若测量得∠FHG＝3∠EPF，请结合平行线的性质，求出∠EFD的度数． （3）动点角度的分析：点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $