2026年九年级数学秋季开学学情自测卷（江苏南京专用，测试范围：新教材苏科版九上一元二次方程+八年级内容）

**基本信息** 2026年九年级开学数学学情自测卷，聚焦苏科版八年级全册及九年级上第2章内容，通过AI互动调查（22题）、动态几何（28题）等真实情境，融合数据意识、空间观念与推理能力，实现基础巩固与创新应用的梯度衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|分式性质、一元二次方程根、菱形性质|基础概念辨析，如第3题分式变形考查抽象能力| |填空题|12/24|二次根式、概率、旋转性质|生活情境融入，如第8题乒乓球概率体现数据意识| |解答题|10/64|统计图表、代数推理、动态几何综合|22题春晚AI节目调查考查数据分析，28题正方形动态问题发展空间观念与推理能力|

2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 D C A A C C 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 7．x≥﹣1； 8．50； 9．1； 10．24； 11. （12﹣x）（100+20x）＝1400； 12．6 ； 13．k≥﹣1； 14．c﹣a； 15．m≤1； 16．k≥﹣1； 17．3； 18．5 三、解答题：本题共10小题，共64分． 19．（4分）解：（1）3ax2+6axy+3ay2 ＝3a（x2+2xy+y2） ＝3a（x+y）2； ………………………………2分 （2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x） ＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y） ＝（x﹣y）（x2﹣y2） ＝（x﹣y）（x+y）（x﹣y） ＝（x+y）（x﹣y）2． ………………………………4分 20．（4分）解：（1）原式 ；………………………………2分 （3）原式 ．………………………………4分 21．（5分）解：（a﹣2） ，………………………………3分 当a时， 原式．………………………………5分 22．（5分）解：（1）本次调查的样本容量为20÷20%＝100，………………………………1分 A类所对应的扇形圆心角的度数是360°×＝108°；………………………………2分 （2）D类的人数为100﹣30﹣20﹣15＝35（人）， 补全条形统计图如图所示： ………………………………3分 （3）800×＝280（人）， 答：估计该校七年级最喜爱“AI互动类”节目的学生人数为280人．………………………………5分 23．（4分）解：（1）由条件可得：Δ＝22﹣4（2k﹣3）＞0， 解得，k＜2， ∴k的取值范围为k＜2；………………………………2分 （2）∵k为正整数， ∴k＝1， ∴方程为x2+2x﹣1＝0， ∴x1x2＝﹣1．………………………………4分 24．（5分）证明：（1）∵DE是△ABC的中位线， ∴DE＝ ．………………1分 ∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°， ∴AF＝ ．………………2分 ∴DE＝AF． （2）连接EF．………………3分 ∵DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线， ∴点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点． ∴DF、EF是△ABC的中位线， ∴DF∥AC，EF∥AB． ∴四边形ADFE是平行四边形． ∵∠BAC＝90°， ∴平行四边形ADFE是矩形． ∴AF＝DE．………………5分 25．（9分）解：（1）， ， 2（x+2）﹣kx＝x﹣1，………………1分 2x+4﹣kx＝x﹣1， （1﹣k）x＝﹣5， ∵关于x的方程：有增根， ∴（x﹣1）（x+2）＝0，即x﹣1＝0或x+2＝0，解得x＝1或x＝﹣2，………………3分 当x＝1时，（1﹣k）×1＝﹣5，解得k＝6． 当x＝﹣2时，（1﹣k）×（﹣2）＝﹣5，解得； 综上，k的值为；………………5分 （2）设6、7月相同的增长率为x， 根据题意，得25（1+x）2＝36，………………7分 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），………………8分 答：增长率为20%．………………9分 26．（6分）（1）解：由题意，∵x＞y＞0， ∴x﹣y＞0（①不等式的基本性质1）．………………1分 ∵（②平方差公式）．………………2分 （2）证明：∵a+b＞c， ∴， ∴，………………3分 ∴， ∴， ∴（）（）＞0．………………4分 ∵0． ∴0．………………5分 ∴．………………6分 27．（10分）解：（1）原式＝x2+2x+1﹣1﹣8 ＝（x+1）2﹣9………………2分 ＝（x+1﹣3）（x+1+3） ＝（x﹣2）（x+4）；………………3分 （2）x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，………………5分 即多项式x2+4x﹣3的最小值是﹣5．………………6分 （3）∵a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2﹣9﹣16﹣25+50＝0，………………8分 根据非负数的性质可得（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴△ABC的周长为3+4+5＝12．………………10分 28．（12分）（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB＝4，∠A＝∠ABC＝90°，∠CBD＝∠ADE＝45°， ∵HF∥AB， ∴∠DHF＝∠BFH＝90°， ∴四边形ABFH是矩形，BEBF，………………1分 ∴AH＝BF＝1， ∴DH＝HE＝AD﹣AH＝3， ∵G为DE的中点， ∴HG⊥DE， ∴HGDH.………………2分 （2）证明：在正方形ABCD和矩形ABFH中， ∴∠DBC＝45°，∠BFE＝∠AHF＝90°，AH＝BF， ∴∠FEB＝45°＝∠BEF， ∴∠FEG＝135°，EF＝BF＝AH，………………3分 ∵HG⊥DE，HGDE＝EG， ∴∠BGH＝90°，∠EHG＝45°， ∴∠AHG＝∠AHF+∠EHG＝135°， ∴∠AHG＝∠FEG， 又∵AH＝EF，HG＝EG， ∴△AHG≌△FEG（SSS）， ∴∠AGH＝∠FGE，AG＝FG，………………5分 ∴∠AGF＝∠BGH＝90°， ∴AG⊥FG；………………6分 （3）解①：如图， MF＝BF+DM，理由如下： 连接AF，延长CD至W，使DW＝BF， 由（2）知， ∠AGF＝90°，AG＝GF， ∴∠MAF＝∠AFG＝45°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADW＝∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AB， ∴∠DAM+∠BAF＝∠BAD﹣∠MAF＝45°，△ADW≌△ABF（SAS）， ∴∠DAW＝∠BAF，AW＝AF，………………7分 ∴∠DAW+∠DAM＝45°， ∴∠WAM＝45°， ∴∠WAM＝∠MAF， ∵AM＝AM， ∴△WAM≌△FAM（SAS）， ∴WM＝FM， ∵WM＝DW+DM＝BF+DM， ∴MF＝BF+DM；………………10分 ②设FM＝x，则BF＝FM﹣DM＝x﹣3，CF＝BC﹣BF＝7﹣x，CM＝CD﹣DM＝1， 在Rt△CFM中，由勾股定理得， CF2+CM2＝FM2， ∴（7﹣x）2+12＝x2 ∴x， ∴FM， 由①知， △WAM≌△FAM， ∴∠AMD＝∠AMF， ∵FH∥CD， ∴∠FKM＝∠AMD， ∴∠FKM＝∠AMF， ∴FK＝FM.………………12分 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（本题共12小题，每小题2分，共24分） 7．_________ 13．___________ 8．_________ 14．___________ 9．_________ 15．___________ 10．_________ 16．___________ 11．_________ 17．___________ 12．_________ 18．___________ 三、解答题（本题共10小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（4分）因式分解： （1）3ax2+6axy+3ay2； （2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（4分）计算： （1）； （2）． 21．（5分）先化简，再求值：（a－2），其中a． 22．（5分） （1）_____________、_____________ （2）将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23． （4分） （1） （2） 24．（5分） （1）_____________、_____________ （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（9分） （1） （2） 26．（6分） （1）①______________________；②______________________； （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28．（12分） （1）_____________、____________ （2） （3） ① ②___________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1.答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 卓 意事 体工整、笔迹清晰。 0]E0] 0]0] 0] 0]0]C0][0] [01 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 C1] 1 1] c1 C1] 1 1] 1 内作答，超出区域书写的答案无 [2 C2 C2] [2 C2] C21 C2] [2 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 [3] [3 [3] C3] [3 C3 3] C3] C3] [3] [4] C4] [41 C4] [4 [41 [4] 4] [4] [4] 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 [5J [5 [5 [5 [5 [5 [5 [5 [5 [5 破。 C6] 6 [6] C6] [6 [6 C6- [6 [6 5. 正确填涂 [7] C7] [7] C71 [7 C71 C71 C7] C7. 7 [8] [8] [8] C8J [8 C81 [8 C8] [8] 缺考标记 [9] 9 [9] c9] L9] [9] [9] 9] C9] [9] 一、 选择题（本题共6小题，每小题2分， 共12分) 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5[A1[B1[C1[DI 說 3[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 二、 填空题（本题共12小题，每小题2分，共24分) 个 13. 14 15. 箭 10 16 1 17 12. 18. 三、解答题（本题共10小题，共64分， 解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 19.(4分)因式分解： 器 (1)3ax2+6y+3ay; (2)x2(x-y)+y2(y-x). 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(4分)计算： (1)+ao (2)2+1)(v2-1)+(3-202. 5 21.(5分)先化简，再求值： 3÷(三-a-2,其中a= 2a-4 a-2 22.(5分) 七年级学生对节目喜爱人数的条形统计图七年级学生对节目喜爱人数的扇形 人数 30 30 20% 20 20 B 15% 10 D A BCD一类别 (1) (2)将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(4分) (1) (2) 24.(5分) D ⊙ F C (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(9分) (1) (2) 26.(6分) (1)① ；② (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(12分) (1) (2) (3)① ② B B H H D D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质、立方根的意义逐个计算得结论． 【详解】解：A.2，故选项A不成立； B.3≠±3，故选项B不成立； C.|﹣3|＝3≠﹣3，故选项C不成立； D.，故选项D成立． 故选：D． 2．为了解某校5000名学生的体重情况，随机抽取了200名学生的体重进行统计分析．在该问题中，下列说法正确的是（　　） A．这200名学生是总体的一个样本 B．每个学生是个体 C．这5000名学生体重的全体是总体 D．样本容量是200名学生 【答案】C 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、这200名学生的体重情况是总体的一个样本，故A不符合题意； B、每个学生的体重情况是个体，故B不符合题意； C、这5000名学生体重的全体是总体，故C符合题意； D、样本容量是200，故D不符合题意； 故选：C． 3．把分式中a，b都扩大2倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的2倍 D．不变 【答案】A 【分析】依题意分别用2a和2b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可 【详解】解：分别用2a和2b去代换原分式中的a和b， 得2， 可见新分式是原分式的2倍． 故选：A． 4．一元二次方程x（x﹣1）＝2x的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根互为相反数 D．没有实数根 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式Δ＝b2﹣4ac，根据Δ的符号判断方程根的情况． 【详解】解：原方程为x（x﹣1）＝2x， 整理得 x2﹣3x＝0， 这里 a＝1，b＝﹣3，c＝0， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×0＝9＞0． 故选：A． 5．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根，若，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．不存在 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根， 所以x1+x2＝m+3，x1x2＝2m+1． 因为， 则， 所以（m+3）2﹣2（2m+1）＝10， 解得m＝1或﹣3． 当m＝1时，方程为x2﹣4x+3＝0， 则Δ＝（﹣4）2﹣4×3＝4＞0， 所以m＝1符合题意； 当m＝﹣3时，方程为x2﹣5＝0， 则Δ＝02﹣4×（﹣5）＝20＞0， 所以m＝﹣3符合题意， 综上所述，m的值为1或﹣3． 故选：C． 6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝60°，GH的最小值为，则BC长为（　　） A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】连接AF，由三角形中位线定理推出GHAF，得到当AF⊥BC时，AF最小值是2，由含30度角的直角三角形的性质得到BFAB，由勾股定理得到AB2，求出AB＝4.由菱形的性质推出BC＝AB＝4． 【详解】解：连接AF， ∵G，H分别为AE，EF的中点， ∴GHAF， ∵GH的最小值为， ∴AF的最小值是2， 当AF⊥BC时，AF最小， ∵∠B＝60°， ∴此时∠BAF＝90°﹣60°＝30°， ∴BFAB， ∵AB2﹣BF2＝AF2， ∴AB2， ∴AB＝4． ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝4． 故选：C． 二、填空题：本题共12小题，每题2分，共24分． 7．若式子x在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 ． 【答案】x≥﹣1 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可． 【详解】解：由题意可知：x+1≥0， ∴x≥﹣1． 故答案为：x≥﹣1． 8．一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3．则纸箱中蓝色球有　 　 个． 【答案】50 【分析】蓝色球的个数等于总个数乘以摸到蓝色球的概率即可； 【详解】解：由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100×（1﹣0.2﹣0.3）＝50（个）， 故答案为：50． 9．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　 　 ． 【答案】1 【分析】根据同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次限式， ∴a+2＝4﹣a． 解得：a＝1． 故答案为：1． 10．菱形的周长是20cm，两条对角线的长度比是4：3，这个菱形的面积是　 　 cm2． 【答案】24 【分析】先求出菱形的边长，然后设菱形的两对角线分别为8x，6x，根据菱形的对角线垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出x，从而得到对角线的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵菱形的周长是20cm， ∴边长为5cm， ∵两条对角线的比是4：3， ∴设菱形的两对角线分别为8x，6x， 根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分， 则对角线的一半分别为4x，3x， 根据勾股定理得，（4x）2+（3x）2＝52， 解得：x＝1， ∴两对角线分别为8cm，6cm， ∴这个菱形的面积＝×8×6＝24cm2． 故答案为：24． 11．商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价x元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：　 　 （不必化简）． 【答案】（12﹣x）（100+20x）＝1400 【分析】表示出降价后一件商品的利润和数量，然后相乘等于1400列方程即可． 【详解】解：根据题意得，（12﹣x）（100+20x）＝1400． 故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400． 12．若，则的值是　 　 ． 【答案】6 【分析】先将变形，然后即可求出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴（a）2＝2， ∴a2﹣22， ∴a22＝6， 故答案为：6． 13．如果关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，那么k的取值范围是 　 ． 【答案】k≥﹣1 【分析】需分情况讨论方程的类型，当k＝0时方程为一元一次方程，当k≠0时方程为一元二次方程，结合判别式与根的关系求解即可． 【详解】解：需分情况讨论方程的类型，当k＝0时方程为一元一次方程，当k≠0时方程为一元二次方程如下： ①当k＝0时，原方程化为﹣2x﹣1＝0，该方程为一元一次方程，有实数根，符合题意； ②当k≠0时，原方程kx2﹣2x﹣1＝0是一元二次方程， 因为方程有实数根， 所以根的判别式Δ≥0， 即Δ＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k≥0， 解得k≥﹣1，此时k≠0． 综上，k的取值范围为k≥﹣1． 故答案为：k≥﹣1． 14．实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，化简 ． 【答案】c﹣a 【分析】直接结合数轴得出各式的符号，再利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由数轴可得：a＞0，a+b＜0，c＜0，a﹣b＞0， 故原式＝a﹣（a+b）﹣（﹣c）﹣（a﹣b） ＝a﹣a﹣b+c﹣a+b ＝c﹣a． 故答案为：c﹣a． 15．若关于x的方程x的解是非负数，则m的取值范围是 　 ． 【答案】m≤1 【分析】先求出方程的解，根据方程的解是非负数即可得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 3x﹣（2x﹣m）＝1﹣x， 3x﹣2x+m＝1﹣x， 2x＝1﹣m， ， ∵x≥0， ∴， 解得：m≤1， ∴m的取值范围是m≤1． 故答案为：m≤1． 16．如果关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，那么k的取值范围是 　 ． 【答案】k≥﹣1 【分析】需分情况讨论方程的类型，当k＝0时方程为一元一次方程，当k≠0时方程为一元二次方程，结合判别式与根的关系求解即可． 【详解】解：需分情况讨论方程的类型，当k＝0时方程为一元一次方程，当k≠0时方程为一元二次方程如下： ①当k＝0时，原方程化为﹣2x﹣1＝0，该方程为一元一次方程，有实数根，符合题意； ②当k≠0时，原方程kx2﹣2x﹣1＝0是一元二次方程， 因为方程有实数根， 所以根的判别式Δ≥0， 即Δ＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k≥0， 解得k≥﹣1，此时k≠0． 综上，k的取值范围为k≥﹣1． 故答案为：k≥﹣1． 17．若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为m，n，则的值为　 　 ． 【答案】3 【分析】由m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，利用一元二次方程的解，可得出m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，进而可得出m2﹣1＝2m，n2﹣2n＝1，再将其代入原式（n2﹣2n）中，即可求出结论． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根， ∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0， ∴m2﹣1＝2m，n2﹣2n＝1， ∴原式（n2﹣2n）1＝2+1＝3． 故答案为：3． 18．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形A′B′CD′，E、F分别是BD、B′D′的中点，若AB＝1cm，BC＝7cm，则EF的长为 　 　 cm． 【答案】5 【分析】连接CE，CF，根据矩形的性质可得∠BCD＝90°，AB＝CD＝1cm，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BD的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得CE＝，最后根据旋转的性质可得：CE＝CF，∠ECF＝90°，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接CE，CF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°，AB＝CD＝1cm， ∵BC＝7cm， ∴BD＝＝＝5， ∵点E是BD的中点， ∴CE＝BD＝， 由旋转得：CE＝CF，∠ECF＝90°， ∴EF＝CE＝5（cm）， 故答案为：5． 三、解答题：本题共10小题，共64分． 19．（4分）因式分解： （1）3ax2+6axy+3ay2； （2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）． 【答案】（1）3a（x+y）2；（2）（x+y）（x﹣y）2 【分析】（1）先提公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）3ax2+6axy+3ay2 ＝3a（x2+2xy+y2） ＝3a（x+y）2； （2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x） ＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y） ＝（x﹣y）（x2﹣y2） ＝（x﹣y）（x+y）（x﹣y） ＝（x+y）（x﹣y）2． 20．（4分）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先进行二次根式的乘除法运算，然后化简后合并即可； （2）先利用乘法公式展开，然后合并即可． 【详解】解：（1）原式 ； （3）原式 ． 21．（5分）先化简，再求值：（a－2），其中a． 【答案】，． 【分析】先进行通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分，最后把相应的值代入运算即可． 【详解】解：（a﹣2） ， 当a时， 原式． 22．（5分）2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了AI虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A．歌舞类 B．语言类（小品、相声） C．魔术杂技类 D．AI互动类 调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为　 　 ，A类所对应的扇形圆心角的度数是　 　 ； （2）将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“AI互动类”节目的学生人数． 【答案】（1）100，108°； （2） （3）280人． 【分析】（1）用B类的人数除以所占的百分比可得本次调查的样本容量，用360°乘A类的人数所占的百分比即可得出扇形圆心角的度数； （2）用总人数减去A、B、C类的人数求出D类的人数即可补全条形统计图； （3）根据用样本估计总体，用800乘样本中D类的人数所占的百分比即可． 【详解】解：（1）本次调查的样本容量为20÷20%＝100， A类所对应的扇形圆心角的度数是360°×＝108°； 故答案为：100，108°； （2）D类的人数为100﹣30﹣20﹣15＝35（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）800×＝280（人）， 答：估计该校七年级最喜爱“AI互动类”节目的学生人数为280人． 23．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设x1，x2是原方程的两个实数根．若k为正整数，求x1x2的值． 【答案】（1）k＜2；（2）﹣1 【分析】（1）根据方程x2+2x+2k﹣3＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＞0，进一步求解即可； （2）根据k＜2，结合k为正整数，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）由条件可得：Δ＝22﹣4（2k﹣3）＞0， 解得，k＜2， ∴k的取值范围为k＜2； （2）∵k为正整数， ∴k＝1， ∴方程为x2+2x﹣1＝0， ∴x1x2＝﹣1． 24．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线． 求证：DE＝AF． （1）小明给出了如下证明过程，请把小明的证明过程补充完整； 证明：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE＝ 　 　 ． ∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°， ∴AF＝ 　 　 ． ∴DE＝AF． （2）请你用和小明不同的方法证明DE＝AF． 【答案】（1）， ；（2）见详解. 【分析】（1）根据三角形中位线定理结合直角三角形斜边上的中线的性质即可推出结论； （2）证明平行四边形ADFE是矩形可得出结论． 【详解】证明：（1）∵DE是△ABC的中位线， ∴DE＝ ． ∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°， ∴AF＝ ． ∴DE＝AF． 故答案为：； ． （2）连接EF． ∵DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线， ∴点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点． ∴DF、EF是△ABC的中位线， ∴DF∥AC，EF∥AB． ∴四边形ADFE是平行四边形． ∵∠BAC＝90°， ∴平行四边形ADFE是矩形． ∴AF＝DE． 25．（9分）舍解可能是舍去增根，也有可能是因实际情况不允许而舍去． （1）已知关于x的方程：有增根，求：k的值； （2）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，求：增长率． 【答案】（1）k的值为；（2）增长率为20% 【分析】（1）首先，解分式方程得（1﹣k）x＝﹣5，再由分式方程有增根，得（x﹣1）（x+2）＝0，解得x＝1或x＝﹣2，最后，再分别代入计算即可； （2）设6、7月相同的增长率为x，再根据增长率公式：a（1+x）2＝b，列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）， ， 2（x+2）﹣kx＝x﹣1， 2x+4﹣kx＝x﹣1， （1﹣k）x＝﹣5， ∵关于x的方程：有增根， ∴（x﹣1）（x+2）＝0，即x﹣1＝0或x+2＝0，解得x＝1或x＝﹣2， 当x＝1时，（1﹣k）×1＝﹣5，解得k＝6． 当x＝﹣2时，（1﹣k）×（﹣2）＝﹣5，解得； 综上，k的值为； （2）设6、7月相同的增长率为x， 根据题意，得25（1+x）2＝36， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：增长率为20%． 26．（6分）代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 请先完成第（1）题的填空，填写推理的依据，再完成第（2）题的证明． （1）已知实数x，y满足x＞y＞0，求证． 证明：∵x＞y＞0， ∴x﹣y＞0（①　 　 ）． ∵（②　 　 ）， ∴． ∵x＞0，y＞0， ∴0， ∴． ∴． ∴． （2）在三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）的三角形中，利用（1）的结论，求证：． 【答案】（1）①不等式的基本性质1，②平方差公式．（2）见详解 【分析】（1）依据题意，根据不等式的性质，及平方差公式即可判断得解； （2）依据题意，根据所给信息即可计算判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵x＞y＞0， ∴x﹣y＞0（①不等式的基本性质1）． ∵（②平方差公式）． 故答案为：①不等式的基本性质1，②平方差公式． （2）证明：∵a+b＞c， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（）（）＞0． ∵0． ∴0． ∴． 27．（10分）阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8； （2）求多项式x2+4x﹣1的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． 【答案】（1）（x﹣2）（x+4）；（2）﹣5；（3）12 【分析】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可； （2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案； （3）先因式分解已知等式，找到a，b，c之间的关系即可． 【详解】解：（1）原式＝x2+2x+1﹣1﹣8 ＝（x+1）2﹣9 ＝（x+1﹣3）（x+1+3） ＝（x﹣2）（x+4）； （2）x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5， 即多项式x2+4x﹣3的最小值是﹣5． （3）∵a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2﹣9﹣16﹣25+50＝0， 根据非负数的性质可得（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴△ABC的周长为3+4+5＝12． 28．（12分）如图1，正方形ABCD的边长为4，连接BD，点E为线段BD上任意一点（点E不与B，D重合），过点E作HF∥AB分别交AD，BC于点H，F．点G为DE的中点，连接HG． （1）若BF＝1，则BE＝ 　 　 ，HG＝ 　 　 ； （2）如图2，连接AG，FG．求证：AG＝GF且AG⊥GF； （3）如图3，在（2）的条件下，设AG交HF于点K，延长AG交CD于点M，连接MF． ①探究DM，MF，BF之间的数量关系，并说明理由； ②若DM＝3，则FK＝ 　 　 ． 【答案】（1），；（2）见详解；（3）①见详解；②． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出BEBF，HGDH； （2）可证得△AHG≌△FEG，从而∠AGH＝∠FGE，AG＝FG，进而得出结论； （3）①连接AF，延长CD至W，使DW＝BF，可证得△ADW≌△ABF，从而∠DAW＝∠BAF，AW＝AF，进而证得△WAM≌△FAM，从而WM＝FM，进一步得出结论； ②设FM＝x，则BF＝FM﹣DM＝x﹣3，CF＝BC﹣BF＝7﹣x，CM＝CD﹣DM＝1，在Rt△CFM中，由勾股定理得方程（7﹣x）2+12＝x2，求得x的值，可证得FK＝FM． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB＝4，∠A＝∠ABC＝90°，∠CBD＝∠ADE＝45°， ∵HF∥AB， ∴∠DHF＝∠BFH＝90°， ∴四边形ABFH是矩形，BEBF， ∴AH＝BF＝1， ∴DH＝HE＝AD﹣AH＝3， ∵G为DE的中点， ∴HG⊥DE， ∴HGDH， 故答案为：，； （2）证明：在正方形ABCD和矩形ABFH中， ∴∠DBC＝45°，∠BFE＝∠AHF＝90°，AH＝BF， ∴∠FEB＝45°＝∠BEF， ∴∠FEG＝135°，EF＝BF＝AH， ∵HG⊥DE，HGDE＝EG， ∴∠BGH＝90°，∠EHG＝45°， ∴∠AHG＝∠AHF+∠EHG＝135°， ∴∠AHG＝∠FEG， 又∵AH＝EF，HG＝EG， ∴△AHG≌△FEG（SSS）， ∴∠AGH＝∠FGE，AG＝FG， ∴∠AGF＝∠BGH＝90°， ∴AG⊥FG； （3）解①：如图， MF＝BF+DM，理由如下： 连接AF，延长CD至W，使DW＝BF， 由（2）知， ∠AGF＝90°，AG＝GF， ∴∠MAF＝∠AFG＝45°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADW＝∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AB， ∴∠DAM+∠BAF＝∠BAD﹣∠MAF＝45°，△ADW≌△ABF（SAS）， ∴∠DAW＝∠BAF，AW＝AF， ∴∠DAW+∠DAM＝45°， ∴∠WAM＝45°， ∴∠WAM＝∠MAF， ∵AM＝AM， ∴△WAM≌△FAM（SAS）， ∴WM＝FM， ∵WM＝DW+DM＝BF+DM， ∴MF＝BF+DM； ②设FM＝x，则BF＝FM﹣DM＝x﹣3，CF＝BC﹣BF＝7﹣x，CM＝CD﹣DM＝1， 在Rt△CFM中，由勾股定理得， CF2+CM2＝FM2， ∴（7﹣x）2+12＝x2 ∴x， ∴FM， 由①知， △WAM≌△FAM， ∴∠AMD＝∠AMF， ∵FH∥CD， ∴∠FKM＝∠AMD， ∴∠FKM＝∠AMF， ∴FK＝FM， 故答案为：． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材苏科版八年级全册+九年级上第2章 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．为了解某校5000名学生的体重情况，随机抽取了200名学生的体重进行统计分析．在该问题中，下列说法正确的是（　　） A．这200名学生是总体的一个样本 B．每个学生是个体 C．这5000名学生体重的全体是总体 D．样本容量是200名学生 3．把分式中a，b都扩大2倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的2倍 D．不变 4．一元二次方程x（x﹣1）＝2x的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根互为相反数 D．没有实数根 5．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根，若，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．不存在 6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝60°，GH的最小值为，则BC长为（　　） （第6题图） A．6 B．4 C． D． 二、填空题：本题共12小题，每题2分，共24分． 7．若式子x在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 ． 8．一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3．则纸箱中蓝色球有　 　 个． 9．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　 　 ． 10．菱形的周长是20cm，两条对角线的长度比是4：3，这个菱形的面积是　 　 cm2． 11．商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价x元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：　 　 （不必化简）． 12．若，则的值是　 　 ． 13．如果关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，那么k的取值范围是 　 ． 14．实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，化简 ． 15．若关于x的方程x的解是非负数，则m的取值范围是 　 ． 16．如果关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，那么k的取值范围是 　 ． 17．若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为m，n，则的值为　 　 ． 18．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形A′B′CD′，E、F分别是BD、B′D′的中点，若AB＝1cm，BC＝7cm，则EF的长为 　 　 cm． （第18题图） 三、解答题：本题共10小题，共64分． 19．（4分）因式分解： （1）3ax2+6axy+3ay2； （2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）． 20．（4分）计算： （1）； （2）． 21．（5分）先化简，再求值：（a－2），其中a． 22．（5分）2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了AI虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A．歌舞类 B．语言类（小品、相声） C．魔术杂技类 D．AI互动类 调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为　 　 ，A类所对应的扇形圆心角的度数是　 　 ； （2）将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“AI互动类”节目的学生人数． 23．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设x1，x2是原方程的两个实数根．若k为正整数，求x1x2的值． 24．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线． 求证：DE＝AF． （1）小明给出了如下证明过程，请把小明的证明过程补充完整； 证明：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE＝ 　 　 ． ∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°， ∴AF＝ 　 　 ． ∴DE＝AF． （2）请你用和小明不同的方法证明DE＝AF． 25．（9分）舍解可能是舍去增根，也有可能是因实际情况不允许而舍去． （1）已知关于x的方程：有增根，求：k的值； （2）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，求：增长率． 26．（6分）代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 请先完成第（1）题的填空，填写推理的依据，再完成第（2）题的证明． （1）已知实数x，y满足x＞y＞0，求证． 证明：∵x＞y＞0， ∴x﹣y＞0（①　 　 ）． ∵（②　 　 ）， ∴． ∵x＞0，y＞0， ∴0， ∴． ∴． ∴． （2）在三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）的三角形中，利用（1）的结论，求证：． 27．（10分）阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8； （2）求多项式x2+4x﹣1的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． 28．（12分）如图1，正方形ABCD的边长为4，连接BD，点E为线段BD上任意一点（点E不与B，D重合），过点E作HF∥AB分别交AD，BC于点H，F．点G为DE的中点，连接HG． （1）若BF＝1，则BE＝ 　 　 ，HG＝ 　 　 ； （2）如图2，连接AG，FG．求证：AG＝GF且AG⊥GF； （3）如图3，在（2）的条件下，设AG交HF于点K，延长AG交CD于点M，连接MF． ①探究DM，MF，BF之间的数量关系，并说明理由； ②若DM＝3，则FK＝ 　 　 ． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 : 数学 (考试时间：100分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 : : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新教材苏科版八年级全册+九年级上第2章 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 : 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上， : 1.下列等式成立的是() .… : 42 B.=土3 C.√V-3=-3 : : 2.为了解某校5000名学生的体重情况，随机抽取了200名学生的体重进行统计分析.在该问题中，下列 : 说法正确的是() A.这200名学生是总体的一个样本 B.每个学生是个体 : 斟 C.这5000名学生体重的全体是总体 D.样本容量是200名学生 : 2ab 3.把分式 中a,b都扩大2倍，则分式的值() 拟 a+b : A.扩大为原来的2倍 B.扩大为原来的4倍 C.缩小为原来的2倍 D.不变 4.一元二次方程x(x-1)=2x的根的情况是() : A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.两根互为相反数 D.没有实数根 5.已知x1,2是关于x的一元二次方程x2-(叶3)x+2叶1=0的两个实数根，若好+号=1G,则的 : 值为() : A.1 B.-3 C.1或-3 D.不存在 ○ 试题第1页（共6页） : 可学科网·上好课 6.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边CD,BC上的动点，连接AE,EF,G,H分别为AE,EF的 中点，连接GH.若∠B=60°，GH的最小值为6，则BC长为() G E H F (第6题图)》 A.6 B.4 C.4v2 D.6v2 二、填空题：本题共12小题，每题2分，共24分. 7.若式子x+vx+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 8.一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个.从纸箱中任意摸出一球，摸到 红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3.则纸箱中蓝色球有」 个 9.若最简二次根式wa+与v4一ā是同类二次根式，则a= 10.菱形的周长是20c,两条对角线的长度比是4：3，这个菱形的面积是 cm2. 11.商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元.为了减少库存，该店决定降价促销.据 测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件.若该商品降价x元，可使每天销售该商品获利1400 元.根据题意得到方程： (不必化简). 12.若a-日=2，则a2+是+2的值是 13.如果关于x的方程2-2x-1=0有实数根，那么k的取值范围是 14.实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，化简+√a+)-V。-√(a-丽= b c 0 a 15.若关于x的方程x-严=与的解是非负数，则m的取值范围是 16.如果关于x的方程2-2x-1=0有实数根，那么k的取值范围是 17.若一元二次方程x2-2x-1=0的两根为m,,则m-三+2-2的值为 液 18.如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形A'B'CD',E、F分别是BD、B'D'的中 点，若AB=1cm,BC=7c,则EF的长为 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 E C (第18题图) 三、解答题：本题共10小题，共64分. 19.(4分)因式分解： (1)3°+6aH3y; (2)x2(x-y)+y(y-x). 20.(4分)计算： (1)、 5+y10 (2)(vZ+1)Z-1)+(-2). 15分)先化衡，再求位：二+（四-2，共中=于 22.(5分)2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了AI虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目 的互动性.为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查， 要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A.歌舞类B.语言类（小品、相声）C.魔 术杂技类D.AI互动类 调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 试题第3页（共6页） 七年级学生对节目喜爱人数的条形统计图七年级学生对节目喜爱人数的扇形统计图 人数 30 30 20% A 20 B 20 15 15% 10 D B C D 类别 年 请你根据以上信息解决下列问题： (1)本次调查的样本容量为 ,A类所对应的扇形圆心角的度数是 张 (2)将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； (3)若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“AI互动类”节目的学生人数. 河 游 23.(4分)已知关于x的一元二次方程x+2x+2k-3=0有两个不相等的实数根. 数 (1)求k的取值范围： (2)设x1,x2是原方程的两个实数根.若k为正整数，求x1x2的值. S S E政 24.(5分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线. 求证：DE=AF. 性 (1)小明给出了如下证明过程，请把小明的证明过程补充完整： 证明：，DE是△ABC的中位线， ∴DE= ,AF是△ABC的中线，∠BAC=90°， ∴AF= ..DE=AF. (2)请你用和小明不同的方法证明DE=AF. ::::0 试题第4页（共6页） : o D ·: B 25.(9分)舍解可能是舍去增根，也有可能是因实际情况不允许而舍去. O (1)已知关于x的方程： 2 了2+x-2+2有增根，求：k的值 (2)某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，求：增长 % 率。 尽 26.(6分)代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性 质等证明已知结果或结论， O 请先完成第(1)题的填空，填写推理的依据，再完成第(2)题的证明. (1)己知实数x,y满足x>y>0,求证>万， ·… 证明：x>y>0, .x-y>0(① 拟 ,x-y=〔2-(2=(E+(E-历（② .: .(vE+而(E-)>0. : : 'x>0,y>0, K E>0,形>0 : 派+万>0. .: O : 试题第5页（共6页） 6学科网·上好课 ∴正-历0 医>. (2)在三边长分别为a,b,c(a<b<c)的三角形中，利用(1)的结论，求证：a+拓>. 27.(10分)阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如m2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+)2+n的形式，我们把这样的 变形方法叫做多项式m+bx+c(a≠0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进 行因式分解例如+4r-5=x2+4+?.(?-5=(+2》2-9=(x2+3)(+2-3》=（x+5)(x 2 -1). 根据以上材料，解答下列问题。 (1)分解因式（利用公式法）：x+2x-8: (2)求多项式x+4x-1的最小值： (3)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足ad+b+c+50=6a+8b+10C,求△ABC的周长 28.(12分)如图1，正方形ABCD的边长为4，连接BD,点E为线段BD上任意一点（点E不与B,D 试题第6页（共6页） 6学科网·上好课 重合)，过点E作HF∥AB分别交AD,BC于点H,F.点G为DE的中点，连接HG. B B ⊙ A K H H E G G M 图1 图2 图3 (1)若BF=1,则BE= HG= (2)如图2，连接AG,FG.求证：AG=GF且AG⊥GF: (3)如图3，在(2)的条件下，设AG交HF于点K,延长AG交CD于点M,连接MF. ①探究DM,MF,BF之间的数量关系，并说明理由： ②若DM=3,则FK= 试题第7页（共6页） ………O…………O………[1……………O…¥…………O…………☑………O……… 业 柒 和 …………○……………………○…………[……………○………………………○……………………○…… 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材苏科版八年级全册+九年级上第2章 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．为了解某校5000名学生的体重情况，随机抽取了200名学生的体重进行统计分析．在该问题中，下列说法正确的是（　　） A．这200名学生是总体的一个样本 B．每个学生是个体 C．这5000名学生体重的全体是总体 D．样本容量是200名学生 3．把分式中a，b都扩大2倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的2倍 D．不变 4．一元二次方程x（x﹣1）＝2x的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根互为相反数 D．没有实数根 5．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根，若，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．不存在 6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝60°，GH的最小值为，则BC长为（　　） （第6题图） A．6 B．4 C． D． 二、填空题：本题共12小题，每题2分，共24分． 7．若式子x在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 ． 8．一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3．则纸箱中蓝色球有　 　 个． 9．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　 　 ． 10．菱形的周长是20cm，两条对角线的长度比是4：3，这个菱形的面积是　 　 cm2． 11．商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价x元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：　 　 （不必化简）． 12．若，则的值是　 　 ． 13．如果关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，那么k的取值范围是 　 ． 14．实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，化简 ． 15．若关于x的方程x的解是非负数，则m的取值范围是 　 ． 16．如果关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，那么k的取值范围是 　 ． 17．若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为m，n，则的值为　 　 ． 18．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形A′B′CD′，E、F分别是BD、B′D′的中点，若AB＝1cm，BC＝7cm，则EF的长为 　 　 cm． （第18题图） 三、解答题：本题共10小题，共64分． 19．（4分）因式分解： （1）3ax2+6axy+3ay2； （2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）． 20．（4分）计算： （1）； （2）． 21．（5分）先化简，再求值：（a－2），其中a． 22．（5分）2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了AI虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A．歌舞类 B．语言类（小品、相声） C．魔术杂技类 D．AI互动类 调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为　 　 ，A类所对应的扇形圆心角的度数是　 　 ； （2）将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“AI互动类”节目的学生人数． 23．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设x1，x2是原方程的两个实数根．若k为正整数，求x1x2的值． 24．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线． 求证：DE＝AF． （1）小明给出了如下证明过程，请把小明的证明过程补充完整； 证明：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE＝ 　 　 ． ∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°， ∴AF＝ 　 　 ． ∴DE＝AF． （2）请你用和小明不同的方法证明DE＝AF． 25．（9分）舍解可能是舍去增根，也有可能是因实际情况不允许而舍去． （1）已知关于x的方程：有增根，求：k的值； （2）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，求：增长率． 26．（6分）代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 请先完成第（1）题的填空，填写推理的依据，再完成第（2）题的证明． （1）已知实数x，y满足x＞y＞0，求证． 证明：∵x＞y＞0， ∴x﹣y＞0（①　 　 ）． ∵（②　 　 ）， ∴． ∵x＞0，y＞0， ∴0， ∴． ∴． ∴． （2）在三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）的三角形中，利用（1）的结论，求证：． 27．（10分）阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8； （2）求多项式x2+4x﹣1的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． 28．（12分）如图1，正方形ABCD的边长为4，连接BD，点E为线段BD上任意一点（点E不与B，D重合），过点E作HF∥AB分别交AD，BC于点H，F．点G为DE的中点，连接HG． （1）若BF＝1，则BE＝ 　 　 ，HG＝ 　 　 ； （2）如图2，连接AG，FG．求证：AG＝GF且AG⊥GF； （3）如图3，在（2）的条件下，设AG交HF于点K，延长AG交CD于点M，连接MF． ①探究DM，MF，BF之间的数量关系，并说明理由； ②若DM＝3，则FK＝ 　 　 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $