精品解析：江苏省南京市金陵中学仙林分校中学部2025-2026学年上学期开学测试数学试卷

20252026学年第一学期期初调研试卷 九年级数学 一、选择题（每小题4分） 1. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P在内， ∴． 故选：D． 2. 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到△＝（-2）2−4•a＝0，然后解方程即可． 【详解】根据题意得△＝（-2）2−4•a＝0， 解得a＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 3. 下列说法中，正确的是（　　） A. 两个半圆是等弧 B. 三个点确定一个圆 C. 相等的弦所对的弧相等 D. 的圆周角所对的弦是直径 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关定义， 根据等弧，确定圆的条件，圆周角定理等逐项判断即可. 【详解】解：因为半径不相等的半圆不是等弧，所以A不正确； 因为在同一条直线上的三点不能确定一个圆，所以B不正确； 因为不在同一个圆中的相等的弦所对的弧不相等，所以C不正确； 因为的圆周角所对的弦是直径，所以D正确. 故选：D. 4. 如图，点在上，平分弦，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂径定理，根据等边对等角可得，由，平分弦，可得，从而得到，最有由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】，， ， 平分弦， ， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，是的外接圆，若的长等于半径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理，根据等边三角形的性质及等腰三角形的性质得，再利用圆周角定理即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：连接、、，如图： ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 二、填空题（每小题4分） 6. 方程的根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平方根解方程，利用开根的定义求出解即可. 【详解】解：方程， 解得. 故答案为：. 7. 若将一元二次方程化为的形式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方应用，先把配成完全平方式，得，即可得和的值，再代入，即可计算． 【详解】解：依题意， 因， 所以， 即， 因为 所以，， 所以． 故答案为：． 8. 设是方程 的两个根，且－＝1,则m=_______. 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：首先根据韦达定理可得：=4，=m，则4-m=1，解得：m=3. 9. 建邺区2020年为1122亿元，2022年为1251亿元，设这两年的年平均增长率为x，根据题意可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为．据此即可列出方程． 【详解】解：设这两年的年平均增长率为x， 可列方程为：， 故答案为：． 10. 在中，弦垂直平分其中一条半径，弦所对的圆心角为___________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质， 根据题意和线段垂直平分线的性质得，可得是等边三角形，进而得，则此题可解. 详解】解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴. ∴. 故答案为：. 11. 如图，在中，，则点在以线段为直径的圆_______．（填“上”“内”或“外”） 【答案】内 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，圆周角定理，根据点与圆的位置关系可得出结论，熟知直径所对的圆周角是直角是解此题的关键． 【详解】解：直径所对的圆周角是直角，， 点在以线段为直径的圆内， 故答案为：内． 12. 如图，在中，弦相交于点E，．若，则的度数为____°． 【答案】46 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，以及弧、弦、圆心角的关系．连接，根据邻补角定义求出，根据圆周角定理推出，根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理得，然后根据圆心角、弧的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：46． 三、解答题 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于（1），根据配方法解答； 对于（2），根据因式分解法解答即可. 【小问1详解】 解：， 配方，得， 即， 开方，得， 则， ∴； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 则或， ∴. 14. 如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，连接，，证明，可得，再根据弧、弦、圆心角的关系即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 详解】证明：如图，连接，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 15. 某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每涨价1元，销售量将减少10件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利10000元．问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？ 【答案】当每件的售价为50元了，该商店销售了这种商品500件；当每件的售价为80元了，该商店销售了这种商品200件 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件商品涨价x元，则每件商品盈利元，销售量为件，根据总利润等于每件的利润乘以销售量列出方程求解即可． 【详解】解：设每件商品涨价x元，则每件商品盈利元，销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得或， 当时，，， 当时，，， 答：当每件的售价为50元了，该商店销售了这种商品500件；当每件的售价为80元了，该商店销售了这种商品200件． 16. 关于x方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于2，则m的取值范围是 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是： （1）直接根据根的判别式计算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出的值，结合方程有一个根小于2，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：证明：， 无论取何值时，， 原方程总有两个实数根． 【小问2详解】 ， ， 或， 若方程有一个根小于2，则，解得． 综上可知，若方程有一个根小于2，的取值范围为． 故答案为：． 17. 若时，代数式的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“x优值”． （1）代数式的“x优值”是； （2）判断代数式是否存在“x优值”，并说明理由； （3）代数式存在两个“x优值”且差为5，求n的值． 【答案】（1）0和1 （2）不存在“x优值”．理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）利用新定义的规定，通过计算判定即可得出结论； （2）假定存在“优值”，得到一元二次方程，利用根的判别式解答即可得出结论； （3）设“优值”为，则有，利用一元二次方程飞解法求得“优值”，再利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 ∵当时，代数式的值为0， 当时，代数式的值为1， ∴和1都是的“优值”． 故答案为：0和1； 【小问2详解】 不存在“优值”． 理由如下： 假设存在优值为，则有， 整理得：， 则， ∵无论取何值时，， ∴方程没有实数根， 即代数式不存在“优值”． 【小问3详解】 设“优值”为，则有， 整理得：， ∵两个“x优值”差为5， 或 或 18. 是的直径，是的弦，以为直径的与相交于点． （1）如图1，若，则的长为___________； （2）如图2，是上一点，若，，三点共线，，，则大圆半径长等于___________； （3）如图3，是上一点，交于、两点，连接和，证明：． 【答案】（1）5 （2）5 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由是的直径，得到，再根据垂径定理可得，代入数据即可求解； （2）根据三角形中位线定理可得，设，表示出，，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答； （3）延长、分别交于点、，连接，，，，由是的直径，得到，再根据垂径定理可得，，根据三角形中位线定理得到，推出，再利用同弧或等弧所对的圆周角相等即可证明． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5； 【小问2详解】 解：由（1）得，，， 又∵， ∴是的中位线， ∴， 设， 则，， ∵，，三点共线， ∴， ∴在中，， ∴， 解得或（舍）， ∴大圆半径长等于5； 故答案为：5； 【小问3详解】 证明：如图，延长、分别交于点、，连接，，，， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．本题属于圆综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20252026学年第一学期期初调研试卷 九年级数学 一、选择题（每小题4分） 1. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 3. 下列说法中，正确的是（　　） A. 两个半圆是等弧 B. 三个点确定一个圆 C. 相等弦所对的弧相等 D. 的圆周角所对的弦是直径 4. 如图，点在上，平分弦，连接，，若，则度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的外接圆，若的长等于半径，，则的度数为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题4分） 6. 方程的根是___________． 7. 若将一元二次方程化为的形式，则_______． 8. 设是方程 的两个根，且－＝1,则m=_______. 9. 建邺区2020年为1122亿元，2022年为1251亿元，设这两年的年平均增长率为x，根据题意可列方程为_____． 10. 在中，弦垂直平分其中一条半径，弦所对的圆心角为___________． 11. 如图，在中，，则点在以线段为直径的圆_______．（填“上”“内”或“外”） 12. 如图，在中，弦相交于点E，．若，则的度数为____°． 三、解答题 13 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 15. 某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每涨价1元，销售量将减少10件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利10000元．问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？ 16. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于2，则m取值范围是 ． 17. 若时，代数式的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“x优值”． （1）代数式的“x优值”是； （2）判断代数式是否存在“x优值”，并说明理由； （3）代数式存在两个“x优值”且差为5，求n的值． 18. 是的直径，是的弦，以为直径的与相交于点． （1）如图1，若，则的长为___________； （2）如图2，是上一点，若，，三点共线，，，则大圆半径长等于___________； （3）如图3，是上一点，交于、两点，连接和，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $