第二章 一元二次函数、方程与不等式（单元自测·基础卷）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学一元二次函数、方程与不等式单元基础卷，覆盖集合运算、不等式性质等核心知识点，解答题融入药材种植、公园设计等实际情境，体现数学建模与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合运算、不等式性质、充分必要条件|基础巩固，梯度合理| |填空题|3/18|一元二次不等式解法、命题真假判断|聚焦易错点| |解答题|5/74|基本不等式求最值、函数应用（药材种植、公园设计）|实际情境建模，考查数学思维与表达|

第二章 一元二次函数、方程与不等式（单元自测·基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 4．已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 7．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 8．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．已知，则下列正确的是（　　） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 11．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比，若在距离车站10km处建仓库，则为1万元，为4万元，下列结论正确的是（    ） A． B． C．有最小值4 D．无最小值 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．不等式的解集________. 13．不等式的解集是______． 14．已知不等式的解集为，则_______. 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．设全集，集合，. (1)若，求，. (2)若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 16．已知关于的不等式. (1)当不等式的解集为时，求的值； (2)若且不等式恒成立，求的最小值. 17．已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合. (1)求集合. (2)设全集为R，集合，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量单位：千克是每平方米种植株数x的函数．当x不超过4时，v的值为2；当时，v是x的一次函数，其中当x为10时，v的值为4；当x为20时，v的值为0． 当时，求函数v关于x的函数表达式； 当每平方米种植株数x为何值时，每平方米药材的年生长总量单位：千克取得最大值？并求出这个最大值．年生长总量年平均生长量种植株数 19．2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸IP展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界．某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，十字形的面积为．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元：在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为，总造价为元，求： (1)设长为，用表示，并求出的取值范围； (2)如何设计可使总造价最低，并求出最低造价； (3)若总造价不超过69000元，求长的取值范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程与不等式（单元自测·基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：利用作差法分析判断. 【详解】对于选项ABC：例如， 则，即，故A错误； 则，即，故B错误； 则，即，故C错误； 对于选项D：因为， 因为，则， 可得，所以，故D正确； 故选：D. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法及集合的交集求解. 【详解】由题意知，， 所以． 故选：B． 3．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】对A，当时，，A错； 对B，例如时，，B错； 对C，例如，满足，但，C错； 对D，若，则，所以，D正确． 故选：D． 4．已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，所以． 当且仅当时，取得最大值1. 故选：A 5．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次不等式的解法及充分必要条件的定义可得结果. 【详解】由解得或， 所以当时一定有成立，反之不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 6．不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】分式不等式 【分析】利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】不等式等价于，解得或. 故不等式的解集为或. 故选：C. 7．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】将，变式得，代入到目标式中，再利用基本不等式性质，求解即可. 【详解】已知正实数满足，所以（，因为） 将代入目标表达式，得：， 化简：， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即，，（符合为正实数）. 所以，的最小值为： 故选：D 8．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】利用充分条件、必要条件的概念结合集合间的基本关系计算即可. 【详解】因为是的必要不充分条件，所以A是B的真子集， 即，解得. 故选：D 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】AC选项，举出反例；B选项，先得到，利用不等式性质可得；D选项，作差法比较大小. 【详解】A选项，若，，则，A错误； B选项，若，则，则，则两边同乘以得，B正确； C选项，若，则，C错误； D选项，， 因为，，所以，故， 所以，D正确. 故选：BD 10．已知，则下列正确的是（　　） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】将已知式化成，再根据各选项的待求式，利用基本不等式，通过消元变形即可逐一求出最值判断选项. 【详解】依题意，由，可得 对于A，由，故A正确； 对于B，由，结合A项， 因，当且仅当时等号成立， 由可得， 即当时，的最小值为，故B错误； 对于C，由A项， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，因，则， 由C项已得当时，取得最小值， 故此时取得最小值为，故D正确． 故选：ACD 11．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比，若在距离车站10km处建仓库，则为1万元，为4万元，下列结论正确的是（    ） A． B． C．有最小值4 D．无最小值 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式、基本不等式求和的最小值、利用给定函数模型解决实际问题、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对A，B，根据题意设，利用待定系数法分别求出关于的解析式，即可判断，对C，利用基本不等式即可判断；对D，根据在上的单调性即可判断. 【详解】解：对A，设， 由题意知：函数过点， 即， ，故A错误； 对B，， 由题意得：函数过点， 即， 解得：， ，故B正确； 对C，， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对D，在上单调递减， 故无最小值，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．不等式的解集________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】公式法解绝对值不等式 【分析】根据绝对值不等式的公式解法进行求解即可. 【详解】， 所以不等式的解集为. 故答案为： 13．不等式的解集是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分式不等式 【分析】将分式不等式等价转化为一元二次不等式，注意分母不为0，解出即可. 【详解】原不等式等价于，解得或， 即原不等式的解为， 故答案为. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，等价转化为一元二次不等式是解题的关键，属于基础题. 14．已知不等式的解集为，则_______. 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】利用三个二次的关系，将不等式的解集转化成方程的根，利用韦达定理求出即得. 【详解】依题意，方程有两根为1和2，且， 由韦达定理，，解得，故. 故答案为：4. 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．设全集，集合，. (1)若，求，. (2)若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、交并补混合运算 【分析】（1）根据交集，并集，补集的定义计算即可； （2）根据是成立的充分条件得到，根据集合是否为空集分类讨论，列不等式组，求解即可. 【详解】（1）由，得，又，， 所以，或， 则. （2）因为是成立的充分条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 16．已知关于的不等式. (1)当不等式的解集为时，求的值； (2)若且不等式恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2)4 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）由方程根与系数的关系求解即可； （2）由一元二次不等式恒成立得到，再由基本不等式的乘“1”法可求. 【详解】（1）由题意可知：为方程的根， 或， . （2）不等式恒成立， ，即，. （当且仅当时取等号）， 的最小值为4. 17．已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合. (1)求集合. (2)设全集为R，集合，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)实数的取值范围为 【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）利用不等式的解集与方程的方程的根的关系求出，再去解不等式即可得到集合， （2）由是成立的必要不充分条件，得到之间的包含关系，再去求解的取值范围. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 则是的两根，由韦达定理可得，即， 所以不等式为的解集， （2）因为是成立的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，即，符合题意； 当时，在上有一个或两个根，又由韦达定理可知方程两根同号， 则即解得，符合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 18．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量单位：千克是每平方米种植株数x的函数．当x不超过4时，v的值为2；当时，v是x的一次函数，其中当x为10时，v的值为4；当x为20时，v的值为0． 当时，求函数v关于x的函数表达式； 当每平方米种植株数x为何值时，每平方米药材的年生长总量单位：千克取得最大值？并求出这个最大值．年生长总量年平均生长量种植株数 【答案】(1)；(2) 10株时，最大值40千克 【难度】0.65 【知识点】分段函数模型的应用、分段函数的值域或最值 【解析】当时，设，然后代入两组数值，解二元一次方程组可得参数a、b的值，即可得到函数v关于x的函数表达式； 第题设药材每平方米的年生长总量为千克，然后列出表达式，再分段求出的最大值，综合两段的最大值可得最终结果． 【详解】(1)由题意得，当时，； 当时，设， 由已知得，解得，所以， 故函数． (2)设药材每平方米的年生长总量为千克， 依题意及可得， 当时，为增函数，故； 当时，，此时． 综上所述，可知当每平方米种植10株时，药材的年生长总量取得最大值40千克． 【点睛】本题主要考查应用函数解决实际问题的能力，考查了理解能力，以及实际问题转化为数学问题的能力，本题属中档题． 19．2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸IP展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界．某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，十字形的面积为．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元：在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为，总造价为元，求： (1)设长为，用表示，并求出的取值范围； (2)如何设计可使总造价最低，并求出最低造价； (3)若总造价不超过69000元，求长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)时，元； (3) 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，利用基本不等式即可求解最低造价； （3）根据不等式求解可求得的取值范围. 【详解】（1）设，因为两个相同的矩形和构成的面积为， 所以可得，解之可得， 由得，解得； （2）由（1）知，所以 矩形的面积为 正方形为， 所以 . ， 当且仅当，即时，取等号； 故时，元； （3）由（2）知， 若总造价不超过69000元，即 化简可得，即， 解之可得，所以的取值范围. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $