第8讲 等腰直角三角形和直角三角形-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年八年级全一册数学

第8讲 等腰直角三角形和直角三角形 臭情境课堂 【数学实验】 从Rt△ABC出发，向外作正方形ACDE,ABGF,BCIH,连接EF,GH,ID, 再向外作正方形EFLK,HGMN,IDJO,最后，连接LM,NO,JK,并延长使它们 相交于A',B',C'三点，得到△AB'C'(如图). 【数学思考】 这个图里包含了非常丰富的数学内容，有线的平行、垂直关系，有等面积的三 角形，等面积的梯形以及梯形与三角形、正方形之间的面积关系，有线段之间神奇 的比例关系，有三角形的相似，等等.整个构图过程也可以无限地进行下去.图中 SAA与SAGH相等，你会证明吗？从图中你是否发现了其他结论？试写出来，并B 加以证明. 典例剖析 类型1等腰直角三角形之等边转换 例1如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点C,B分别在x轴和y轴 上，且∠ACB=90°，AC=BC.过点A作AN∥BC,交x轴于点D,E是AB 边上一点，过点E作EG⊥CE交射线AN于点G.若点G与点D重合，求 证：CE=ED DG) ⑥【学找切入点】通过构造三角形全等达到证线段相等的目的；充分利用等腰直角 △ABC中的45°角来作辅助线. 例2如图，四边形ABCD被对角线BD分成等腰直角三角形ABD和直角三 角形CBD,其中∠BAD=∠BCD=90°，另一条对角线AC的长为2，求四边形 ABCD的面积. ⊙【学找切入点】一般求图形面积有三个方向：(1)直接用公式计算.(2)将图形分割.(3)将 图形进行变换. ·45· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 变式1-13如图1，在等腰△ABC中，AB=BC,点D在BC边上（端点除外），AD=DE,且 ∠ABC=∠ADE=a,连接CE. (I)求∠BCE与a的数量关系， (2)将图1特殊化，如图2，当a=90°时，连接BE,M是AC的中点，N是BE的中点.判断以 D,M,N为顶点的三角形的形状，并证明你的结论. 图1 图2 类型2)等腰直角三角形的几何结论 例3如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD平分∠BAC,CE⊥AD交 AB于点E,BE=CF,BF交CE于点P,连接PD,则下列说法：①AC=AE; ②CD=BE;③BP=PF;④∠BDP=67.5°.其中正确的是(). A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④ ⑤【学找切入点】过点B作BM⊥BC交CE的延长线于点M,利用两组三角形全等可证， 变式2-13如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD=AE,BE和CD 交于点N,AF⊥BE,FG⊥CD交BE的延长线于点G.则下列说法： ①∠ABE=∠FAC;②AN垂直平分BC;③GE=GM;④BG=AF+FG.其 中正确的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 类型3)等腰直角三角形的几何探究 例4如图1，△ACB为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点P在线段BC上（不与点B,C重合）， 以AP为腰，作等腰直角△PAQ,QE⊥AB于点E. 图1 图2 (1)求证：△PAB≌△AQE ·46· 第8讲、等腰直角三角形和直角三角形 ②连接CQ交AB于点M,若PC=2PB,求%的值 (3)如图2，过点Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F,过点P作DP⊥AP交AC于点D, 连接DF,间：当点P在线段BC上（不与点B,C重合）运动时，QFDP的值会变化吗？若不 DE 变，求出该值并证明；若变化，请说明理由. ⑤【学找切入点】(1)找出∠PAB=∠AQE即可.(2)利用(1)中的结论，再证△QEM≌△CBM即可.(3)将 △APD旋转到AP与AQ重合处（顺时针旋转90）可得到△AQG,再将△AGF翻折可得到△ADF. 变式3-13如图，在平面直角坐标系中，O(0,0),A(m,2),B(n,0),其中m,n满足n=√Jm一2+ √J2-m+4. (1)如图1，试判断△OAB的形状，并说明理由. (2)若D为线段OB上一动点： ①如图2，以AD为边，向右作等腰Rt△ADG,且DA=DG,设点G的坐标为(x,y),试用关 于x的代数式表示y. ②如图3，过点B作BF⊥AD于点E,交线段OA于点F,且∠AFB=45°+∠FAE,试问 BF2AE的值是否为定值？若是，请求出其定值：若不是，请说明理由. FE y 3y年 B 图1 图2 图3 类型4)等腰直角三角形与平面直角坐标系 例5如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(一6,0)，与y轴交于点 B(0,6). F M D A NO 图1 图2 ·47. 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 (1)求△ABO的面积. (2)如图1，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，作等腰直角三角形BDE,连接EA. 求直线EA与y轴的交点F的坐标 (3)如图2，E是y轴正半轴上一点，且∠OAE=30°，AF平分∠OAE,M是射线AF上一动 点，N是线段AO上一动点，则当点M,N运动到什么位置时，OM十NM的值最小？ ⑤【学找切入点】(2)过点E作EG⊥x轴于点G,利用△EGD≌△DOB,再证EG=AG,得出∠EAG=45°， 从而求出点F.(3)过点O作AF的垂线交AF于点G,交AE于点O',过点O作x轴的垂线，交AF于点M, 交x轴于点N,连接OM,此时点M,N即为所求. 变式4-1在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A(a,0),交y轴于点B(0,b),且a,b满足 √a-3+(b+3)2=0. (1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 (2)如图1，已知E(5,0),连接BE,OD⊥BE于点D,交AB于点C,AG⊥OA交OD的延长 线于点G,在x轴的负半轴上有一点F,连接CF,满足∠OEB=∠OFC,求点F的坐标. (3)如图2，N是射线OB上一点（点N不与点O,B,OB的中点重合），连接AN,过点O作 OE⊥AN交AB于点E,在AB的上方作∠BEK=∠AEO,EK交y轴于点K,与直线AN交于 点H,探究AH,OE,HE三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）. 图1 图2 备用图 8研讨乐园 例6如图1，在平面直角坐标系中，点A(1,0),B(0,1),点P是射线OA上 y 异于原点O和点A的一个动点，点D是直线AB上异于点A与点B的一 点，使得∠BPO=∠APD,过点D作DF⊥BP交y轴于点F,请探究BP, DP,DF之间的数量关系，并证明. ⑤【学找切入点】根据点P,D位置的不同，进行分类讨论 图1 【解】甲的探究(1)当点P在线段OA上，如图2，过点B作BQ/OA交 ·48· 第8讲等腰直角三角形和直角三角形 PD的延长线于点Q, ∴.∠QBP=∠BPO,∠QPA=∠Q, .∠BPO=∠APD,∴.∠Q=∠QBP,∴.BP=PQ .∠AOB=90°，DF⊥BP,∴∠BFD=∠BPO,∴.∠Q=∠BFD. .∠OBA=∠BAO=45°，∴.∠QBA=∠BAO=45°， ∴.△BDF≌△BDQ(AAS),∴.DF=DQ. .PQ=PD+DQ,..BP=PD+FD. y Q H A 图2 图3 (2)当点P在OA的延长线上，如图3，过点B作BQOA交DP的延长线于点Q, ∴.∠QBP=∠BPO,∠Q=∠APD ∠APB=∠APD,∴.∠Q=∠QBP,∴.BP=PQ. .DF⊥BP,∠AOF=90°，∴.∠BPA=∠F,.∠Q=∠F .∠OBA=∠BAO=∠ABQ=45°，.△BDF≌△BDQ(AAS),∴.DF=DQ. .DQ=PD+PQ,∴.DF=PD十BP 乙的探究(1)当点P在线段OA上，如图4，过点F,A分别作x轴和y轴的平行线交于点 H,AH交FD的延长线于点Q,易证△FHQ≌△BOP(AAS),可得BP=FQ,再证△PDA≌ △QDA(AAS),可得PD=QD,从而得到结论 y B y D B Q H H OPA F---H 图4 图5 图6 (2)当点P在OA的延长线上，如图5，作类似辅助线，同理可证△FHQ≌△BOP(AAS), △PDA≌△QDA(AAS),可得DF=PD十BP. 丙的探究如图6，当点P在线段OA上，过点D作DH∥x轴交BP于点K,证明△BHK≌ △DHF(AAS),可得DF=BK,再证得DK=DP,从而得到结论，当点P在OA的延长线上时同理 ·49· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 能力平台 ©培优训练 (建议用时40分钟) 4.已知在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB= 1.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角 AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°. (1)如图1，延长DE交BC于点F,若∠BAE= 平分线AD,BE相交于点P,过点P作PF⊥AD 68°，则∠DFC的度数为 交BC的延长线于点F,交AC于点H.则下列结 (2)如图2，连接EC,BD,延长EA交BD于点M, 论：①∠APB=135°；②BF=BA;③PH=PD;④连 若∠AEC=90°，求证：M为BD的中点， 接CP,CP平分∠ACB.其中正确的是( (3)如图3，连接EC,BD,G是CE的中点，连接 A.①②③ B.①②④ AG,交BD于点H,AG=9,HG=5,求△AEC C.①③④ D.①②③④ 的面积 E H 图1 C D C D B 第1题图 第2题图 2.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC BC=4,M为AB的中点，点D为射线BC上的一 个动点，以AD为直角边向右上方构造等腰直角 图2 △ADE,∠DAE=90°，连接EM.在点D的运动过 程中，EM长度的最小值是 3.如图，在△ABC中，∠ABC=46°，D是BC边上 点，DC=AB,∠DAB=21°，试确定∠CAD的 度数 图3 ·50· 第8讲等腰直角三角形和直角三角形 5.如图，A(-2,6),C(6,2),AB⊥y轴于点B,CD⊥ (1)求证：OA⊥OB. x轴于点D. (2)如图2，连接AB,CD交于点M,若a=2,求点 (1)如图1，连接AC,BD交于点P,求证： M的坐标. P为AC的中点. (3)如图3，P是第一象限内一动点，Q是y轴正半 (2)如图2，E为第一象限内一点，F为y轴正半轴 轴上一动点，连接BP,PQ,始终保持BP=PQ 上一点，连接AF,EF,CE,EF⊥CE且EF= 且BP⊥PQ,连接AQ,N为线段AQ的中点， CE,G为AF的中点，连接EG,EO,求证： 连接OP,NP,求证：∠OPN的度数为定值. ∠OEG=45°. y B 图1 图2 图1 M D 图2 ⑧竞赛训练 (建议用时20分钟) 图3 6.如图，在△ABC中，AC= M BC,∠ACB=90°，AE平分 ∠BAC交BC于点E,BDL AE交AE的延长线于点A B D,DM⊥AC交AC的延长线于点M,连接CD.则 下列结论：①AC+CE-AB;②BD-AE: ②∠CDA=45,④c陆为定值其中正确的有 (). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(a,6),B (6,-a),ACLy轴于点C,BD⊥x轴于点D. ·51·BC=DC,BD=CD,∠ACB=∠B'CD, .△BAC≌△DB'C.于是△BC'D≌△DB'C. ..DC'=B'C=AB',B'D=BC'=AC', 又，AD=AD,.△ACD≌△DB'A, 故SAABC十SAARC=SAACD十S△BC'D+S△BCD· 又，SARD=S△BCA', '.S△ABC十SAABC=SAABD+SADB'C十SABCA'=S△ABC +S△ABC: D M N 第8题图 第9题图 99.提示：如图，将△ADE沿DE翻折得到△MDE, 将△BCE沿EC翻折得到△NCE,连接MN. 由翻折的性质可知，AD=DM=3,AE=EB=EM= EN=3,CB=CN=3,∠AED=∠MED,∠BEC ∠NEC. ,∠DEC=120, .∠AED+∠BEC=180°-120°=60°， ∴.∠MED+∠NEC=60°，∴∠MEN=60°， ∴.△EMN是等边三角形，..MN=EM=EN=3. CD≤DM+MN+CN,∴.CD≤9， .CD的最大值为9. 1020°.提示：如图，延长AB到点F,使BF=AD,连 接CF.易知△ADE为等边三角形，则∠EDB=120° 又因为CE=ED+DB=AD十DB=DB+BF=DF, 所以△ACF也为等边三角形， 由∠EDB=120°，∠CDB=2∠CDE知∠CDB=80°， 在等边△ACF中，由AD=BF知CD=CB, 因此∠DCB=180°-2∠CDB=20°. D 第10题图 第11题图 I如图，过点B作BFDE交AC于点F, ,△ADE为等边三角形，△ABF为等边三角形， .∠DEC=∠CFB=120°，AF=BF. 2 参考答案与提示 .'DB+DE=EC,..AF=BF=AB=EC, ∴.DE=AE=CF, .△EDC≌△FCB,∠FCB=∠EDC. :∠ADE=60°，∠BDC=2∠EDC, ∴.∠FCB=∠EDC=40°，.∠ECD=20°， ∠DCB=20° 第8讲等腰直角三角形和直角三角形 例1如图，作EF⊥AE交射线AN于点F, ,∠ACB=90°，AC=BC,∴.∠ABC=∠BAC=45°. 又·ANBC,∴∠EAD=∠BAC=∠F=45°， '.AE=EF,∠CAD=∠CED=90°， ∴.∠ECA+∠ADE=∠EDF+∠ADE=180°， ∴∠EDF=∠ECA. ∠EDF=∠ECA, 在△EDF和△ECA中， ∠F=∠EAC, EF-AE, .△EDF≌△ECA(AAS),.CE=ED. y B XG) 例1图 例2图 例2如图，过点A作AE⊥AC,交CD的延长线于点E. :∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠3. :∠ABC+∠ADC=360°-90×2=180°，∠ADE+ ∠ADC=180°，∴.∠ABC=∠ADE. .AB=AD,∴.△ABC≌△ADE,.AC=AE=2, ∴.S四边形ABCD=S△ABc十S△ACD=S△ADE十S△ACD= SAe=2×2X2=2 例3D提示：AD平分∠BAC,∴.∠EAD=∠CAD. 又，CE⊥AD, .∠AEC+∠EAD=∠ECA+∠CAD, ∴∠AEC=∠ACE,∴.AE=AC,∴.①正确. 如图1，过点B作BM⊥BC交CE的 M-- B 延长线于点M,则BM∥AC, ∴.∠MBE=∠BAC=45°. :∠ECD+∠CDA=9O°=∠DAC+A 图1 ∠CDA, 目培优竞赛超级课堂 8年级数学 ·∠DCP=∠DAC=45 =22.5°. (∠DAC=∠MCB, 在△DAC和△MCB中，AC=CB, ∠ACD=∠CBM, ∴.△DAC≌△MCB(ASA),∴.BM=CD. ,∠M=90°-∠MCB=67.5°，∠MBE=45°， ∴∠BEM=67.5°=∠M,∴.BM=BE, .BE=CD,∴.②正确」 .FC=BE,..MB=FC, (∠M=∠PCF, 在△MPB和△CPF中，∠MPB=∠CPF, MB=CF, .△MPB≌△CPF(AAS),.BP=PF, .③正确. ,BP=PF,∴BP=PF=PC, ∴.∠PBC=∠BCP=22.5°，∴.∠BPE=45°= ∠CPF. 如图2，作ES⊥EP交PB于点S,可得等腰直角△PES, 连接ED,则ED=CD=BE, 则△BES≌△DEP(SAS), ∴∠EDP=∠EBS=22.5°，BE=DE, △BDE为等腰直角三角形， ∴.∠BDP=∠BDE+∠EDP=67.5°， 图2 ④正确 例4(1)：∠QAE+∠AQE=90°，∠QAE+∠BAP=90°， ∴.∠AQE=∠PAB. ,QE⊥AB,∠ABC=90°，∴∠ABC=∠QEA. ,AP=AQ,.△PAB≌△AQE. (2),△PAB≌△AQE,.QE=AB. .AB=BC,..QE=BC. :∠QEB=∠ABC=90°，∠QME=∠CMB, .△QEM≌△CBM,.EM=MB. .AB=BC,AE=BP, .AB-AE=BC-BP,即EB=PC 2MB=Pc,品=2 《s25DDP的值不会变化，为1.证明如下。 如图，过点A作AG⊥AD交QF于点G. 3 :∠QAP=∠GAD, ∴.∠QAP-∠GAP=∠GAD- ∠GAP, 即∠QAG=∠PAD. ,AQ⊥QF,AP⊥PD,∴.∠AQG=∠APD. .AQ=AP, '.△AQG≌△APD,∴.DP=QG,AG=AD. ∠BAC=45, .∠GAF=∠GAC-∠BAC=90°-45°=45°， ∠BAC=∠GAF. .AF=AF,∴.△GAF≌△DAF, :.GF-DF,:.QF-DP_QF-QG_GF DF DF GF=1. 例51)A(-6,0),B(0,6),.OA=OB=6, ÷Saas=20A·0B=7×6X6=18 (2)如图1，过点E作EG⊥OA的延长线于点G, 则∠EGD=∠DOB=90°. '∠EDG+∠BDO=90°，∠EDG+∠DEG=90°， ∴∠BDO=∠DEG. 又ED=BD,.△EGD≌△DOB, ..DG=OB=6,DO=EG. 设DA=a,则DO=EG=6十a, ,AG=GD十DA=6+a,∴.EG=GA. ∴∠EAG=45°.∴∠OAF=∠EAG=45°. ,∠AOF=90°，∠OAF=∠OFA, ∴.OF=OA=6,.F(0,-6) N'NOE 图1 图2 (3)如图2，过点O作AF的垂线交AF于点G,交AE 于点O'.过点O作x轴的垂线，交AF于点M,交 x轴于点N,连接OM.此时点M,N即为所求.若在 AF上任取一点M'(异于点M),连接OM,MO',显 然OM=M'O',点M到x轴的最短距离为点M到 x轴的垂线M'N',则有N'M+M'O=N'M+M'O', 显然有N'M+M'o>NO.所以NO的值最小. 【变式题组】 变式1☐(1)如图1，在AB上截取AF,使AF=CD,连 接DF, ,∠ABC=∠ADE=a, ∴.∠ADC-∠ABC=∠ADC-∠ADE, ∠BAD=∠CDE. (FA-CD, 在△FAD和△CDE中，∠FAD=∠CDE, AD=DE, .△FAD≌△CDE(SAS), ∴.∠AFD=∠DCE. .AB=BC,AF=CD,.AB-AF=BC-CD, .'.BF=BD. :∠ABC=a,∠BFD=90°- 2Q, ∠BCE=∠AFD=180°-∠BFD=90°+ 2. 图1 图2 (2)△DMN为等腰直角三角形.证明如下： 如图2，连接BM,DM,DN,MN,延长MN交CE于 点G,连接DG,设AC与DE交点为H, 由(1)得，当a=90时，∠DCE=90+7a=135 ,AB=BC,∠ABC=a=90°，∴.∠BAC=45°， ∴.∠ACE=∠DCE-∠DCA=90. ,AB=BC,M为AC的中点，.BM⊥AC, ∴.∠BMC=∠ECM=90°，∴.BM/CE, .∠MBE=∠CEN. :N为BE的中点，BN=EN. ∠MBN=∠GEN, 在△BMN和△EGN中，BN=EN, ∠MNB=∠GNE, .'.△BMN≌△EGN(ASA), .BM=EG,MN=GN,∠BAC=45°，BM⊥AC, .BM=AM,∴.AM=EG. ,∠DHC=∠DAM+∠ADE=∠DEG+∠ACE, 参考答案与提示 ∠ADE=∠ACE=90°，∴∠DAM=∠DEG. (DA-DE, 在△DAM和△DEG中，∠DAM=∠DEG, MA-GE. ∴.△DAM≌△DEG(SAS), ∴.DM=DG,∠ADM=∠EDG, .∠MDG=∠ADE=90°， ∴△MDG为等腰直角三角形. ,MN=GN,∴.△DMN为等腰直角三角形. 变式2]D提示：如图，过点G 作GH⊥BC交BC于点K,交 AF的延长线于点H,连接BH, AN.令∠CAF=a,则∠BAF= 90°-a,∠ABE=a, ∠ABE=∠FAC,故①正确. ,△AEB≌△ADC,.∠ACD=∠ABE=a, '.△ANB≌△ANC,.BN=NC, ∴.AN垂直平分BC,故②正确 ∠GEM=∠AEB=90°-a,∠GME=∠CMF=90°-a, ∴.∠GEM=∠GME,∴.GE=GM,故③正确， ,∠GFK=180°-45°-(90°-a)=45°+a,∠HFK =∠AFB=90°-(45°-a)=45+a, ∴∠GFK=∠HFK,∴∠FGH=∠FHG, FG=FH,∴BG=BH, ∴∠HBC=∠GBC=45°-a, ∴.∠ABH=a+2(45°-a)=90°-a. 又，∠BAH=90°-a,.∠ABH=∠BAH, .'HA=HB, ∴.AF+FG=AF+FH=AH=BH=BG,故④正确. 变式3](1)△OAB为等腰直角三角形.理由如下： ,n=√m-2+√2-m+4,. /m=2, n=4. 过点A作AD⊥OB于点D(图略)， 则OD=2,.OB=4, ∴.△OAD与△ADB均为等腰直角三角形， ∴.∠AOB=∠ABD=45°， ∴，△OAB为等腰直角三角形 (2)①过点A作AM⊥x轴于点M,过点G作GN⊥ x轴于点N(图略)，则△ADM≌△DGN. 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 ,∴.AM=DN,DM=GN. 令D(m,0),由(1)得A(2,2), .DM=|2-m,ON=2+m,.G(2+m,m-2), 即r=2+m, .y=x-4. y=m-2, ②BF2AE=2.理由如下： FE 过点O作OM⊥AD交AD的延长线于点M(图略)， 可证△ABE≌△OAM(AAS). ∴.AM=BE,AE=OM. 又：∠AFB=∠FOB+∠FBO, ∴∠AFB=45°+∠FBO, 而∠AFB=45°+∠FAE,∴.∠FBO=∠FAE. .BF⊥AD,∴.∠AEB=∠OAB=90°， .∠FAE+∠EAB=∠FBA+∠EAB=90°， .∠FBA=∠FAE=∠FBO, .AE=ED,∠ADB=∠DAB,.2AE=AD ,在Rt△FAB中，AE⊥BF,,∠AFB=∠EAB, ∴∠ADB=∠ODM=∠AFB, ∴.△ODM≌△AFE(AAS),∴.DM=FE, .BF-2AE_BE+EF-(AM-DM) FE FE _BE+EF-AM+DM 2EF FE E=2. 变式4-日(1)，√a-3≥0，(b+3)2≥0，√a-3+(b+ 3)2=0,a-3=0,b+3=0,.a=3,b=-3, 点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0，一3). (2).OD⊥BE,AG⊥OA, ∴∠OAG=∠ODB=90°=∠BOE, ∴.∠OED+∠EOD=90°，∠OGA+∠EOD=90°， ∴∠G=∠OEB=∠OFC. 又：在Rt△AOB中，OA=OB, ∴.∠OAB=∠OBA=∠BAG=45°， (∠BEO=∠DGA, 在△EOB和△GAO中，OB=OA, ∠EOB=∠GAO, .△EOB≌△GAO(ASA),.AG=OE=5. (∠FAC=∠GAC, 在△FAC和△GAC中，∠AFC=∠AGC, AC=AC, 3 ∴.△FAC≌△GAC(AAS),∴.AF=AG=5, .OF=AF-OA=2,∴.F(-2,0). (3)AH=OE+HE或AH=OE一HE.证明过程如 下：如图1，当点N在线段OB上时，过点B作BM⊥ OB,延长OE交BM于点M,设OE⊥AN于点P, OE⊥AN,BM⊥OB, ∴.∠AON=∠APO=∠OBM=90°， .∴.∠AOM=∠OMB=∠ANO,∠MBA=∠OBA=45. 又，∠AEO=∠BEK, ∴.∠BKE=∠AOM=∠OMB, ∴∠HNK=∠HKN,.HK=HN. ∠AON=∠OBM, 在△AON和△OBM中，3∠ONA=∠BMO, AO=OB, ∴.△AON≌△OBM(AAS),∴AN=OM. (∠BKE=∠BME, 在△BEK和△BEM中，∠KBE=∠MBE, BE=BE, ∴.△BEK≌△BEM(AAS),.ME=KE, .'.AH=AN-HN=OM-KH=OM-(KE-HE)- OM-KE+HE=OM-EM+EH=OE+HE. yA K B M B M 图1 图2 如图2，当点N在OB的延长线上时， 同理可得，AH=AN一HN=OM一(KE+HE)= OM-KE-HE=OM-EM-EH=OE-EH. 综上，AH=OE+HE或AH=OE-HE. 【能力平台】 1D 22.提示：如图，连接BE, 过点M作MG⊥BE于点 G,过点A作AK⊥AB交 BD的延长线于点K, ,AC=BC,∠ACB=90°， .∠ABC=45°，.∠K=45°， △AKB是等腰直角三角形 ,△ADE是等腰直角三角形， ∴.∠KAD+∠DAB=∠BAE+∠DAB=90°， .∠KAD=∠BAE. (AD=AE, 在△ADK和△AEB中，∠KAD=∠BAE, AK=AB, .△ADK≌△AEB(SAS),∠ABE=∠K=45, .△BMG是等腰直角三角形 .AC=BC=4,∴.AB=4W2 M为AB的中点，BM=2√2， .MG=BG=2,∠BGM=90°，∴.BM>MG, ∴.当ME=MG时，ME的值最小，.ME=BE=2. 3如图，作△ABD关于AD的轴对称图形△AED,AE 交BC于点O, 则∠EAD=21°，AE=AB,DE =BD. 又∠ADC=21°+46°=67°，B4 故∠ADE=∠ADB=180° 67°=113°，∠CDE=113°-67°=46°. 连接CE,可证△CDE≌△ABD≌△AED,∠ODE ∠OED=46°，得OD=OE. 又DC=AE,则AO=CO,∠OCA=∠OAC,∠COE= 2∠ACO,∠COE=2×46°=92°=2∠AC0. 从而∠AC0=46°=∠OAC, 所以∠CAD=∠DAE+∠EAC=67°， 4(1)68°. (2)如图1，过点B作ME的垂线交EM的延长线于 点N,则∠N=90 :∠AEC=90°，.∠N=∠AEC ,∠BAC=90°，∴∠EAC+∠NAB=90°. ,∠EAC+∠ACE=90°，∴.∠NAB=∠ECA. ,△ABC,△ADE是等腰直角三角形， ..AB=AC,AD=AE, ∴.△AEC≌△BNA(AAS),..NB=AE. .AE=AD,..AD=NB. ∠DAE=90,∴∠DAM=90°， .∠DAM=∠N. 参考答案与提示 又，∠DMA=∠BMN, ∴.△DAM≌△BNM(AAS), .DM=BM,即M为BD的中点. 图1 图2 (3)延长AG至点K,使得GK=AG=9,连接DC, CK,BE,设AE交BC于点P,如图2. ,∠BAC=∠EAD=90°， 即∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD, ∠BAE=∠CAD. ,'△ABC,△ADE是等腰直角三角形， .∴.AB=AC,AE=AD (AE=AD, 在△ABE与△ACD中，∠BAE=∠CAD, AB=AC ∴.△ABE≌△ACD(SAS), .S△ABE=S△ACD,BE=CD. ,G是EC的中点，.EG=GC. ∠AGE=∠KGC,AG=GK, ∴.△AGE≌△KGC(SAS), .AE=CK,∠AEG=∠KCG, .AE=KC=AD,∠ACK=∠ACB+∠BCE+ ∠KCG=45°+∠AEC+∠BCE=45°+∠ABC+ ∠BAP=90°+∠BAE=∠BAD, ∴.△AKC≌△BDA(SAS), .AK=BD=18,∠CAK=∠ABD. .∠BAG+∠CAG=90°， ∠ABD+∠BAG=90°，即∠AHB=90° ,AG=9,HG=5, ∴.AH=AG-HG=9-5=4, SAm=2BD·AH=合X18X4=36, :S△ABc=S△ABG+S△AcC=S△cCK+S△AcC=S△ACK= SAABD=36,.S△ABc=36. 5(1)如图1，过点A作AQ⊥AB,交DB的延长线于点Q. 目)培优竞赛超级课堂8年级数学 OB=OD,∠BOD=90°，.∠BDO=45°=∠BDC. AQ⊥AB,ABLy轴，.AQ小轴. 同理，CDy轴，∴.CD∥AQ, ∴.∠Q=∠CDB=45°，∴.∠Q=∠ABQ=45°， ∴.AQ=AB=CD. ∠Q=∠CDP, 在△APQ和△CPD中，∠APQ=∠CPD, AQ=CD, .△APQ≌△CPD(AAS),∴.AP=CP, 即P为AC的中点. D D 图1 图2 (2)如图2，作AH∥EF,交EG的延长线于点H,连 接OH,延长HA,CE交于点P, .∠AHG=∠FEG,∠HAG=∠EFG. 又AG=FG,.△AHG≌△FEG(AAS), ..AH=EF=EC. AHEF,.∠P=90° 由四边形PAOC知∠PAO+∠PC0=180°， 又，∠PAO+∠HAO=180°，.∠ECO=∠HAO ,AH=CE,OA=OC,∴.△AHO≌△CEO(SAS), ∴.OH=OE,∠AOH=∠EOC. ∠BOE+∠EOC+∠COD=90°，∠COD=∠AOB, ∴.∠HOE=∠BOE+∠AOB+∠AOH=90°， ∴.△HOE为等腰直角三角形，∴∠OEG=45°. 6D提示：如图，延长AM,BD相交于点N, 则△ABD≌△AND. '.AB=AN,DN=DB,△ACE≌ △BCN,∴.CE=CN, ∴.AC+CE=AC+CN=AN=A AB,故①正确、 又：BD=DN,BD=号BN=AE,放②正确， 过点C作CF⊥CD交AE于点F, 易证△ACF≌△BCD. .CF=CD,∴.∠CDF=45°，故③正确. 3 易证△CDM≌△NDM,∴.CM=MN, :AC+AB_AM-CM+AM+CM=2,故@正确， AM AM 7(1)A(a,6),B(6,-a), ..OC=OD=6,AC=BD=a :∠ACO=∠BDO=90°，.△ACO≌△BDO, .∠AOC=∠BOD,∴∠AOB=∠COD=90, .OA⊥OB. (2)a=2,.A(2,6),B(6,-2). .OC=OD=6,∴∠OCD=∠ODC=45°. 如图1，过点A作AE⊥AC交CD于点E, ACLy轴，.∠ACE=∠AEC=45, ∴.AC=AE,由(1)知△ACO2△BDO, ..AC=BD,..AE=BD,AE//BD, .∠EAM=∠DBM! :'∠AME=∠BMD,∴.△AME≌△BMD, .AM=BM,.M(4,2). y 图1 图2 (3)如图2，延长PN至点E,使EN=PN,连接EO, 并延长EA,BP交于点F」 ,AN=NQ,∠ANE=∠QNP,EN=PN, .△ANE≌△QNP,∴.AE=QP=BP, .∠AEN=∠QPN,.EAPQ. PQ⊥BP,∴.EF⊥BF. ,OA⊥OB,∠OAE=∠OBP. ,AE=BP,∠OAE=∠OBP,OA=OB,， ∴.△OAE≌△OBP(SAS), ∴.OE=OP,∠AOE=∠BOP,∴.∠EOP=∠AOB =90°，△EOP为等腰直角三角形， ∴.∠OPN=45°，即∠OPN的度数为定值. 第9讲整式的乘法 例1A例2(1)2.(2)64. 丽子、提示：如图，对需要的交点标注字母，