第7讲 等边三角形-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年八年级全一册数学

第7讲 等边三角形 臭情境课堂 完美正三角形 现有边长为1,2,3,4,5的小正三角形若千个，你能否将它们组成一个边长为9的正三角形（每种小正三 角形必须用到)？请给出你的方案，反过来，你会将一个边长为1的正三角形分割成边长为整数、种类不少 于4种的小正三角形吗？（以下给出了其中部分答案，如图所示） 2 图1 图2 图3 图4 典例剖析 类型1等边三角形的判定与性质 ,例1如图，△ABC是等边三角形，D是边BC(端点除外)上一动点，连接 AD.M是AB延长线上的一点，BM=CD,N为AD的中点，连接NC, NM.求证：CN⊥MN. ⑧【学找切入点】先利用N为AD的中点构造全等三角形，再利用“等边三角形三边 相等，三个角均为60”、“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”以及等腰三角形 M “三线合一”的性质得到结论. 变式1-1了已知△ABC是等边三角形.如图，AE∥BC,点D在AB边上，点F在射线AE上，且 DC=DF,过点F作FG⊥AC于点G.求证：AD+AC=2CG. ·39. 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 类型2构造或利用含30°角的直角三角形解题 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，在直角三角形的边和角之间建立起 关系.一般遇到30°角时，常用的添加辅助线的方法是作垂线，构造直角三角形解决相关的线段问 题；遇到60°或120°角时，常利用截长补短法或作平行线等方法构造等边三角形来解决相关问题. 例2如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为AB上一点，BC的 B D 垂直平分线交CD于点E,∠BCD=15°.求证：AE=BC. ⑤【学找切入点】利用底角为15°的等腰三角形构造含30°角的直角三角形，过点B作CD 的垂线，过点A作CD的垂线，构造全等的直角三角形 变式2-1}在等边△ABC中，点D,E分别在BC,AB上，连接AD,CE交于点M,BE=CD (1)如图1，点F在CE的延长线上，且∠CFB=30°.求证：CF=AM十2CM. (2)如图2，连接BM,若BM⊥AM,求证：AM=2CM. 图1 图2 类型3)构造等边三角形解题 构造等边三角形的方法有：作平行线构造等边三角形；构造共顶点的两个等边三角形；利用 30°或60°角构造等边三角形 例3点P为等边△ABC所在平面内一点，连接AP,BP,CP,且∠BPC=120°. (1)如图1，点P在△ABC外部，若BP=2,CP=3,则AP的长为 (直接写出结果). (2)点P在△ABC内部，连接AP BP ①如图2，若AP⊥BP,求CP的值： ②如图3，D为BC边的中点，连接PD,求∠APC一∠CPD的度数. D 图1 图2 图3 ⑤【学找切入点】(1)过点A以AP为边构造等边△APF,证点C在PF上，可得AP=BP+PC.(2)①以 AP为边构造等边△APE,再证∠CPE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质求比值.②倍长PD至点F,连 ·40· 第7讲等边三角形 接FC,构造正△APE,连接EC,证△CEP≌△CFP,得∠CPF=∠CPE. 变式3-1如图，在△ABC中，AB=AC,点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC,∠BAC= 82°，∠DBC=38°，连接AD,CD,则∠ADB的度数为 类型4)等边三角形与最值 例4如图，在等边△ABC中，AB为定长，BF是AC边上的中线，D为BF 上一动点，连接AD,在AD的右侧作等边△ADE,连接EF,当△AEF的周长 最小时，求∠CFE的度数 ⑥【学找切入点】利用△ABD≌△ACE找到点E运动的轨迹，它是一条射线，作对称点 B 的连线，找到周长最小时点E的位置. 变式4-1如图，等腰△ABC中，∠ACB=30°，AC=BC,D为直线BC上一点，以AD为边作等 边△ADE,连接BE,当AE+BE取最小值时，∠BAE的度数为(). A.30° B.45° C.75 D.135° B D C D 变式4-1图 变式4-2图 变式4-23如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M,N分别在AD,AC上，且AM= CN,连接BM,BN,当BM+BN的值最小时，∠MBN的度数为 研讨乐园 例5如图1，在等边△ABC中，点E,F分别在AC,BC上，AE= CF,BE与AF交于点O.连接CO,若CO⊥BE,求证：OB=2AO. ⑥【学找切入点】容易求得∠BOF=60°，利用构造等边三角形或含有30°角的 直角三角形的边长关系着手证明. 【证明】甲的探究.△ABC为等边三角形，∴.∠BAE=∠ACF=60°. 图1 ·41· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 又.AB=CA,AE=CF,∴.△BAE≌△ACF(SAS), .∠ABE=∠CAF, ∴.∠BOF=∠ABE+∠BAO=∠CAF+∠BAO=60° 如图2，在BO上取点G,使得AO=OG,则∠OAG=∠AGO=30°， ∴.∠AGB=150°. 又.∠BOC=90°，∠AOB=120°，.∠AOC=150°. ∠ABG=∠OAC, 在△ABG和△CAO中，∠AGB=∠COA, AB=AC, 图2 .△ABG≌△CAO(AAS),.BG=AO, ∴.BO=BG+OG=2AO. 乙的探究易证△BAE≌△ACF(SAS),∠BOF=60°，∠AOB=120° 如图3，以AO为边作正三角形AOP,连接PB, 易证△APB≌△AOC(SAS), .∠APB=∠AOC=150°. 又.∠APO=60°，∴.∠OPB=90°，∠POB=60°，∠PBO=30°， 图3 ∴.在Rt△PBO中，2OP=BO,即BO=2OA. 丙的探究如图4，过点B作BH⊥AF. 同上方法得∠BOH=60°，则∠OBH=30°，OB=2OH. 易证△ABH≌△BCO(AAS), .OB=AH,∴.OH=OA,则OB=2OA 丁的探究如图5，延长OF至点P,使OP=OB,连接PB,PC, 图4 易得∠BOF=60°，故△BOP为正三角形，易证△ABO≌△CBP(SAS), ∴.∠BPC=∠AOB=120°，AO=PC,.∴.∠CPO=60°. .OC⊥OB,.∠COP=30°， ∴.在Rt△COP中，OP=2PC,∴.BO=2OA. 戊的探究如图6，延长OE至点P,使OP=AO, 可证△AOP为正三角形，易证△ABO≌△ACP(SAS), ∴.CP=BO,∠APC=∠AOB=120° .∠APO=60°，∴.∠OPC=60°，∠PC0=30° 在Rt△PCO中，CP=2OP,∴.OB=2AO. 图5 同学们，请你观察图7，你能探究其他做法吗？ B 图6 图7 ·42· 第7讲 等边三角形 能力平台 ©培优训练 (建议用时40分钟) 4.如图，在边长为6cm的等边△ABC中，点D从点 1.如图，B是线段AC上任意一点（点B与点A,C不 A出发，沿A→B方向以1cm/s的速度运动，点E 重合)，分别以AB,BC为边在直线AC的同侧作等 从点B出发，沿B→C方向以2cm/s的速度运动， 边三角形ABD和等边三角形BCE,AE与BD相 D,E两点同时出发，当点E到达点C时，D,E两 交于点G,CD与BE相交于点F,AE与CD相交 点停止运动.以DE为边作等边△DEF(D,E,F 于点H,连接HB,则下列结论： 按逆时针方向排列)，N为线段AB上一动点，M ①AE=CD;②∠AHC=120°；③HB平分∠AHC; 为线段BC的中点，连接MF,NF,当MF+NF取 ④CH=EH+BH. 最小值时，线段BN的长为(). 其中正确的结论有( A.5 cm B.4.5 cm A.4个 C.4 cm D.3 cm B.3个 C.2个 D.1个 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB, ∠BAD=∠ADE=60°，DE=3,AB=10,CE平分 M E 第4题图 第5题图 ∠ACB,DE与CE相交于点E,则AD的长为 5.如图，已知△ABC是等边三角形，点D在BC的延 长线上，连接AD,E为AD上一点，AE=AC,连 A.4 B.13 C.6.5 D.7 接BE交AC于点F,若AF=2ED=3,则线段CF 的长为 6.如图，等边△ABC的边长为5，点D,E在AB,AC H 上，△DEF为等边三角形，且EF=CF,求AD B D 的长 第2题图 第3题图 3.如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，点 D在线段BC上，连接DF,以DF为边在DF的右 侧作等边△DEF,ED的延长线交AB于点H,连 接EC,则下列结论：①∠AHE十∠AFD=180°； ②2AF=BC;③点D在线段BC上（不与B,C重 合>运动，当其他条件不变时，部是定值：④点D 在线段BC上（不与B,C重合）运动，当其他条件不 变时，.5BC十C是定值其中正确的是( DC A.①③④ B.①②④ C.①②③④ D.①②③ ·43· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 7.已知等边△ABC和等腰△CDE,CD=DE, A.S△ABC+S△ABC=S△AB'C+S△A'BC ∠CDE=120°. B.S△ABC+SAAB'C=SAA'BC十S△ABC (1)如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE C.S△ABc+SAA'Bc=S△AB'C+S△ABC 的中点，连接AD,PD,则线段AD与PD之间 D.S△ABC+S△ABrC+S△A'BC=3S△ABC 的数量关系为」 (2)如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外 部，P是BE的中点，连接AD,PD,则(1)中的 60 结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不 B C 成立，请说明理由。 第8题图 第9题图 (3)如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重 9.如图，在四边形ABCD中，AB=6,AD=BC=3,E 合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当 为AB边的中点，且∠CED=120°，则DC边长度 PD最大时，∠BPC的度数为 的最大值为 10.在△ABC中，已知∠CAB=60°，D,E分别是边 AB,AC上的点，且∠AED=60°，ED+DB= CE,∠CDB=2∠CDE,则∠DCB= D 图1 11.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上， 且∠AED=∠A=60°，DB+DE=EC,∠BDC= 2∠EDC,求∠BCD的度数. 图2 E 图3 ⑧竞赛训练 (建议用时30分钟) 8.(经典，“希望杯”)如图，在△ABC中，∠ACB 60°，且AC>BC.分别以△ABC的三条边为一边， 向外作等边△ABC',△AB'C,△A'BC,则下列关 系正确的是(). ·44·ED=AC.∴.∠DEC=40°，DE=EC ∴.∠EDC=∠ECD=70°..∠BDC=180° ∠ADE-∠EDC=180°-80°-70°=30. I在△ABC中，令∠B=36°.分情况讨论： ①分割线不过点B. 设分割线是AD,此时△BAD的3个内角是36°，72°， 72(图1)，或者36°，36°，108° 若△BAD的3个内角是36°，36°，108°，则△ADC的 3个内角是144°，18°，18°（图2），或72°，54°，54°（图3）， 或36,72°，72（图4、图5）. 72 36 1088 B<136 208cB& 361448 D D C 图1 图2 3654 36 B6108X254cB6”102722 D 图3 图4 36972 B436108以72 36C D 图5 ②分割线过点B! 设分割线是BE,此时△AEB的3个内角是132°， 24°，24°，△ECB的3个内角是156°，12°，12°（图6）. A 132°24E B24 129 156 12C 图6 综上，原三角形的另外2个内角有5种情况：①108°， 36°：②126°，18°；③90°，54°，④72°，72°；⑤132°，12°. 第7讲等边三角形 例1如图，过点A作AP∥BC交 CN的延长线于点P,连接PM, MC,.'.∠APN=∠DCN. N是AD的中点， ..AN=DN. M ,∠ANP=∠DNC,∴.△APN≌△DCN, ∴.AP=DC=BM,PN=CN. 2 参考答案与提示 :APCD,∴.∠PAC+∠ACB=180° :∠ABC=∠ACB=60°，∴.∠PAC=∠MBC=120. :AC=BC,.△PAC≌△MBC, ∴.PC=MC,∠PCA=∠MCB. ,∠PCA+∠PCB=60°，∴∠MCB+∠PCB= ∠PCM=60°，.△PCM是等边三角形， PN=CN,.CN⊥MN. 例2如图，过点B作BM⊥CD交CD BRM 的延长线于点M,过点A作AH⊥ CD于点H. ,E为BC垂直平分线上的点， .'.EB=EC, ∠EBC=∠ECB=15, ,∴∠BED=2∠BCD=30°， ∴在R△EBM中，BM=BE,∴BM=CE. ∠ACB=90°，∴.∠ACH=90°-15°=75， ∴.∠ACH=∠CBM=75°. (∠ACH=∠CBM, 在△ACH和△CBM中，∠AHC=∠CMB, AC=BC, ∴.△ACH≌△CBM(AAS),∴.CH=BM. 又：BM=2CE,六CH=HE. 1 AH垂直平分CE,AE=AC,AE=BC 例3(1)，△ABC是等边三角形，∴.AB=AC=BC, ∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， .∠BPC=120°，.∠ABP+∠ACP=360°- ∠BAC-∠BPC=180°. 如图1，将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到 △ACF,点P的对应点为点F,则AF=AP,∠ACF= ∠ABP,∠FAC=∠BAP,CF=BP=4,∠F=∠APB, .∠ACF+∠ACP=∠ABP+∠ACP=180°， 点C在线段PF上， I∠PAF=∠FAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC= ∠BAC=60°， △APF是等边三角形，.AP=FP. .FP=CF+CP=BP+PC=2+3=5,..AP=5, 故答案为5. 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 图1 图2 (2)①AP⊥BP,∴∠APB=90°， 如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACE, 点P的对应点为点E,连接PE, 则AE=AP,CE=BP,∠CAE=∠BAP,∠AEC= ∠APB=90°，∴.∠EAP=∠CAE+∠CAP= ∠BAP+∠CAP=∠BAC=60°， .△EAP是等边三角形，∴∠APE=∠AEP=60°， ∴∠CEP=∠AEC-∠AEP=90°-60°=30°. :∠CPE=360°-∠APB-∠APE-∠BPC=360 -90°-60°-120°=90°， CE-2CP,.BP-2CP, =2. ②如图3，延长PD到点F,使 DF=PD,连接CF,将△ABP 绕点A逆时针旋转60°，得到 △ACE,点P的对应点为点 E,连接PE, B D 同理可知，△EAP是等边三角 P- 图3 形，∠APE=∠AEP=60°. :D是BC的中点，BD=CD. (BD-CD 在△BPD与△CFD中，∠BDP=∠CDF, PD-FD, .△BPD≌△CFD(SAS), ∴.CF=BP,∠FCD=∠PBC. BP=CE,..CF=CE. :∠BPC=120°，∴.∠PBC+∠PCB=180°- ∠BPC=6O°，∴.∠FCP=∠FCD+∠PCB= ∠PBC+∠PCB=60°. :∠AEC+∠APC=∠APC+∠APB=360° ∠BPC=240°，∴.∠PCE+∠PAE=360° (∠AEC+∠APC)=120°， .∠PCE=120°-∠PAE=60°， ∴.∠ECP=∠FCP. CE=CF, 在△CEP与△CFP中，∠ECP=∠FCP, CP=CP, 2 ∴.△CEP≌△CFP(SAS),∴∠CPE=∠CPF, .∠APC-∠CPD=∠APC-∠CPE=∠APE=60°. 例4如图，连接CE,易证 ---M △BAD≌△CAE, .∠ABD=∠ACE. .AF=CF, D B ∴.∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，.点E在射线 CE上运动.作点A关于直线CE的对称点M,连接 FM交CE于点E',当点E在点E处时，AE十EF的 值最小，即△AEF的周长最小 .CA=CM,∠ACM=60°，∴.△ACM是等边三角形 .'AF=CF,..FMLAC,..CFE'=90. 【变式题组】 变式1-可如图，过点D作DM LAC H 于点M,DN⊥FA交FA的延 、F 长线于点N. D ∠DAM=∠DAN=60°， ∴.DM=DN,∠ADM=∠ADN =30° .DC=DF,.Rt△DMC≌Rt△DNF, ∴.∠MDC=∠NDF,∴.∠CDF=∠MDN=60. :DC=DF,∴.△DFC为等边三角形， ..FC=DF. 连接CF,作FH⊥BA交BA的延长线于点H. :∠FAG=∠FAH=60°， ∴PG=FHAG=AH=AE .F℃=FD,∴.Rt△FGC≌Rt△FHD,,∴.CG=DH. AC-CG=AG=AH=DH-AD=CG-AD, 即AD+AC=2CG. 变式2](1)如图1，作CN⊥CF交AD于点N,∠N= 30°，△ACN≌△CBF(AAS),CF=AN=AM+2CM. (2)如图2，作AN⊥EC交EC于点N,证明△CAN≌ △ABM,.AM=CN. 又.AM=2MN,∴.CM=MN,∴.AM=2CM. 图1 图2 变式3]30°.提示：如图，作∠ABD'=∠ABD,BD'= BD,连接CD',AD'」 AB=AC,.∠ABC=∠ACB. ∠BAC=82°，.∠ABC=49° ,∠DBC=38°，.∠ABD=∠ABC-∠DBC=11°. (AB=AB, 在△ABD和△ABD'中，∠ABD=∠ABD', BD-BD', ∴.△ABD≌△ABD'(SAS),∴.∠ABD=∠ABD'= 11°，∠ADB=∠AD'B,AD=AD', .∠D'BC=∠ABD'+∠ABC=11°+49°=60° .BD=BD',BD=BC,..BD'=BC, ∴△D'BC是等边三角形， .D'B=D'C,∠BD'C=60°. (AD'=AD', 在△AD'B和△AD'C中，DB=D'C, AB=AC, ..△AD'B2△AD'C(SSS), ∠ADB=∠AD'C=∠BDC=30, ∴.∠ADB=30° E 变式3-1图 变式4-1图 变式4]B提示：如图，过点A作AF⊥BC于点F,过 点E作EP⊥AC于点P,连接FP, ,∠ACB=30°，.∠FAC=60° 在等边△ADE中，∠DAE=60°=∠FAC,AD=AE, .∠DAE-∠DAC=∠FAC-∠DAC, 即∠FAD=∠PAE, |∠AFD=∠APE, 在△FAD和△PAE中，∠FAD=∠PAE, AD=AE, ∴.△FAD≌△PAE(AAS),∴.AF=AP :∠FAC=60°，∠AFP=60°，AP=PF. ,点D为直线BC上一点，∴点E在直线EP上运动， 2 参考答案与提示 :∠PFC=∠AFC-∠AFP=30°=∠ACB, PF=PC=AP,即点P为AC的中点. 连接CE,即AE=CE,∴AE十BE=BE十CE≥ BC,当点B,E,C共线，即点E为图中的点E1时， AE+BE=AE1十BE1=BC为AE十BE的最小值， 连接AE1,则∠E1AC=∠ACB=30°， :AB=AC,∠BAC=180,30°=75， 2 ∴.∠BAE1=∠BAC-∠E1AC=45°， .当AE+BE取最小值时，∠BAE的度数为45° 变式4-230°.提示：如图，在BC 上方作CH⊥BC,CH=BC,连 接NH,BH. 易证△ABM≌△CHN, ..BM=HN. ,BM+BN=HN+BN≥BH, ∴.当B,N,H三点共线时，BM十BN的值最小 .△ABM≌△CHN, ∴∠ABM=∠CHB=∠CBH=45°. ∠ABD=60°，.∠DBM=15°， .∠MBN=45°-15°=30°， .当BM+BN的值最小时，∠MBN的度数为30°. 【能力平台】 A 2D 3B提示：，∠A+∠HDF=60°+120°=180°， ∴.∠AHD十∠AFD=180°，∴.①正确 ,F为AC的中点，BC=AC=2AF,∴.②正确. 记C的中点为G,若点D与点G重合，则部-0， ∴③错误 易证△DFG≌△EFC(SAS),∴.CE=DG, :0.5BC+EC_CG+DG-1,④正确. DC DC ④B提示：如图，过点E作ES⊥AB于点S,连接FC, 设AD=t,则BE=2t,BS=t,.DS=EC=6-2t. :∠SDE=∠CEF,且DE=EF, .△SDE2△CEF,∴∠FCE=∠ESD=90°， ,',点F在过点C且与BC垂直的直线上运动，作点M 关于FC对称的点G,连接FG,GN,过点G作GN1⊥ AB于点N1,.MF+NF=GF+NF≥GN≥ 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 GN1,此时BN=BN1=2BG=4.5cm 第4题图 第5题图 日子.提示：如图，在BC上截取BG=CF,AF CG=3.过点D作QH∥AB,分别交AC,BE的延长 线于点Q,H,易证DE=DH=1.5. 设等边△ABC的边长为m,易证△ABG≌△BCF, 设∠BAG=∠CBF=x. AB=AE,∴.∠ABE=∠AEB=60°-x, ∠BAE=180°-2(60°-x)=60°+2x, ∠DAG=∠DGA=60°+x,∴.DA=DG=m+ 1.5,.CD=m-1.5=CQ=DQ, ..QH=QD+DH=m,..QH=AB, ∴.△ABF≌△QHF,AF=FQ, 8=m-3计m-1.5,m=克则CF=是 62.5.提示：如图，作EM∥AB 交BC于点M,连接DM. ,△ABC为等边三角形， .∠EMC=∠B=60°，∠C=60°， '.△EMC为等边三角形. 易证△DEM≌△FEC(SAS),∴.DM=DE ,∠AED=180°-∠DEM-60°=120°-∠DEM= 120°-∠DME=∠DMB, 又：∠DAE=∠B=60°， ∴.△ADE≌△BDM(AAS), :.AD=DB,:AD-AB-2.5. 2 7(1)AD=2PD.提示：∠CDE=120°， ∴.∠EDB=60° 又，∠B=60°， △BDE为等边三角形..BD=DE=CD. AB=AC,BD=CD,∠BAD=∠DAC=30° DE=DB,P是BE的中点，PD⊥AB. 在Rt△APD中，∠PAD=30°，.AD=2PD. 2 (2)第(1)题中的结论仍然成立.理由如下： 如图1，连接AP并延长至点Q,使得PQ=AP, 连接QE并延长交CA的延长线于点G,连接DQ. P为BE的中点，PB=PE 又∠EPQ=∠BPA,PQ=AP,∴.△PEQ≌△PBA, ∴.QE=AB,∠EQP=∠BAP,∴.EQ∥AB, ∴∠G=∠BAC .'△ABC为等边三角形，∴.AB=AC,∠BAC=60° ∴.∠G=60°，QE=AC 又，∠EDC=120°， .∠GED+∠ACD=360°-∠EDC-∠G=180°. 而∠GED+∠QED=180°，.∠QED=∠ACD. ED=CD,.△QED≌△ACD, ∴.DQ=DA,∠EQD=∠CAD, .∠DAQ=∠DQA. 又PA=PQ,∠APD=90°. :∠DAC=∠EQD,.∠EQD+∠GAD=180°， .∠G+∠ADQ=180°， .∠ADQ=180°-60°=120°，∴∠DAQ=30°， ∴.在Rt△DAP中，AD=2PD. G 图1 图2 (3)60°，提示：如图2，作∠PDF=120°，且DP= DF,连接PF,CF」 易证△DBP≌△DCF,则PB=CF.∴.PF≤PC+ CF=PC十PB,PF取最大值时，PD取最大值， 当且仅当P,C,F三点共线时取“=”，此时∠BPC=60°. 8A提示：如图，在线段AC上截取CD=CB,连接 B'D,C'D,DB. ,BC=CD,∠ACB=60°， ∴△BCD是等边三角形， 可得∠CBD=60°，BD=BC: ,△BAC是等边三角形， ∴.∠ABC'=60°，BC'=AB. 于是∠ABC'+∠ABD=∠CBD+∠ABD, 即∠DBC'=∠CBA..△BC'D≌△BAC. BC=DC,BD=CD,∠ACB=∠B'CD, .△BAC≌△DB'C.于是△BC'D≌△DB'C. ..DC'=B'C=AB',B'D=BC'=AC', 又，AD=AD,.△ACD≌△DB'A, 故SAABC十SAARC=SAACD十S△BC'D+S△BCD· 又，SARD=S△BCA', '.S△ABC十SAABC=SAABD+SADB'C十SABCA'=S△ABC +S△ABC: D M N 第8题图 第9题图 99.提示：如图，将△ADE沿DE翻折得到△MDE, 将△BCE沿EC翻折得到△NCE,连接MN. 由翻折的性质可知，AD=DM=3,AE=EB=EM= EN=3,CB=CN=3,∠AED=∠MED,∠BEC ∠NEC. ,∠DEC=120, .∠AED+∠BEC=180°-120°=60°， ∴.∠MED+∠NEC=60°，∴∠MEN=60°， ∴.△EMN是等边三角形，..MN=EM=EN=3. CD≤DM+MN+CN,∴.CD≤9， .CD的最大值为9. 1020°.提示：如图，延长AB到点F,使BF=AD,连 接CF.易知△ADE为等边三角形，则∠EDB=120° 又因为CE=ED+DB=AD十DB=DB+BF=DF, 所以△ACF也为等边三角形， 由∠EDB=120°，∠CDB=2∠CDE知∠CDB=80°， 在等边△ACF中，由AD=BF知CD=CB, 因此∠DCB=180°-2∠CDB=20°. D 第10题图 第11题图 I如图，过点B作BFDE交AC于点F, ,△ADE为等边三角形，△ABF为等边三角形， .∠DEC=∠CFB=120°，AF=BF. 2 参考答案与提示 .'DB+DE=EC,..AF=BF=AB=EC, ∴.DE=AE=CF, .△EDC≌△FCB,∠FCB=∠EDC. :∠ADE=60°，∠BDC=2∠EDC, ∴.∠FCB=∠EDC=40°，.∠ECD=20°， ∠DCB=20° 第8讲等腰直角三角形和直角三角形 例1如图，作EF⊥AE交射线AN于点F, ,∠ACB=90°，AC=BC,∴.∠ABC=∠BAC=45°. 又·ANBC,∴∠EAD=∠BAC=∠F=45°， '.AE=EF,∠CAD=∠CED=90°， ∴.∠ECA+∠ADE=∠EDF+∠ADE=180°， ∴∠EDF=∠ECA. ∠EDF=∠ECA, 在△EDF和△ECA中， ∠F=∠EAC, EF-AE, .△EDF≌△ECA(AAS),.CE=ED. y B XG) 例1图 例2图 例2如图，过点A作AE⊥AC,交CD的延长线于点E. :∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠3. :∠ABC+∠ADC=360°-90×2=180°，∠ADE+ ∠ADC=180°，∴.∠ABC=∠ADE. .AB=AD,∴.△ABC≌△ADE,.AC=AE=2, ∴.S四边形ABCD=S△ABc十S△ACD=S△ADE十S△ACD= SAe=2×2X2=2 例3D提示：AD平分∠BAC,∴.∠EAD=∠CAD. 又，CE⊥AD, .∠AEC+∠EAD=∠ECA+∠CAD, ∴∠AEC=∠ACE,∴.AE=AC,∴.①正确. 如图1，过点B作BM⊥BC交CE的 M-- B 延长线于点M,则BM∥AC, ∴.∠MBE=∠BAC=45°. :∠ECD+∠CDA=9O°=∠DAC+A 图1 ∠CDA,