第6讲 等腰三角形-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年八年级全一册数学

第6讲 等腰三角形 臭情境课堂 古希腊几何学(4)一从欧几里得到阿基米德 欧几里得（出生于约公元前300年）将前人对数学研究的一些成果加以整理，写成《几何原本》，这本书是 人类历史上第一本数学教科书，此后数学的每一个分支都是从这本书发展而来的.这本书直到明朝中叶以后 才传入中国.目前初中所学的平面几何学，内容仍以这本书为主.欧几里得本身并没有什么重大的数学突破， 但他是一个数学的集大成者 阿基米德是有史以来最伟大的三位数学家之一，另外两位是牛顿和高斯.阿基米德计算出了各种体（如 球体和圆柱体)的表面积和体积，并通过大量的实验发现了杠杆原理， EUROPA CEPT 1983 Rf3 EAAHNIKH AHMOKPATIA 80 欧几里得 阿基米德 g 典例剖析 类型1等腰三角形的概念、性质与判定 例1在如图所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固 钢架，若AP1=P1P2=P2P3==P13P14=P14A,则∠A P 的度数是 A P P P P。P,N ⑤【学找切入点】观察图形的特点可知，焊上的钢条一定为奇数根，且最中间的那一根钢条与∠A构成一个 等腰三角形. 变式1-13如图，已知∠AOB=a,在射线OA,OB上分别取点A1, B1,使得OA1=OB1,连接A1B1,在B1A1,B1B上分别取点A2, A B2,使得B1B2=B1A2,连接A2B2,…,按此规律，记∠A2B1B2= A2 01,∠A3B2B3=02,…,∠Am+1BnBn+1=0n,则02027-02o26的值为O B .B.BB.B ·32· 第6讲等腰三角形 类型2)等腰三角形的“三线合一” 例2如图，在△ABC中，CA=CB,D为AB边的中点，∠CED=∠CFD=90°， CE=CF.求证：∠ADF=∠BDE ⑥【学找切入点】连接CD,由等腰三角形“三线合一”的性质得CD LAB,再证Rt△CED≌ Rt△CFD 变式2-1如图，在Rt△ABC中，AB=AC,AF⊥BF于点F,O是BC边的中点，求∠BFO的 度数 类型3)等腰三角形中的多解问题 例3在△ABC中，AB=AC,∠BAC=140°. B 图1 图2 备用图 (1)如图1，D为BC边上一定点（不与点B,C重合），将△ABD沿AD翻折至△AB'D,连接 B'C,求∠BAD与∠DCB'的数量关系. (2)如图2，当点D在BC边上运动时，仍将△ABD沿AD翻折至△AB'D,连接B'C. ①当AB'⊥BC时，求∠AB'C的度数； ②当△DB'C为等腰三角形时，求∠BAD的度数. ⑤【学找切入点】(1)由等腰三角形的性质、等边对等角及折叠前后对应角、边相等求解.(2)①根据点B'在 BC上方及下方分类讨论求解.②一方面对点B'在BC的上方及下方分类讨论，另一方面对△DB'C的哪两边 相等分类讨论. 变式3-1在△ABC中，若AB=AC,过其中一个顶点的一条直线将△ABC分成两个等腰三角 形，请直接写出△ABC的顶角的度数. ·33· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 类型4)构造等腰三角形解题 一、如图，作平行线构造等腰三角形（通常作腰或底的平行线构造等腰三角形，作角平分线的 平行线也可构造等腰三角形) B D 例4如图，在△ABC中，AB=AC,过点C作BC的垂线，交BA的 延长线于点D,延长AC至点E,使CE=DB,连接DE交BC的延长E 线于点F,冰祭的位 ⑤【学找切入点】过点D作DPEC,交BC的延长线于点P,可证△ECF≌△DPF,从而DP=EC=DB. 由等腰三角形“三线合一”的性质有BC=CP. 变式4-13如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别为AB,AC上的点，DG平分∠BDE,EA= ED.F为AC上一点，∠GFC=∠BDG,EG⊥BC.求证：EF=EA. 二、利用二倍角的关系构造等腰三角形（作角平分线或延长二倍角的一边） 例5如图，△ABC为等边三角形，D,E分别为CB,AC的延长线上一点， ∠D=2∠E.求证：CE=BD十AD. ⑤【学找切入点】方法一：延长BD至点M,使DM=DA,构造与∠E相等的角，证明 △ABM≌△BCE.方法二：在CE上截取CN=BD,再证△ABD≌△BCN. 变式4-2如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点E,若E为BD的中点，∠BAC= 2∠ACD,AE=2,CE=8,求AB的长 E ·34· 第6讲等腰三角形 类型5)等腰三角形的综合运用 例6已知A(0,a),B(b,0),其中a,b均为正数，且满足(a一n)2+√b-n=0. (1)如图1，当n=2时，直接写出△AOB的面积是 (2)如图2，C是第一象限内一点，P是y轴正半轴上一动点，BC⊥PC,D在线段PC上，且 CB=CD,连接AD,E为线段AD的中点，再连接OE,CE,求证：OE⊥CE (3)如图3，P是y轴负半轴上一动点，以BP为斜边作等腰直角△BCP,点C在直线BP的 上方，连接OC,若M为线段OC的中点，N为线段AP的中点，连接MN,求证：△MON始终是 等腰直角三角形. y y A A B B B 图1 图2 图3 )【学找切入点】(2)由点E是AD的中点，倍长CE至点F,连接OF,OC,FA,可证△AEF≌△DEC;再证 △FAO≌△CBO,得OF=OC,由“三线合一”可得结论.(3)由△CBP为等腰直角三角形，在点C处构造共顶 点的等腰直角三角形，故过点C作CG⊥OC,证△COP≌△CGB,再证△AOC≌△BOC,得△CNO为等腰直角 三角形，即可得出结论. 变式5-1在平面直角坐标系中有一点A(a,b),又a十5十(b+5)2=0. (1)直接写出点A的坐标为 (2)如图1，B是y轴负半轴上一点，点C在第四象限，若AB=BC,∠ABC=90°： ①求证：∠B0C=45°； ②D是x轴正半轴上一点且OD=OA=5√2，当点B在y轴负半轴上运动起来时，线段DC 的最小值为 (3)如图2，在(2)的条件下，若OC平分∠ACD,求点C的坐标. y↑ y D D B B 图1 图2 ·35· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 研讨乐园 例7如图1，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交 AC于点F,且AF=EF,求证：BE=AC. ⑧【学找切入点】通过关键条件D为BC的中点、AF=EF构造辅助线.题中有中点可中 线倍长构造全等、作垂直构造全等、取中点构造中位线，或从结论出发构造包含这两条线段 的两个三角形，并证其全等. 【证明】方法一如图2，延长AD至点G,使DG=AD,连接BG. ,AD是BC边上的中线，.BD=CD, (CD=BD, 图1 在△ADC和△GDB中，∠ADC=∠GDB, AD=GD, .△ADC≌△GDB(SAS),∴.∠1=∠G,AC=GB .AF=EF,∴.∠1=∠2=∠3， ∠G=∠3，.GB=BE,∴.BE=AC 方法二如图3，延长ED到点G,使DG=DE,连接CG. ,AD是BC边上的中线，.BD=CD BD=CD, 在△BDE和△CDG中，∠BDE=∠CDG, 图2 DE=DG, ∴.△BDE≌△CDG(SAS),∴.BE=CG,∠3=∠G .AF=EF,∴.∠1=∠2=∠3，∴.∠G=∠1，∴.AC=CG,∴.BE=AC. 方法三如图4，延长AD至点G,使得BG=BD,易证△EBG≌△ACD,'.BE=AC. B D G B G D 图3 图4 图5 方法四如图5，可以在AD边上取点G,使得CD=CG, 易证△EBD≌△ACG,∴.BE=AC.(对称思想) 方法五如图6，过点B作BG⊥AD交AD的延长线于点G,过点C作CH⊥AD于点H, 先证△BDG≌△CDH,再证△EBG≌△ACH,.∴.BE=AC. 方法六如图7，连接EC,过点A作AG⊥BE交BE的延长线于点G,过点E作EH⊥AC 于点H.由D为BC的中点，可知S△ABD=S△AcD,S△EBD=S△ECD, SAD-SaD=SAm-SaD,即SMe=SE,2BE·AG=2AC·EH. ·36· 第6讲等腰三角形 :SAas=Sa,号AP·EH=EF·AG. 又.AF=EF,∴.AG=EH,.BE=AC G D Y D 图6 图7 图8 方法七如图8（构造三角形中位线），取CF的中点G,连接DG,可得DG∥BF,DG 专BF,∴∠2=∠.：A=E,∠1=∠2=∠3，AG=DG, ∴.BE=BF-EF=2AG-AF=2(AF+FG)-AF=AF+2FG=AC.(类似地，取BE的 中点，构造中位线也可证明BE=AC) 能力平台 ©培优训练 (建议用时40分钟) A,直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰 1.如图，若AB=AC,BG=BH,AK=KG,则∠BAC 三角形 的度数为(). B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边 A.30° B.32 C.36° D.40° 三角形 C.等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角 三角形 D.等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角 9 三角形 4.如图，∠BOC=a,点A在OB上，且OA=1,按下 第1题图 第2题图 列要求画图：以点A为圆心、1为半径向右画弧交 OC于点A1,得第1条线段AA1;再以点A1为圆 2.如图，在Rt△ABC中，以△ABC的一边为边画等 心、1为半径向右画弧交OB于点A2,得第2条线 腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他 段A1A2;再以点A2为圆心、1为半径向右画弧交 边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多 OC于点A3,得第3条线段A2A3…这样画下去， 为(). 直到得第n条线段之后就不能再画出符合要求的 A.7 B.6 C.5 D.4 线段了，则当a=20°时，n= ,a的取值范 3.如图，M,A,N是直线1上的三点，AM=3,AN= 围为 (用含有n的代数式表示). 5,P是直线L外一点，且∠PAN=60°，AP=1,若 A C 动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停 A 止，在△APQ的形状变化过程中，依次出现的特殊 AA,A 三角形是( 5.已知等腰三角形ABC的三边长a,b,c均为整数， 且满足a+bc+b十ca=24,则这样的三角形共有 M 个 ·37· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 6.在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，E是射线 ⑧竞赛训练 (建议用时20分钟) CB上一个动点，作AF⊥AE,且AF=AE,连接BF 9.如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=20°，点M,N 交线AC于点G省品-则瓷 分别在边AC,BC上，且满足∠BAN=50°， 7.在等边三角形ABC所在的平面内求一点P,使 ∠ABM=60°，则∠NMB= △PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形，具有这 样性质的点P有个 8.(2025,黑龙江中考)如图，在△ABC中，AB=AC, 设∠BAC=a,D是直线BC上一动点，连接AD, 将线段AD绕点A顺时针旋转a至AE,连接DE, BE,过点E作EF⊥BC,交直线BC于点F.探究 第9题图 第10题图 如下： 10.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A= (1)若a=60°： 20°，D是AB边上的一点，AD=BC,连接CD,则 ①如图1，当点D在CB的延长线上时，求证： ∠BDC= BF=DF+BC; 11.将1个三角形分成2个等腰三角形，若原三角形 ②如图2，当点D在BC的延长线上时，试探究 的1个内角是36°，则原三角形的另外2个内角有 线段BF,DF,BC之间存在怎样的数量关系， 多少种可能的情况？写出所有可能的情况， 请写出结论，并说明理由. (2)若a=120°，当点D在CB的延长线上时，如图3， 猜想线段BF,DF,BC之间又有怎样的数量关 系，请直接写出结论，不需要证明. 图1 图2 图3 ·38·图1 图2 当点B在直线BC的上方时，如图2. .B'D⊥BC,.∠BDB'=90°， 将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B处， ∠ADB=∠ADB=99=45,∠BAD=180 ∠B-∠ADB=180°-20°-45°=115°. 7(1)如图1.(2)6.(3)9.(4)如图2. B C C B 图1 图2 8C提示：如图，分别作点P关 于OA,OB的对称点P1,P2, 连接PP1,PP2,OP1,OP2,O B P1P2.P1P2与OA,OB分别 交于点M,N,此时△PMN的周长最小，为PP2 ,∠AOB=30°， ∴.∠P1OP2=60°，且OP1=OP=OP2, △OP1P2为等边三角形， ,.∠MPN=∠OPM+∠OP,N=120°，故①正确. 此时△PMN的周长即为P1P2,而P1P2=OP1= OP2=OP=8,即△MNP的周长的最小值为8，故 ④正确. 920215 2 提示：，三边垂直平分线的交点在原点， ∴点O为所有等边三角形的外心和内心，.OA22: 平分∠C221A2021B221，∠OA2021B221=30° A1B1,A2B2,A3Bg,…的长依次为3,23,33，…， ∴.A221B2o21的长为2021V3, ,OC221垂直平分A221B2021, ·点A22到y轴的距离为2021V5 2 10(0,1);(3.5,0).提示：如图1，将点A向下平移 参考答案与提示 2个单位长度到M(一1,3)，点M关于y轴的对称点 为N(1,3),连接BN交y轴于点P(0,1),当点E和 点P重合时，AD十DE+BE的值最小，此时E(0,1). y A 0 图1 图2 如图2，将点A向下平移2个单位长度到M(一1,3)， 点C(6,-1)向左平移1个单位长度到H(5,-1), 连接MH交x轴于点Q(3.5,0),当点E和点Q重合 时，AD+DE+EF+CF的值最小，此时E(3.5,0). 团如图，作△ABD关于AD的轴 对称图形△AED,连接CE, 则∠EAD=21°，AE=AB,DE B46O D =BD. 易知∠ADC=21°+46°=67°， 故∠ADE=∠ADB=180°-67°=113°，∠CDE= 113°-67°=46°. DC=AB,.△CDE≌△ABD≌△AED. 设O为AE与DC的交点 ∠CDE=∠OED=46°，.OD=OE. 又DC=AE,.OA=OC, ∴.∠OCA=∠OAC,故∠COE=2∠ACO. 易知∠COE=2×46°=92°， ∴.2∠AC0=∠COE=92°， 从而∠ACO=46°=∠OAC. ∴.∠CAD=∠OAC+∠EAD=67°. 第6讲等腰三角形 例112°. 例2如图，连接CD :AC=BC,D为AB的中点， ∴.∠ADC=∠BDC=90°（也可用SSS 证△ACD≌△BCD). 又，CE=CF,∠CED=∠CFD=90°，CD=CD, .∠FDC=∠EDC(也可用HL证Rt△CFD≌ Rt△CED), ∴∠ADC-∠FDC=∠BDC-∠EDC, ∴∠ADF=∠BDE. 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 例3(1)AB=AC,∠BAC=140°， ,.∠ABC=∠ACB=20°. D为BC边上一定点（不与点B,C重合），将 △ABD沿AD翻折至△AB'D, ∴∠BAD=∠B'AD,AB=AB', ∴.∠B'AC=140°-2∠BAD,.∠AB'C=∠ACB= 2180-140+2∠BAD)=20+∠BAD, ∴.∠DCB'=∠ACB'-∠ACB=20°+∠BAD-20°= ∠BAD. (2)①如图1，当点B'在BC下方时， ,AB'⊥BC,AB=AC,∴.∠BAB'=∠CAB'=70°， ∠BAD=∠BAD=35°， ∴∠DCB'=∠BAD=35. ,AB⊥BC,∠AB'C=90°-35°=55. 图2 如图2，当点B'在BC上方时， ,AB'⊥BC,AB=AC,∴.∠BAH=∠CAH=70, 当点D在BC边上运动时，仍将△ABD沿AD翻折 至△AB'D, ∴AB=AB'=AC,.∠AB'C=∠ACB'=35°. 综上，∠AB'C=55或35° ②当点B'在BC下方时，设∠BAD=x,则∠DCB'=x, .∠ADC=x+20°，∴.∠ADB=160°-x= ∠ADB',.∠CDB'=140°-2x, .∠DB'C=180°-∠DCB'-∠CDB'=x+40° 若DC=CB',如图3，则∠CDB'=∠CB'D, 140°-2x=x+40,∴x=(19）月 图3 图4 若DB'=B'C,如图4，则∠B'CD=∠B'DC, 2 x=140-2红，x=(2g9）” 若DC=DB',则∠DCB'=∠DB'C,∴.x=x+40°， 则方程无解。 当点B'在BC上方时，设∠BAD=x, 当点D在BC边上运动时，仍将△ABD沿AD翻 折至△AB'D, ∴.∠B'AD=x,∠AB'D=∠B=20°，AB=AB'=AC, ∴.∠CAD=140°-x,∠B'AC=x-(140°-x)=2x -140°， ÷∠ABC=∠ACB'=180-(2x-1402=160°-x, 2 .∠CB'D=160°-x-20°=140°-x. ∠BAD=x=∠BAD,∴.∠ADB=16O°-x=∠ADB, ∴.∠CDB'=2x-140°， .∠DCB'=180°-∠DB'C-∠CDB'=180°-x, 若DC=CB',如图5，则∠CDB'=∠CB'D, 2x-140=140°-x,∴x=(2g0)月 图5 图6 若DB'=B'C,如图6，则∠B'CD=∠B'DC, 180°-x=2z-1409,∴z=(2）月 若DC=DB',如图7，则∠DCB'=∠DB'C, .180°-x=140°-x,则方程无解. 同理可得∠BAD的度数为(）)”或（受） 综上，∠BAD的度数为()°或(0)或(2)或 D 图7 例4如图，过点D作DP∥AE交BF的延长线于点P. AB=AC,∴∠B=∠ACB. DP∥AC,∠ACB=∠P, ∴.∠B=∠P,.DB=DP 又，EC=BD,EC=DP. 「∠ECF=∠P, 在△ECF和△DPF中，{EC=DP, ∠CEF=∠EDP, △ECF≌△DPF(ASA),.CF=PF 又，DC⊥BP,DB=DP,.BC=CP=2CF, 器2 DE 例4图 例5图 例5如图，延长BD至点M,使DM=DA,连接AM. ∴.∠DAM=∠M, .∠ADC=∠DAM+∠M=2∠M. ,∠ADC=2∠E,∴.∠M=∠E. ,△ABC为等边三角形， ∴.AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°， .∠ABM=∠BCE=120°， ∴.△ABM≌△BCE(AAS),∴.BM=CE. .BM=BD+DM=BD+AD, ∴.CE=BD+AD 例6(1)：(a-n)2+√b-n=0, .a-n=0,b-n=0,∴.a=b=n. ,n=2,a=b=2,.OA=OB=2, 1 六△A0B的面积=2×2X2=2, (2)如图1，延长CE至点F,使EF=CE,连接AF, OF,OC,:E为AD的中点，AE=DE. ,∠AEF=∠CED,∴.△AEF≌△DEC(SAS), .AF=CD=BC,∠AFE=∠ECD,.AFCP, .∠FAO=∠APC. ,∠BOP=∠BCP=90°，.∠CBO+∠CPO=180°. :∠APC+∠CPO=180°， .∠CBO=∠APC=∠FAO. 由(1)知OA=OB=n,∴.△FAO≌△CBO(SAS), 2 参考答案与提示 ∴.OF=OC. .EF=EC,.OE⊥EC. V A N D G H B B 图1 图2 (3)如图2，连接CN,AC,过点C作CG⊥CO交OB 于点G, ,BC⊥PC,.∠PCB=∠OCG=90°， .∠OCP=∠BCG. :∠POB=∠BCP=90°，∠OHP=∠CHB, ∠OPC=∠CBG. .PC=BC,.△COP≌△CGB(ASA), ∴.OC=CG,∴.△OCG是等腰直角三角形， ∴.∠C0G=45°=∠A0C. .AO=OB,OC=OC, ∴.△AOC≌△BOC(SAS), ∴.AC=BC=PC. :N是AP的中点，.CN⊥AP,.∠ONC=90°. :∠NOC=45°，.△CNO是等腰直角三角形. ,M是OC的中点，MN⊥OC, ∠NMO=90°，.△MNO是等腰直角三角形. 【变式题组】 变式1回180° 22021 .提示：OA1=OB1,∠AOB=a, ∠A,B,0=2180-a. ÷7(180°-a)+9,=180.0,-1802+e 2 B1B2=B1A2,∠A2B1B2=01, 六∠AB2B,=180°-8 2 ∠A2B2B1+02=180°， ÷180,8+0,=180,整理得0，=540十e 2 4 ÷02-0,=540+a_180+e=180°-a 4 2 22 同理，0，=180+0=1260°+0 2 8 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 ∴0，-02=1260+a_540°+e_180°-g 8 4 28 … 以此类推，0-0s-1800g 22027. 变式2-I如图，连接AO,过点O作OH⊥OF交BF于 点H B .AB=AC,BO=CO, ∴.AOLBC,∠BAO=∠CAO=∠ABC=∠ACB=45, ∴.△ABO,△ACO都是等腰直角三角形， ..AO-BO-CO. ,AF⊥BF,∠BFA=90°=∠AOB, ∴.∠OAF=∠OBH. :∠BOH+∠AOH=∠AOH+∠AOF=90°， .∠BOH=∠AOF, .△AOF≌△BOH,.OH=OF, △OHF为等腰直角三角形，∠BFO=45°. 变式3]若△ABC为等腰直角三角形，如图1，过点A 作底边上的高，其所在的直线刚好满足条件，此时 ∠BAC=90. 若△ABC为锐角三角形，则有图2和图3两种情况， 在图2中，△ABD,△BCD均为等腰三角形， 设∠A=∠ABD=Q, 则∠BDC=2a=∠ACB,∠ABC=2a. a+2a+2a=180°，即a=36°，.∠A=36°. D 图1 图2 A 2a Q 2a BB2a 3a a 2a】 B 图3 图4 2 在图3中，设∠A=∠ABD=Q, 则∠BDC=∠DBC=2a,∠C=3a, 180° .a+3a+3a=180°，a= 7，∠A=180 7· 如图4，若△ABC为钝角三角形，△ABD,△ACD均 为等腰三角形，设∠B=∠C=a, 则∠BAD=∠BDA=2a,∠DAC=∠C=a, .a+a+3a=180°，a=36°，.∠BAC=108° 综上所述，△ABC的顶角的度数为90或36或1四 或108. 变式4]如图，过点E作EM∥AB,交BC于点M,交 GD于点H. ∴.∠EMC=∠B=∠C,∠EHD=∠BDG=∠GDE, .'.EM-CE,EH-DE-AE .EG⊥BC,,∴.GC=GM. .EM∥AB,.∠GHM=∠BDG=∠GFC, .△GMH≌△GCF(AAS),∴.CF=MH, ∴EF=EH=ED=EA. M 、H E B∠ 变式41图 变式4-2图 变式42如图，过点D作DP∥AB交AC于点P. E为BD的中点，BE=ED. BADP,∴∠BAE=∠DPE, △BAE≌△DPE(AAS),.AE=EP, 又，∠BAC=2∠ACD,.2∠ACD=∠DPA, ∠PDC=∠PCD,.AB=PD=PC=8-2=6. 变式5-(1)(-5，-5). (2)①如图1，过点B作BE⊥OB交OA于点E, ∴.∠OBE=90° .点A的坐标为(-5，-5)， ∴点A到x轴和y轴的距离都是5， ∴.OA是第三象限的角平分线，∴.∠AOB=45°， ∴.∠BE0=180°-∠AOB-∠OBE=45°， ∴.∠AOB=∠BEO,∴.OB=BE. :∠ABC=90°， ∴.∠ABC-∠ABO=∠OBE-∠ABO, 即∠OBC=∠EBA. (EB=OB, 在△EBA和△OBC中， ∠EBA=∠OBC, AB=BE .△EBA≌△OBC(SAS), ∴∠BOC=∠BE0=45°. ②5. O D B 图1 图2 (3)如图2，过点O作OM⊥AC,ON⊥CD,垂足分别 为点M,N,过点C作CP⊥OD于点P,过点A作 AQ⊥OD于点Q. .OC平分∠ACD,∴.∠OCD=∠OCA,OM=ON. (AO-OD, 在Rt△AOM和Rt△DON中， OM=ON, .∴.Rt△AOM2Rt△DON(HL), ∠OAM=∠ODN. :∠ODC+∠ODN=180°， ∴.∠OAM+∠ODC=180°， .∠AOD+∠ACD=180°. ,∠A0D=90°+45°=135°， .∠ACD=45°，∠OCD=22.5°. .OA=OD,∴.∠OAD=∠ODA=22.5°， .∠ADC=180°-45°-22.5°-22.5°=90°， ∠DAC=∠DCA=45°，.AD=DC. ,∠QDA+∠PDC=90°，∠DCP+∠PDC=90°， ∴.∠QDA=∠DCP ∠AQD=∠DPC, 在△QDA和△PCD中， ∠ADQ=∠DCP, AD=DC, .△QDA≌△PCD(AAS),.PC=QD=5十5√2， .C(5+5√2，-5-5√2). 【能力平台】 IC提示：∠BGH=∠BHK,∠ABC=2∠BGH= 2 [参考答案与提示 ∠ACB=2∠BAC,5∠BAC=∠ABC+∠ACB+ ∠BAC=180°../BAC=36°. 2A提示： B 3D提示：动点Q从M点出发沿直线1向N点移动， 当AQ=AP=1时，△APQ是等腰三角形； 当动点Q运动到A的右侧AQ=合AP=号时， △APQ是直角三角形； 当AQ=AP=1时，因为∠PAN=60,此时△APQ 是等边三角形； 当AQ=2PA=2时，△APQ是直角三角形. 故依次出现的特殊三角形是等腰三角形、直角三角 形、等边三角形、直角三角形 日4,0<a<9提示：由题意可知A0=A,A,AA A2A1,·,则∠AOA1=∠OA1A,∠A1OA2= ∠A1A2A,…. :∠BOC=&,.∠A1AB=2a,∠A2A1C=3a, ∠A3A2B=4a,∠A4A3C=5a,…, ,a为等腰三角形的一个内角的度数， m<90解得n<2,当。=20时a<号 ”n为正整数，∴n=4.:n<90, 。，0a<90 53.提示：原式=(a十b)(c+1)=12×2=8×3=6× 4.底边的长只能为c.满足条件的三角形有3个：c= 1,a=b=6;c=2,a=b=4;c=3,a=b=3. 64或6.提示：如图1、2，分两种情况讨论， 证明△AFQ≌△EAC,△FQG≌△BCG即可. 图1 图2 目培优竞赛超级课堂8年级数学 710.提示： 8(1)①，AB=AC,∠BAC=a=60°， .△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠BCA=∠BAC=60° ,∠BAC=∠EAD=a=60°， ∴.∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD, 即∠BAE=∠CAD, (AB-AC, 在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CAD, AE=AD, ∴.△ABE≌△ACD(SAS), .BE=CD,∠ABE=∠ACD=60°， ,∠EBF=180°-∠ABE-∠ABC=180°-60°-60° =60°. EF⊥BC, ∴在RtABEF中，BE=BF BE co8∠EBF-cos60=2BF. .CD=BD+BC=BF+DF+BC,CD=BE=2BF, ..2BF=BF+DF+BC,..BF=DF+BC. ②BF=DF一BC.理由如下： :AB=AC,∠BAC=a=60°，∴.△ABC是等边三 角形，∴.∠ABC=∠BCA=60, ∠ACD=180°-∠BCA=120°. ,∠BAC=∠EAD=a=60°，∴∠BAC-∠EAC= ∠EAD-∠EAC,即∠BAE=∠CAD, (AB=AC, 在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CAD, AE=AD, ∴.△ABE≌△ACD(SAS), ∴.BE=CD,∠ABE=∠ACD=120°， ∴.∠EBF=∠ABE-∠ABC=120°-60°=60° BF .EF⊥BC,.在Rt△BEF中，BE= cos/EBF BF cos60°=2BE. 2 .'CD=BD-BC=BF+DF-BC,CD=BE=2BF, ..2BF=BF+DF-BC,..BF=DF-BC. (2)AB=AC,∠BAC=a=120°， ∴∠ABC=∠BCA=2I80-∠BAC)=30 :∠BAC=∠EAD=a=120°，∠BAC-∠BAD= ∠EAD-∠BAD,即∠DAC=∠EAB, (AB-AC, 在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CAD, AE-AD, .△ABE≌△ACD(SAS), .BE=CD,∠ABE=∠ACD=30°， ..∠EBC=∠EBA+∠ABC=30°+30°=60° EF⊥BC, 六在Rt△BEF中，BE=BF BF co3∠EBF=c0s60=2BF. .'CD=BC++BD=DE-BE+BC.CD=BE=2BE, ..2BF=DF+BC-BF,..3BF=DF+BC. 930°.提示：如图，在AM上取一点D,使得BD= BA,连接DN,BD, 则BD=BA=BN,且∠ABD=20°， 从而∠BDN=60°，∠MDN=40°. ∠DBM=∠DMB=40°， .'.DM=DB=DN. ∠DMN=180°-40 2 =70°， 故∠NMB=∠DMN-∠DMB=70°-40°=30°. 1030°.提示：如图，以AC为一 边在△ABC外侧作正三角形 ACE,连接DE. AB=AC,∠BAC=20°， .∠ABC=80. △ACE是正三角形， .AC=AE=CE,∠EAC=60°.∴.∠EAD=80°. .'AB=AC,AC=EA=CE,..AE=AB. 在△ABC和△EAD中， .'AB=EA,∠ABC=∠EAD=80°，BC=AD, ∴.△ABC≌△EAD(SAS), .∠EDA=∠ACB=80°，∠AED=∠BAC=20°， ED=AC.∴.∠DEC=40°，DE=EC ∴.∠EDC=∠ECD=70°..∠BDC=180° ∠ADE-∠EDC=180°-80°-70°=30. I在△ABC中，令∠B=36°.分情况讨论： ①分割线不过点B. 设分割线是AD,此时△BAD的3个内角是36°，72°， 72(图1)，或者36°，36°，108° 若△BAD的3个内角是36°，36°，108°，则△ADC的 3个内角是144°，18°，18°（图2），或72°，54°，54°（图3）， 或36,72°，72（图4、图5）. 72 36 1088 B<136 208cB& 361448 D D C 图1 图2 3654 36 B6108X254cB6”102722 D 图3 图4 36972 B436108以72 36C D 图5 ②分割线过点B! 设分割线是BE,此时△AEB的3个内角是132°， 24°，24°，△ECB的3个内角是156°，12°，12°（图6）. A 132°24E B24 129 156 12C 图6 综上，原三角形的另外2个内角有5种情况：①108°， 36°：②126°，18°；③90°，54°，④72°，72°；⑤132°，12°. 第7讲等边三角形 例1如图，过点A作AP∥BC交 CN的延长线于点P,连接PM, MC,.'.∠APN=∠DCN. N是AD的中点， ..AN=DN. M ,∠ANP=∠DNC,∴.△APN≌△DCN, ∴.AP=DC=BM,PN=CN. 2 参考答案与提示 :APCD,∴.∠PAC+∠ACB=180° :∠ABC=∠ACB=60°，∴.∠PAC=∠MBC=120. :AC=BC,.△PAC≌△MBC, ∴.PC=MC,∠PCA=∠MCB. ,∠PCA+∠PCB=60°，∴∠MCB+∠PCB= ∠PCM=60°，.△PCM是等边三角形， PN=CN,.CN⊥MN. 例2如图，过点B作BM⊥CD交CD BRM 的延长线于点M,过点A作AH⊥ CD于点H. ,E为BC垂直平分线上的点， .'.EB=EC, ∠EBC=∠ECB=15, ,∴∠BED=2∠BCD=30°， ∴在R△EBM中，BM=BE,∴BM=CE. ∠ACB=90°，∴.∠ACH=90°-15°=75， ∴.∠ACH=∠CBM=75°. (∠ACH=∠CBM, 在△ACH和△CBM中，∠AHC=∠CMB, AC=BC, ∴.△ACH≌△CBM(AAS),∴.CH=BM. 又：BM=2CE,六CH=HE. 1 AH垂直平分CE,AE=AC,AE=BC 例3(1)，△ABC是等边三角形，∴.AB=AC=BC, ∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， .∠BPC=120°，.∠ABP+∠ACP=360°- ∠BAC-∠BPC=180°. 如图1，将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到 △ACF,点P的对应点为点F,则AF=AP,∠ACF= ∠ABP,∠FAC=∠BAP,CF=BP=4,∠F=∠APB, .∠ACF+∠ACP=∠ABP+∠ACP=180°， 点C在线段PF上， I∠PAF=∠FAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC= ∠BAC=60°， △APF是等边三角形，.AP=FP. .FP=CF+CP=BP+PC=2+3=5,..AP=5, 故答案为5.