第5讲 轴对称及轴对称变换-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年八年级全一册数学

第5讲 轴对称及轴对称变换 卑情境课堂 古希腊几何学(3)—柏拉图学园 柏拉图（公元前427年一公元前347年）是古希腊哲学家、数学教育家.公元前387年， 200 柏拉图创建了他的“学园”(Academy).柏拉图在数学上的成就和贡献是多方面的.他的 认识论、数学哲学和数学教育思想对古希腊科学的形成和数学的发展具有不可磨灭的推 动作用.柏拉图还阐明了负数的概念，对偶数、图形等定义也有深入的研究.作为数学教 育家，柏拉图被数学史学家尊称为“数学家的创造者”.他悉心研究传授数学的思想方法， 3 大力倡导普及数学教育，极力鼓励探索新领域，吸引了许多有才之士.柏拉图学园中产生 HELLAS 190 了不少数学家，亚里士多德就是柏拉图的得意门生， 柏拉图 典例剖析 类型1轴对称图形的识别与运用 例1置如图所示的4个图案中，是轴对称图形的是( A.阿基米德螺旋线 B.笛卡尔心形线 C.赵爽弦图 D.太极图 ⑤【学找切入点】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴 对称图形，这条直线叫作对称轴”这一定义进行分析即可. 变式1-13(2024，武汉三调)下列微信表情图案中，是轴对称图形的是( A B D 变式1-2弹性小球从点P(0,1)出发，沿如图所示的方向运动，每当小球碰到正方形OABC的 边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到正方形的边时在点P1(一2,0)，第2次 碰到正方形的边时在点P2(一4,1)，…，第n次碰到正方形的边时在点Pn,则点P2o26的坐标 是( ·26· 第5讲轴对称及轴对称变换 A.(0,1) B.(-2,4) C.(-2,0) D.(0,3) y C 5 F 4 54 变式1-2图 变式1-3图 变式1-3如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC,则与△ABC成轴对称且以 格点为顶点的三角形共有( ). A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 类型2)线段垂直平分线的性质与判定 例2求解下列各题： (1)如图1，在△ABC中，AB边的中垂线DE分别与AB,AC边交于D,E两点，BC边的中 垂线FG分别与BC,AC边交于F,G两点，连接BE,BG.若△BEG的周长为16，GE=1,则AC 的长为( ). A.13 B.14 C.15 D.16 ⊙ GE 图1 图2 (2)如图2，已知△ABC是三边都不相等的三角形，P是三个内角平分线的交点，O是三边垂 直平分线的交点，当点P,O同时在不等边△ABC的内部时，∠BOC和∠BPC的数量关系是 (). A.2∠BOC+∠BPC=360° B.∠BOC+2∠BPC=360° C.3∠BOC-∠BPC=360° D.4∠BPC-∠BOC=360° ⑤【学找切入点】(1)利用垂直平分线的性质，得到EA=EB,BG=GC,再进行转换即可求解.(2)连接AO, 再利用角平分线和垂直平分线的性质找等量关系即可求解. 变式2-1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=8,D为AB上 点，E为AC上一点，BE垂直平分CD,若AD=4,则EC的长为 A D B 类型3)利用轴对称寻找最短路径的问题 例3如图1，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(1,4)和(3,0)，C是y轴上的一个动 ·27· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 点，且A,B,C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是(). A.(0,0) B.(0,1) C.(0,2) D.(0,3) y A B x DOB立 图1 图2 ⑤【学找切入点】如图2，利用轴对称的性质找对称点，利用三点共线时和最小寻找最短路径. 变式3-13如图，∠AOB=20°，M,N分别是边OA,OB上的定点，P,Q分别是边OB,OA上的 动点，记∠MPQ=a,∠PQN=B,当MP+PQ十QN最小时，求B-a的值. O P 变式3-23如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且 A OP=5,点E,F分别是OA,OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则 a=( A.30° B.45 C.60° D.90° 「类型4)利用轴对称变换作图 例4(2023，武汉四调)如图，点A,B,C均在格点上，只用无刻度的直尺，按要求作图： (1)如图1，AB=5,作出∠BAC的角平分线AP. (2)如图2，BD是△ABC的角平分线，作∠BCA的角平分线CE. (3)如图3，点D在AC上，AB=5,在AB上画点P,使AP=AD, B 图1 图2 图3 ⑥【学找切入点】(1)利用等腰三角形“三线合一”的性质找角平分线.(2)利用角平分线交于一点作图.(3)利 用轴对称的性质作图. ·28· 第5讲轴对称及轴对称变换 变式4-1如图，有一张矩形纸片ABCD,上面画有一个角的两边m,n,但是这个角的顶点P在 纸片的外部，试在纸片上作出∠P的平分线。 177 B C 变式4-2如图，所有的网格都由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点 都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形 (1)图1、图2、图3都是6×6的正方形网格，M,N都是格点，请分别按要求在网格中作图. ①在图1中作△MNP,使△MNP与△ABC全等； ②在图2中作△MDE,使△MDE由△ABC平移而得； ③在图3中作△NFG,使△NFG与△ABC关于某条直线对称. (2)如图4是一个4×4的正方形网格，图中与△ABC关于某条直线成轴对称的格点三角形 有 个 图1 图2 图3 图4 《研讨乐园 例5如图1，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于点D,M为BC的中点，AB=10cm,则 MD的长为 BD M BDM B D B' BD M 图1 图2 图3 图4 ⑤【学找切入点】AD⊥BC为对称提供了条件， 【解】甲的探究联想AD⊥BC,如图2，在CB的延长线上截取CD=CD,连接AC' 设BD=x,易知AB=C'B=10cm, ·29· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 C'D=CD=10+x,BC=CD+BD=10+x+x=10+2x, 1 ∴MC=(10+2x)×2=5+x. ∴.MD=DC-MC=(10+x)-(5+x)=5cm. 乙的探究作辅助线同甲的探究，设BM=MC=b,C'D=CD=a, 则有C'B=CC'-CB=2a-2b=10cm. 又：DM=DC-MC=a-b,∴.DM=10X2=5cm 丙的探究如图3，既然甲能作出△ADC的对称部分，那么也可以作出△ABD的对称部分， 即在DC上截取BD=BD,再连接AB'.不妨试一试，接着往下探究 丁的探究如图4，联想△ADC为直角三角形且M为BC的中点，取AC的中点E,连接 DE,EM,你会做吗？ 能力平台 ⑤培优训练 (建议用时40分钟) A.2024 B.2023 C.2021 D.2020 1.(2025,长沙中考)如图，将△ABC沿折痕AD折 叠，使点B落在AC边上的点E处，若AB=4,BC= 5,AC=6,则△CDE的周长为(). 第3题图 第4题图 A.5 B.6 C.6.5 D.7 4.如图，在正三角形的网格中，已有两个小正三角形 被涂黑，则再将图中其余小正三角形涂黑一个，使 整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种 5.如图，线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点 第1题图 第2题图 O,若∠1=39°，则∠AOC= 2.如图，已知正方形ABCD的边长为2，将正方形 ABCD沿直线EF折叠，则图形中阴影部分的周长 B- 为(). A8√2 B.42 C.8 D.6 3.如图，直线11与12相交，且较小的夹角为45°，点P 第5题图 第6题图 在较小的夹角的内部，小明用下面的方法作点P 6.(2023,辽宁中考)如图，在三角形纸片ABC中， 的对称点：先以1为对称轴作点P关于11的对称 AB=AC,∠B=20°，D是边BC上的动点，将三角 点P1,再以12为对称轴作点P1关于12的对称点 形纸片沿AD对折，使点B落在点B'处，当B'D⊥ P2,再以11为对称轴作点P2关于11的对称点 BC时，∠BAD的度数为 P3,再以12为对称轴作点P3关于L2的对称点 7.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小 P4,….如此继续，得到一系列的点P1,P2,…, 正方形的顶点叫作格点，顶点都在格点上的三角形 Pn,若点Pm与点P重合，则n的值可以是(). 叫作格点三角形，△ABC的顶点都在格点上.请选 ·30· 第5讲轴对称及轴对称变换 择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中按下列要 y 求作图，保留连线的痕迹，不要求说明理由。 B EO士 B 第9题图 第10题图 C 图1 图2 10.如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点 D(0,2),点F(1,0),线段DE和EF构成一个 “L”形，另有点A(一1,5)，点B(-1,一1)，点 C(6,一1)，连接AD,BE,CF.若将这个“L”形沿 y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，点 图3 图4 E的坐标为 ;若将这个“L”形沿x轴左 右平移，当AD十DE十EF十CF的值最小时，点 (1)如图1，作△ABC关于直线1的对称图形 E的坐标为 △A1B1C 11.如图，在△ABC中，∠ABC=46°，D是边BC上 (2)如图2，与△ABC成轴对称的格点三角形最多 的一点，DC=AB,∠DAB=21°，试确定∠CAD 有 个 的度数. (3)如图3，在4×4的正方形网格中，与△ABC关 于某条直线对称的格点三角形共有 个 (4)如图4，在直线1上作出一条长为1个单位长度 的线段MN(点M在点N的上方)，使AM+ MN+NB的值最小 ⑧竞赛训练 (建议用时30分钟) 8.如图，∠AOB=30°，P为 ∠AOB内一点，OP=8, 点M,N分别在OA,OBO N 上.当△PMN的周长最小时，有下列结论：①∠MPN =120°，②∠MPN=100°；③△PMN的周长的最 小值为4；④△PMN的周长的最小值为8.其中正 确的是(). A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 9.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形A1B1C1, 等边三角形A2B2C2,等边三角形A3BC3,…中， A1B1,A2B2,A3B3,…平行于x轴，点C1,C2,C3,… 在y轴正半轴上，三边垂直平分线的交点在原点， A1B1,A2B2,A3B3,…的长依次为√5,2W3,33,…, 以此类推，则等边三角形A221B221C221的顶点 A2o21到y轴的距离为 ·31·第5讲轴对称及轴对称变换 例1B 例2(1)B提示：：DE是线段AB的中垂线，GF是线 段BC的中垂线，∴.EB=EA,GB=GC ,△BEG的周长为16，.EB+GB+EG=16, ∴.EA+GC+EG=16, ..GA+EG+EG+EC+EG=16, .AC+2EG=16. EG=1,.AC=14. (2)D提示：如图，连接AO,BP平分∠ABC,CP 平分∠ACB, ∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB, ∴.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB) =180-(2∠ABc+2∠ACB)=180-2(180°- ∠BAC)=90+2∠BAC, 即∠BAC=2∠BPC-180°. :点O是这个三角形三边垂直平分线的交点， ..OA=OB=OC, ∴.∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB, .∠AOB=180°-2∠OAB,∠AOC=180°-2∠OAC, ∴.∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC)=360°-(180° 2∠OAB+180°-2∠OAC)=2∠OAB+2∠OAC= 2∠BAC,∴.∠BOC=4∠BPC-360°， ∴.4∠BPC-∠BOC=360°. 例3D提示：如题图2，作点A关于y轴的对称点A', 则点A'的坐标为（一1,4）.连接A'B交y轴于点C,此 时△ABC的周长最小，再过点A'作A'D⊥x轴. ,A'D=4,BD=3-(-1)=4, A'D=BD,△A'BD为等腰直角三角形. .∠AA'C=∠AA'D-∠DA'B=45°. ∴.0C=4-1=3. 点C的坐标为(0,3). 参考答案与提示 例4如图所示. 图1 图2 图3 【变式题组】 变式1-可c 变式1-2B提示：根据反射角等于入射角画图（图略）， 可知小球从点P2(一4,1)反弹到点P3(0,3),再反弹 到点P4(一2,4)，再反弹到点P(一4,3)，再反弹到点 P(0,1)之后，再循环反弹，每6次一循环，2026÷6= 337…4,即点P226的坐标是（一2,4）. 变式1☒C提示： 变式2-3.提示：如图，连接ED BE垂直平分CD,.BD=BC=6,ED=EC. .EB=EB,.∴.△BEC≌△BED(SSS)， '.∠EDB=∠ECB=90° ,SAABC=SAABE十S△CBE, ∴7AC·BC=2EC·BC+2AB·ED, ∴号×8x6=号×6·BC+日×4+6).pC. 1 解得EC=3. E D 变式2-1图 变式3-1图 变式3-]如图，作点M关于OB的对称点M,点N关于 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 OA的对称点N',连接M'N'交OA于点Q,交OB于 点P,则MP+PQ+QN最小 由对称知∠OPM=∠OPM'=∠NPQ,∠OQP= ∠AQN'=∠AQN. ∠QPN=2I80°-a)=∠A0B+∠MQP -20+2080-m. .180°-a=40°+(180°-B). 月-a=40°. 变式3-2A提示：如图，作点P关于OA的对称点C,关 于OB的对称点D,连接CD,交OA于点E,OB于点 F,此时，△PEF的周长最小.连接OC,OD,PE,PF, 点P与点C关于OA对称，.OA垂直平分PC, ∴∠COA=∠AOP,PE=CE,OC=OP. 同理，可得∠DOB=∠BOP,PF=DF,OD=OP, ∴.∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=a, OC=OD=OP=5, ∴.∠C0D=2a. 又，△PEF的周长=PE十EF十FP=CE+EF+ FD=CD=5,..OC=OD=CD=5, .△C0D是等边三角形，.2a=60°，a=30°. A 0 B 变式3-2图 变式4-1图 变式4☐第一步：如图所示，在纸片上作直线h⊥m,作 直线n关于h的对称直线n',n'与m交于点P' 第二步：作∠P'的平分线'. 第三步：作p'关于h的对称直线p. 则p所在的直线就是∠P的平分线所在的直线。 变式4-2(1)①如图1.②如图2.③如图3. D 图1 图2 图3 (2)6. 【能力平台】 1D提示：AB=4,BC=5,AC=6, ∴.由折叠的性质得AE=AB=4,DE=BD, ..CE=AC-AE=6-4=2,CD+DE=CD+BD= BC=5, .△CDE的周长为CE+CD+DE=2+5=7. 2C提示：如图，由翻折变换的性质可知AD=A'D', AH-AH,D'G-DG, 阴影部分的周长=A'D'+(A'H+BH)+BC+(CG+ D'G)=AD+AB+BC+CD=2X4=8. 第2题图 第3题图 3A提示：如图所示，有点P1,P2,…,Pm,每对称变换 8次回到P点， 2024÷8=253,2023÷8不是整数，2021÷8不是 整数，2020÷8不是整数， Pn与P重合，则n的值可以是2024. 43. 578°.提示：如图，连接BO, 则AO=BO=CO. 设∠A=∠OBA=a, ∠C=∠OBC=B. ∠1+∠2=90°，∠2+∠ABC=∠2+a+B=90°， .a+B=∠1=39° ∴.∠AOC=∠A+∠C+∠ABC=2(a+B)=78° 625或115°.提示：当点B在直线BC的下方时，如 图1. B'D⊥BC,.∠BDB'=90°， .∠ADB+∠ADB=360°-90°=270°. 将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B处， ∴∠ADB'=∠ADB=号×270°=135 .∠B=20°，..∠BAD=180°-∠B-∠ADB= 180°-20°-135°=25°. 图1 图2 当点B在直线BC的上方时，如图2. .B'D⊥BC,.∠BDB'=90°， 将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B处， ∠ADB=∠ADB=99=45,∠BAD=180 ∠B-∠ADB=180°-20°-45°=115°. 7(1)如图1.(2)6.(3)9.(4)如图2. B C C B 图1 图2 8C提示：如图，分别作点P关 于OA,OB的对称点P1,P2, 连接PP1,PP2,OP1,OP2,O B P1P2.P1P2与OA,OB分别 交于点M,N,此时△PMN的周长最小，为PP2 ,∠AOB=30°， ∴.∠P1OP2=60°，且OP1=OP=OP2, △OP1P2为等边三角形， ,.∠MPN=∠OPM+∠OP,N=120°，故①正确. 此时△PMN的周长即为P1P2,而P1P2=OP1= OP2=OP=8,即△MNP的周长的最小值为8，故 ④正确. 920215 2 提示：，三边垂直平分线的交点在原点， ∴点O为所有等边三角形的外心和内心，.OA22: 平分∠C221A2021B221，∠OA2021B221=30° A1B1,A2B2,A3Bg,…的长依次为3,23,33，…， ∴.A221B2o21的长为2021V3, ,OC221垂直平分A221B2021, ·点A22到y轴的距离为2021V5 2 10(0,1);(3.5,0).提示：如图1，将点A向下平移 参考答案与提示 2个单位长度到M(一1,3)，点M关于y轴的对称点 为N(1,3),连接BN交y轴于点P(0,1),当点E和 点P重合时，AD十DE+BE的值最小，此时E(0,1). y A 0 图1 图2 如图2，将点A向下平移2个单位长度到M(一1,3)， 点C(6,-1)向左平移1个单位长度到H(5,-1), 连接MH交x轴于点Q(3.5,0),当点E和点Q重合 时，AD+DE+EF+CF的值最小，此时E(3.5,0). 团如图，作△ABD关于AD的轴 对称图形△AED,连接CE, 则∠EAD=21°，AE=AB,DE B46O D =BD. 易知∠ADC=21°+46°=67°， 故∠ADE=∠ADB=180°-67°=113°，∠CDE= 113°-67°=46°. DC=AB,.△CDE≌△ABD≌△AED. 设O为AE与DC的交点 ∠CDE=∠OED=46°，.OD=OE. 又DC=AE,.OA=OC, ∴.∠OCA=∠OAC,故∠COE=2∠ACO. 易知∠COE=2×46°=92°， ∴.2∠AC0=∠COE=92°， 从而∠ACO=46°=∠OAC. ∴.∠CAD=∠OAC+∠EAD=67°. 第6讲等腰三角形 例112°. 例2如图，连接CD :AC=BC,D为AB的中点， ∴.∠ADC=∠BDC=90°（也可用SSS 证△ACD≌△BCD). 又，CE=CF,∠CED=∠CFD=90°，CD=CD, .∠FDC=∠EDC(也可用HL证Rt△CFD≌ Rt△CED), ∴∠ADC-∠FDC=∠BDC-∠EDC, ∴∠ADF=∠BDE.