第4讲 角平分线-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年八年级全一册数学

接BE :∠AOB=∠EOE=150°，OA=OB,OE=OE', ..易证△AOE2△BOE(SAS), ∠OBE=∠OAE=60°，.F,B,E三点共线. 设∠FOM=a,则∠AOE=45°-a, ∠FOE=a十30°+45°-a=75°， ∴∠EOF=∠E'OF,.△EOF≌△E'OF(SAS), .'.EF=E'F=E'B-BF, ÷210=90+,解得m=80, 北 B 第11题图 第12题图 2如图，连接BD,AE. DA=BC, 在△DAB和△BCF中，∠DAB=∠BCF, AB=CF, ∴.△DAB≌△BCF(SAS). ∴∠DBA=∠BFC,BD=BF. ∴.∠DBA十∠ABF=90°，即∠DBF=90° △DBF是等腰直角三角形，∴∠BFD=45°. 又.∠AFB=51°， .∠AFD=∠AFB-∠BFD=51°-45=6° 同理，∠EFB=6°， .∠DFE=∠AFB-∠AFD-∠EFB=51°-6°- 6°=39°. 13(1)A(a,6),B(6,-a), ..OC=OD=6,AC=BD=a, .∠ACO=∠BDO=90°，.△ACO≌△BDO(SAS), ∴.∠AOC=∠BOD,.∠AOB=∠COD=90°， .OA⊥OB (2)a=2,.A(2,6),B(6,-2). OC=OD=6,∴.∠OCD=∠ODC=45°， 如图1，作AE⊥AC交CD于点E, ACLy轴， ∴.∠ACE=∠AEC=45°，.AC=AE, 由(1)可知，△ACO≌△BDO, 参考答案与提示 ∴.AC=BD,∴.AE=BD,AE∥BD, ∴.∠EAM=∠DBM, .∠AME=∠BMD,∴.△AME≌△BMD(AAS), ∴.AM=BM,.M(4,2). M Q D ⊙ 图1 图2 (3)如图2，延长PN至点E,使PN=EN,连接EO, 并延长EA,BP交于点F (AN=NQ, 在△ANE和△QNP中，∠ANE=∠QNP, EN=PN, ,∴.△ANE≌△QNP(SAS),∴.AE=QP=BP, .∠AEN=∠QPN,则EAPQ, PQ⊥BP,.EF⊥BF, .OA⊥OB, .∴.∠OAE=∠OBP, AE=BP, 在△OAE和△OBP中，∠OAE=∠OBP, OA=OB, ∴.△OAE≌△OBP(SAS),.∴.OE=OP,OE⊥OP, ∴∠OPN=45°，即∠OPN的大小为定值. 第4讲角平分线 例1A;D 例2如图，过点P分别作PF⊥AD 于点F,PG⊥AE于点G,PH⊥ BC于点H. ,PA平分∠BAC,.PF=PG. D PB平分∠CBD,.PF=PH,∴.PG=PH. .PG⊥AE,PH⊥BC, 点P在∠BCE的平分线上，PC平分∠BCE. 例3(1)如图1，CD为所求角平分线. 5 D …… … … …i… DH 图1 图2 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 (2)D提示：如图2，过点D分别作DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F,过点A作AH⊥BC于点H. AD平分∠BAC,∴.DE=DF, 2AB·DE AB S△AcD AC DF AC 又：SA4四 BD AH BD S△ACD 2CD·AH CD 腮提 BD号BC=是 ×10=6. 例49.提示：共10种情形，其后打“/”的是正确的命 题，其后打“×”的是错误的命题， (1)①②③→④⑤/ (2)①②④→③⑤/ (3)①②⑤→③④√ (4)①③④→②⑤/ (5)①③⑤→②④√ (6)①④⑤→②③√ (7)②③④→①⑤X (8)②③⑤→①④/ (9)②④⑤→①③/ (10)③④⑤→①②/ 【变式题组】 变式1回B变式1-☑C变式2]B 变式3司①④.提示：如图，作EH⊥CD于点H, ,CE平分∠ACD,EF⊥OA, ..EF=EH. .OE平分∠AOB,EG⊥OB, ..EF=EG,..EH=EG, ∴DE平分∠CDB,故①正确. :∠BDE=∠BDC,∠DOE= 2∠D0C, :∠OED=∠BDE-∠DOE=(∠BDC ∠D0C)=7∠0CD≠∠0CD,放@错误 ∠CD=号∠ACD=2I8cr-∠0D,∠E0= 号∠BDC=1so-∠00. ∴∠CED=180°-∠BCD-∠EDC=180°-7(180 ∠0cD)-号180-∠0D0)=号(Z0cD+∠0DC. :∠OCD+∠ODC=180°-∠AOB,∴.∠CED= 2a8m-乙B)=0-7∠0B≠90+2∠aB, 故③错误 :EF⊥OA,EH⊥CD,EG⊥OB,∴∠CFE= ∠CHE=∠EHD=∠EGD=90°， (CE=CE, 在Rt△CEF和Rt△CEH中， EF=EH, ∴.Rt△CEF≌Rt△CEH(HL), ∴.SACEF=SACEH,同理SADEG=SADEH,.SACEF十 SADEG=S△cEH十SADEH=S△cDE,故④正确. 变式3-2如图所示. 变式4-]在BC上截取BF=BE,连接OF(图略). 易证△BOF≌△BOE, ∴∠BOF=∠BOE=60°，易求∠BOC=120°， .∠COF=60°，∠COF=∠COD, .△COF≌△COD. ..CF=CD,..BE+CD=BF+CF=BC=7. BE=4,.CD=7-4=3. 【能力平台】 1C提示：如图，延长AP交BC的 延长线于点E. ,AP⊥BP且BP平分∠ABC, ∠ABP=∠EBP. 又BP=BP,∠APB=∠BPE=90, .∴.△ABP≌△EBP(ASA) ∴.SABAP=SABEP,AP=PE..S△APc=SAPCE 设S△ACE=m,则S△ABE=S△ABc十S△ACE=8+m, Saw=号Sa医-合5e-8告m-受-4em 1 2B提示：如图，在AB上截取AE=AD,BF=BC,连 接OE,OF. D 由题意可知∠OAB= ∠OAD= 1 2 ∠DAB, ∠OBC=∠OBA=2∠ABC. 又AD=AE,BC=BF, ∴.△AOD≌△AOE(SAS),△BOC≌△BOF(SAS). ∴.∠AOD=∠AOE,∠BOC=∠BOF,OD=OE, OC=OF :∠DAB+∠ABC=90°，∴.∠OAB+∠OBA=45, .∠AOE=∠BOF=45°. .∠EOF=180°-（∠OAB+∠OBA)-∠AOE- ∠B0F=180°-45°-45°-45°=45°. 0平分∠AD,÷88哪-4，即AB=AD, AE=AB,BE=子AB, 又，∠EOF=∠BOF=45°，.OF平分∠BOE, 器-8-88-师EF=r, B=号E,BF=AB=AB, B0平分∠ABC,光瓷部3A子 3 3A提示：如图，过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥ AC于点N,过点A作AF⊥BC于点F ,AD平分∠BAC,∴.DM=DN. 设AC=a,DE=2x,则AB=an,BC=7x, E为BC的中点，∴CE=BE=3.5x, ..BD=BE+DE=3.5x+2x=5.5x,CD=CE- DE=3.5x-2x=1.5x. SAD =2AB·DM 2BD·AF SAADC TAC.DN 2CD·AF 铝品影解得号 3 E ☑号m十提示：如图，在 E 线段AB上截取AM=AE, BN=BD,连接IM,IN, A 作MH⊥AI于点H,M⊥IN于点J. :EA=MA,∠IAE=∠IAM,AI=AI, ∴.△AEI≌△AMI(SAS), ∴.∠AIE=∠AIM,IE=IM, 参考答案与提示 同理可证∠DIB=∠BIN,ID=IN, :∠IAB+∠IBA=(ZCAB+∠CBA)=45, .∠DIB=∠IAB+∠IBA=45°， ∴.∠AIM=∠MIN=∠DIB=∠BIN=45°. .MH⊥IA,MJ⊥IN,∴.MH=MJ, 1 ASAw=AM2AI·MH AI AI 1 ·IN·Mw Ni元-3， MN-AM- 1 4 ∴AB=AM+MN+BN=m+3m十n= 3m+n. 日9.提示：如图，连接A1,作 IF⊥AB于点F,IG⊥BC于点 F G,IH⊥AC于点H,由条件可 D 知IF=IG=IH,.S△Ac=B S+S+S G (AB+BC+AC), SA-(AD IF+AE H)IG(AD+AE). AD+AE 2 SAAc=5’六AB十AC十BC=5,由条件可知 AD4AE-5 6如图，延长CA至点F,使AF= AB,连接EF :∠BAC=36°，AD平分∠BAC ∠DAC=∠BAC=18. B D C 2 AE LAD,∠DAE=90°. .∴.∠CAE=∠DAE-∠DAC=72°..∴.∠FAE=108. 又，∠EAB=∠EAC+∠BAC=72°+36°=108°， .∠FAE=∠EAB. (AF=AB, 在△EAF和△EAB中，∠FAE=∠BAE, AE=AE, .△FAE≌△BAE(SAS). .BE=EF,∠FEA=∠BEA. 又：CE=BA+AC, ..CF=AF+AC=AB+AC=CE. 目培优竞赛超级课堂 8年级数学 ∴.∠F=∠CEF.∴.3∠AEC=∠CAE=72. .∠AEC=24°..∠B=∠F=2∠AEC=48°. 7(1)①14°. ②AB+AC<PB+PC.证明如下： 如图1，在射线BA上取点M,使AM=AC,连接PM. AE平分∠MAC,∴∠MAE=∠CAE. 易证△MAP≌△CAP(SAS),∴.PC=PM. 在△PBM中，PB+PM>BM=AB+AC, 即AB+AC<PB+PC. M 图1 图2 (2)如图2，过点P作PN⊥AC于点N, AP平分∠MAC, .PM=PN...AM=AN. ∠BPC=∠BAC,∴∠ABP=∠ACP, 易证△PMB≌△PNC(AAS),∴.BM=NC. .ACAB_AN+NC-(BM-AM) AM AM -AM+NC-BM+AM AM =2AM AM=2. 日么.提示：∠CBF-号∠BCE, .可以假设∠BCE=4x,则∠CBF=5x. ,DE平分∠ADC,CE平分∠DCB, .∠ADE=∠EDC,∠ECD=∠ECB=4x. 设∠ADE=∠EDC=y, ,AD∥BF,.∠A+∠ABF=180°， .∠ADC+∠DCB+∠CBF=180°， .2y+13x=180°.① ∠DEC=115, .∠EDC+∠ECD=65°，即y十4x=65.② (x=10°， 由①②解得 ∴.∠BCF=40°，∠CBF=50°， y=25°， ∴.∠CFB=90°，BF⊥EC. .CE=2BF,设BF=m,则CE=2m. S=2·BC·BF=4,六2·2m·m=4, ∴m=2或-2（舍去），∴.CE=2m=4. 9如图，在AC右侧，以AC为边作等边△ACE,在BC 上取一点F,使BF=BD,连接EF,BE. ,△ACE是等边三角形， ∴.AC=CE=AE,∠ACE=∠AEC=60°. .AB=AC,∠BAC=100°， .∴.∠ACB=∠ABC=40°，AB=AC=CE=AE, .∠ABE=∠AEB,∠BCE=100°， .∠BCE=∠BAC BC=AD+DB,∴.CF=AD ,△ABD≌△CEF(SAS. .BD=EF,∠ABD=∠CEF. EF=BF,∴∠FBE=∠FEB. ∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF, 即∠ABC=∠AEF=40°， .∠CEF=20°，.∠ABD=20°， ∠DBC=20°，.BD平分∠ABC. E QA B P 第9题图 第10题图 10如图，在AD上取AM=AB,连接MQ. NAQ平分∠DAB,∠MAQ=∠BAQ. ∴.△MQA≌△BQA(SAS),∴.∠MQA=∠AQC. 设∠C=a,则∠ABC=2a. ∴.∠QMC=∠ABQ=180°-2a 在△MQC中，∠C=a,∠QMC=180°-2a. .∠MQC=∠C=a..MQ=MC. 设AC=4a,,AP平分∠BAC, 铝跽即会品 .PC=3a. QA平分∠MQC,.Qy_A QC AC' 在QB上kBM=A=4则Q4r=a,小牛会-名 7 =4 cm..AC=4a-7 cm, .BQ=4a+4=11cm.第4讲 角平分线 完情境课堂 古希腊几何学(2)—毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯是一个传奇人物，他创建了毕达哥拉斯学派，据说这个严密的学 派是为了更加深入地研究数学、哲学和自然科学而建立的.该学派的学员要接受 长期的训练和考核，遵守很多的规范和戒律，并且宣誓永不泄露学派的秘密和学 说.他们相信数学可使灵魂升华，与上帝融为一体.不仅如此，他们还认为万物都 包含数，甚至万物都是数，上帝通过数来统治宇宙，这是毕达哥拉斯学派和其他学 派的主要区别.毕达哥拉斯认为“万物皆数”，他特别强调算术、几何、天文和音乐 毕达哥拉斯学派 的数学艺术 典例剖析 类型1角平分线的性质 例1三条公路将A,B,C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果要 在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那 么这个集贸市场可选的位置有( );如果要在图示平面修建该市场，可选的 /B 位置有( A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 ⑥【学找切入点】若在三角形区域内修建，只需市场到△ABC三边的距离相等即可，故找内角平分线的交 点；若在平面内修建该市场，则需到三条直线的距离相等， 变式1-1了如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D,过点D作一条平分△ABC面积的直线， 那么这条直线分成的两个图形的周长比是( A.2:1 B.1:1 C.2:3 D.3:1 变式1-1图 变式1-2图 变式1-2如图，在△ABC中，∠BAC和∠BCA的角平分线相交于点P.若∠B=40°，BC=AP +AC,则∠BAC的度数是(). A.60° B.70° C.80° D.90° ·21· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 类型2角平分线的判定定理 例2如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC延长线上的点，PA平分 ∠BAC,PB平分∠CBD,求证：PC平分∠BCE. ⑥【学找切入点】先添加辅助线，再利用角平分线的判定定理及其逆定理求解. 变式2-13如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC,∠ACD= 138,2∠ACB+∠BCD=90°，则∠ADB的度数为( A.42 B.48° C.50° D.53° 拓展总结 角平分线的应用技巧 (1)证明角平分线有两种方法：一是运用定义证明两个角相等（有时需用等角转换或角的和差转换）；二 是运用角平分线的判定定理，若图中无垂线段，则需添加辅助线。 (2)三角形三条内角平分线的交点叫作三角形的内心；三角形的一个内角的角平分线和其他两个内角的 外角平分线的交点叫作三角形的旁心.在题干中若出现两条角平分线的交点，要注意隐藏的角平分线。 类型3角平分线的性质与判定的综合应用 例3求解下列问题： (1)用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹：如图1，AD是∠BAC的角平分线，作△ABC中 ∠BCA相邻的外角的角平分线. D 图1 图2 (2)如图2，AD为△ABC的角平分线，且AB:AC=3:2,BC=10,则BD的长为(). A.7.5 B.5 C.7.2 D.6 很【学找切入点】(1)利用旁心找外角的角平分线.(2)角平分线上的点到角两边的距离相等，故可用面积之 比表示底之比. ·22· 第4讲角平分线 变式3-1如图，已知CE平分∠ACD,OE平分∠AOB,EF⊥OA,EG⊥OB,下列四个结论： ①DE平分∠CDB;②∠OED=∠OCD;③∠CED=90°+2∠AOB;④SACEF+SAac=S△aE, 其中正确的是 (填序号) DG B B 变式3-1图 变式3-2图 变式3-2如图，AC,BD交于点E,请画出∠AEB的平分线. 【类型4)与角平分线有关的常见辅助线 例4如图，在四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE,BE,有下列五个结论： ①AD∥BC;②AE平分∠BAD;③BE平分∠ABC;④E为CD的中点；⑤AD+ BC=AB.将以上五个结论中的三个作为已知条件，另外两个作为结论，形成一个命 题，其中正确的命题共有 个 ⑧【学找切入点】上述条件组合共有10种形式，逐一论证或构造反例 变式4-13如图，已知在△ABC中，∠A=60°，△ABC的角平分线BD,CE相交于点O.若BC= 7,BE=4,求CD的长. 研讨乐园 例5如图1，已知在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，点P,Q分 别在BC,CA上，并且AP,BQ分别为∠BAC,∠ABC的平分线.求证： BQ+AQ=AB+BP. 40 P ®【学找切入点】先分析已知条件，再找出相等的角和相等的边 图1 ·23· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 【证明】甲的探究如图2，设BQ和AP相交于点M,易知BM=BP.分析结论需证AB十 BP=BQ十AQ,即证AB=AQ+MQ,这是常见题型.在AB上截取AD=AQ,连接DM,故需再 证MQ=BD.易证△ADM≌△AQM,∴.MD=MQ,∴.只需证BD=DM, 即证∠DBM=∠DMB=40°，这是不难的. 乙的探究如图3，易证BQ=QC,∴.只需证AB+BP=AC 延长AB到点D,使BP=BD,连接DP,再证△DAP≌△CAP即可. 丙的探究如图4，因需证AB十BP=AC,故延长CB到点D,使DB=BA,连接DA,故只 需证DP=AC.事实上，易证DP=DA且DA=AC.读者不妨自己试着写出具体的证明过程. B 40° P C 40 40> D B 图2 图3 图4 能力平台 ©培优训练 (建议用时40分钟) B.4 c 1 D 1.如图，已知△ABC的面积为8cm,BP为∠ABC 的角平分线，AP⊥BP于点P,则△PBC的面积为 (）. A.3.5 cm2 B.3.9cm2 第3题图 第4题图 C.4 cm2 D.4.2cm2 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，角平分线AD,BE C 相交于点I,AI=3ID,AE=m,BD=n,则AB= D (用含m,n的式子表示). 5.如图，△ABC的内角∠ABC与∠ACB的角平分线 第1题图 第2题图 相交于点I.过点I的直线分别交AB,AC于D,E 2.如图，在四边形ABCD中，∠DAB十∠ABC=90°， 两点，△ADE,△ABC的面积分别记为S△ADE, 对角线AC,BD相交于点O,且分别平分∠DAB SA.若SE=2 S△ABC △ABC的周长为8，则AD+ 和∠ABC,若B0=40D,则A C的值为( AE的值为 A号 B号 c 3.如图，在△ABC(AB>AC)中，AB=nAC,AD, AE分别为△ABC的角平分线、中线，若DE= 2 BC,则n的值为() 6.如图，在△ABC中，∠BAC=36°，AD平分∠BAC, ·24· 第4讲角平分线 AE⊥AD交BC的延长线于点E,若CE=BA+ 接BE,SABE=4,则CE= AC,求∠B的度数 9.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，BC= AD+DB,求证：BD平分∠ABC. B DC B 7.已知AP是△ABC的外角平分线，连接PB,PC. (1)如图1. 10.如图，在△ABC中，AP平分∠BAC交BC于点 ①若BP平分∠ABC,且∠ACB=28°，求∠APB P,AQ平分△ABC的外角∠BAD,交CB的延长 的度数； 线于点Q,∠ABC=2∠C,AB=4cm,BP= ②若点P与点A不重合，请判断AB十AC与 3cm,求AC和BQ. PB十PC的大小关系，并证明你的结论， D (2)如图2，过点P作PM⊥BA,交BA的延长线 于点M,且∠BPC=∠BAC,求ACA5的值 AM 图1 图2 ⑧竞赛训练 (建议用时30分钟) 8.如图，在四边形ABCD中， ∠ADC与∠BCD的角平 分线交于点E,∠DEC= 115°，过点B作BF∥ADD 交CE于点F,CE=2BF,∠CBF=号∠BCE,连 5 ·25·