第3讲 全等三角形-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年八年级全一册数学

第3讲 全等三角形 臭情境课堂 古希腊几何学(1)一古希腊几何学的发展 古希腊所发展的几何学是所有近代数学的原动力，若要了解整个数学的架 构，必定要先了解古希腊几何学的发展.我们可将其分为三个阶段：(1)启蒙期： 主要人物有泰勒斯和毕达哥拉斯.泰勒斯为古希腊天文学与几何学之父，他对 一些几何图形做了系统的研究.毕达哥拉斯（毕式学派）首创集体创作，他同时 也是一位音乐家，发明了毕式音阶.他的毕式定理是几何学中的重要定理这个 希腊的巴台农神庙 学派认为“数”是宇宙万物的基础.(2)巅峰期：重要人物有欧几里得和阿基米德.欧几里得将前人的数学成果 加以整理，写成《Elements》(中文译为《几何原本》)这本书.他本身并没有什么重 EUROPA 大的数学突破，是一个数学的集大成者.阿基米德是三大数学家之一，他的成就 不胜枚举，以后我们将单独介绍他及他的贡献.(3)衰退期：自阿基米德及阿波 罗尼奥斯之后，希腊数学就渐渐进入衰退期.但在这一期间，仍有一位值得一提 EAAHNIKH△HMOKPATIA9O 的人物一一托勒密，他将三角函数发扬光大，天文学由此变成了科学界研究的 泰勒斯 热门学科 典例剖析 类型1)全等三角形的判定 例1如图，∠ABC=90°，点D,E分别在线段AB,BC的延长线上，且AD= BC,连接DC并延长与AE相交于点P.若∠APD=45°，求证：BD=CE ⑤【学找切入点】寻找条件构造全等.由AD=BC,∠DBC=90°构造与△DBC全等的 B 直角三角形，过点A作FA⊥AB且FA=BD,再利用平行四边形的性质得AF=CE,通 D 过等量代换即可得出结论. 变式1-13如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则与 △ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点都在格点上的 三角形)共有(). A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 ·13. 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 类型2)利用全等三角形证明线段的和差倍分关系 例2已知D为CF上一点，ABCF,过点E作直线交AB于点B,交CF于点C. 81 C D 一F FD 图1 图2 (1)如图1，若AE平分∠BAD,DE平分∠ADF,求证：AD=AB-CD (2)如图2，延长BA到点G,若AE平分∠DAG,DE平分∠ADC,求证：AD=CD一AB. ⑥【学找切入点】证明线段的和差倍分关系的常用方法有以下三种：①截长法；②补短法；③面积法.本例可 用截长法（或补短法）证明.(1)延长AD至点M,使DM=CD,再证AB=AM即可.(2)同理，延长DA至点 N,使AN=AB,再证CD=DN. 变式2-13如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE=BA,∠E= C,若DE三BD,AD=16,BD=20,求△BDE的面积 E C 类型3)利用全等三角形处理中点类问题 例3(2024，武汉中考)如图，在四边形ABCD中，ADBC,∠BCD=90°，E是 AB的中点，点F在边BC上，AD=2CF,EF与BD交于点G,求证：BG=FG. ⑤【学找切入点】延长FE交DA的延长线于点M,作FH⊥AD于点H.利用全等及 角相等证明.此题也可取BD的中点，利用平行四边形及直角三角形斜边上的中线证明. ·14· 第3讲全等三角形 变式3-1在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D为边AC上一点（不与端点重合），E 为△ABC外一点，连接BD,DE,BE,使∠BED=45°. (1)如图1，点E在BD右侧，DE交BC于点G,若BD=BG,∠ABD=a,求∠CBE的度数 (用含α的代数式表示). (2)如图2，点E在BD右侧，若AD=BE,F为边AB上一点，连接EF交BD于点O,若O 为EF的中点，求证：BF=DE. 图1 图2 拓展总结 中点类问题的处理方法 中点类问题的处理方法一般有以下三种：(1)将中线向中点方向延长，使延长的部分与中线长度相等，俗 称“中线倍长”；(2)作平行线；(3)作垂直， 类型4)利用全等三角形处理一线三等角模型 例4如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AE是过点A的一条直线，且点B,C在AE 的两侧，BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E. (1)求证：BD=CE+DE. (2)若直线AE绕点A旋转到如图2所示的位置(BD<CE),其他条件不变，则BD与DE, CE的关系如何？请说明理由， (3)若直线AE绕点A旋转到如图3所示的位置(BD>CE),其他条件不变，则BD与DE, CE的关系如何？请直接写出结果，无需证明， 图1 图2 图3 ⑥【学找切入点】(1)观察图形可知，欲证BD=DE十CE,只需证BD=AE,AD=CE,因此只需证△ABD≌ △CAE.(2)由(1)的分析知△ABD≌△CAE,得BD=AE,AD=CE,故DE=AD+AE=CE+BD,即BD= DE-CE ·15· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 变式4-1已知AC=BC,D是BC上一点，∠ADE=∠C (1)如图1，若∠C=90°，∠DBE=135°，求证：①∠EDB=∠CAD;②DA=DE (2)如图2，若∠C=40°，DA=DE,求∠DBE的度数 (3)如图3，请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有DA=DE成立. D D B 图1 图2 图3 类型5)利用全等三角形处理夹半角模型 夹半角指的是一个大角夹着一个大小只有它一半的角，常见的有90°角夹45°角、120°角夹 60°角、135°角夹67.5°角等 例5如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边 BC,CD上的点，且∠EAF-?∠BAD,求证：EP=BE+FD. ⑤【学找切入点】构造全等，通过证明两组三角形全等达到目的. B E 变式5-13如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B十∠ADC=180°，点E,F分别在BC,CD的 延长线上，∠BAD=2∠EAF.求证：EF=BE一DF 研讨乐园 例6如图，在△ABC中，BC=8,BC边上的高为3，作EB⊥AB于E 点B且AB=EB,CD⊥AC于点C且AC=CD,连接ED,将△ABC 沿BC翻折得到△FBC,从而得到一个凸五边形BFCDE,求五边形 BFCDE的面积. ·16· 第3讲全等三角形 ⑤【学找切入点】作辅助线构造全等三角形，使面积的计算变得简单。 【解】甲的探究如图1，过点B作BM⊥BC,且BM=BC,过点C作CN⊥BC,且CN= BC,BM交DE于点P,CN交DE于点Q,连接EM,DN. .∠ABE=∠MBC=90°，∠ACD=∠BCN=90°， ∴.∠EBM=∠ABC,∠DCN=∠ACB. .BE=AB=BF,CD=AC=CF, N M ∴.△BEM≌△ABC≌△BFC(SAS),△CDN≌△ABC≌ △CFB(SAS), P ∴.∠M=∠BCF,EM=FC,SABM=SABFC,∠NCD=∠BCF, ∴.∠M=∠NCD. .BM⊥BC,CN⊥BC,∴.BM/∥CN,∴.∠EPM=∠EQN. .'∠EQN=∠CQD,∴.∠EPM=∠CQD. 图1 I∠CQD=∠MPE, 在△CDQ和△MEP中，∠QCD=∠EMP, CD=ME, ∴.△CDQ≌△MEP(AAS),∴.CQ=MP,S△cQ=S△wMEp, ,'.S五边形BFCDE=S△BCF十S△CDQ十S△BEP十S四边形BCQP=S△BCF十S△BEM十S四边形BCQP 2SACF+Sǜ形p=2X2X8X3十7X8X(CQ+BP)=24+4XBM=24士32E 乙的探究如图2，取DE的中点P,连接BP并延长至点Q,使PQ=PB,连接DQ,CQ. ∴.DP=EP. (DP=EP, 在△DPQ和△EPB中，∠DPQ=∠EPB,∴.△DPQ≌△EPB(SAS), PQ=PB, .SADPQ=S△EPB,DQ=EB,∠PDQ=∠E. 在四边形DEBC中，∠EBC十∠DCB=360°-（∠CDE+∠E)=360°-∠CDQ. 依题意知∠ABE=∠ACD=90°， ∴.（∠EBC-∠ABE)+(∠DCB-∠ACD)=180°-∠CDQ, ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠CDQ. 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∴.∠A=∠CDQ. (AC=DC, 在△ABC和△DQC中，∠A=∠CDQ,∴.△ABC≌△DQC(SAS), 图2 AB-DQ, '.BC=QC,∠ACB=∠DCQ, ∴.∠ACD-∠DCQ+∠ACB=∠ACD, ·17· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 ∴.∠BCQ=∠ACD=90°，∴.△BCQ为等腰直角三角形， ·∴.S五边形BFCDE=S△EBP十S△BFC十S四边形BCDP=S四边形BCDQ十SAABC=S△BCQ十2S△ABC -号×8×8+2x号×8x3=56, 丙的探究如图3，过点E作EM⊥BC,过点D作DN⊥BC,过点A作AP⊥BC,分别交 BC或其延长线于点M,N,P. .∠ABE=∠ACD=90°，∠EMB=∠CND=90°， ∴.∠ABP=∠BEM,∠ACP=∠CDN. 又.AB=BE,AC=CD, ∴.△ABP≌△BEM(AAS),△ACP≌△CDN(AAS), 图3 ∴.AP=BM,BP=EM,SAABP=S△BBM,AP=CN,CP=DN,S△ACP=SACDN, ∴.S AABC=SAABP十S AACP=S△BEM+SACDN. 依题意知△ABC≌△FBC,AP=3,,.SAABC=SAFBC=S△BEM+SACDN, ∴.S五边形BFCDE=S四边形EBCD十S△FBC =S四边形BBCD十S△BEM十S△CDN 一S四边形DEMN 号·MN·EM+DN) F2·MB+BC+CN)·(BP+CP =2·2Ap-BC)·BC =A·BC+2BC=3X8+号×8=56. 能力平台 ©培优训练 (建议用时50分钟) ④若△ACP与△BPQ全等，则x=0.8或盖 1.如图，已知AB=10,AC=6,BD=8,其中∠CAB 以上说法正确的个数为(). =∠DBA=a,点P以每秒2个单位长度的速度沿 A.1 B.2 C.3 D.4 着C→A→B路径运动.同时，点Q以每秒x个单 位长度的速度沿着D→B→A路径运动，一个点到 达终点后另一个点随即停止运动.它们的运动时间 为t秒. ①若x=1,则点P的运动路程始终是点Q运动路 第1题图 第2题图 程的2倍；②当P,Q两点同时到达A点时，x=5; ③若a=90°，t=5,x=1,则△ACP≌△BPQ; 2.如图，C为线段BD上一动点（不与点B,D重合）， ·18· 第3讲全等三角形 ∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC,EC=DC,BE与 6.如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的 AD交于点O,BE与AC交于点M,AD与CE交 顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形.图中 于点N,连接MN,以下四个结论：①AD=BE; 可以画出与△ABC全等的格点三角形()个 ②MN∥BD;③AC⊥BE;④∠AOB=60°，其中正 (不含△ABC). 确的有( ). A.28 B.29 C.30 D.31 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D 3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，M为BC的中 在线段BC上，∠EDB=号∠C,BE1DE,垂是为 点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB,交HM 点E,DE与AB相交于点F,若BE=5,则△BFD 的延长线于点G,若AC=8,AB=6,则四边形 的面积为 ACGH周长的最小值是(). A.24 B.22 C.20 D.18 D H 第7题图 第8题图 M B 0 40 G 8.如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC= 第3题图 第4题图 90°，点D在△ABC的外部，且AB=AD,BD=5, 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D为线段BC上一 则四边形ABCD的面积为 动点（不与点B,C重合），连接AD,作∠ADE= 9.(1)理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三 ∠B=40°，DE交线段AC于点E,则下列结论中正 角形叫作偏等积三角形 确的有(). ①∠DEC=∠BDA; ⊙ ②若AB=DC,则AD=DE; ③当DE⊥AC时，D为BC的中点； 图1 图2 ④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD=40°. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角 平分线AD,BE相交于点P,过点P作PF⊥AD, 交BC的延长线于点F,交AC于点H,则有下列 图3 图4 如图1，在△ABC中，AB=10,AC=6,BC=9. 结论：①∠APB=135°；②PF=PA;③AH+BD= ①若P为AC上一点，当AP的长为 AB;④S四边形ABDE=2S△ABP.其中正确的有(). 时，△ABP与△CBP是偏等积三角形； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ②若Q是AB上一点，AQ=5,则△CAQ与 △CBQ (填“是”或“不是”)偏等积三 角形 (2)运用定义：如图2，D为BC上一点，△ABD与 D B △ACD是偏等积三角形，AB=4,AC=12,且 第5题图 第6题图 线段AD的长为偶数，则AD的长为 ·19· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 (3)拓展加深： ∠AFB=51°，求∠DFE的度数. ①如图3，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE =90°(0°<∠BCE<90),求证：△ACD与 △BCE是偏等积三角形； ②如图4，△ABC与△ADE是偏等积三角形， AB=AE,AC=AD,求证：∠BAC+∠DAE =180°. 13.如图1所示，在平面直角坐标系中，已知点A(a,6), B(6,一a),AC⊥y轴于点C,BDLx轴于点D. (1)求证：OA⊥OB. (2)如图2，连接AB,CD交于点M,若a=2,求点 M的坐标. (3)如图3，P是第一象限内一动点，Q是y轴正 ⑧竞赛训练 (建议用时40分钟) 半轴上一动点，连接BP,PQ,始终保持BP= PQ且BP⊥PQ,连接AQ,N为线段AQ的中 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边 作△ACD,满足AD=AC,E为BC上一点，连接 点，连接OP和NP,求证：∠OPN的大小为 定值. AE,2∠BAE=∠CAD,连接DE.下列结论中正 确的有(). ①AC⊥DE;②∠ADE=∠ACB;③若CD∥AB, 则AE⊥AD;④DE=CE+2BE A.①②③ B.②③④ C.②③ D.①②④ 北 图1 A M B B E 第10题图 第11题图 11.如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心(O 处)北偏西30°的A处，舰艇2号在指挥中心南偏 图2 东60°的B处，并且OA=OB.接到行动指令后， 舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前 进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时 的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇 分别到达E,F两处，若∠EOF=75°，EF=210海 里，则m的值为 12.如图，点C在线段AB上，DA⊥AB,EB⊥AB, 图3 FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB, ·20·2∠0)-12444.9 8 又因为∠BFE的度数为整数，所以当∠C=4°时， ∠BFE的度数最小，故∠BFE至少是113°. 第3讲全等三角形 例I如图，作AF⊥AB于点A,使AF=BD,连接DF,CF B ,AF⊥AB,.∠FAD=90°， .∠ABC=90°，∴.∠FAD=∠ABC. 又，∠DBC=180°-∠ABC=90°， ∠FAD=∠DBC. (FA-DB. 在△FAD和△DBC中，∠FAD=∠DBC, AD=BC, ∴.△FAD≌△DBC(SAS), .FD=DC,∠ADF=∠BCD. 又，∠BDC+∠BCD=90°， ∴∠ADF+∠BDC=90°，.∠FDC=90° 又：DF=DC,∴.△FDC为等腰直角三角形， ∠FCD=45. 又∠APD=45°，∴.∠FCD=∠APD,∴.CF∥AE. 又∠FAD=∠ABC=90°，∴.AFBE, .四边形AECF为平行四边形，.AF=CE, .AF=BD,..BD=CE. 例2(1)如图1，延长AD至点M,使得DM=CD,连 接EM. :DE平分∠ADF,∠ADE=∠EDF. 又：∠ADC=∠MDF,.∠CDE=∠MDE. (DE=DE, 在△EDC和△EDM中，∠CDE=∠MDE, CD=DM, ∴.△EDC≌△EDM(SAS),∴.∠C=∠M. ABCF,.∠B=∠C,∠B=∠M. 又，AE平分∠BAD,∴∠EAM=∠EAB. I∠B=∠M, 在△AEB和△AEM中，∠EAB=∠EAM, AE-AE, 参考答案与提示 ∴.△AEB≌△AEM(AAS),.AB=AM. .AM=AD+DM=AD+CD, .'.AB=AD+CD,AD=AB-CD B 图 图2 (2)如图2，延长DA至点N,使得AN=AB,连接NE 交AG于点P. .AE平分∠DAG,∴.∠PAE=∠DAE. 又.∠NAP=∠BAD,∴.∠NAE=∠BAE. AN-AB, 在△NAE和△BAE中，∠NAE=∠BAE, AE=AE, ∴.△NAE≌△BAE(SAS),∠N=∠B. ABCF,∠B=∠C,.∠N=∠C ,DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE. (∠N=∠C, 在△NDE和△CDE中，∠ADE=∠CDE, DE-DE, .△NDE≌△CDE(AAS),.ND=CD. .ND-AN+AD-AB+AD, ∴AB+AD=CD,即AD=CD-AB 例3如图，延长FE交DA延长线于点M,作FH⊥AD 于点H,则四边形CDHF是矩形 M. H B E是AB的中点，.AE=BE, :AMBC,∠AME=∠BFE,∠MAE=∠FBE, ∠MAE=∠FBE, 在△AME和△BFE中，∠AME=∠BFE, AE=BE, .△AME≌△BFE(AAS),∴.AM=BF, .AD=2CF,CF=DH,..AH=DH=CF, ∴.AM+AH=BF+CF,即MH=BC, 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 FH=DC, 在△MFH和△BDC中，∠MHF=∠BCD, MH=BC, .△MFH≌△BDC(SAS),∠AMF=∠CBD, 又，∠AMF=∠BFG,∴.∠CBD=∠BFG, ..BG=FG. 例A(1)BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E, ∠ADB=∠AEC=90°. ,∠BAC=90°，∠ADB=90°， .∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD, ∴∠ABD=∠CAE. 「∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中，∠ADB=∠CEA, AB-CA, '.△ABD≌△CAE(AAS), .'.BD=AE,AD=CE, .'.BD=AE=AD+DE=CE+DE. (2)BD=DE一CE.理由如下： BD⊥AE于点D,.∠DAB+∠DBA=90° .∠BAC=90°， ,.∠DAB+∠CAE=90°，∴.∠DBA=∠CAE. I∠ADB=∠CEA, 在△DBA和△EAC中，∠DBA=∠EAC, AB=CA, '.△DBA≌△EAC(AAS),.∴.BD=AE,AD=CE, ..BD-AE-DE-AD-DE-CE. (3)BD=DE-CE. 例5如图，延长EB到点G,使BG=DF,连接AG ,∠D+∠ABC=∠ABG+∠ABC=180°， ∠D=∠ABG. (AD=AB, 在△ADF和△ABG中，∠ADF=∠ABG, DF=BG, ∴.△ADF≌△ABG(SAS), .∠FAG=∠BAD,AF=AG '∠EAF=∠BAD=∠FAG, ∴.∠EAF=∠EAG. AG=AF, 在△EAG和△EAF中，X∠EAG=∠EAF, AE=AE, '.△EAG≌△EAF(SAS),,'.GE=EF. .GE=GB+BE=DF+BE,..EF=BE+FD. 【变式题组】 变式1]B提示： B 变式2-]如图所示，在BD上截取BF=DE,连接AF. y E ,∠ABD=180°-∠BDA-∠BAD=90°-∠BAD, ∠C=180°-∠ABC-∠BAD=90°-∠BAD, ∴∠ABD=∠C,:∠E=∠C,.∠ABD=∠E, (AB=BE, 在△ABF与△BED中，∠ABF=∠BED, BF=ED, ∴.△ABF≌△BED(SAS),.S△ABF=S△BDE. 5m=号BDAD=号×20X16=160,BF- 1 号×20-8， ∴.DF=BD-BF=20-8=12, SAMm=2XAD·DF=号×12X16=96, ,S△ABF=S△ABD-SAAFD, SABDE=SAABF=160-96-64. 变式3](1)如图1. R G D 图1 BD=BG,∠3=∠4 .∠1+∠E+∠BGE=180°，∠2+∠C+∠DGC= 180°，∠BGE=∠DGC,∠E=∠A=∠C=45°， .∠1=∠2. ∠2+∠3=∠A+∠ABD,∠4=∠1+∠E, ∴∠1+∠2+∠E=∠A+∠ABD, .2∠1=∠ABD. :∠ABD=a,∠CBE=a. (2)如图2，延长ED至点M,使EM=AB,连接BM, 作FNDE,交BD于点N, 4入 D 图2 (AB-EM, 在△ABD和△EMB中，∠A=∠BED, AD=EB, .△ABD≌△EMB(SAS),∴.BD=MB,∠ABD= ∠M,∠M=∠BDM,∴.∠ABD=∠BDM. FNDE,∴∠1=∠BDM,∠2=∠3， ∴∠1=∠ABD,.BF=NF. ∠2=∠3， 在△OFN和△OED中，3OF=OE, ∠4=∠5， .△OFN≌△OED(ASA), ..FN=ED,..BF=DE. 变式4▣(1)①∠ADE=∠C,∠CAD=180°-∠C- ∠ADC,∠EDB=180°-∠ADE-∠ADC, ∴∠CAD=∠EDB. ②如图1，在AC上截取CF=CD,连接FD(或在AC 上截取AF=BD,连接FD) .∠C=90,∴.∠CFD=∠CDF=45°， ∠AFD=135°=∠DBE. ,AC=BC,∴AC-CF=BC-CD,即AF=BD. ,∠ADE=∠C=90°， .∠A+∠ADC=90°，∠ADC+∠EDB=90°， ∠A=∠EDB, 参考答案与提示 「∠AFD=∠B, 在△AFD和△DBE中，AF=BD, ∠A=∠BDE, .△AFD≌△DBE(ASA),∴.DA=DE. B C D 图1 图2 (2)如图2，在AC上截取AG=DB,连接GD .AC=BC,.AC-AG=BC-BD,CG=CD, ∠CGD=∠CDG=18o°，∠C=70 2 :DA=DE,∠CAD=∠EDB(易证)，AG=DB, ∴.△AGD≌△DBE(SAS), ∴.∠AGD=∠DBE=110°. (3)∠DBE=90+2∠C 变式5-]在BE上截取BG=DF,连接AG(图略). :∠B+∠ADC=∠ADF+∠ADC=180°， ∠B=∠ADF, (BG=DF, 在△ABG和△ADF中，∠ABG=∠ADF, AB-AD, ∴.△ABG≌△ADF(SAS), .AG=AF,∠BAG=∠DAF. :∠BAD=2∠EAF,.∠GAE=∠FAE, (AG-AF, 在△GAE和△FAE中，∠GAE=∠FAE, AE=AE, ∴.△GAE≌△FAE(SAS), ∴EF=EG=BE-BG=BE-DF. 【能力平台】 1B提示：①若x=1,即点P的速度是点Q的2倍， 点P的运动路程是2t,点Q的运动路程为t, 故点P的运动路程始终是点Q运动路程的2倍，符 合题意. ②点P到达A的时间为6÷2=3秒，当x=5时，点 Q到达点A的时间为(8十10)÷5=3.6秒，3.6≠3， 不符合题意 目)培优竞赛超级课堂8年级数学 ③当a=90°，t=5,x=1时，如图1，此时AP=5×2 -6=4,BQ=8-5×1=3,.PB=10-4=6, 由∠A=∠B=90°，若△ACP≌△BPQ, 则AC=BP,AP=BQ或AC=BQ,AP=BP, 而AP≠BQ且AP≠BP,不符合题意， 图1 图2 ④由题意得，AP=2t一6，则QD=xt,PB=10一(2t一 6)=16-2t, 则BQ=8-xt,若△ACP与△BPQ全等，如图2， 则AC=BQ且AP=BP或AC=PB且AP=BQ, 即6=8-xt且2t一6=16-2t或6=16-2t且2t- 6=8-xt, 解得z=08或普，符合题意。 故选B. 2C提示：∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+ ∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD, (AC=BC, 在△BCE与△ACD中，∠BCE=∠ACD, EC=DC, ∴.△BCE≌△ACD(SAS), AD=BE,∠A=∠B,∠D=∠E,①正确， :∠ACN=180°-∠ACB-∠ECD=180°-60° 60°=60°，.∠ACB=∠ACN, ∠A=∠B 在△ACN与△BCM中，∠ACN=∠ACB, AC-BC, .△ACN≌△BCM(AAS),∴.CM=CN, ∴.△MCN是等边三角形， ∴.∠NMC=60°，∴.∠ABC=∠NMC, .MNBD,.②正确。 若AC⊥BE,则∠BMC=∠EMC=90°，，∠ACB= ∠ACE=60°，CM=CM,.△BCM≌△ECM(ASA), BC=EC=DC,而点C不一定是线段BD的中点， ③不一定正确. ,∠AOB=∠B+∠D=∠B+∠E=180°-∠ACB ∠ACE=180°-60°-60°=60°，∴.④正确。 故选C 3B提示：，CG∥AB,.∠B=∠MCG, M是BC的中点，BM=CM, (∠B=∠MCG, 在△BMH和△CMG中，人BM=CM, ∠BMH=∠CMG, ∴.△BMH≌△CMG(ASA), ∴.HM=GM,BH=CG ,AB=6,AC=8,∴.四边形ACGH的周长= AC+CG+AH+GH=AB+AC+GH=14+GH, .当GH最小，即MH⊥AB时，四边形ACGH的周 长有最小值， ∠A=90,MH⊥AB,∴.GH∥AC, .四边形ACGH为矩形，.GH=8, .四边形ACGH周长的最小值为14十8=22. 4C提示：①：∠ADC=∠B十∠BAD,∠B= ∠ADE=40°，∴∠BAD=∠CDE, :AB=AC,∠B=∠C,由三角形内角和定 理知∠DEC=∠BDA,故①正确. ②AB=AC,.∠B=∠C=40°， 由①知∠DEC=∠BDA, .AB=DC,.∴.△ABD≌△DCE(AAS), .AD=DE,故②正确， ③，DE⊥AC,.∠DEC=90, ∠C=40°，∴.∠CDE=50°， ∠ADC=90°，.AD⊥BC, ,AB=AC,∴.BD=CD, D为BC的中点，故③正确. ④.∠C=40°，.∴.∠AED>40°， .∠ADE≠∠AED, ,△ADE为等腰三角形， .AE=DE或AD=DE， 当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=40°， :∠BAC=180°-40°-40°=100°，∴∠BAD=60°， 当AD=DE时，∠DAE=∠DEA=70°， .∠BAD=30°，故④不正确 故正确的有①②③，共3个. 5D提示：，∠ACB=90°，.∠BAC+∠ABC=90°， 又，'AD,BE分别平分∠BAC,∠ABC, ∠BAD+∠ABE=号(ZBAC+∠ABC)=45, .∠APB=135°，故①正确， ∠BPD=45°，PF⊥AD, ∴.∠FPB=90°+45°=135°，∴.∠APB=∠FPB, 又∠ABP=∠FBP,BP=BP, .△ABP≌△FBP(ASA), ∠BAP=∠BFP,AB=FB,PA=PF,故②正确. 在△APH和△FPD中，'∠APH=∠FPD=90°， ∠PAH=∠BAP=∠BFP,PA=PF, ∴.△APH≌△FPD(ASA),∴.AH=FD, 又AB=FB,∴.AB=FD+BD=AH+BD, 故③正确。 如图，连接HD,ED. ,△ABP≌△FBP,△APH≌ △FPD, .S△APB=S△FPB,S△APH= S△FPD,PH=PD, ∠HPD=90°， D ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD, ∴HD/∥EP,∴.S△EPH=S△EPD, .S四边形ABDE=S△ABP十S△ABP十S△EPD+S△PBD= S△ABP+(S△AEP十S△EPH)+S△PBD=S△ABP十S△APH+ SAPBD=S△ABP十SAFPD+SAPBD=S△ABP+SAPBP= 2S△ABP,故④正确. 6D提示：每个3×3的正方形中可以画出8个与 △ABC全等的格点三角形，图中4×4的正方形中包 含4个3×3的正方形，.与△ABC全等的格点三 角形有4×8-1=31个. 75.提示：如图，延长BE至 M 点M,连接DM交AB于点 G,则△BDE≌△MDE(SAS, ∠BDE=∠MDE= 2∠C, .∠MDB=∠C=45°， ∴△BDG为等腰直角三角形， .∠MBG=∠FDG,△BGM≌△DGF(ASA), 1 DF-BM=2BE-2/5,SABFD-2X DF X BE- 1 ×25×5=5. 参考答案与提示 日华、提示：如图所示，作 AE⊥AD,并截取AE= AD,连接DE,CE,BE. .'∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAD=∠CAE. 又AB=AC=AD,在B (BA-CA, △BAD和△CAE中，∠BAD=∠CAE, AD=AE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE,BD=CE=5. 又，∠AHB=∠DHC,∴由三角形内角和定理可 得BD⊥CE. 设BD⊥CE于点K,,AB=AC=AD=AE,△BAD≌ △CAE,'.∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC. ,'∠ABC=∠AED=45°，∠ADB=∠AEC, ∴.∠DBC=∠CED. (BD=EC, :在△CDE和△DCB中，∠DBC=∠CED, BC=DE .△CDE≌△DCB(SAS), .∠BDC=∠ECD=45°，KD=KC,从而BK=EK, ∴∠EBK=∠BEK=45°，∴.BECD, Sme=2BD(EK+KC)=2BD.CE=合× 1 25-5 过点A作直线AG⊥CD于点G,则GA必垂直于 BF,∴.S△AD=2S△Ac. ,∠BAF+∠GAC=90°，∠BAF+∠FBA=90°， .∠GAC=∠FBA. '∠BFA=∠AGC, .在△BFA和△AGC中， ∠GAC=∠FBA, AB=AC, .△BFA≌△AGC(AAS),.S△BFA=S△McC, '.S四边形ABCD=SAABC十2S△ACG=S四边形ACGF 1 故答案为5。 9(1)①3.②是. 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 (2)如图1，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E, :△ABD与△ACD是偏等积三角形，且△ABD与 △ACD在BD,CD边上的高相等，.BD=CD. ∠E=∠BAD, 在△ECD和△ABD中，3∠EDC=∠ADB, CD-BD, ∴.△ECD2△ABD(AAS). ..ED-AD,EC=AB=4..AC-EC<AE<AC+ EC,AB=4,AC=12,∴.12-4<2AD<12+4, .4<AD<8. ,线段AD的长为偶数，AD=6 故答案为6. D 图1 图2 (3)①如图2，∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACD+∠BCE=180°. ,0°<∠BCE<90°， ∠ACD>90°，.∠ACD≠∠BCE. CA=CB,CD=CE,,△ACD与△BCE不全等. 作BF⊥CE于点F,AG⊥DC交CD的延长线于点 G,则∠G=∠BFC=90°， :∠ECG=180°-∠DCE=90°， ∴.∠ACG=∠BCF=90°-∠BCG. I∠G=∠BFC, 在△ACG和△BCF中，∠ACG=∠BCF, CA=CB, .△ACG≌△BCF(AAS),.AG=BF, ∴2CD·AG=2CE·BF,△ACD与△BCE 面积相等，.△ACD与△BCE是偏等积三角形. ②如图3，作DK⊥AE, 交EA的延长线于点 D K,作CH⊥AB于点H, △ABC与△ADE H 是偏等积三角形， ∴ZAE·DK=2AB,CH. 图3 .AB=AE,..DK=CH, (DK=CH, 在Rt△AKD和Rt△AHC中， AD=AC, .Rt△AKD≌Rt△AHC(HL), .∠DAK=∠BAC, .∴.∠BAC+∠DAE=∠DAK+∠DAE=180°. 1OB提示：如图，延长EB至点G,使BE=BG,连接 AG,设AC与DE交于点M. y GB E ,∠ABC=90°，.AB⊥GE,.AB垂直平分 GE,AG=AE,∠GAB=∠BAE=2∠DAC :∠BAE=名∠GAE,∠GAE=∠CAD, .∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC, .∴.∠GAC=∠EAD (AG=AE, 在△GAC与△EAD中，3∠GAC=∠EAD, AC=AD, .∴.△GAC≌△EAD(SAS), ∴∠G=∠AED,∠ACB=∠ADE,.②是正确的. :'AG=AE,∴∠G=∠AEG=∠AED, .AE平分∠BED. 当∠BAE=∠EAC时，∠AME=∠ABE=90°， 则AC⊥DE, 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE, 则无法说明AC⊥DE,.①是不正确的. 设∠BAE=x,则∠CAD=2x, ∠ACD=∠ADC=18022z=90-x, 2 'AB/CD,.∠BAC=∠ACD=90°-x, ∴.∠CAE=∠BAC-∠EAB=90°-x-x=90°-2x, .∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°-2x+2x=90°， ∴.AE⊥AD,∴.③是正确的. .'△GAC≌△EAD,'.CG=DE, .CG=CE+GE=CE+2BE,..DE=CE+2BE, ∴④是正确的. 1180.提示：如图，作∠E0E=150°且OE=OE,连 接BE :∠AOB=∠EOE=150°，OA=OB,OE=OE', ..易证△AOE2△BOE(SAS), ∠OBE=∠OAE=60°，.F,B,E三点共线. 设∠FOM=a,则∠AOE=45°-a, ∠FOE=a十30°+45°-a=75°， ∴∠EOF=∠E'OF,.△EOF≌△E'OF(SAS), .'.EF=E'F=E'B-BF, ÷210=90+,解得m=80, 北 B 第11题图 第12题图 2如图，连接BD,AE. DA=BC, 在△DAB和△BCF中，∠DAB=∠BCF, AB=CF, ∴.△DAB≌△BCF(SAS). ∴∠DBA=∠BFC,BD=BF. ∴.∠DBA十∠ABF=90°，即∠DBF=90° △DBF是等腰直角三角形，∴∠BFD=45°. 又.∠AFB=51°， .∠AFD=∠AFB-∠BFD=51°-45=6° 同理，∠EFB=6°， .∠DFE=∠AFB-∠AFD-∠EFB=51°-6°- 6°=39°. 13(1)A(a,6),B(6,-a), ..OC=OD=6,AC=BD=a, .∠ACO=∠BDO=90°，.△ACO≌△BDO(SAS), ∴.∠AOC=∠BOD,.∠AOB=∠COD=90°， .OA⊥OB (2)a=2,.A(2,6),B(6,-2). OC=OD=6,∴.∠OCD=∠ODC=45°， 如图1，作AE⊥AC交CD于点E, ACLy轴， ∴.∠ACE=∠AEC=45°，.AC=AE, 由(1)可知，△ACO≌△BDO, 参考答案与提示 ∴.AC=BD,∴.AE=BD,AE∥BD, ∴.∠EAM=∠DBM, .∠AME=∠BMD,∴.△AME≌△BMD(AAS), ∴.AM=BM,.M(4,2). M Q D ⊙ 图1 图2 (3)如图2，延长PN至点E,使PN=EN,连接EO, 并延长EA,BP交于点F (AN=NQ, 在△ANE和△QNP中，∠ANE=∠QNP, EN=PN, ,∴.△ANE≌△QNP(SAS),∴.AE=QP=BP, .∠AEN=∠QPN,则EAPQ, PQ⊥BP,.EF⊥BF, .OA⊥OB, .∴.∠OAE=∠OBP, AE=BP, 在△OAE和△OBP中，∠OAE=∠OBP, OA=OB, ∴.△OAE≌△OBP(SAS),.∴.OE=OP,OE⊥OP, ∴∠OPN=45°，即∠OPN的大小为定值. 第4讲角平分线 例1A;D 例2如图，过点P分别作PF⊥AD 于点F,PG⊥AE于点G,PH⊥ BC于点H. ,PA平分∠BAC,.PF=PG. D PB平分∠CBD,.PF=PH,∴.PG=PH. .PG⊥AE,PH⊥BC, 点P在∠BCE的平分线上，PC平分∠BCE. 例3(1)如图1，CD为所求角平分线. 5 D …… … … …i… DH 图1 图2