第2讲 与三角形有关的角-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年八年级全一册数学

目)培优竞赛超级课堂8年级数学 ②如图2，当∠BAC>90°时，过点A作AB的垂线 AP,交BC于点P. 由(1)知AD+BP>AB+AP .(AD+BC)-(AB+AC) =AD++BP+CP-AB-AC >AB+AP+CP-AB-AC =AP+CP-AC>0, ..AD+BC>AB+AC. 故当∠BAC≥90时，AD十BC>AB+AC. 第2讲与三角形有关的角 例1(1)1：4：4.(2)30°∠B<45°. 例2(1)C(2)B 例3(1)2∠A=∠1十∠2.理由如下： ∠ADE=180'24,∠AED-18o°22 2 2 在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180, ÷∠A+180,4+180,∠2=180 2 2 ∴.2∠A=∠1+∠2. (2)2∠A=∠1-∠2.提示：∠ADE=180°⊥。 2 ∠AED=180°+∠2 2 在△ADE中，，∠A+∠ADE+∠AED=180°， ∠A+180°2∠1+180时∠2-180 2 2 .2∠A=∠1-∠2. (3)∠A'+∠D'=180+号（☑1+∠2）. 例4(1)，BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB, ∴∠PBC=2∠ABC,∠PCB=2∠ACB. ÷∠BrC=18r-∠PBC-∠PCB=180-2(☑ABC +∠ACB)=180-2180-∠A)=90+2∠A (2):∠MBC=∠ABC,∠ACM=号∠AcD, ∠BCM=∠ACB+∠ACM,∠ACD是△ABC的外角， ·∠ACM=-∠ACD=3(∠ABc+∠A)= ∠ABC+7∠A, :∠M=180°-∠MBC-∠BCM=180°-2∠ABC -(∠ACB+∠ACM0=180°-∠ABC-∠ACB 2∠ABC-2∠A=2∠A. (3)∠N=90°-∠A.提示：∠EBC,∠PCB是 △ABC的外角， ∴.∠EBC=∠A+∠ACB,∠FCB=∠A+∠ABC, ∴ZNDC=∠EC=3∠A+∠ACB,∠CB -2∠FCB=2∠A+2∠ABC, ∴∠N=180°-∠NBC-∠NCB=180°-号∠A 3∠ACB-号∠A-号∠ABC=180-∠A 210-∠A)=907∠A (④a-c=2h.提示：由1)得∠BPC=90+2∠A =a°， 由2)得∠M=号∠A=6, 由3)得∠N=90-号∠A=C, a-c=90+2∠A-(90-2∠A）=∠A, ∴.a-c=2b. 【变式题组】 变式1回C提示：当点D在线段AB上且CE∥AB时， 如图1，∠CDB=∠ECD, 图1 图3 由折叠可知∠ECD=∠BCD,∴∠BCD=∠CDB. :∠ABC=90°，.∠CDB=∠BCD=45°，故B选 项错误。 当点D在点A左侧且AC∥DE时，如图2，∠EDB= ∠CAB=30°，由折叠可知∠EDC=∠CDB, ∠CDB=15°，故A选项错误. 当点D在点A右侧且AC∥DE时，如图3，∠CAB十 ∠ADE=180°. ,∠CAB=30°，∴.∠ADE=150°，由折叠可知∠CDB =∠CDE,∴∠CDB=75°，故D选项错误.故选C 变式2-]C提示：∠ABD=18°，∠ABC=90°， .∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-18°=72°. 由折叠可得∠DBE=∠DBC=72, ∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=72°-18°=54°. 变式2-24.提示：，∠A=20°， .∠ABC+∠ACB=180°-20°=160°， ∴.∠EBC+∠DCB=360°-160°=200°. 又，BA1和CA1分别平分∠EBC和∠DCB, ∴∠A,BC=2∠EBC,∠A,CB=2∠DCB, :∠A,BC+∠A,CB=(ZEBC+∠DCB)=X 200°=100°，∴.∠A1=180°-（∠A1BC+∠A1CB) =180°-100°=80°. :BA2和CA2分别平分∠EBA1和∠DCA1, ∴∠A,BA,=2∠EBA1,∠A,CA,=号∠DCA, ∴·∠EBA1+∠DCA1=∠EBC+∠DCB-(∠A1BC+ ∠A1CB)=100°， ∠A:BA:+∠A.CA,=☑EBA+∠DCA,)=50 ∴.∠A2BC+∠A2CB=100°+50°=150°， ∠A2=180°-150°=30°， 同理可得，∠A3BC+∠A3CB=175°，∴.∠A3= 180°-175°=5°，∠A4BC+∠A,CB=187.5°. ,187.5>180°，.无法组成三角形，此时两角平分 线是相交的，故n的值为4. 式3m:提示：由题意知∠EAD=弓∠CAB, ∠E:BD=3∠CBD,设∠E,AD=,∠E,BD=B, 则∠CAB=3a,∠CBD=3B,由三角形的外角的性质 得B=a+∠E,38=3a十∠C,∠E,=3∠C, 参考答案与提示 同理可得∠E2=子∠E1,∠E=(3)∠C,…, ∠E.=(分）广∠C,即∠E.=m 【能力平台】 1D 2A提示：：∠FGD+∠F=90°，∠BGH+∠DBE= 90°，∠FGD=∠BGH,∴∠DBE=∠F.故①正确. ,BE平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠CBE,∠BEF=∠CBE+∠C. ∴.2∠BEF=∠ABC+2∠C,∠BAF=∠ABC+ ∠C..2∠BEF=∠BAF十∠C.故②正确 ∠ABD=90°-∠BAC, .∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-9O°+ ∠BAC=∠CBD-∠DBE-9O°+∠BAC. ∠CBD=90°-∠C, ∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE, 由①得∠DBE=∠F, ∴∠F=∠BAC-∠C-∠F. .2∠F=∠BAC-∠C. ∠F=2(∠BAC-∠C).故③正确 ,∠ABC为锐角，∠BTH+∠BHT>90°. 又，∠BHT+∠EBH=90°，∴.∠EBH≠∠BTH. 又，∠BGH=∠ABD+∠BTH, ∴∠BGH≠∠ABD+∠EBH.故④错误. 3A提示：由折叠可知∠3=∠BFP,∠4=∠EFP. ∠3+∠BFP+∠4+∠EFP=180°， .2(∠3+∠4)=180°，∴.∠3+∠4=90°. ,FE>BF,在△BFE中，∠FBE>∠BEF 根据折叠可知，∠FBE=∠1十∠2，∠BEF=∠5+ ∠6，∴∠1+∠2>∠5+∠6. 4①②④.提示：，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O, ∴∠ABD=∠OBC=3∠ABC,∠OCB=∠AC0- ∠ACB,∠OBC+∠0CB=(∠ABC+∠ACB. .∠A+∠ABC+∠ACB=180°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A. '∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴.∠BOC= 目培优竞赛超级课堂 8年级数学 180-(Z0Bc+∠0CB)=180-号×(180-∠A)= 90+号∠A,故①正确， :CD平分∠ACF,∠DCF=2∠ACP. ,∠ACF=∠ABC+∠A,∠DCF=∠OBC+∠D, “∠D=2∠A,故②正确， ,∠MBC=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC, ∠ACB+∠A+∠ABC=180°， ∴.∠MBC+∠BCN=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC= 180°+∠A. BE平分∠MBC,CE平分∠BCN, .∠MBC=2∠EBC,∠BCN=2∠BCE, ∴∠EBC+∠BCE=S0+2∠A, :∠E+∠EBC+∠BCE=180°，∠E=180° (∠EBC+∠BCE)=180°-(90°+2∠A）=90° 合∠A,放③错误 '∠DCF=∠DBC+∠D,∴.∠E+∠DCF=90 -合∠A+∠DBC+7∠A=90+∠DBC ∠ABD=∠DBC, .∠E十∠DCF=90°+∠ABD,故④正确. 综上，正确的有①②④. 5280°. 62a一180°.提示：由作法得DE垂直平分AB,GF垂 直平分AC,,.MA=MB,NA=NC, .∠MAB=∠B,∠NAC=∠C, .∠MAN=∠BAC-∠MAB-∠NAC=∠BAC- (∠B+∠C). ∠B+∠C=180°-∠BAC, .∠MAN=∠BAC-(180°-∠BAC)=2∠BAC- 180°=2a-180°. 7D提示：分三种情况讨论。 ①当n<90时，如图1，连接A0并延长，由垂直平分 线的性质，知AO=BO=CO, 所以∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA. 故∠BOC=2(∠OAB+∠OAC)=2°. ②当n=90°时，如图2，可知∠BOC=180°=2×90°= 2n°. 图1 图2 图3 ③当n>90时，如图3，连接AO,由垂直平分线的性 质，知AO=BO=CO,所以∠OAB=∠OBA,∠OAC= ∠OCA,可知∠BOC=∠AOB+∠AOC=180°- 2∠OAB+180°-2∠OAC=360°-2°. 故选D. 8设三角形的三个内角为a,B,Y,且a≥B≥y,则n是三 角形某两个角的和，显然有B十y≤n≤a十B. a-y=24°，① 由题意知 a+B+y=180°，② 由①+②得2a十B=204°，则3a≥204°，a≥68°. 所以a+≤2a+B-68°=204°-68°=136°. 由②-①得B+2y=156°，则3y≤156°，y≤52°. 所以β+y≥3+2y-52°-156°-52°=104. 所以104°≤B+y≤n≤a十B≤136°， 故104°≤n≤136°. ⑨设锐角三角形最小角的度数为x,则最大角的度数为 (x+4x+y=180°，① 4x,另一角为y,于是有x≤y≤4x,② 4x<90°，③ 由①②式得20°≤x≤30°，由③式得x<22.5°， 故20°≤x<22.5°. 又因为x为正整数，所以x=20°，21或22°. 故满足条件的锐角三角形的内角的度数为(20°，80°， 80),(21°，75°，84)或(22°，70°，88). 1O∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA) =1Bo-∠CAB+∠CBA) =180-2180°-∠c) =90+7∠C 同理，∠BFE=90+号∠EDB. 所以∠BFE=90+是∠ADB=90+}(90+ 2∠0)-12444.9 8 又因为∠BFE的度数为整数，所以当∠C=4°时， ∠BFE的度数最小，故∠BFE至少是113°. 第3讲全等三角形 例I如图，作AF⊥AB于点A,使AF=BD,连接DF,CF B ,AF⊥AB,.∠FAD=90°， .∠ABC=90°，∴.∠FAD=∠ABC. 又，∠DBC=180°-∠ABC=90°， ∠FAD=∠DBC. (FA-DB. 在△FAD和△DBC中，∠FAD=∠DBC, AD=BC, ∴.△FAD≌△DBC(SAS), .FD=DC,∠ADF=∠BCD. 又，∠BDC+∠BCD=90°， ∴∠ADF+∠BDC=90°，.∠FDC=90° 又：DF=DC,∴.△FDC为等腰直角三角形， ∠FCD=45. 又∠APD=45°，∴.∠FCD=∠APD,∴.CF∥AE. 又∠FAD=∠ABC=90°，∴.AFBE, .四边形AECF为平行四边形，.AF=CE, .AF=BD,..BD=CE. 例2(1)如图1，延长AD至点M,使得DM=CD,连 接EM. :DE平分∠ADF,∠ADE=∠EDF. 又：∠ADC=∠MDF,.∠CDE=∠MDE. (DE=DE, 在△EDC和△EDM中，∠CDE=∠MDE, CD=DM, ∴.△EDC≌△EDM(SAS),∴.∠C=∠M. ABCF,.∠B=∠C,∠B=∠M. 又，AE平分∠BAD,∴∠EAM=∠EAB. I∠B=∠M, 在△AEB和△AEM中，∠EAB=∠EAM, AE-AE, 参考答案与提示 ∴.△AEB≌△AEM(AAS),.AB=AM. .AM=AD+DM=AD+CD, .'.AB=AD+CD,AD=AB-CD B 图 图2 (2)如图2，延长DA至点N,使得AN=AB,连接NE 交AG于点P. .AE平分∠DAG,∴.∠PAE=∠DAE. 又.∠NAP=∠BAD,∴.∠NAE=∠BAE. AN-AB, 在△NAE和△BAE中，∠NAE=∠BAE, AE=AE, ∴.△NAE≌△BAE(SAS),∠N=∠B. ABCF,∠B=∠C,.∠N=∠C ,DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE. (∠N=∠C, 在△NDE和△CDE中，∠ADE=∠CDE, DE-DE, .△NDE≌△CDE(AAS),.ND=CD. .ND-AN+AD-AB+AD, ∴AB+AD=CD,即AD=CD-AB 例3如图，延长FE交DA延长线于点M,作FH⊥AD 于点H,则四边形CDHF是矩形 M. H B E是AB的中点，.AE=BE, :AMBC,∠AME=∠BFE,∠MAE=∠FBE, ∠MAE=∠FBE, 在△AME和△BFE中，∠AME=∠BFE, AE=BE, .△AME≌△BFE(AAS),∴.AM=BF, .AD=2CF,CF=DH,..AH=DH=CF, ∴.AM+AH=BF+CF,即MH=BC,第2讲 与三角形有关的角 卑情境课堂 当代数学大师陈省身1980年在北京大学的一次讲学中妙语惊人：“人们常说，三角形的内角和等于 180°，但是，这是不妥的！”当时全场爆发了一阵笑声，于是陈教授作了精辟的解释：“三角形的内角和等于 180’不妥，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应该说‘三角形的外角和等于360’.”把目 光集中在内角，只能看到三角形、四边形、…、n边形的内角和分别是180°，360°，…，(n一2)·180°一公式 里出现了边数n.如果看外角呢？不论是三角形、四边形或n边形，外角和都是360°.这样就把一切可能的情 况用一个十分简单的结论概括起来，用一个与n无关的常量360°代替了与n有关的公式，找到了更一般的规 律.下面以五边形为例来说明（如图）. a.C A a As 设想一只蚂蚁在多边形的边界上绕圈子，每经过一个顶点，它的前进方向就改变一次，改变的角度恰好 是这个顶点的外角.爬了一圈，回到原处，因此角度改变量之和恰好是360°. 典例剖析 类型1三角形内角和定理的应用 例1(1)在△ABC中，若∠C=4∠A,∠A+∠B=100°，则∠A:∠B:∠C= (2)在锐角△ABC中，∠C=2∠B,则∠B的取值范围是 ⑧【学找切入点】(1)题目中已有两个方程，又知∠A十∠B十∠C=180°，故可列方程组，算出∠A,∠B, ∠C.(2)将题目中的等量关系和不等关系转化为关于∠B的不等关系即可. 变式1-1如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，D是直线AB上 的一个动点，连接CD,将△CDB沿着CD翻折，得到△CDE,当△CDE的 三边与△ABC的三边有一组边平行时，∠CDB的度数不可能是(). A B A.15° B.45° C.60° D.75° ·6· 第2讲与三角形有关的角 类型2利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和进行推理与计算 例2求解下列问题： (1)如图1，在△ABC中，点D在BC上.根据图中标示的度数，求p+q+r的值是多少？ ). A.140 B.150 C.160 D.180 30 309 209 B9° x°70 D C 50AX XB 609 图1 图2 (2)图2是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C,且∠CAB,∠CBA,∠E保持不变.为了 舒适，需将∠D=20°进行调整，使得∠EFD=130°，则∠D应调整为(). A.10° B.30 C.40 D.50° ⑥【学找切入点】(I)利用内角和定理及外角的性质求解.(2)连接C℉并延长，得外角，利用外角性质求解. 例3求解下列问题： (1)如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A'的位置.试写出 ∠A与∠1十∠2之间的关系，并说明理由. (2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部点A'的位置.此时 ∠A与∠1，∠2之间存在什么样的关系？直接写出： (3)如图3，把四边形ABCD沿EF折叠，使点A,D分别落在四边形BCFE内部点A',D'的 位置.直接写出∠A',∠D',∠1与∠2之间的关系： 图1 图2 图3 ⑥【学找切入点】1)∠ADE=180°，⊥，∠AED=180°，∠2，再利用三角形的内角和列式.(2∠DEC为 2 △ADE的外角，∠DEC=∠A+∠ADE=∠A+180°，⊥，而∠2=2∠AED-180,:∠AED= 2 ∠2+180 2 ,再利用∠DEC十∠AED=180°列式，最后化简可得答案；也可在△ADE中利用三角形的内角和列 ·7· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 式.(3)同样利用翻折前后对应角相等及内角和或外角解决. 变式2-13如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为边AC上一动点，将△CBD沿着直线BD对 折得到△EBD.若∠ABD=18°，则∠ABE的度数为(). A.34° B.42° C.54° D.62 B A,A2 ⊙ 变式21图 变式2-2图 变式2-2如图，在△ABC中，∠A=20°，∠EBC,∠DCB为△ABC的外角，∠EBC与∠DCB 的平分线交于点A1,∠EBA1与∠DCA1的平分线交于点A2,·,∠EBAm-1与∠DCAm-1的平 分线相交于点Am,当两条角平分线无交点时，n的值为 类型3)三角形的内角、外角与角平分线 ,例4求解下列问题： (1)如图1，在△ABC中，BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB.求证：∠BPC-90+2∠A. (2)如图2，在△ABC中，BM平分∠ABC,CM平分△ABC的外角∠ACD.求证：∠M= 2A. (3)如图3，BN,CN分别平分△ABC的外角∠EBC,∠FCB.则∠N与∠A的数量关系是 (4)如图4，△ABC的两内角平分线交于点P,两外角平分线交于点N,一内角平分线与一外 角平分线交于点M.设∠BPC=a°，∠M=b°，∠N=c°，则a,b,c之间的关系是 IA 图1 图2 图3 图4 ⑤【学找切入点】(I)先根据三角形角平分线定义表示出∠PBC与∠PCB,再根据三角形内角和定理求解。 (2)先根据三角形外角定理求出∠ACD,再根据三角形内角和定理求解.(3)先根据三角形外角定理求∠EBC 与∠FCB,再根据三角形内角和定理求解.(4)由(1)(2)(3)的结论很容易得出结论. ·8· 第2讲与三角形有关的角 变式3-1(2024，达州中考)如图，在△ABC中，AE1,BE1分别是内角 ∠CAB,外角∠CBD的三等分线，且∠E,AD=3∠CAB,∠EBD= ∠CBD,在△AB,中，AE,E:分别是内角∠EAB,外角∠E,BD 的三等分线，且∠E,AD=号∠EAB,∠E,BD=号∠EBD,,以此规律作下去，若∠C=m, 则∠En= 研讨乐园 例5在平面内，对于∠P和∠Q,给出如下定义：若存在一个常数t(t>0),使得∠P十t∠Q 180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”.例如，∠P=80°，∠Q=20°，有∠P+5∠Q=180°，则∠Q 是∠P的“5系数补角”.AB/∥CD,E为直线AB上一点，F为直线CD上一点 (1)如图1，G为平面内一点，连接GE,GF,∠DFG=50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补 角”，求∠BEG的大小 (2)如图2，连接EF.H为平面内一动点（点H不在直线AB,CD,EF上），∠EFH与 ∠FEH两个角的平分线交于点M.若∠BEH=a,∠DFH=B,∠N是∠EMF的“2系数补角”， 求出∠N的大小的所有情况.（用含α和B的代数式表示） B D -D 图1 图2 ⑤【学找切入点】(I)设∠BEG=m,∠EGF=n,根据三角形外角的性质和∠BEG是∠EGF的“6系数补 角”，列方程组求解即可.(2)分六种情况画出图形，分别求解即可. 【解】(1)如图3，设∠BEG=m,∠EGF=n,AB与GF相交于点H, H .ABCD,∠DFG=50°，∴.∠BHG=∠DFG=50°， ∴.∠BEG+∠EGF=∠BHG=50°， C F 即m+n=50°.① 图3 .∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，∴.∠EGF+6∠BEG=180°，即n+6m=180°.② m+n=50°， m=26°， 联立①②，得 +6m180,解得n=24 即∠BEG=26°. (2),∠N是∠EMF的“2系数补角”， ∴∠EMF+2∠N=180,∠N=90-2∠EMR. 如图4，.'∠EFH与∠FEH两个角的平分线交于点M, 图4 ·9· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 ∴∠MEF= ∠IHEP,∠MFE=-∠HPE. ∠EMr=180-∠MEF-∠MFE=180-(∠HEF+∠HFE)=180-180° ∠EHP)=90+2∠EHR, 过点H作HG∥AB,.ABCD,∴.ABCD∥HG, 则∠EHG=∠AEH=180°-∠BEH=180°-a,∠FHG=∠CFH=180°-∠DFH=180°-B, ÷∠BMF=90+号∠EHf=-90r+∠EHG+∠FHG=90+2180°-a+180-90=270 2(a十B), 如图5，同理可得，∠BM=90+2∠EIr=90+号（a+, ∴∠N=s0-∠EMF=0-29o+2a+=45-4a+m. ∠1B PH F 图5 图6 如图6，，ABCD,∴.∠1=∠DFH=B,∴.∠H=∠1-∠BEH=B-a, ∴∠EMF=90+2∠EHF=so+2g-e. ∴∠N=90-号∠EMr=90-209o+g-a)=45-g-e. 如图7，同理可得，∠EMF=90+∠EHF=90+e-m。 ∴∠N=90-2∠BM=90-290+号a-8)=45°-}a-m. H B M D 图7 图8 图9 如图8，同理可得，/BMF=90十3/FHF=90+2a). ·10· 第2讲与三角形有关的角 ∠N=0∠BMF=9020+a-=46am. 如图9，同理可得，∠EM=90°+2∠EHF=S0+合8-)， ∠N=90-2∠EMF=90°-290+2-a)=45°-7g-a. 综上可知，∠N的大小为a+)-45或46-a+或45°4a一D或46°-寻日-a). 能力平台 ⑤培优训练 (建议用时30分钟) 1.当三角形中一个内角B是另外一个内角a的2时， 我们称此三角形为“友好三角形”.如果一个“友好 入A4 F 三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角 图1 图2 形”的“友好角α”的度数为(). A.∠3+∠4=90°，∠1+∠2>∠5+∠6 A.108°或27° B.108°或54 B.∠3+∠4=90°，∠1+∠2<∠5+∠6 C.27或54°或108 D.54°或84°或108° C.∠3+∠4≠90°，∠1+∠2>∠5+∠6 2.如图，在锐角△ABC中，∠BAC>∠C,BD,BE分 D.∠3+∠4≠90°，∠1+∠2<∠5+∠6 别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长 4.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于 线上，FH⊥BE,分别交BA,BD,BC于点T,G, 点O,∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的 平分线相交于点D,与∠ABC的外角平分线相交 H,则有下列结论： 于点E,则下列结论一定正确的是 (填 ①∠DBE=∠F;②2∠BEF=∠BAF+∠C; 序号) ③∠F=(∠BAC-∠C):④∠PGH=∠ABD+ ①∠B0C=90+2∠A,@∠D=2∠A;③∠E= ∠EBH.其中正确的是(). ∠A:④∠E+∠DCF=90°+∠ABD. H C A.①②③ B.①③④ E A 2 4>C C.①②④ D.①②③④ 第4题图 第5题图 3.如图1为一张五边形纸片ABCDE,点F在CD 5.如图，已知∠A=40°，则∠1+∠2十∠3+∠4的度 上，且以BE,BF,FE为折线将纸片向内折至同一 数为 平面后，点A,C,D恰好重叠在同一点P,如图2所 6.如图，在△ABC中，∠BAC>90°，分别以点A,B 示.若BE>FE>BF,则根据图2中标示的角判 断，下列叙述正确的是(). 为圆心，以大于号AB长为半径画弧，两孤交于点 ·11· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 D,E,作直线DE,交BC于点M,分别以点A,C 9.锐角三角形的内角用度数表示时，所有角的度数为 为圆心，以大于2AC长为半径画弧，两弧交于点 正整数，最小角的度数是最大角的度数的子，求满 F,G,作直线FG,交BC于点N,连接AM,AN.若 足此条件的所有锐角三角形的内角的度数， ∠BAC=a,则∠MAN= E ⑧竞赛训练 (建议用时30分钟) 7.(经典，“希望杯”)在△ABC中，AB边的垂直平分 线与AC边的垂直平分线相交于点O,已知∠BAC =n°，则∠BOC=(). A.2n° B.360°-2n° C.180°-n° D.2n°或360°-2n9 8.已知三角形的一个角为(180一n)°，最大角与最小 10.三角形内角平分线的交点称为内心.如图所示，点 角的差为24°，求n的取值范围. D是△ABC的内心，点E是△ABD的内心，点 F是△BDE的内心.若∠BFE的度数为整数，则 ∠BFE至少是多少度？ B ·12·