第1讲 与三角形有关的线段-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年八年级全一册数学

第1讲 与三角形有关的线段 卑情境课堂 三角形是最基本的图形之一，是研究其他图形的基础。 三角形是一个从简单情形出发，逐步走向深刻的最具典型性的数学研究对象， 1595年，皮蒂斯楚斯所著的《三角学：解三角形的简明处理》在法兰克福出版，由此三角形升华为三角学」 18世纪，法国人雅克·卡西尼经过7年努力，用400个三角形和18条直线完成了对法国全境的三角划 分，并以此为基础绘制了法国地图 人们认识事物的自然趋势是向前推进，但推进的道路并不平坦，有时需要以退求进. 退，即从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从空间退到平面.先解决简单的情形，再处理 特殊的对象，最后通过联想、猜想，归纳一般性的结论 g 典例剖析 类型1)三角形三边的不等关系 例1(2025，连云港中考)下列长度（单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是(）. A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,5,8 D.4,5,10 ⑤【学找切入点】考查三角形三边关系.判断能否组成三角形的简便方法是看较短的两条边的和是否大于第 三条边. 变式1-1已知三角形的三边长分别是x,x一1，x十1，则x的取值范围为 拓展总结 三角形三边的关系 三角形的三边长为a,b,x(0<a≤b),则有b一a<x<a十b. 例2求解下列问题： (1)若一个等腰三角形的三边分别为4,3a一2,6a一6，则这个三角形的周长为 (2)在等腰△ABC中，AB=AC,一腰上的中线BD将三角形的周长分为15和21两部分， 则这个三角形底边BC的长为 ⑤【学找切入点】(1)需对腰长分类讨论，利用三角形的三边关系检验并取舍结果.(2)一腰上的中线BD把 三角形分成两部分，但没有说明哪一部分的长为15、哪一部分的长为21，故也需分类讨论。 ·1· 目)培优竞赛超级课堂8年级数学 变式1-2如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的 中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有(). A.4个 B.5个 B M C.6个 D.7个 类型2)三角形的高、中线与角平分线 例3如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点 E,F为AB上一点，且CF⊥AD于点H.下列判断中正确的个数是( ) ①BG是△ABD的边AD上的中线； ②AD既是△ABC的角平分线，也是△ABE的角平分线； D ③CH既是△ACD的边AD上的高，也是△ACH的边AH上的高， A.0 B.1 C.2 D.3 ⑥【学找切入点】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可 例4(2025，广安中考)已知△ABC的面积是1. (1)如图1，若D,E分别是边BC和AC的中点，AD与BE相交于点F,则四边形CDFE的 面积为 (2)如图2，若M,N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，AM与BN相交于点 G,则四边形CMGN的面积为 D 图1 图2 ⑤【学找切入点】利用中线分成的两个三角形的面积相等.连线形成中线，(I)中连接DE,有S△D0= 合5ax=Sa,Sag5ae=号Sam多次使用百东关系列式。 1 1 1 变式2-1如图，在△ABC中，D,E分别为线段AC,BC上的点，且CD=3AD,BE=2EC,连接 AE,BD交于点F,连接CF,若△ADF的面积为1，则△ABC的面积为 F G 变式21图 变式2-2图 变式2-23如图，△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共交点为G,H为DC的中点，若S△ABC 12,则图中阴影部分的面积为 ·2· 第1讲、与三角形有关的线段 拓展总结 三角形中重要线段的定义与性质 1.三角形的高：从顶，点向它所对的边画垂线，则顶点到垂足间的线段叫作这条边上的高，且三条高或其 延长线相交于一点（垂心）.求高的常见方法有等面积法， 2.三角形的中线：顶，点与对边中，点间的线段，且三条中线相交于三角形内一点（重心）.由三角形的每一 条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，可进一步证出重心分中线比为2：1. 3.三角形的角平分线：顶，点与角平分线和对边交点间的线段，且三条角平分线相交于三角形内一点（内心） 类型3)利用三角形任意两边之和大于第三边的性质证明 例5观察并探究下列问题： 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC (填“>”“<”或“=”)AB +AC. (2)将(1)中的点P移到△ABC内，如图2，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大 小，并说明理由、 (3)将(2)中的点P变为两个点P1,P2,如图3，试观察比较四边形BPPC的周长与 △ABC的周长的大小，并说明理由 ⑤【学找切入点】证明线段的不等关系，通常是先把要证明的不等式中所包含的线段转化到一个三角形或几 个三角形中，再利用三角形三边的不等关系来解决.常需添加辅助线或构造包含特征线段的三角形. 变式3-1如图，已知O为△ABC内任意一点， (1)求证：0A+OB+0C>2(AB+BC+AC). (2)求证：AB+AC+BC>OA+OB+OC. (3)若A,B,C为三个城镇，AB+AC+BC=10km,要在△ABC的区域内建造供水站O向 三个城镇按如图路线供水，则所需供水管的长度应满足什么条件？ ·3· 目)培优竞赛超级课堂 8年级数学 研讨乐园 例6(1)将一条长15cm的线段截为三段，使每条线段长度的数值都是整数，用这三条线段能 组成 个不全等的三角形 (2)边长为整数，周长为20的等腰三角形有 个 (3)周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有 个 ⑤【学找切入点】(1)三角形最长边不大于7且为整数，可先确定最长边，再讨论另外两边. (2)将三边关系转化为最长边的不等关系，得到最长边的范围，从而确定三角形的个数. (3)综合利用(1)、(2)问的方法确定最长边的范围，再列举， 【解】(1)设三角形三边为x,y,之(x≥y≥之)，显然x≤7. 当x=7时，若y=7,6,5,4,则对应的有之=1,2,3,4，共有4个三角形 当x=6时，若y=6,5,则对应的有之=3,4，共有2个三角形 当x=5时，则y=5,之=5，仅有1个三角形 综上，一共有4十2十1=7个三角形 (2)设三角形三边分别为a,b,c,且a≥b≥c,a十b十c=20,则a≥7.又由b十c>a,则2a< 20,a<10,因此7≤a≤9，可列出(a,b,c)的可能值：(9,9,2)，(9,8,3)，(9,7,4)，(9,6,5)，(8,8， 4),(8,7,5),(8,6,6),(7,7,6),其中等腰三角形有(9,9,2)，(8,8,4)，(8,6,6)，(7,7,6)，共4个 a+b+c=30, (3)设三角形三边长为a,b,c,且a<b<c,则有{ a+b>c>b-a. 故2c<a+b+c=30,c<15. 又3c>a+b+c=30,则c>10.即10<c<15. 当c=14时，有5解：b=13,a=3;b=12,a=4;b=11,a=5;b=10,a=6;b=9,a=7. 当c=13时，有4解：b=12,a=5;b=11,a=6;b=10,a=7;b=9,a=8. 当c=12时，有2解：b=11,a=7;b=10,a=8. 当c=11时，有1解：b=10,a=9. 故周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个 一能力平台 ©培优训练 (建议用时40分钟) 活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识 1.有四根长度分别为2,4,5，x(x为正整数)的木棒， 的理解.小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高 从中任取三根，首尾顺次相接都能围成一个三角 之比可以为1：1：2,1：2：3,2：3：4,3：4：5.” 形，则围成的三角形的周长() 老师说有一个三角形是不存在的，你认为不存在的 A.最小值是8 B.最小值是9 三角形的三条高之比是( C.最大值是13 D.最大值是14 A.1:1:2 B.1:2:3 2.在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学 C.2:3:4 D.3:4:5 ·4· 第1讲、与三角形有关的线段 3.已知n为整数，若一个三角形的三边长分别为4n ③若k=1,4≤号a,0,6为三个连续整数，且 十31，n一13,6n,则所有满足条件的n值的和为 (). a<b<c,则满足条件的△ABC的个数为7. A.28 B.48 C.36 D.29 ⑧竞赛训练 (建议用时40分钟) 4.有下列两个说法：①已知△ABC的三边长为a,b, 8.(经典，“希望杯”)三条边长都是质数的三角形可能 c,则以a-b|+1,lb-c|+1,|c-a|+1为边长 是( ) 的三角形一定存在；②设△ABC的三边长为a,b, ①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④等 c,△A1B1C1的三边长为a1,b1,c1,且a>a1,b> 腰三角形；⑤等边三角形. b1,c>c1,则△ABC的面积一定大于△A1B1C1的 A.①②③④ B.②③④⑤ 面积.以上两个说法( C.①③④⑤ D.①②③④⑤ A.都对 B.都错 9.(经典，“希望杯”)周长是34，三边长都是整数且互 C.①对，②错 D.①错，②对 不相等的三角形有个 5.将长度为2n(n为不小于4的自然数)的一根铁丝 10.(经典，“希望杯”)一个周长为2021的三角形，三 折成各边长均为整数的三角形.把三边长分别为 边长均为质数，它的最长边与最短边的差最大是 a,b,c且满足a≤b≤c的三角形简记为数组(a,b, c),如当n=4时，有(2,3,3). 11.若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不 (1)就n=5,6的情况，分别写出所有满足题意的 规则三角形，用一个正方体上的任意三个顶点构 (a,b,c). 成的所有三角形中，不规则三角形的个数是 (2)根据前面的结果猜想：当铁丝的长度为2n(n为 不小于4的自然数)时，对应的(a,b,c)的个数 12.在△ABC中，∠BAC≥90°，AD是BC边上的高， 是 ·为了检验这个猜想是否正确，请分 求证：AD+BC>AB+AC. 别写出当n=8,10时所有的(a,b,c),并判断这 个猜想 (填“正确”或“不正确”) 6.(经典，“希望杯”)已知一个三角形的三条边的长分 别为n十8,2n+5,5n一4，若这个三角形的三条边 都不相等，且n为正整数，则n的可能取值有 个 7.(2025,湖南中考)已知a,b,c是△ABC的三条边 长，记1=（侣）广+（伦）广，其中为整数 (1)若三角形为等边三角形，则t (2)下列结论正确的是 (填序号). ①若k=2,t=1,则△ABC为直角三角形； @若及=1a=6+2c=1,则5<<1： ·5·参考答案与提示 第1讲与三角形有关的线段 (2)如图2示，连接MN, 例1B提示：1十2=3，不能构成三角形，A项错误；2十 ,点M,N分别是边BC和AC上距离C点最近的6 3>4,能构成三角形，B项正确；3十5=8，不能构成三 等分点，CM=若BC,CN=合AC, 角形，C项错误；5十4<10，不能构成三角形，D项错 误.故选B. 例2(1)11或14.(2)8或16. 1 例3C提示：，G为AD的中点，BG是△ABD的 :△ABC的面积是1，.S△Cw=36 边AD上的中线，①说法正确； 心点M是BC上靠近点C的六等分点，5， :∠1=∠2，.AD是△ABC的角平分线，AG是 5 △ABE的角平分线，②说法错误； 漂-器 -CM-5SAB-36' ·CF⊥AD,∴.CH既是△ACD的边AD上的高， 器浴 也是△ACH的边AH上的高，③说法正确. ∴.BG=6NG,∴.BN=BG+NG=7NG, 丽(1片 (2)21 提示：(1)如图1所示，连接DE, 二器流- ,点D,E分别是边BC和AC的中点， ∴.S西边形OMGN=SAnG十SACMN= 5111 52千36-21 例5(1)<.提示：三角形两边之和大于第三边. S△cD B B AB (2)△BPC的周长小于△ABC的周长.理由如下： 如图1，延长BP交AC于点M! .△ABC的面积是1， 41 在△ABM中，BP+PM<AB+AM,① 在△PMC中，PC<PM+MC,② ,点D是BC的中点，∴.SABDE=S△cDE= 4 由①+②得BP+PC+PM<AB+AC+PM, 紫器 1 '.BP+PC<AB+AC,故△BPC的周长小于△ABC 1 2， .BF=2EF,.BE= 的周长 (3)四边形BP1P,C的周长小于△ABC的周长.理由 BF+EF=3EF, .SADEE _EF EF 1 S△BDE BE3EF=3' 如下： 如图2，分别延长BP1,CP2交于点M,BM+CM< ∴.SADEF=12 1 ∴.S四边形CDFE=SADEF十S△cDE=4 AB+AC. 23,放答案为 11 又，P1P2<PM+P2M, 3 ..BP+P P2 +P:C<BM+CM<AB+AC. 故四边形BP1P,C的周长小于△ABC的周长. 图 图2 图 图2 昼培优竞赛超级课堂 8年级数学 【变式题组】 变式1回x>2.提示：三角形的三边长分别是x, x-1,x+1,.x+1-(x-1)<x<x+1+(x 变式3](1)在△AOB中，OA+OB>AB,① 1),解得x>2. 在△AOC中，OA+OC>AC,② 在△BOC中，OB+OC>BC.③ 变式1-☑A提示：，△ABC的周长为22，△ABM的周 由①+②+③得2(OA+OB十OC)>AB+AC+BC, 长比△ACM的周长大2， .2<BC<22-BC,解得2<BC<11, 故OA+OB+0C>号(AB+BC+AC). 又，△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比 (2)AB+AC>OB+OC,④ △ACM的周长大2，÷AC=-2-BC-2为整数， 同理，AB+BC>OA十OC,⑤ 2 .BC边的长为偶数，∴BC=4,6,8,10, AC+BC>OA+OB.⑥ 由④+⑤+⑥得2(AB+AC+BC)>2(OA+OB 即BC长的可能值有4个. 变式2-]36.提示：CD=3AD,S△DF=1, +OC), 故AB+AC+BC>OA+OB+OC. .S△cDp=1X3=3, (3)由AB+AC+BC=10km,O为△ABC内一点以 ∴.S△MCm=S△ADF+S△cDF=1+3=4. 设S△ABF=x,S△BEF=y, 及I(2)知号(AB+BC+AC)<OA+OB+OC< 则S△ABD=SAABF+S△ADF=x十1. AB+BC+AC,所以5km<OA+OB+OC<10km BE=2EBC,SAe=y,Sar=之 所以水管的长度应在5km到10km之间. 1 【能力平台】 ∴SABD=SABr+SAcE+SACF=y十2y十3= 1D 2B y+3. 3 3B提示：分两种情况讨论： .CD=3AD,AD CD=1:3,.SAABD n-13+6n>4n+31, ①若n-13<6n≤4n十31，则 6m≤≤4n+31, 5m=1:3,即(x+1D:(3y+3)=1:3, .正整数n为15. 1 i.=7y. n-13+4n+31>6m, ②若n-13<4n+31≤6m,则 .BE 2EC,SAABE 2SMACE =2(SMACF+ 4n+31≤6n, S)=2×(4+2）=y+8, 解得≤<18、∴正整数n为16或17. 又，S△ABE=S△ABr十S△Er=x十y,∴y+8=x十y, 综上所述，所有满足条件的n值的和为15+16+ 即x=8,而x=名，∴y=16,即5e=x=8, 17=48. 4C提示：说法②错.反例1：一个钝角三角形的边长 1 SAEF=y=16,SACEF=2=8,SMMKC=SAADF+ 为5,10,14，S1≈17.605；另一个锐角三角形边长为 S△cDF+S△ABr十SABEF十S△ar=1十3+8+16+8=36. 4.8,9,10,S2≈21.576. 故答案为36. 反例2，如下图： .1 变式2五3.提示：由题意知SAam=SAm=2SAAc- 53 10 10 X126M SAnG-SAMG-SAN-SN 15° 200+1003 1.9×6 S,=25 S,=43.32 1 SADC:,H.SAGHC-2 SADGC SABGF +SAGHC= 5(1)当n=5时，有(2,4,4)，(3,3,4)；当n=6时，有 参考答案与提示 (2,5,5),(3,4,5),(4,4,4). 8C提示：边长都是3的三角形既是等边三角形也是 (2)n-3;不正确.提示：猜想：对应(a,b,c)的个数 锐角三角形，所以①和⑤符合要求； 是n-3. 边长分别是2,2,3的三角形既是等腰三角形也是钝 当n=8时，有(2,7,7)，(3,6,7)，(4,5,7)，(4,6,6)， 角三角形，所以③和④符合要求； (5,5,6),共5个，5=8一3，猜想正确. 对于②，设一个直角三角形的三边长为a,b,c(c是斜 当n=10时，有(2,9,9)，(3,8,9)，(4,7,9)，(4,8,8)， 边长)，由勾股定理，有a2+b2=c2. (5,6,9),(5,7,8),(6,6,8),(6,7,7),共8个，8≠ 当a,b,c都是质数时，其中必然既有奇数也有偶数，即 10一3，猜想不正确. 必然有一个是2，因为2是最小的质数，所以2一定不 66. 是斜边长.不妨设a=2,则有c一b<2,于是c一b=1, 7(1)2.(2)①②.提示：(1)由题可知t=1k+1= 所以质数c和b中必有一个是偶数，故只能是c=3, 1+1=2,故答案为2. b=2. 2)0当=2=1时，则1=(2）》°+（么） 但此时不满足a2十b2=c2, 所以三边长都是质数的三角形一定不是直角三角形. Q+b,即a+6=c2,∴三角形为直角三角形，故 故选C. ①正确，符合题意 916. .1 101006.提示：设三边长为a,b,c且a≤b≤c. ②当为=1，a=2b+2,c=1时，则=只+6 =a十 C 由周长为202l得2g2<22 2 6-26+2+6=20+2, 3 a,b,c为质数， 当a>6时a-bCc,即b+2-<1,解得6>2， ∴.c的最大值为1009. a+b=1012, 当c=1009时， .3≤a≤506. 当a<b时，b-a<c,即6-2b-2<1,解得6C6. a≤b≤1009， 综上，2<b<6. 当a=3时，c一a取得最大值，为1009-3=1006. 当b=2时，t=2 ×2+2=5, 门24.提示：如图所示，连接BD, BE,BF,EG, 当6=6时-号×6+g=1, 显然△BEF,△BEG,△BDE均为 不规则三角形， .5<t<11. 所以从正方体的一个顶点出发与所有顶点的连线中 故②正确，符合题意； 有三个不规则的三角形， @=+-≤9， 故用一一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角 形中，不规则三角形的个数是3×8=24个. Ca+b≤c,又a+b>c,c<a+b≤gc) 2①如图1，当∠BAC=90时， 不妨设a=n,则b=n十1，c=n十2， .(AD+BC)2-(AB+AC)2 =AD2+BC2+2BC·AD-AB2-AC2-2AB·AC ∴.n+2<2n+1≤ 3(n+2),解得1<n≤7， 5 =AD2>0, n可取2,3,4,5,6,7， ..AD+BC>AB++AC. 对应的：位分别为号号，号，背号共6个 故③错误，不符合题意 故答案为①②. 图 )培优竞赛超级课堂 8年级数学 ②如图2，当∠BAC>90°时，过点A作AB的垂线 ∴∠M=180°-∠MBC-∠BCM=180°-2∠ABC AP,交BC于点P. 由(1)知AD+BP>AB+AP. -(ZACB+∠ACM0=180r-3∠ABC-∠ACB .(AD+BC)-(AB+AC) =AD+BP+CP-AB-AC 名∠ABc-号∠A=∠A. >AB+AP+CP-AB-AC (3)∠N=90-合∠A.提示：∠EBC,∠FCB是 =AP+CP-AC>0, △ABC的外角， ∴.AD+BC>AB+AC. ∴·∠EBC=∠A+∠ACB,∠FCB=∠A+∠ABC, 故当∠BAC≥90时，AD+BC>AB+AC. 第2讲与三角形有关的角 ∠NC=2∠EBC=号∠A+号∠ACB,∠NCB 例1(1)1·4：4.(2)30<∠B<45°， -∠FCB-∠A+2∠ABC. 例2(1)C(2)B 例3(1)2∠A=∠1+∠2.理由如下： ∴∠N=180°-∠NBC-∠NCB=180°-2∠A- ∠ADE=180°24，∠ABD=180'22 2 2 2∠ACB-3∠A-2∠ABC=1s0-∠A 在△ADE中，，∠A十∠ADE+∠AED=180°， ÷∠A+18024+1802∠2=180 2180-∠A)=90°-号∠A 2 2 (④a-c=2h.提示：由(1)得∠BPC=90+号∠A ∴.2∠A=∠1+∠2. (22∠A=∠1-∠2.提示：∠ADE=180,4, =a°， 2 由(2)得∠M=2∠A=b, ∠AED=180+∠2 2 由3)得∠N=90°- 2∠A=c°， 在△ADE中，：∠A+∠ADE+∠AED=180°， ∠A+180°，4+180+∠2-180 a-=90+7∠A-(90-2∠A）=∠A, 2 2 ∴.2∠A=∠1-∠2. ∴.a-c=2b. 【变式题组】 (3)∠A'+∠D'=180+2(☑1+∠2). 变式1-IC提示：当点D在线段AB上且CE∥AB时， 例4(1)BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB, 如图1，∠CDB=∠ECD, ∠PBC=2∠ABC,∠PCB=∠ACB. ∴ZBPC=18O-∠PBC-∠PCB=180-g(ZABC +∠ACB)=180-2180-∠A)=90+号∠A. 图1 (2):∠MBC=∠ABC,∠ACM=合∠ACD., ∠BCM=∠ACB+∠ACM,∠ACD是△ABC的外角， :∠ACM=号∠ACD=是（∠ABC+∠A)= 图3 由折叠可知∠ECD=∠BCD,∴.∠BCD=∠CDB. ∠ABC+2∠A, ∠ABC=90°，.∠CDB=∠BCD=45°，故B选 4