第05讲 平方根、算术平方根 专项讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦平方根与算术平方根核心知识，系统梳理平方根的定义、性质（正数两相反数、0为0、负数无），算术平方根的定义及双重非负性，两大核心公式（(√a)²=a与√a²=|a|），并通过6个易错辨析构建从概念到应用的学习支架。 资料亮点在于9个典例精讲覆盖求算术平方根、非负性应用等题型，结合中考真题与实际问题，培养学生抽象能力（符号意识）、推理意识（公式推导）和应用意识。课中助力教师突破重难点，课后通过分层作业帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

第05讲 平方根、算术平方根 （核心知识+6易错辨析+9典例精讲+课后作业） 【知识点01】平方根 1. 定义 如果一个数的平方等于a（即x²=a），那么这个数x叫做a的平方根，记作：x=±。 补充说明：求一个数平方根的运算叫做开平方，平方运算与开平方运算互为逆运算。 2. 平方根核心性质 ① 正数的平方根有两个，它们互为相反数，形式为与-； ② 0的平方根是0（唯一平方根）； ③ 负数没有平方根（任意实数的平方均为非负数，不存在平方为负数的实数）。 重要前提：根式有意义的条件：被开方数a≥0。 【知识点02】算术平方根 1. 定义 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作：。 数学规定：0的算术平方根是0，即=0。 2. 概念精准区分 a的平方根：±（一正一负，两个值，0除外） a的算术平方根：（仅非负值，唯一值） 【知识点03】重难点：算术平方根双重非负性 核心公式：≥0，a≥0 两层核心含义： 1. 被开方数非负：a≥0，是有意义的前提条件； 2. 运算结果非负：无论被开方数是正数还是0，算术平方根的结果一定大于或等于0。 拓展：初中三大非负数（必考） 1. 绝对值：|A|≥0 2. 平方数：A²≥0 3. 算术平方根：≥0 核心解题模型 若干个非负数的和为0，则每一个非负数项均为0。 【知识点04】两大核心公式（高频考点） 1. ()²=a （a≥0） 2. =|a|= ⚠️ 重中之重：≠a，化简必须加绝对值，再根据字母取值去绝对值符号。 【知识点05】基础实例巩固 1. 16的平方根：±=±4 2. 16的算术平方根：=4 3. 的平方根：先化简=4，再求4的平方根为±2（多层根号经典考题） 易错1：平方根与算术平方根概念混淆 ❌ 错误说法：16的平方根是4 ✅ 正确结论：16的平方根是±4，16的算术平方根是4 口诀：平方根有正负一对，算术平方根只取非负。 易错2：多层根号审题失误 ❌ 错误：的平方根是±4 ✅ 正确：先算内层根式=4，再求4的平方根为±2 解题原则：多层根号问题，从内到外依次计算。 易错3：忽略被开方数非负性 ❌ 错误：有意义，结果为-2 ✅ 正确：负数没有平方根，无实数意义。 易错4：混淆()²与公式 ❌ 错误：=-5 ✅ 正确：=|-5|=5 补充：(√-5)²无意义，被开方数不能为负数。 易错5：误解根号符号含义 ❌ 错误：=±3 ✅ 正确：=3，±=±3 核心常识：单独的根号，仅表示算术平方根，结果必为非负。 易错6：文字语言与符号语言脱节 “a的平方根” ⇔ ± “a的算术平方根” ⇔ 【题型一】求一个数的算术平方根 【例1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根的定义，关键是根据定义进行求解；需牢记算术平方根为非负数这一关键性质． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是． 故选：C． 【例2】．（2025·江苏常州·中考真题）实数4的算术平方根为_____． 【答案】2 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）的值为（   ） A．5 B．625 C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，理解定义是解决本题的关键． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，且算术平方根为非负数， ∴． 故选A． 【变式2】．（2023·江苏宿迁·中考真题）计算____． 【答案】2 【知识点】求一个数的算术平方根 【详解】解：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：_______，_______； (2)若，写出满足题意的的整数值______； (3)①若我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试写出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数______． 【答案】(1)4，6； (2)1，2，3； (3)①3次；②255 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查新定义运算． （1）由根整数的定义，结合及即可得到答案； （2）由根整数的定义，根据得到，再结合与即可确定，从而得到答案； （3）①由根整数的定义，逐次求解即可得到答案； ②由前面求解过程，结合根整数的定义，逐次分析倒推即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ，即， ，， 故答案为：4，6； （2）解：， ， ，， ∴， 或或， 故答案为：1，2，3； （3）解：①第一次：， 第二次：， 第三次：， 第3次之后结果为1， 故答案为：3次； ②由上述求解过程可知，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，， 进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，， 进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255， 故答案为：255． 【题型二】利用算术平方根的非负性解题 【例3】．（25-26八年级上·江苏·期末）若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查非负数的性质，根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个非负数都为零据此列式解答即可． 【详解】解：∵且， 又∵， ∴且， ∴ ，， 解得，， ∴． 故选：C． 【例4】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知有理数a，b满足，则的值是_________． 【答案】16 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查算术平方根与绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根与绝对值的非负性是解题的关键；根据算术平方根和绝对值的非负性，得出和，即可求解． 【详解】解：∵，且，， ∴，即且， ∴，， ∴ ； 故答案为16． 【变式1】．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．4 B．8 C． D．2 【答案】A 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了非负数的性质．根据二次根式以及平方具有非负性可知：，，又因为，所以可以求出，，代入到中即可解答． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴，， 则，， ∴． 故选：A． 【变式2】．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知，则的值是为______． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为． 根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得，，， 解得，， 所以，． 故答案为：． 【变式3】．已知和互为相反数，且，求的值． 【答案】2 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，然后代入计算． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴+=0， ∵两个非负数互为相反数则只能均为0， ∴－1＝0，1－2＝0， ∴＝1， ∴＝2． 【点睛】】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方． 【题型三】估计算术平方根的取值范围 【例5】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）数据30的算术平方根（    ） A．在4~5之间 B．在5~6之间 C．在6~7之间 D．在7~8之间 【答案】B 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查算术平方根的估算，通过寻找与30相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质确定其范围. 【详解】解：∵， ∴数据30的算术平方根在5~6之间. 【变式1】．（2024·江苏扬州·一模）估计18的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用了算术平方根与被开方数的关系． 根据算术平方根越大被开方数越大，可得答案． 【详解】解：由，得， 即， 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）利用表格中的数据计算的近似值是________（结果保留整数）． a a2 17 289 4.12 18 324 4.36 【答案】19 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查算术平方根和近似数，根据题干得到算术平方根的值是解题的关键． 根据表格数据，当时，，因此，同理得，据此进行计算，将结果四舍五入保留整数即可． 【详解】解：由表格可知，当时， 所以 又因为， 所以 因此． 故答案为：19． 【变式3】．【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【答案】尝试探究： ； 问题解决： 方法①；方法②； 比较分析： 用②的形式求的近似值的精确度更高，理由如下： ∵，， ∴用②的形式求的近似值的精确度更高． 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】尝试探究：根据例题方法解答即可； 问题解决：根据例题方法解答即可； 比较分析：求出两个近似值的平方，跟原数比较即可判断求解； 本题考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：尝试探究： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以； 问题解决： 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中； 用①的形式求的近似值： 因为， 所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 用②的形式求的近似值： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 比较分析：略 【题型四】与算术平方根有关的规律探索题 【例6】．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律计算：（   ） A． B．1275 C．1326 D．1378 【答案】C 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】此题考查了算术平方根与数字的变化规律．先分别求出①②③④的结果，发现的规律，据此求解即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④， …… ∴， ∴， 故选：C． 【例7】．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）小明利用计算器得到，．根据这些数据猜想：______． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的规律计算，理解题意，找出计算规律是关键．根据材料提示找出规律即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】由图形可知，第n行最后一个数为，据此可得答案． 【详解】解：由图形可知，第n行最后一个数为， ∴第8行最后一个数为＝6， 则第9行从左至右第5个数是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为． 【变式2】．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段检测）有一列数按如下顺序排列：，…，则第2023个数是______． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可求解，解题的关键是将转化为再总结规律． 【详解】解：，…，可转化为，…， 观察可得数列中的分式符号按负，负，正，循环出现， ， 第2023个数是负数， 观察数列的分子，，，，…，即，，，…， 可得规律：第个数的分子是， 观察数列的分母2，4，8，16，…，即，，，，…， 可得规律：第个数的分母是， 第2023个数是， 故答案为：． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 【题型五】算术平方根的实际应用 【例8】．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）图1为五个边长为1的小正方形拼成的图形，若将其剪、拼成一个大正方形（如图2），则图2中的大正方形的边长为______． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的应用，关键是明确剪拼前后图形的面积相等．首先计算五个小正方形的总面积，再根据大正方形的面积等于该总面积，利用正方形面积公式求出边长． 【详解】解：根据题意，图1中五个小正方形的总面积为， ∴大正方形的面积为5， 设大正方形的边长为，根据正方形面积公式得， 解得(负值舍去)． 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为___________． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根、正方形的面积公式，根据题意可得大正方形的面积为，再根据正方形的边长等于其面积的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 【答案】(1)直角三角形的三边长为15，20，25； (2) 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，先求出的值，再得出的值，即可解答； （2）设直角三角形的三边长分别为，，，利用三角形的面积公式得出，则有． 【详解】（1）解：当面积S等于150时， 第一步：， 第二步：， 第三步：直角三角形的三边长分别为，，， 直角三角形的三边长为15，20，25； （2）解：设直角三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴， ∴直角三角形的面积， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）阅读与思考，请先完成第（1）小题，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握图形的拆补是解题的关键． （1）拼成的正方形面积等于原2个小正方形的面积；进一步求边长即可； （2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可． 【详解】（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则 由边长的实际意义，得． 答：该大正方形的边长是； （2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则 由边长的实际意义，得， 答：该大正方形的边长是． 【题型六】平方根概念理解 【例9】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若，则下列说法正确的是（　　） A．是3的平方根 B．是3的算术平方根 C．3是的算术平方根 D．3是的平方根 【答案】A 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查平方根定义，熟记平方根定义是解决问题的关键． 根据平方根的定义，若一个数的平方等于，则该数是的平方根，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是3的平方根， A、是3的平方根，说法正确，符合题意； B、由于，则是3的算术平方根说法错误，不符合题意； C、3是的算术平方根，说法错误，不符合题意； D、3是的平方根，说法错误，不符合题意； 故选：A． 【例10】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个正数的平方根是和，则的值是______． 【答案】 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，得出，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）9的平方根是，用数学符号表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的表示，解题关键是明确非负数a的平方根表示为．根据平方根的表示方法求解即可． 【详解】解：9的平方根是，用数学符号表示为． 故选：D． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）若m与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为______ 【答案】 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，是解决本题的关键．根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得到，求出的值即可求解． 【详解】解：∵与是同一个正数的两个平方根， ∴， ∴， ∴这个正数的值为， 故答案为：． 【变式3】．已知实数x，y，z满足：y=，z的平方根等于它本身，求的值． 【答案】5 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，根据平方根的定义求出z的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得，x-3≥0且3-x≥0， 解得x≥3且x≤3， 所以，x=3，y=4， ∵z的平方根等于它本身， ∴z =0， ∴=3+=3+2=5 【点睛】本题考查了算术平方根的被开方数是非负数，平方根和算术平方根的定义．求出x，y，z的值是解答本题的关键． 【题型七】求一个数的平方根 【例11】．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）4的平方根是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根 【详解】解：4的平方根是． 【变式1】．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）64的平方根是__________． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】根据平方根的定义，一个数的平方等于64，则该数是64的平方根．熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵且， ∴64的平方根是． 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）若，则a的值是______． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根，根据平方根的概念即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）若，求的平方根． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【题型八】已知一个数的平方根，求这个数 【例12】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　） A．9 B．8 C．3 D．1 【答案】A 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 则平方根为：和， ∴ 这个正数为． 故选：A． 【例13】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）一个正数的平方根是和，则这个正数是__________． 【答案】121 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求出a的值，再代入求出一个平方根，进而求出这个正数． 【详解】解：由题意，得， 解得． 则一个平方根为， 所以这个正数为． 故答案为：121． 【例14】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知一个正数的两个平方根分别为与．求的值及这个正数． 【答案】；这个正数是25 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的意义得到，求解即可得到答案，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， ； 当时，， 则；这个正数是25． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知的平方根是，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴． 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）正数x的平方根为和，则x的值是_____． 【答案】16 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根的性质可得，解方程可得a的值，进而得到这个数的平方根，然后再算出这个数即可． 【详解】解：∵正数x的平方根为和， ∴， 解得：， 则，， ∵16的平方根是， ∴这个数是16． 故答案为：16． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 【答案】(1) (2)9 【知识点】平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】（1）利用平方根的非负性列不等式求解； （2）依据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出a，再求． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 解得：； （2）解：根据题意可知，， 解得：， 将代入，得其中一个平方根为， 所以． 【题型九】利用平方根解方程 【例15】．（24-25八年级上·江苏常州·期中）若，则________． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键．先根据得出，再根据平方根定义求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【例16】．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 【变式1】．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题关键．直接根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）若，则_______． 【答案】5或1/1或5 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查利用平方根的概念解方程，方程两边同时除以5，再根据平方根的概念即可转化为两个一元一次方程，求解即可得到答案． 【详解】 ， ∴或， 故答案为：5或1． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查利用平方根定义解方程，熟知一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键． （1）利用平方根定义解方程即可； （2）利用平方根定义解方程即可． 【详解】（1）解：由得 ∴； （2）解：由得 即或 ∴或． 1. 两个核心定义 平方根：表示为±，正数两个、0一个、负数无； 算术平方根：表示为，唯一非负值。 2. 一个重难点：双重非负性 有意义 ⇔ a≥0，且≥0；非负数和为0，各项均为0。 3. 两个核心公式 ()²=a (a≥0)，=|a|（化简必加绝对值） 4. 三条避错准则 ① 单独根号结果一定非负； ② 题干说“平方根”，结果必须带±； ③ 化简，优先写绝对值，杜绝直接等于a。 一、单选题 1．若，则（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根，的平方根等于，因此，由此可解． 【详解】解：， 故选C． 2．36的平方根是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查求一个数的平方根，根据平方根的意义求解即可． 【详解】解：的平方根是． 故选：D． 3．下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．3是9的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．平方根包括正负两个值（正数），算术平方根为非负值；负数没有平方根． 根据平方根和算术平方根的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．9的平方根是，原说法错误； B．是的其中一个平方根，原说法错误； C．负数没有平方根，原说法错误； D．3是9的算术平方根，原说法正确； 故选：D． 4．如果正方形的面积扩大为原来的6倍，那么边长扩大为原来的（   ） A．倍 B．倍 C．6倍 D．6倍 【答案】B 【详解】本题考查了算术平方根的应用，求边长扩大为原来的多少倍，实际上是求扩大面积的算术平方根，即求6的算术平方根． 【分析】解：设原边长为a，原面积为S，则， ∵ 新面积，   设新边长为b，则，   ∴，   故边长扩大为原来的倍， 故选：B． 5．下列整数中，最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查无理数的估算，解题的关键是熟知实数的性质． 根据无理数的估算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴与最接近的整数是4． 故选C． 6．已知实数m，n满足，则的值为（    ） A．3 B．﹣3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求解． 【详解】解：依题意得，， 解得，， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查二次根式和绝对值的性质，解题的关键是熟知二次根式的非负性． 7．若方程的解分别为，且，下列说法正确的是（    ） A．是5的平方根 B．是5的平方根 C．是5的算术平方根 D．是5的算术平方根 【答案】C 【分析】根据方程解的定义和算术平方根的意义判断即可. 【详解】∵方程的解分别为， ∴， ， ∴a-1，b-1是5的平方根， ∵， ∴， ∴a-1是5的算术平方根， 故选C. 【点睛】本题考查了方程解的定义，算术平方根的定义，熟记定义，灵活运用定义是解题的关键. 8．如图，四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如果大正方形的面积为，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，算术平方根．根据题意确定满足的等量关系式是解题的关键． 由题意知，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，， ∴， 故选：D． 二、填空题 9．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义：如果，那么叫做的平方根，，根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10．计算：___________． 【答案】6 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义，求36的算术平方根即可． 【详解】因为， 所以． 故答案为：6． 11．已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，根据被开方数扩大每倍，算术平方根扩大倍即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数是_______． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根．根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解，得出。再列式计算得出这个正数，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与， ∴， 即， 解得， 则一个平方根为， ∴这个正数为， 故答案为：9 13．两个正方形的面积分别为、，则这两个正方形边长的和是______cm． 【答案】 【分析】直接根据算术平方根求出两个正方形的边长，再求和即可． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为、， ∴这两个正方形边长分别是：，， ∴这两个正方形边长的和是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． 14．若实数，满足，则______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再求出的值即可． 本题考查的是非负数的性质，代数式求值，属于基础题型，熟知非负数的性质：几个非负数的和为0时，其中每一项必为0是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得，， ∴． 故答案为：． 15．观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 16．某计算器上的三个按键的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方，小明输入一个数后，依次按照如图所示的三步循环重复按键，若第次按键后，显示的结果是，则输入的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了乘方、倒数、算术平方根、规律探索，通过列举发现：答案按照，，，，，六个数循环，这是解题的关键． 根据题意分别计算出第、、、、、步显示的结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【详解】解：由题意知第步结果为， 第步结果为， 第步结果为， 第步结果为， 第步结果为， 第步计算结果为， 第7步计算结果为， …… 运算的结果以，，，，，六个数为周期循环， ∵， ∴第步之后显示的结果为，即， ∴输入的数是． 故答案为：． 三、解答题 17．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了平方根解方程． （1）先移项合并同类项，再两边同时除以2，开平方求解即可； （2）先计算算术平方根，再开平方求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：或； （2）解：， ， ， ， ， 解得：或． 18．一个正数的两个平方根记作，，且．若，． (1)求和这个正数； (2)直接填空：________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根的相关概念，掌握相关结论即可； （1）由题意得：，，据此即可求解； （2）由（1）得，；代值计算即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴，解得：； ∴，； ∴这个正数为； （2）解： 19．已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解此题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义即可得出a、b的值； （2）先求出的值，再求出算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为，的算术平方根为7， ∴，， ∴，； （2）解：， ∴的算术平方根为． 20．已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值以及平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a与b的值即可； （2）将a与b的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知，，， 解得：，； （2）， 的平方根为； 21．已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的性质与算术平方根的计算，解题的关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程，求解得的值； （2）将的值代入计算结果，再求其算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得 化简得： 解得： （2）将代入，得： 9的算术平方根是3． 22．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： (1)，，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． (2)已知，，则_____；______． 【答案】(1)两；右；一 (2)； 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律型题目，观察题目，总结规律是解题的关键． （1）从数字找规律，即可解答； （2）利用（1）的规律进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：，，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位． 故答案为：两；右；一； （2）已知，，则；； 故答案为：12.25；0.3873． 23．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值． 【答案】(1) 解：，，这三个数是“完美组合数”，理由： ，，，且6，3，2都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； (2) 【分析】本题考查了算术平方根，理解“完美组合数”的定义是解此题的关键． （1）按照已知条件中的方法，分别求出两辆乘积的算术平方根，然后根据“完美组合数”的定义进行判断即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：其中有两个数乘积的算术平方根为24， 这两个数的乘积为576， 当时，则， ， ， ，， 此时符合题意； 当时，则不符合题意； ． 24．阅读与理解： 小明在学习了有关平方根的知识后，知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根．有一天，善于思考的小明想：如果存在一个数i，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： (1)求，的平方根（写成因为……，所以……的形式）； (2)求的值； (3)利用所学公式求和的值． 【答案】(1)的平方根就是；的平方根就是 (2) (3)； 【分析】本题主要考查平方根及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给运算可进行求解； （2）由题意易得，，，，进而问题可求解； （3）根据平方差公式及完全平方公式可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根就是， ∵， ∴的平方根就是． （2）解：∵，，，， ∴， ∵， ∴． （3）解：， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 平方根、算术平方根 （核心知识+6易错辨析+9典例精讲+课后作业） 【知识点01】平方根 1. 定义 如果一个数的平方等于a（即x²=a），那么这个数x叫做a的平方根，记作：x=±。 补充说明：求一个数平方根的运算叫做开平方，平方运算与开平方运算互为逆运算。 2. 平方根核心性质 ① 正数的平方根有两个，它们互为相反数，形式为与-； ② 0的平方根是0（唯一平方根）； ③ 负数没有平方根（任意实数的平方均为非负数，不存在平方为负数的实数）。 重要前提：根式有意义的条件：被开方数a≥0。 【知识点02】算术平方根 1. 定义 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作：。 数学规定：0的算术平方根是0，即=0。 2. 概念精准区分 a的平方根：±（一正一负，两个值，0除外） a的算术平方根：（仅非负值，唯一值） 【知识点03】重难点：算术平方根双重非负性 核心公式：≥0，a≥0 两层核心含义： 1. 被开方数非负：a≥0，是有意义的前提条件； 2. 运算结果非负：无论被开方数是正数还是0，算术平方根的结果一定大于或等于0。 拓展：初中三大非负数（必考） 1. 绝对值：|A|≥0 2. 平方数：A²≥0 3. 算术平方根：≥0 核心解题模型 若干个非负数的和为0，则每一个非负数项均为0。 【知识点04】两大核心公式（高频考点） 1. ()²=a （a≥0） 2. =|a|= ⚠️ 重中之重：≠a，化简必须加绝对值，再根据字母取值去绝对值符号。 【知识点05】基础实例巩固 1. 16的平方根：±=±4 2. 16的算术平方根：=4 3. 的平方根：先化简=4，再求4的平方根为±2（多层根号经典考题） 易错1：平方根与算术平方根概念混淆 ❌ 错误说法：16的平方根是4 ✅ 正确结论：16的平方根是±4，16的算术平方根是4 口诀：平方根有正负一对，算术平方根只取非负。 易错2：多层根号审题失误 ❌ 错误：的平方根是±4 ✅ 正确：先算内层根式=4，再求4的平方根为±2 解题原则：多层根号问题，从内到外依次计算。 易错3：忽略被开方数非负性 ❌ 错误：有意义，结果为-2 ✅ 正确：负数没有平方根，无实数意义。 易错4：混淆()²与公式 ❌ 错误：=-5 ✅ 正确：=|-5|=5 补充：(√-5)²无意义，被开方数不能为负数。 易错5：误解根号符号含义 ❌ 错误：=±3 ✅ 正确：=3，±=±3 核心常识：单独的根号，仅表示算术平方根，结果必为非负。 易错6：文字语言与符号语言脱节 “a的平方根” ⇔ ± “a的算术平方根” ⇔ 【题型一】求一个数的算术平方根 【例1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【例2】．（2025·江苏常州·中考真题）实数4的算术平方根为_____． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）的值为（   ） A．5 B．625 C． D． 【变式2】．（2023·江苏宿迁·中考真题）计算____． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：_______，_______； (2)若，写出满足题意的的整数值______； (3)①若我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试写出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数______． 【题型二】利用算术平方根的非负性解题 【例3】．（25-26八年级上·江苏·期末）若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例4】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知有理数a，b满足，则的值是_________． 【变式1】．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．4 B．8 C． D．2 【变式2】．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知，则的值是为______． 【变式3】．已知和互为相反数，且，求的值． 【题型三】估计算术平方根的取值范围 【例5】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）数据30的算术平方根（    ） A．在4~5之间 B．在5~6之间 C．在6~7之间 D．在7~8之间 【变式1】．（2024·江苏扬州·一模）估计18的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）利用表格中的数据计算的近似值是________（结果保留整数）． a a2 17 289 4.12 18 324 4.36 【变式3】．【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【题型四】与算术平方根有关的规律探索题 【例6】．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律计算：（   ） A． B．1275 C．1326 D．1378 【例7】．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）小明利用计算器得到，．根据这些数据猜想：______． 【变式1】．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段检测）有一列数按如下顺序排列：，…，则第2023个数是______． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【题型五】算术平方根的实际应用 【例8】．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）图1为五个边长为1的小正方形拼成的图形，若将其剪、拼成一个大正方形（如图2），则图2中的大正方形的边长为______． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为___________． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）阅读与思考，请先完成第（1）小题，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 【题型六】平方根概念理解 【例9】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若，则下列说法正确的是（　　） A．是3的平方根 B．是3的算术平方根 C．3是的算术平方根 D．3是的平方根 【例10】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个正数的平方根是和，则的值是______． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）9的平方根是，用数学符号表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）若m与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为______ 【变式3】．已知实数x，y，z满足：y=，z的平方根等于它本身，求的值． 【题型七】求一个数的平方根 【例11】．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）4的平方根是（    ） A．2 B． C． D． 【变式1】．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）64的平方根是__________． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）若，则a的值是______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）若，求的平方根． 【题型八】已知一个数的平方根，求这个数 【例12】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　） A．9 B．8 C．3 D．1 【例13】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）一个正数的平方根是和，则这个正数是__________． 【例14】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知一个正数的两个平方根分别为与．求的值及这个正数． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知的平方根是，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）正数x的平方根为和，则x的值是_____． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 【题型九】利用平方根解方程 【例15】．（24-25八年级上·江苏常州·期中）若，则________． 【例16】．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1) (2)． 【变式1】．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）若，则_______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）求下列各式中的值． (1)； (2)． 1. 两个核心定义 平方根：表示为±，正数两个、0一个、负数无； 算术平方根：表示为，唯一非负值。 2. 一个重难点：双重非负性 有意义 ⇔ a≥0，且≥0；非负数和为0，各项均为0。 3. 两个核心公式 ()²=a (a≥0)，=|a|（化简必加绝对值） 4. 三条避错准则 ① 单独根号结果一定非负； ② 题干说“平方根”，结果必须带±； ③ 化简，优先写绝对值，杜绝直接等于a。 一、单选题 1．若，则（  ） A．2 B． C．4 D． 2．36的平方根是（   ） A．6 B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．3是9的算术平方根 4．如果正方形的面积扩大为原来的6倍，那么边长扩大为原来的（   ） A．倍 B．倍 C．6倍 D．6倍 5．下列整数中，最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知实数m，n满足，则的值为（    ） A．3 B．﹣3 C．0 D．1 7．若方程的解分别为，且，下列说法正确的是（    ） A．是5的平方根 B．是5的平方根 C．是5的算术平方根 D．是5的算术平方根 8．如图，四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如果大正方形的面积为，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若，则________． 10．计算：___________． 11．已知，则______． 12．一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数是_______． 13．两个正方形的面积分别为、，则这两个正方形边长的和是______cm． 14．若实数，满足，则______． 15．观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 16．某计算器上的三个按键的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方，小明输入一个数后，依次按照如图所示的三步循环重复按键，若第次按键后，显示的结果是，则输入的数是______． 三、解答题 17．解方程 (1)； (2)． 18．一个正数的两个平方根记作，，且．若，． (1)求和这个正数； (2)直接填空：________． 19．已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 20．已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 21．已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 22．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： (1)，，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． (2)已知，，则_____；______． 23．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值． 24．阅读与理解： 小明在学习了有关平方根的知识后，知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根．有一天，善于思考的小明想：如果存在一个数i，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： (1)求，的平方根（写成因为……，所以……的形式）； (2)求的值； (3)利用所学公式求和的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $