第04讲 根的判别式、根与系数的关系、配方法的应用（核心知识+7易错辨析+4典例精讲+课后作业）2026-2027学年苏科版九年级数学上册秋期复习讲义

本讲义聚焦初中数学一元二次方程核心内容，系统梳理配方法（求最值、判正负性）、根的判别式（定义、根的关系、逆向求参数）、根与系数关系（韦达定理及应用），构建从基础方法到方程根的判断与应用的递进式学习支架。 资料以7个易错辨析（如忽略二次项系数、韦达定理验证）精准突破难点，4类典例（配方法应用、判别式判根、参数范围、韦达定理）培养推理意识与应用意识，结合课后分层作业，课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，提升数学思维的严谨性与解决问题的能力。

第04讲 根的判别式、根与系数的关系、配方法的应用 （核心知识+7易错辨析+4典例精讲+课后作业） 【知识点01】配方法的应用（高频考点） 配方法不仅用于解方程，更常用于求二次代数式的最值、判断代数式正负性： 若，代数式有最小值；若，代数式有最大值。 【知识点02】根的判别式 1. 判别式定义 注意：运用判别式前，必须先将方程整理为一元二次方程一般形式，再准确确定的值。 2. 判别式与根的对应关系 ：方程有两个不相等的实数根 ：方程有两个相等的实数根 ：方程没有实数根 ：方程有实数根（包含两个相等、两个不等实数根两种情况） 3. 逆向运用 已知方程根的个数情况，反向推导方程中参数的取值范围，是含参一元二次方程的核心考点。 【知识点03】根与系数的关系（韦达定理） 1. 定理适用前提 方程为一元二次方程 ，且方程有实数根 ，二者缺一不可。 2. 定理核心公式 若的两根为，则： 3. 简化方程公式 若方程为，则，。 4. 高频代数式变形（考试必考） 5. 构造一元二次方程 已知两个数，以这两个数为根的一元二次方程为： 易错点1：忽略一元二次方程核心前提 含参数方程讨论根的情况、使用韦达定理时，必须优先判断二次项系数是否为0。若参数可使，方程会变为一元一次方程，需分类讨论。 反例：方程有实数根，不可直接列。 正确解法：① 时，方程为一次方程，有实数根；② 时，方程为二次方程，需满足。 易错点2：使用韦达定理忘记验证 韦达定理仅适用于有实数根的一元二次方程。若，方程无实数根，不存在两根，不可套用韦达定理公式计算。 易错点3：未化为一般形式，错取 计算判别式、套用公式前，必须将方程整理为的标准形式，注意的正负符号。 示例：，需先整理为，即。 易错点4：根的和公式遗漏负号 核心口诀：和有负号，积无负号。是最易计算出错的考点，务必重点记忆。 易错点5：混淆“两个实数根”与“实数根” 有两个实数根：限定为一元二次方程，需满足且； 有实数根：包含一次方程、二次方程两种情况，必须分类讨论。 易错点6：完全平方变形公式记忆错误 牢记核心变形：，切勿错写为。 易错点7：参数范围端点取舍失误 两个不相等实数根：（不取等号）； 有实数根、两个相等实数根：（取等号），需严格根据题干文字判断。 【题型一】配方法的应用 【例1】．代数式的最大值为_____________ ． 【变式1】．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_________． 【变式2】．“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式于的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如： 分解因式：． 求代数式的最小值：． ∵，∴，∴当时，有最小值，最小值是． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【变式3】．我们知道：； ，这一种方法称为配方法． 由此可得：， ， ∴当时，有最小值为； ， ∴当时，有最大值为25． 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________． (2)应用：如图，已知线段是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．    【题型二】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例2】．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【例3】．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知关于x的方程 (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求m的值． 【变式1】．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．关于x的一元二次方程根的判别式的值是______． 【变式3】．（22-23九年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于x的方程（m为常数，且） (1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个实数根； ①不论m取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______； ②若m为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m的值． 【题型三】根据一元二次方程根的情况求参数 【例4】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【例5】．（2023·江苏徐州·模拟预测）若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【例6】．（22-23九年级上·江苏淮安）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 【变式1】．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【变式2】．（22-23九年级上·江苏苏州·单元测试）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【变式3】．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值． 【题型四】一元二次方程的根与系数的关系 【例7】．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例8】．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知、是方程的两个根，则______． 【例9】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）设，是方程的两个根，且，，则________． 【例10】．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知是一元二次方程的两个根，则的值为________ 【变式2】．（2025·江苏南京·三模）设是方程的两个根，若，则__________． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【变式4】．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【变式5】．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读材料，解答问题 材料一：已知实数，，满足，，则可将，看作一元二次方程的两个不等实数根． 材料二：已知，求的值， 某同学解答思路如下： 由可得， 所以． (1)直接应用：已知实数，满足，，求的值； (2)间接运用： ①若，且，则（   ） A．    B．    C．    D． ②已知实数，满足，．且，求的值． 【变式6】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． (2)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 1. 核心知识梳理 根的判别式是判断一元二次方程实数根个数的核心工具，可正向判根、逆向求参数；韦达定理用于不解方程，直接求解两根和、两根积及相关代数式的值。 2. 双重适用条件 韦达定理使用必须同时满足：（一元二次方程）、（存在实数根），缺一不可。 3. 标准解题步骤 ① 整理方程为一元二次方程一般形式；② 准确确定的值；③ 含参题型优先讨论是否为0；④ 涉及实数根问题，先验证/列判别式不等式；⑤ 利用韦达定理变形求解代数式的值。 4. 核心数学思想 分类讨论思想（含参方程根的讨论）、转化思想（将复杂代数式转化为整体求值）。 一、单选题 1．把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．10 2．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 4．已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 6．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 7．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 8．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 9．已知是一元二次方程的两根，则等于（   ） A．2 B． C．6 D． 10．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 12．一元二次方程的判别式的值为______． 13．若一元二次方程的两根分别为，，则_________．（填“＝”或“≠”） 14．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 15．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围________． 16．已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 17．已知是方程的两个实数根，则代数式___________． 三、解答题 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若实数m，n满足，，且，求的值． 19．新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 21．在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数，满足，，求的值； (2)若实数，满足，，且，求的取值范围． 22．已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 23．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 24．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第2个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第3个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第4个方程：，方程的两个根分别是 ，； … (1)请按照此规律写出两个根分别是 ， 的一元二次方程 ______； (2)如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程 是否是“邻根方程”． 25．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，则的最小值为______； (2)）若，求y的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 根的判别式、根与系数的关系、配方法的应用 （核心知识+7易错辨析+4典例精讲+课后作业） 【知识点01】配方法的应用（高频考点） 配方法不仅用于解方程，更常用于求二次代数式的最值、判断代数式正负性： 若，代数式有最小值；若，代数式有最大值。 【知识点02】根的判别式 1. 判别式定义 注意：运用判别式前，必须先将方程整理为一元二次方程一般形式，再准确确定的值。 2. 判别式与根的对应关系 ：方程有两个不相等的实数根 ：方程有两个相等的实数根 ：方程没有实数根 ：方程有实数根（包含两个相等、两个不等实数根两种情况） 3. 逆向运用 已知方程根的个数情况，反向推导方程中参数的取值范围，是含参一元二次方程的核心考点。 【知识点03】根与系数的关系（韦达定理） 1. 定理适用前提 方程为一元二次方程 ，且方程有实数根 ，二者缺一不可。 2. 定理核心公式 若的两根为，则： 3. 简化方程公式 若方程为，则，。 4. 高频代数式变形（考试必考） 5. 构造一元二次方程 已知两个数，以这两个数为根的一元二次方程为： 易错点1：忽略一元二次方程核心前提 含参数方程讨论根的情况、使用韦达定理时，必须优先判断二次项系数是否为0。若参数可使，方程会变为一元一次方程，需分类讨论。 反例：方程有实数根，不可直接列。 正确解法：① 时，方程为一次方程，有实数根；② 时，方程为二次方程，需满足。 易错点2：使用韦达定理忘记验证 韦达定理仅适用于有实数根的一元二次方程。若，方程无实数根，不存在两根，不可套用韦达定理公式计算。 易错点3：未化为一般形式，错取 计算判别式、套用公式前，必须将方程整理为的标准形式，注意的正负符号。 示例：，需先整理为，即。 易错点4：根的和公式遗漏负号 核心口诀：和有负号，积无负号。是最易计算出错的考点，务必重点记忆。 易错点5：混淆“两个实数根”与“实数根” 有两个实数根：限定为一元二次方程，需满足且； 有实数根：包含一次方程、二次方程两种情况，必须分类讨论。 易错点6：完全平方变形公式记忆错误 牢记核心变形：，切勿错写为。 易错点7：参数范围端点取舍失误 两个不相等实数根：（不取等号）； 有实数根、两个相等实数根：（取等号），需严格根据题干文字判断。 【题型一】配方法的应用 【例1】．代数式的最大值为_____________ ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用；完全平方公式，利用完全平方公式配方后判断即可． 【详解】， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值为， 故答案为：． 【变式1】．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_________． 【答案】 【知识点】代入消元法、配方法的应用 【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为2023． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． 【变式2】．“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式于的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如： 分解因式：． 求代数式的最小值：． ∵，∴，∴当时，有最小值，最小值是． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1)； (2)当时，多项式有最大值，最大值是5． 【知识点】配方法的应用 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式，转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解： ， ∴当时，多项式有最大值，最大值是5． 【点睛】本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式，熟记公式，读懂材料，掌握配方法的步骤和运用是解答的关键． 【变式3】．我们知道：； ，这一种方法称为配方法． 由此可得：， ， ∴当时，有最小值为； ， ∴当时，有最大值为25． 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________． (2)应用：如图，已知线段是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．    【答案】(1)， (2)长方形的面积存在最大值，最大值为9， 理由如下： 由题意可得长方形的面积为， ， ， 长方形的面积存在最大值，最大值为9． 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查配方法的应用． （1）根据题干中所给的配方法可进行求解； （2）由题意可得长方形的面积为，然后根据配方法可进行求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； 【题型二】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例2】．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【例3】．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知关于x的方程 (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求m的值． 【答案】(1)此方程有两个不相等的实数根 (2)解得或 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程以及求出判别式是值来判断方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，代入数值进行计算，即可作答． （2）把代入，得到关于的一元二次方程，再运用公式法解一元二次方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根： （2）解：将代入方程，得：， 整理得：， 解得或 【变式1】．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、的判别式，无实数根，不符合题意； B、的判别式，有两个相等的实数根，不符合题意； C、的判别式，无实数根，不符合题意； D、的判别式，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 【变式2】．关于x的一元二次方程根的判别式的值是______． 【答案】 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，难度较低，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．将a、b、c的值代入根的判别式即可解答． 【详解】∵ ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3】．（22-23九年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于x的方程（m为常数，且） (1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个实数根； ①不论m取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______； ②若m为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②或 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∴方程总有实数根； （2）解：①∵关于x的方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴不论m取何实数，该方程总有一个不变的实数根为， 故答案为：； ②由①得，方程的两个实数根为， ∵m为整数，且方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， ∴或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． 【题型三】根据一元二次方程根的情况求参数 【例4】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据根的判别式即可求出的取值范围，掌握根的判别式与一元二次方程解的情况是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故选：B． 【例5】．（2023·江苏徐州·模拟预测）若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】1 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据方程有两个相等的实数根可得根的判别式，由此列出关于的方程，解此方程即可得到的值． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 代入得， 整理得， 解得． 【例6】．（22-23九年级上·江苏淮安）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）将代入，求解关于的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； （2）解：将代入得， 即， ∴， ∴或， 解得：． ∵均满足， ∴m的值是或． 【变式1】．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行解答即可． 【详解】解：由题意得：且，解得：且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键，当时，，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【变式2】．（22-23九年级上·江苏苏州·单元测试）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据判别式的意义得到，然后解不等式求出的取值即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴， 解得， ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1或2或3 (3)8 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了一元二次方程及根的判别式、求根公式，等腰三角形定义及三角形三边关系． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到，则，从而得到正整数m的值． （2）分4为腰与4为底两种情况，求出方程的解，再验证是否能构成三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ∴， ∵方程有一个根是负整数， ∴， ∴正整数m的值为1或2或3． （3）解：由（2）知，， ①当4为底边时，， ∵， ∴等腰三角形不存在，舍去； ②当4为腰时，，即， ∵， ∴等腰三角形存在， 综上所述，m的值为8． 【题型四】一元二次方程的根与系数的关系 【例7】．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异分母分式加减法、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵ m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故选：B． 【例8】．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知、是方程的两个根，则______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系进行列式计算 根据两根之积等于进行列式计算． 【详解】解：方程的两个根分别为，， ， 故答案为：． 【例9】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）设，是方程的两个根，且，，则________． 【答案】/0.5 【知识点】负整数指数幂、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，负整数指数幂，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，，继而求出，再代入求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【例10】．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】5 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 利用根与系数的关系及多项式乘多项式的法则进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 将代入上式得， 原式， 故答案为：5． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知是一元二次方程的两个根，则的值为________ 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 则＝＝． 故答案为：． 【变式2】．（2025·江苏南京·三模）设是方程的两个根，若，则__________． 【答案】5 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，则，可得原方程为，再解原方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴或， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式、韦达定理以及方程的求解方法．解题的关键在于利用韦达定理将 转化为关于 m 的方程，并解出 m 的值． （1）利用判别式 确定方程有两个不相等的实数根，从而得到 m 的取值范围； （2）应用韦达定理将根的和与积表示出来，并通过给定条件转化为关于 m 的方程；最后解出 m 的值并验证其合理性，确保满足初始条件，特别是判别式的条件． 【详解】（1）解：， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 的取值范围为； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为， ， ， ， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 的值为1． 【变式4】．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得、，再与结合可得，易得求解即可． 【详解】（1）证明：∵关于的一元二次方程为， ∴， ∴此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两个实数根分别为、， ∴，， ∴，解得：， ∴，解得：． 【变式5】．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读材料，解答问题 材料一：已知实数，，满足，，则可将，看作一元二次方程的两个不等实数根． 材料二：已知，求的值， 某同学解答思路如下： 由可得， 所以． (1)直接应用：已知实数，满足，，求的值； (2)间接运用： ①若，且，则（   ） A．    B．    C．    D． ②已知实数，满足，．且，求的值． 【答案】(1)7 (2)①A；② 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，由此即可得到答案； （2）①将方程变为，从而得出是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，即可得出答案； ②根据题意可得是一元二次方程的两个不相等的实数根，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵实数，满足，， ∴实数，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）①解：方程两边同除以得： ， ∵， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 即，故A正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，即， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【变式6】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． (2)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 【答案】(1)①0；②． (2)． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“全整根方程”、“最值码”的定义探索、之间的关系． （1）①根据“最值码”的定义计算，即可得到结果； ②因为关于的一元二次方程是“全整根方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知，继而求解； ； （2）因为两个方程的“最值码”相等，所以有，整理可得：，整体代入，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：①当时，方程为中，，，， “最值码”， 故答案为：； ②关于的一元二次方程是“全整根方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， ， 当时，，“最值码”， 综上所述：该方程的其“最值码”为． （2）解：一元二次方程的判别式，最值码， 一元二次方程的判别式是，最值码为， 两个方程的最值码相等， ， 整理得：， ， ∴ 当，有最小值，最小值为， 1. 核心知识梳理 根的判别式是判断一元二次方程实数根个数的核心工具，可正向判根、逆向求参数；韦达定理用于不解方程，直接求解两根和、两根积及相关代数式的值。 2. 双重适用条件 韦达定理使用必须同时满足：（一元二次方程）、（存在实数根），缺一不可。 3. 标准解题步骤 ① 整理方程为一元二次方程一般形式；② 准确确定的值；③ 含参题型优先讨论是否为0；④ 涉及实数根问题，先验证/列判别式不等式；⑤ 利用韦达定理变形求解代数式的值。 4. 核心数学思想 分类讨论思想（含参方程根的讨论）、转化思想（将复杂代数式转化为整体求值）。 一、单选题 1．把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算、配方法的应用 【分析】依题意，把展开得，结合，得出，解得，即可作答．此题考查了解一元二次方程配方法，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】解：由得， ∵把关于x的一元二次方程配方，得， 则， 解得， ∴， 故选：A． 2．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】计算各一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断方程是否有实数根． 【详解】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 3．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根为、，则． 4．已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定方程中二次项系数和一次项系数后代入公式计算即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程 ， 若方程两根为 ， 则两根之和 ， ∵ 原方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 5．方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得 ， ∵方程有两个相等的实数根 ， ∴ ， 代入系数得 ，即 ，解得 ． 6．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， 又∵， ∴， 解得． 7．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 【详解】解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 8．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，利用判别式 时方程有实数根的性质解题. 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∴ ； ∴方程有两个实数根. 9．已知是一元二次方程的两根，则等于（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴， 故选：C． 10．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 二、填空题 11．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 12．一元二次方程的判别式的值为______． 【答案】16 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：16． 13．若一元二次方程的两根分别为，，则_________．（填“＝”或“≠”） 【答案】 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查根据判别式判断根的情况，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ∴原方程有两个不相等的实数根，即， 故答案为：． 14．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】原方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，方程有实数根，因此根的判别式大于等于0，联立两个不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得∶ 且． 15．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 16．已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】由已知条件可知，，满足同一个一元二次方程，因此，可看作一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ． 17．已知是方程的两个实数根，则代数式___________． 【答案】1 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知一元二次方程的解的定义及根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算． 【详解】解：∵ 是方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ， 代入得：． 故答案为：． 三、解答题 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】(1) 证明：对于一元二次方程，其判别式为， 在一元二次方程中，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴当时，方程必有两个不相等的实数根． (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根的判别式得出当时，方程有两个不相等的实数根，对于一元二次方程，其中，，，代入判别式得：，因为任何实数的平方都是非负数，所以，即，因此方程必有两个不相等的实数根； （2）需将m、与方程的根联系起来，再利用根与系数的关系进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴m和都满足方程， 对于一元二次方程， 有， ∵m和是方程的两个根，且， ∴， ∴． 19．新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）先根据新定义将方程化成一般式，再根据根的判别式列不等式求解即可； （2）先将原方程化成再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（）根据列出关于的不等式解答即可求解； （）利用一元二次方程根和系数的关系及完全平方公式解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：由根和系数的关系得，，， ∵， ∴， 即， 整理得，， 解得或， ∵， ∴． 21．在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数，满足，，求的值； (2)若实数，满足，，且，求的取值范围． 【答案】(1)23或2 (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式． （1）根据根与系数的关系进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行解答即可． 【详解】（1）、满足， ①当时，原式； ②当时，、可看作是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 或2． （2）将方程两边同乘以2得：， 实数，满足：，且， 、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ，，， 又，是方程的两个不相等的实数根， 方程根的判别式，解得， ， ． 22．已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ， 该方程总有两个实数根； (2) 的值为或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证明方程总有两个实数根； （2）先对方程因式分解得到两个根，再根据一个根是另一个根的2倍分两种情况列方程求解，即可得到的值. 【详解】（1）略 （2）解： ， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为或. 23．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 24．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第2个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第3个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第4个方程：，方程的两个根分别是 ，； … (1)请按照此规律写出两个根分别是 ， 的一元二次方程 ______； (2)如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程 是否是“邻根方程”． 【答案】(1) (2)方程是“邻根方程” 【知识点】公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系及一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先根据根与系数的关系，得出方程的一次项系数（两根和的相反数）和常数项（两根之积），再结合已知根写出方程． （2）先解出方程的两个根，再计算两根的差值，判断是否符合 “邻根方程” 的定义． 【详解】（1）解：∵，， ∴两根和为，两根积为， ∴ 一元二次方程为； （2）解：解，得，， ， 方程是“邻根方程”． 25．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，则的最小值为______； (2)）若，求y的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    【答案】(1)2； (2)y最小值为4； (3)25． 【知识点】配方法的应用 【分析】（1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可； （2）将的分子分别除以分母，展开，将含的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可； （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】（1）当时，，当且仅当时取等号， 当时，的最小值为2． 故答案为：2； （2）由， ， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，y最小值为4； （3）设，已知， 则由等高三角形可知： ， 四边形面积， 当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $