2.3 一元二次方程的根与系数的关系（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦韦达定理及求和积、求参数、构造方程三类应用。课堂导入通过复习求根公式与判别式，引导学生观察两根表达式的对称特征，推导根与系数关系，搭建“方程—根—系数”的认知支架。 特色在于以对称观察培养数学眼光的抽象能力，通过推导过程发展数学思维的推理意识，结合参数问题与构造方程练习强化数学语言的模型意识。如例2已知一根求参数，构造以2+√3和2-√3为根的方程，助力学生深化理解，为教师提供梯度化资源，突破适用条件难点。

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 1.教学内容 本课依据苏科版九年级上册第二章《一元二次方程》2.3《一元二次方程根与系数的关系》。核心知识点：韦达定理 及其三类基本应用（求和积、求未知根/参数、构造方程）。 2.内容解析 本节在学生已掌握求根公式、判别式的基础上，引入根的对称式思想。通过对求根公式中 项的“抵消”探究，发现两根的和、积仅与方程系数 有关，进而抽象概括出韦达定理。定理不仅为快速获得根的和、积提供了新工具，更架起了“方程—根—系数”三元对应的桥梁，为后续利用根的性质解题、构造方程及研究函数性质奠定基础。教学重点在于理解公式推导的逻辑（对称性与配方法的价值）及熟练运用定理解决问题；难点在于正确把握使用前提（，）和将定理与参数、构造问题结合的迁移应用。 1.教学目标 •理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。 •能运用韦达定理不解方程求两根的和与积。 •能运用韦达定理求方程中的参数或构造满足条件的一元二次方程。 2.目标解析 • 通过推导与对称观察，能口述并书写韦达定理及符号注意点。 • 见到一般式 并满足 ，能在2 步内直接给出 ，计算准确率达90% • 在含参数或构造题型中，能建立等式关系列方程（组），求出未知参数或完整列出符合条件的方程，正确率不低于80%。 3.重点难点 • 教学重点：韦达定理的推导与意义。 • 教学难点：正确识别并满足定理适用条件（一般式、）。 九年级学生已掌握一元一次方程、因式分解及一元二次方程的求根公式，对“求根—检验”流程相对熟悉，但运算量大、易出错。对“根与系数”间隐藏的对称关系缺乏直观认识，且在含参数、构造类题目中常感到思路受限。学生的运算基础尚可，符号意识、逻辑推演能力有待提高；对数学模型的建立和不等式求解存在困难。因此，本节需通过直观探究、适量练习和典型例题，引导学生体会定理本质并在不同情境中迁移应用，突破“适用前提”和“思想转化”两大难点。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①一元二次方程 a＋bx＋c＝0 (a≠0) 的求根公式是什么？ ②如何利用根的判别式 Δ 判断根的情况？ Δ＞0，有两不相等实根；Δ＝0，有两相等实根；Δ＜0，无实根． 【设计意图】通过对求根公式的再加工，学生自然发现“对称”特征，形成探究欲望，为下面定理的推导作好铺垫。 探究点：两个实根的“和”与“积” 1.问题引入 比较一元二次方程 (a≠0，b2－4ac≥0)两个实数根的表达式： ， ，它们有何特征？ 两个根结构对称，一个加根号、一个减根号． (m＋)＋(m－)＝2m， (m＋)(m－)＝－n． 如果把两根相加、相乘，根号部分会抵消吗？两根和、积与系数 a、b、c存在固定关系吗？ 2.新知归纳 由此可以得到如下一元二次方程的根与系数的关系： 若方程 a＋bx＋c＝0 (a≠0) 有两个实数根 ，，则 上述关系通常也称为韦达定理． 3.例题讲解 例1 不解方程，判断下列方程是否有实数根，并求两根的和与两根的积： (1) ＋2x－5＝0； 解：(1) 由 a＝1，b＝2，c＝－5， Δ＝－4ac＝－4×1×(－5)＝24＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 ， 则 ． (2) 2＋x＝1． 解：(2) 把方程 2＋x＝1化成一般形式，得 2＋x－1＝0． 由 a＝2，b＝1，c＝－1， Δ＝－4ac＝－4×2×(－1)＝9＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 ， 则 ． 方法点拨 运用韦达定理的前提条件是什么？ ①方程必须是一般形式 ② Δ＝－4ac≥0 (a≠0)， 注意：无实数根时不能使用定理． 3.讨论交流 利用韦达定理求方程两根的和与两根的积的一般步骤是什么？ (1) 一化：把方程化为一般形式 a＋bx＋c＝0 (a≠0)； (2) 二定：确定 a、b、c 的值（带自身正负号）； (3) 三求：计算判别式Δ，判断根的情况； (4) 四代：代入韦达定理，，求两根的和与积．（注意两根和带负号） 4.练一练 不解方程，判断下列方程是否有实数根，并求两根的和与两根的积． (1)－4x＋1＝0； 　 (2) 2－3x＝2； 解：(1) 由 a＝1，b＝－4，c＝1， Δ＝－4ac＝－4×1×1＝12＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 ， 则 ． (2) 把方程化成一般形式，得 2－3x－2＝0． 由 a＝2，b＝－3，c＝－2， Δ＝－4ac＝－4×2×(－2)＝25＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 ， 则． (3) 3＋2x＝0； (4) 4＝1． 解：(3) 由 a＝3，b＝2，c＝0， Δ＝－4ac＝－4×3×0＝4＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 ， 则 ＝0． (4) 把方程化成一般形式，得4－1＝0． 由 a＝4，b＝0，c＝－1， Δ＝－4ac＝－4×4×(－1)＝16＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 ， 则－． 5.例题讲解 例2 已知方程＋x＋c＝0 的一个实数根是，求另一个实数根和常数项． 解：设方程的另一个实数根为x₁． 由根与系数的关系，得 x₁＋＝－1． 解得 x₁＝． 再由根与系数的关系，得 c＝x₁× ＝× ＝－1． 所以方程的另一个实数根为，常数项为－1． 【设计意图】通过层层探究，逐级提升：基础计算→参数求解→方程构造，促进梯度式深度学习。 1.已知关于 x 的方程2＋mx＋50＝0的一个根是10，求它的另一个根和m的值 解：设方程的另一个根为． 由根与系数的关系，得 ＋10＝－＝－，10＝＝25． 解得 ＝ ，m＝－25． 所以方程的另一个根为 ， m 的值为－25． 2.一元二次方程 a＋bx＋c＝0 (a≠0) 有两个实数根： (1) 如果两根互为相反数，那么方程的系数满足什么条件？ 解：(1) 设方程 a＋bx＋c＝0 (a≠0)的两个实数根分别为 ． ∵ 两根互为相反数，∴ 由根与系数的关系，得 ＝0＝－． ∵ a≠0，∴ b＝0． ∵方程有两个实数根，∴ Δ＝－4ac≥0， 把 b＝0代入，得ac≤0． ∴若两根互为相反数，则方程系数满足的条件为b＝0、ac≤0、a≠0． (2) 如果两根互为倒数，那么方程的系数满足什么条件？ 解：(2) ∵两根互为倒数， ∴ 由根与系数的关系，得 ＝1＝，解得 a＝c． ∵ 方程有两个实数根，∴ 判别式 Δ＝－4ac≥0． 把 a＝c代入 －4≥0，得－4≥0． 解得 |b|≥|2a|． ∴若两根互为倒数，则方程系数满足的条件为 a＝c、|b|≥|2a|、 a≠0． 3.请写出一个一元二次方程，使它的两个实数根分别为2＋和2－ 解：设所求一元二次方程为 a＋bx＋c＝0 (a≠0)，已知两根分别为 ＝2＋，＝2－． 由根与系数的关系，得 ＝2＋＋2－＝4＝－， ＝(2＋)(2－)＝－＝4－3＝1＝． 若令a＝1，则b＝－4，c＝1． 所以所求一元二次方程为－4x＋1＝0 (答案不唯一)． 4. 已知关于 x 的方程 ＋bx＋c＝0的两根分别是＋1,－1,求b,c的值． 解：方程两根分别为 ＝＋1，＝－1． 由根与系数的关系，得 ＋＝＋1＋－1＝2＝－， ＝(＋1)(－1)＝－＝2－1＝1＝． 解得 b＝－2， c＝1． 思维提升 已知关于x的一元二次方程k＋(2k＋1)x＋k＋2＝0． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； 解：(1)∵ 该方程有两个不相等的实数根， ∴ k≠0且－4k(k＋2)＞0， 解得 k＜ 且 k≠0． ∴ k的取值范围是 k＜ 且 k≠0． (2)若该方程的两根、满足＋＝－3，求k的值． 【设计意图】精选具有参数与综合条件的典型题（含已知根求系数、系数条件探究、构造方程等），帮助学生在“会用—能悟—能创”三个层次上深化对韦达定理的理解与运用. 主板书 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 探究点 两个实根的“和”与“积” 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $