2026年九年级数学秋季开学学情自测卷（湖北武汉专用，测试范围：新教材人教版九上1～3章+八下内容）

**基本信息** 2026年九年级开学数学学情自测卷，聚焦八年级下与九年级上册前3章知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合几何直观、运算推理与实际应用，精准诊断开学初学生知识掌握与核心素养发展水平。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题/30分|直角三角形边长计算（勾股定理）、一次函数性质|结合完全平方公式求菱形面积，考查运算能力与几何直观| |填空题|6小题/18分|平行四边形边长范围、赵爽弦图嵌入问题|以欧几里得证法为背景，渗透文化传承与空间观念| |解答题|8小题/72分|一元二次方程根与系数关系、矩形综合题、抛物线与直线交点|销售方案函数模型（应用意识）、网格作图（创新意识），注重知识综合与推理能力|

( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年秋季七年级开学分班·学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空题（每小题3分， 共 18 分 ） 1 1 ． _________ 、 12 ___________ 、 _ 13 ________ 、 1 4 、 _________ 、 15 ___________ 、 16 _________ . 三 、解答题（共 7 2 分） 1 7 ．（ 8 分） （ 1 ）（ 3 ） ； ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 2 ） ． 18. （ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19. （ 8 分） （ 1 ） （ 2 ） 20 ． （ 8 分） （ 1 ） （ 2 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21.(8 分 ) 22 ． （ 10 分） （ 1 ） （ 2 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24 ． （ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级下全部内容+九年级上册第1-3章 一．选择题（共10小题） 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为（　　） A．4 B． C． D．或 3．若m，n是正整数且m＞n，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2，则下列勾股数不能由m，n确定的是（　　） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 4．我们可以利用完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0，得到a2+b2≥2ab．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，则四边形ABCD的最大面积是（　　） A．16 B．8 C．64 D．32 5．已知点A（x1，﹣100）、B（x2，﹣1）、C（x3，10）是一次函数y＝﹣3x+b图象上的三点，则在x1、x2、x3中最大的数是（　　） A．x1 B．x2 C．x3 D．以上均有可能 6．如图，点A，B，C是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2和y3＝k3x+b3，当k1+b1＜k2+b2＜k3+b3时，一次函数y1＝k1x+b1的图象应为（　　） A．直线AB B．直线BC C．直线AC D．无法确定 7．随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（　　） A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3 8．用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0时，将方程化为（x+m）2＝n的形式，则n的值为（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 9．若实数a，b，c满足a2b2﹣2ab2c+b2c2＝0，且ab＜0，则一元二次方程ax2+bx+c﹣a＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2满足的数量关系是（　　） A．x1x2＝0 B．x1＝x2 C．x1＝﹣x2 D．x1x2＝﹣1 10．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A（1﹣m，0）、B（m+1，0）两点，在﹣2≤x≤3的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若3≤c≤4，则n的取值范围是（　　） A．﹣4≤n≤4 B．n≤﹣4或n≥4 C．﹣5≤n≤5 D．n≤﹣5或n≥5 二．填空题（共6小题） 11．平行四边形的两条对角线的长分别为6和8，平行四边形的一条边的长为a（a为整数），则a的值可能为 ．（写出一个即可） 12．已知一次函数y＝﹣x+3，当0≤x≤2时，y的最大值是 ． 13．在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝7，BC＝8，则小正方形的边长为 ． 14．如图，已知正方形ABCD的边长为4，M点为CD边上的中点，若M点是A点关于线段EF的对称点，则等于 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的三条边为边作三个正方形，得到正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且点N恰好是边EF的中点．若图中阴影部分的面积为8，则边AB的长为 ． 16．欧几里得古希腊著名数学家、欧氏几何学开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法一小片段！如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI． （1）连接BI，CE，则BI　 　 CE（填＞、＜或＝）； （2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交HI于点N，若MN＝5，NI＝1，则正方形BCFG的面积是 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．计算： （1）（3）； （2）． 18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，DE⊥AB于E． 求证：AC2＝AE2﹣BE2． 19．已知：一次函数y＝x+2． （1）求该一次函数与x轴的交点坐标； （2）若点在该一次函数图象上，求的值． 20．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 21．如图是由边长为1的小正方形组成的3×3的网格，三角形ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）在图①中作出△ABC的中线AD； （2）图②中，在△ABC的边BC上找一点E，使∠BAE＝45°； （3）图③中，在△ABC的边BC上找一点F，连接AF，使△ABF的面积为1． 22．某果园基地销售优质柑橘，对购买柑橘数量在3000千克及以上的客户提供以下两种销售方案： 甲方案是客户免运费，柑橘单价是9元/千克；乙方案是客户承担固定运费，购买柑橘的总费用y（元）与购买柑橘数量x（千克）的关系如题22图所示． （1）分别写出两种方案的总费用y（元）关于购买柑橘数量x（千克）的函数解析式； （2）若您是客户，您将选择哪种方案？请说明理由． 23．如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边CD、BC上．连接AM、AN． （1）如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN，且∠MAN＝45°． ①已知CM＝6，CN＝8，求MN的长； ②已知DM：CM＝3：2，求AB：BN的值； （2）如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD＝2∠BAN，点N为BC的中点，AN＝6，AM＝8，求AD的长． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的图象经过点B，且与y1的另一个交点E的横坐标为﹣2． （1）求抛物线y2的函数解析式； （2）直线x＝t（﹣2＜t＜3）与y1、y2分别交于点F，H，与直线BE交于点G． ①求证：在此范围内不论t为何值，总有线段HF被点G平分； ②若，求线段FH的长度； （3）定义：由y1（﹣2≤x＜3）与y2（x≥3）组成的函数称为“拼接函数”y3，当﹣2≤x＜t﹣p时，y3的最小值为1+p，最大值为，求p的值及对应t的取值范围． 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季七年级开学分班·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B C A C C C A C 二、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11． 2（2，3，4，5，6均可）； 12． 3 ； 13. ； 14. ； 15. 2 ； 16.（1）BI CE（填＞、＜或＝）；（2） 20 ． 三、解答题，共72分． 17．解：（1）（3） .。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 ；。。。。。。。。。。.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 （2） 。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 ．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 18． 证明：在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+ED2， 在Rt△DEB中，由勾股定理得：BD2＝EB2+ED2， 由上述两式子得到： AD2＝AE2+BD2﹣EB2， 所以AE2﹣BE2＝AD2﹣BD2，。。。。。。。。。。。。。。4分 因为AD是BC边上的中线， 所以BD＝CD， 所以AE2﹣BE2＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2， 又因为Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2﹣CD2＝AC2， 所以AC2＝AE2﹣BE2．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 19．解：（1）一次函数y＝x+2， 令y＝0，得0＝x+2， ∴x＝﹣2， ∴交点坐标为（﹣2，0）；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 （2）∵点在该一次函数图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 ＝6﹣2 ＝4．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 20．解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0， ∴k≤3；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 （2）依题意得，x1+x2＝4，x1x2＝k+1， ∵4， ∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 ∴， ∴k1＝5，k2＝﹣3， 又k≤3， ∴k＝﹣3， 经检验k＝﹣3是分式方程的解． 所以k＝﹣3．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 21．解：（1）如图①，取BC的中点D，连接AD，则AD即为所求． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 （2）如图②，取格点M，使AM＝BM且AM⊥BM，延长AM交BC于点E， 则点E即为所求． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 （3）如图③，取格点P，Q，使BP∥CQ且BP：CQ＝1：3，连接PQ交BC于点F，连接AF， 此时△BPF∽△CQF，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 ∴BF：CF＝BP：CQ＝1：3， ∴S△ABF：S△ACF＝1：3． ∵S△ABC4， ∴S△ABF＝1， 则点F即为所求．.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 22．解：（1）根据题意得：y甲＝9x（x≥3000）； 设乙方案购买柑橘的总费用y乙（元）与购买柑橘数量x（千克）的函数解析式为y乙＝kx+b（k≠0）， 将（3000，29000），（5000，45000）代入y乙＝kx+b得：，。。。。。。。3分 解得：， ∴y乙＝8x+5000（x≥3000）．.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 答：y甲＝9x（x≥3000），y乙＝8x+5000（x≥3000）；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 （2）令y甲＜y乙，则9x＜8x+5000， 解得：x＜5000， ∴当3000≤x＜5000时，选择甲方案更合算；。。。。。。。。。。。。。。。。6分 令y甲＝y乙，则9x＝8x+5000， 解得：x＝5000， ∴当x＝5000时，选择甲、乙两方案费用相同；。。。。。。。。。。。。。。。。。7分 令y甲＞y乙，则9x＞8x+5000， 解得：x＞5000， ∴当x＞5000时，选择乙方案更合算．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 答：当3000≤x＜5000时，选择甲方案更合算；当x＝5000时，选择甲、乙两方案费用相同；当x＞5000时，选择乙方案更合算．。。。。。。。。。。。。。10分 23．解：（1）①在正方形ABCD中，∠C＝90°， 在Rt△CMN中，∠C＝90°，CM＝6，CN＝8， ∴， 即MN的长为10．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分 ②如图，延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE， 在正方形ABCD中，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD， 在△ABE和△ADM中， ， ∴△ABE≌△ADM（SAS）， ∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAN+∠DAM＝45°， ∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝45°，即∠EAN＝∠MAN， 在△AEN和△AMN中， ， ∴△AEN≌△AMN（SAS）， ∴EN＝MN， ∵DM：CM＝3：2， 设DM＝3a，BN＝b，则CM＝2a，AB＝BC＝5a，MN＝EN＝3a+b． ∴CN＝BC﹣BN＝5a﹣b， 在Rt△CMN中，CN2+CM2＝MN2， ∴（5a﹣b）2+（2a）2＝（3a+b）2， ∴4a（5a﹣4b）＝0， ∵a≠0， ∴5a﹣4b＝0，即， ∴AB：BN的值为4．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 （2）如图，延长AN、DC交于点E． ∵AB∥DE， ∴∠E＝∠BAN， 在△CEN和△BAN中， ， ∴△CEN≌△BAN（AAS）， ∴EN＝AN， ∵∠AMD＝2∠BAN＝2∠E， ∠AMD＝∠E+∠MAE， ∴∠E＝∠MAE， ∴AM＝EM， ∵AN＝6，AM＝8， ∴EN＝AN＝6，EM＝AM＝8， 设DM＝x，则AD2＝AM2﹣DM2＝AE2﹣DE2， 即82﹣x2＝122﹣（x+8）2， 解得：x＝1， ∴．.。。。。。。。。。。。。。。。。。10分 24． （1）解：抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴， ∵抛物线的图象经过点B，且与y1的另一个交点E的横坐标为﹣2， ∴点E的纵坐标为（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝5， ∴E（﹣2，5）， 将点B，点E的坐标分别代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线y2的函数解析式为；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 （2）①证明：设直线BE的解析式为y＝k1x+b1，将点B，点E的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BE的解析式为y＝﹣x+3， ∵直线x＝t（﹣2＜t＜3）与y1、y2分别交于点F，H，与直线BE交于点G， ∴H（t，﹣t2+9），F（t，t2﹣2t﹣3），G（t，﹣t+3）， ∴HG＝（﹣t2+9）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t+6，GF＝（﹣t+3）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+t+6， ∴FG＝HG，即线段HF被点G平分； ②解：∵， ∴， 解得：t＝1或t＝5（不符合题意，舍去）， ∴H（1，8），F（1，﹣4）， ∴FH＝12；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分 （3）解：由题意知：， 其图象如图所示， 由图象可知，当x＝﹣2时，y3取最大值，此时y3＝5， ∴， 解得：p＝﹣5， ∴y3的最小值为1+p＝1+（﹣5）＝﹣4， 当﹣2≤x＜3时，x2﹣2x﹣3＝﹣4， 解得：x＝1， 当x≥3时，﹣x2+9＝﹣4， 解得：（负值舍去）， 观察函数图象知：当，即时，y3的最小值为﹣4，最大值为5． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 ■ 分蜘训浒 17..8 三 4[A][B][C][D] ! 三、碧冷型（件723 2 [A][B][C][D] 站： --3 插咨强（电）量3少：扶18少) 8 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 0 0 爱点·务圆卡 000 10 [A][B][C][D] 9 [A][B][C][D] o∞O U A WNHO 迪号过号 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (2)(5-3)2-(7+2)(7-2) 18.(8分) B E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) （1) (2) 20.(8分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) A B 图0 图② 图3 22.(10分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) M ⊙ N B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) y E A 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第6页（共6页）2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：八年级下全部内容+九年级上册第1-3章 一.选择题（共10小题） 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是() A.V12 B.V30 C.√⑧ D.月 2.如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为() A.4 B.V5 C.13 D.V5或13 3.若m,n是正整数且m>,由m,n的值可确定勾股数a,b,c,其中a=2+2,b=2,c=m2-2,则下 列勾股数不能由，n确定的是() A.5,12,13 B.9,12,15 C.8,15,17 D.7,24,25 4.我们可以利用完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b≥0，得到心2+b2≥2ab.如图，四边形 ABCD是菱形，AB=8,则四边形ABCD的最大面积是() A.16 B.8 C.64 D.32 B 5.已知点A(x1,-100)、B(x2,-1)、C(x3,10)是一次函数y=-3x+b图象上的三点，则在x1、x2、x3中 最大的数是() A.x1 B.x2 C.x3 D.以上均有可能 y 6.如图，点A,B,C是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中 4 3 B 每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为y1=k1x+b1y2=k2x+b2和y3=k3x+b3, 2 当k1+b1<k+b2<k3+b3时，一次函数y1=k1x+b1的图象应为（) 下A A.直线AB B.直线BC C.直线AC D.无法确定 01234x 第1页共4页 7.随机抽取一组数据，根据方差公式得：s2=[(8-列2+(6-列2×4+(9-习2×2+(10-列2×3]，则关 于抽取的这组数据，下列说法错误的是() A.平均数是8 B.众数是6 C.中位数是9 D.方差是3 8.用配方法解一元二次方程x2+6x+3=0时，将方程化为(x+m)2=n的形式，则n的值为() A.12 B.9 C.6 D.3 9.若实数a,b,c满足2b2-2abc+bc2=0,且ab<0,则一元二次方程am2+bx+c-a=0(a≠0)的两个实数 根x1,2满足的数量关系是（) A.x1x2=0 B.x1=x2 C.x1=-x2 D.x1x2=-1 10.己知抛物线y=ax+2x+c(a≠0)与x轴交于A（1-m,0)、B(m+1,0)两点，在-2≤x≤3的抛物线上有 一点P,其纵坐标为n,若3≤c≤4，则n的取值范围是() A.-4≤n≤4 B.n≤-4或n≥4C.-5≤n≤5 D.n≤-5或n≥5 二.填空题（共6小题） 11.平行四边形的两条对角线的长分别为6和8，平行四边形的一条边的长为a(a为整数)，则a的值可能 为 .(写出一个即可) 12.己知一次函数y=-x+3,当0≤x≤2时，y的最大值是 13,在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M, N,P,Q分别在长方形的边AB,BC,CD和AD上，若AB=7,BC=8,则小正方形的边长为 14.如图，已知正方形ABCD的边长为4，M点为CD边上的中点，若M点是A点关于线段EF的对称点，则AE ED 于 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的三条边为边作三个正方形，得到正方形ABMN,正方形 BCPQ,正方形ACEF,且点N恰好是边EF的中点.若图中阴影部分的面积为8，则边AB的长为 E D N M A M B N B 第2页共4页 16.欧几里得古希腊著名数学家、欧氏几何学开创者.下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法一小片段！如图， 分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI. N (1)连接BI,CE,则BICE(填>、<或=)； (2)过点B作AC的垂线，交AC于点M,交HI于点N,若MN=5,M=1, E A M 则正方形BCFG的面积是 B 三.解答题（共8小题） 17.计算： G (1)(324-)÷6+xva, (2)(W5-3)2-(W7+2)W7-2). 18.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，DE⊥AB于E. B R 求证：AC2=AE2-BE2. D 19.已知：一次函数y=x+2. (1)求该一次函数与x轴的交点坐标： c (2)若点（品，m)在该一次函数图象上，求m-m+m+ 的值 m2 20.已知关于x的方程x2-4x+k+1=0有两个实数根. (1)求k的取值范围： (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,且一+ 已+三=xX24,求实数k的值. X1 X2 21.如图是由边长为1的小正方形组成的3×3的网格，三角形ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作 图，保留作图痕迹 (1)在图①中作出△ABC的中线AD: (2)图②中，在△ABC的边BC上找一点E,使∠BAE=45°： (3)图③中，在△ABC的边BC上找一点F,连接AF,使△ABF的面积为1. 图① 图② 图3 第3页共4页 22.某果园基地销售优质柑橘，对购买柑橘数量在3000千克及以上的客户提供以下两种销售方案： 甲方案是客户免运费，柑橘单价是9元/千克；乙方案是客户承担固定运 y/元 费，购买柑橘的总费用y(元)与购买柑橘数量x(千克)的关系如题22 45000- 图所示 29000---- (1)分别写出两种方案的总费用y(元)关于购买柑橘数量x(千克) 的函数解析式： 30005000x/千克 (2)若您是客户，您将选择哪种方案？请说明理由. 23.如图，在四边形ABCD中，点MN分别在边CD、BC上.连接AMAN. (1)如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN,且∠MAN=45°· ①已知CM=6,CN=8,求W的长： ②己知DM:CM=3:2,求AB:BN的值： (2)如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD=2∠BAN,点N为BC的中点，AN=6,AM=8,求AD的长. D A D M M N C 图1 图2 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于 点C,顶点为D,抛物线y2=mx2+nm≠0)的图象经过点B,且与y1的另一个交点E的横坐标为-2. (1)求抛物线2的函数解析式： (2)直线x=t(-2<t<3)与y1、y2分别交于点F,H,与直线BE交于点G. ①求证：在此范围内不论t为何值，总有线段HF被点G平分； ②若BG=2√2，求线段FH的长度： B (3)定义：由y1(-2≤x<3)与y2(x≥3)组成的函数称为“拼接函数”y3,当 -2≤x<t-p时，的最小值为1p,最大值为2.5-P,求p的值及对应1的取值 范围. 第4页共4页 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念解答即可． 【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、的被开方数30不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，化简后为，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，熟知被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键． 2．如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为（　　） A．4 B． C． D．或 【分析】分两种情况，利用勾股定理列式计算即可． 【解答】解：当3为斜边长时，第三边长； 当第三边为斜边长时，第三边长； 综上所述，第三条边长为或， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理以及分类讨论，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解答的关键． 3．若m，n是正整数且m＞n，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2，则下列勾股数不能由m，n确定的是（　　） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可． 【解答】解：A、∵a＝13，b＝12，c＝5，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵a＝15，b＝12，c＝9，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2， ∴， 解得：m2＝3或m2＝12， ∵m、n都是正整数， ∴m2＝3或m2＝12不符合勾股数的条件，故选项B符合题意； C、∵a＝17，b＝8，c＝15，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2， ∴， 解得：， 故选项C不符合题意； D、∵a＝25，b＝24，c＝7，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2， ∴， 解得：，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键． 4．我们可以利用完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0，得到a2+b2≥2ab．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，则四边形ABCD的最大面积是（　　） A．16 B．8 C．64 D．32 【分析】根据菱形的性质得到，AC⊥BD，由勾股定理可求出AC2+BD2＝256，则可得到，据此可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴， ∴， ∴AC2+BD2＝256， ∴2AC•BD≤AC2+BD2＝256， ∴， ∴四边形ABCD的最大面积是64． 故选：C． 【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得到，AC⊥BD解答． 5．已知点A（x1，﹣100）、B（x2，﹣1）、C（x3，10）是一次函数y＝﹣3x+b图象上的三点，则在x1、x2、x3中最大的数是（　　） A．x1 B．x2 C．x3 D．以上均有可能 【分析】根据一次函数的解析式，得出y随x的增大而减小，再结合A，B，C三个点纵坐标的大小关系即可解决问题． 【解答】解：由题知，因为一次函数解析式为y＝﹣3x+b， 所以y随x的增大而减小． 因为10＞﹣1＞﹣100， 所以x3＜x2＜x1， ∴在x1、x2、x3中最大的数是x1.故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 6．如图，点A，B，C是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2和y3＝k3x+b3，当k1+b1＜k2+b2＜k3+b3时，一次函数y1＝k1x+b1的图象应为（　　） A．直线AB B．直线BC C．直线AC D．无法确定 【分析】作直线AB、AC、BC，求出当x＝1时，y1＝k1+b1，y2＝k2+b2，y3＝k3+b3，画出直线x＝1，由函数图象并结合k1+b1＜k2+b2＜k3+b3即可得解． 【解答】解：如图所示，作直线AB、AC、BC， 当x＝1时，y1＝k1+b1，y2＝k2+b2，y3＝k3+b3， ∴如图，画出直线x＝1，结合图象可得，一次函数的图象应为直线AC， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 7．随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（　　） A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3 【分析】根据方差公式得出各数据以及各数据出现的次数，然后根据平均数、众数、中位数、方差的定义依次计算判断即可． 【解答】解：根据方差公式得：， 根据方差公式可得，这组数据中，8出现1次，6出现4次，9出现2次，10出现3次，6出现次数最多， ∴众数是6，故B正确，不符合题意； 按从小到大的顺序排列为：6，6，6，6，8，9，9，10，10，10， ∴中位数是，故C错误，符合题意； 总样本容量为1+4+2+3＝10， ∴平均数为，故A正确，不符合题意； 方差 ＝3，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查方差，正确进行是解题关键． 8．用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0时，将方程化为（x+m）2＝n的形式，则n的值为（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 【分析】通过移项、配方将方程化为完全平方式． 【解答】解：原方程移项得x2+6x＝﹣3， 配方：x2+6x+9＝﹣3+9， 即（x+3）2＝6，故n＝6． 故选：C． 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤． 9．若实数a，b，c满足a2b2﹣2ab2c+b2c2＝0，且ab＜0，则一元二次方程ax2+bx+c﹣a＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2满足的数量关系是（　　） A．x1x2＝0 B．x1＝x2 C．x1＝﹣x2 D．x1x2＝﹣1 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为实数a，b，c满足a2b2﹣2ab2c+b2c2＝0， 则b2（a﹣c）2＝0， 所以b＝0或a﹣c＝0． 因为ab＜0， 所以b≠0， 则a﹣c＝0， 所以a＝c． 因为一元二次方程ax2+bx+c﹣a＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2， 所以． 故选：A． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 10．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A（1﹣m，0）、B（m+1，0）两点，在﹣2≤x≤3的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若3≤c≤4，则n的取值范围是（　　） A．﹣4≤n≤4 B．n≤﹣4或n≥4 C．﹣5≤n≤5 D．n≤﹣5或n≥5 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得a＝﹣1，即可求得y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，结合在﹣2≤x≤3的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且3≤c≤4利用二次函数的性质即可求解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A（1﹣m，0）、B（m+1，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x1， ∴1， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1， ∴顶点为（1，c+1）， ∵在﹣2≤x≤3的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴x＝﹣2时，n＝﹣8+c， 当x＝3时，n＝﹣3+c， ∵3≤c≤4， ∴4≤c+1≤5，﹣5≤﹣8+c≤﹣4， ∴n的取值范围是﹣5≤n≤5． 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．平行四边形的两条对角线的长分别为6和8，平行四边形的一条边的长为a（a为整数），则a的值可能为　2（2，3，4，5，6均可）　 ．（写出一个即可） 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到两条对角线一半的长度，结合三角形三边关系得到边长a的取值范围，根据a为整数，即可得到符合条件的a的值． 【解答】解：∵平行四边形的对角线互相平分， ∴两条对角线一半的长度分别为，， ∵平行四边形的一边与两条对角线的一半可构成三角形， ∴根据三角形三边关系可得4﹣3＜a＜4+3， 即1＜a＜7， 又∵a为整数， ∴a可取2，3，4，5，6中任意一个． 故答案为：2（2，3，4，5，6均可）． 【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形三边关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．已知一次函数y＝﹣x+3，当0≤x≤2时，y的最大值是　3　 ． 【分析】先根据一次函数的性质判断出函数y＝﹣x+3的增减性，再根据x取最小值时y最大进行解答． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+3中k＝﹣1＜0， ∴一次函数y＝﹣x+3是减函数， ∴当x最小时，y最大， ∵0≤x≤2， ∴当x＝0时，y最大＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 13．在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝7，BC＝8，则小正方形的边长为 　　 ． 【分析】将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y，根据AB＝7，BC＝8，列出二元一次方程组，求出x和y，再求出边长即可． 【解答】解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形， 设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y， ∵AB＝7，BC＝8， ∴， 解得， ∴小正方形的边长为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，根据题意运用好赵爽弦图是解题关键． 14．如图，已知正方形ABCD的边长为4，M点为CD边上的中点，若M点是A点关于线段EF的对称点，则等于　　 ． 【分析】连接EM，由轴对称性质可知EA＝EM，设AE＝x，则ED＝4﹣x，EM＝x，由勾股定理得（4﹣x）2+22＝x2，解方程求出x的值即可． 【解答】解：连接EM， 由轴对称的性质可知，EA＝EM， 设AE＝x，则ED＝4﹣x，EM＝x， ∵M点为CD边上的中点， ∴， ∴ED2+DM2＝EM2， 即（4﹣x）2+22＝x2 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的运用，关键是根据轴对称性质得出EA＝EM解答． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的三条边为边作三个正方形，得到正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且点N恰好是边EF的中点．若图中阴影部分的面积为8，则边AB的长为　2　 ． 【分析】设CE交MN于点H，BM交CP于点L，由∠ACB＝90°及正方形的性质得AN＝AB，AF＝AC＝EF，∠F＝∠ACB＝∠ACE＝∠E＝∠ABM＝∠BCL＝90°，推导出∠FAN＝∠CAB，∠NHE＝∠BLC，可证明△ANF≌△ABC，得FN＝CB＝EN，再证明△ENH≌△CBL，得S△ENH＝S△CBL，推导出S阴影＝S正方形BCPQ＝CB2＝8，求得CB＝2，因为AC＝EF＝2EN＝2CB，所以ABCB＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：设CE交MN于点H，BM交CP于点L， ∵∠ACB＝90°，四边形ABMN、四边形BCPQ、四边形ACEF都是正方形， ∴AN＝AB，AF＝AC＝EF，∠F＝∠ACB＝∠ACE＝∠E＝∠ABM＝∠BCL＝90°，MN∥AB， ∴∠FAN＝∠CAB＝90°﹣∠CAN，∠ACB+∠ACE＝180°， ∴B、C、E三点在同一条直线上， ∴∠NHE＝∠ABC， ∵∠BLC＝∠ABC＝90°﹣∠LBC， ∴∠NHE＝∠BLC， 在△ANF和△ABC中， ， ∴△ANF≌△ABC（SAS）， ∴FN＝CB， ∵点N是EF的中点， ∴FN＝EN， ∴EN＝CB， 在△ENH和△CBL中， ， ∴△ENH≌△CBL（AAS）， ∴S△ENH＝S△CBL， ∴S阴影＝S△ENH+S四边形PQBL＝S△CBL+S四边形PQBL＝S正方形BCPQ， ∵S阴影＝8，S正方形BCPQ＝CB2， ∴CB2＝8， ∴CB＝2或BC＝（不符合题意，舍去）， ∴AC＝EF＝2EN＝2CB， ∴ABCB22， 故答案为：2． 【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出S阴影＝S正方形BCPQ是解题的关键． 16．欧几里得古希腊著名数学家、欧氏几何学开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法一小片段！如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI． （1）连接BI，CE，则BI　＝　 CE（填＞、＜或＝）； （2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交HI于点N，若MN＝5，NI＝1，则正方形BCFG的面积是 　20　 ． 【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质即可解答； （2）利用勾股定理即可解答． 【解答】解：①在正方形ABDE、ACHI中， ∴AE＝AB，AC＝AI， ∵∠EAB＝90°，∠IAC＝90°， ∴∠EAC＝90°+∠BAC，∠IAB＝90°+∠BAC， ∴∠EAC＝∠IAB， 在△EAC和△IAB中， ， ∴△EAC≌△IAB（SAS）， ∴BI＝CE， 故答案为：＝； ②∵MN＝5，NI＝1，四边形AMNI是矩形， ∴AM＝1，MC＝4， 在Rt△ABM中，AB2＝BM2+1， 在Rt△BMC中，BC2＝42+BM2， ∵AC2＝AB2+BC2，AC＝MN＝5 ∴25＝BM2+1+42+BM2， ∴BM＝2（负值舍去）， 在Rt△ABC中，， ∴． 故答案为：20． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．计算： （1）（3）； （2）． 【分析】（1）先算乘除，再算加减即可； （2）先利用完全平方公式及平方差公式分别计算出各数，再算加减即可． 【解答】解：（1）（3） ； （2） ． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，DE⊥AB于E． 求证：AC2＝AE2﹣BE2． 【分析】依据勾股定理，即可得到AD2＝AE2+ED2，BD2＝EB2+ED2，进而得出AE2﹣BE2＝AD2﹣CD2，再根据勾股定理可得，AD2﹣CD2＝AC2，即可得到AC2＝AE2﹣BE2． 【解答】证明：在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+ED2， 在Rt△DEB中，由勾股定理得：BD2＝EB2+ED2， 由上述两式子得到： AD2＝AE2+BD2﹣EB2， 所以AE2﹣BE2＝AD2﹣BD2， 因为AD是BC边上的中线， 所以BD＝CD， 所以AE2﹣BE2＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2， 又因为Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2﹣CD2＝AC2， 所以AC2＝AE2﹣BE2． 【点评】本题主要考查了勾股定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 19．已知：一次函数y＝x+2． （1）求该一次函数与x轴的交点坐标； （2）若点在该一次函数图象上，求的值． 【分析】（1）令y＝0，解方程，即可求解； （2）把代入y＝x+2，得出，进而根据完全平方公式变形可得，再根据分式的性质将原式化简为，再整体代入即可求解． 【解答】解：（1）一次函数y＝x+2， 令y＝0，得0＝x+2， ∴x＝﹣2， ∴交点坐标为（﹣2，0）； （2）∵点在该一次函数图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ＝6﹣2 ＝4． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 20．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝k+1，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0， ∴k≤3； （2）依题意得，x1+x2＝4，x1x2＝k+1， ∵4， ∴， ∴， ∴k1＝5，k2＝﹣3， 又k≤3， ∴k＝﹣3， 经检验k＝﹣3是分式方程的解． 所以k＝﹣3． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 21．如图是由边长为1的小正方形组成的3×3的网格，三角形ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）在图①中作出△ABC的中线AD； （2）图②中，在△ABC的边BC上找一点E，使∠BAE＝45°； （3）图③中，在△ABC的边BC上找一点F，连接AF，使△ABF的面积为1． 【分析】（1）取BC的中点D，连接AD即可． （2）取格点M，使AM＝BM且AM⊥BM，延长AM交BC于点E，则点E即为所求． （3）取格点P，Q，使BP∥CQ且BP：CQ＝1：3，连接PQ交BC于点F，连接AF，则点F即为所求． 【解答】解：（1）如图①，取BC的中点D，连接AD， 则AD即为所求． （2）如图②，取格点M，使AM＝BM且AM⊥BM，延长AM交BC于点E， 则点E即为所求． （3）如图③，取格点P，Q，使BP∥CQ且BP：CQ＝1：3，连接PQ交BC于点F，连接AF， 此时△BPF∽△CQF， ∴BF：CF＝BP：CQ＝1：3， ∴S△ABF：S△ACF＝1：3． ∵S△ABC4， ∴S△ABF＝1， 则点F即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．某果园基地销售优质柑橘，对购买柑橘数量在3000千克及以上的客户提供以下两种销售方案： 甲方案是客户免运费，柑橘单价是9元/千克；乙方案是客户承担固定运费，购买柑橘的总费用y（元）与购买柑橘数量x（千克）的关系如题22图所示． （1）分别写出两种方案的总费用y（元）关于购买柑橘数量x（千克）的函数解析式； （2）若您是客户，您将选择哪种方案？请说明理由． 【分析】（1）甲方案，利用总价＝单价×数量，可找出y甲关于x的函数解析式；乙方案，根据图中点的坐标，利用待定系数法，即可求出y乙关于x的函数解析式； （2）分y甲＜y乙，y甲＝y乙及y甲＞y乙三种情况，可求出x的取值范围或x的值，进而可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：y甲＝9x（x≥3000）； 设乙方案购买柑橘的总费用y乙（元）与购买柑橘数量x（千克）的函数解析式为y乙＝kx+b（k≠0）， 将（3000，29000），（5000，45000）代入y乙＝kx+b得：， 解得：， ∴y乙＝8x+5000（x≥3000）． 答：y甲＝9x（x≥3000），y乙＝8x+5000（x≥3000）； （2）令y甲＜y乙，则9x＜8x+5000， 解得：x＜5000， ∴当3000≤x＜5000时，选择甲方案更合算； 令y甲＝y乙，则9x＝8x+5000， 解得：x＝5000， ∴当x＝5000时，选择甲、乙两方案费用相同； 令y甲＞y乙，则9x＞8x+5000， 解得：x＞5000， ∴当x＞5000时，选择乙方案更合算． 答：当3000≤x＜5000时，选择甲方案更合算；当x＝5000时，选择甲、乙两方案费用相同；当x＞5000时，选择乙方案更合算． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y甲，y乙关于x的函数解析式是解题的关键． 23．如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边CD、BC上．连接AM、AN． （1）如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN，且∠MAN＝45°． ①已知CM＝6，CN＝8，求MN的长； ②已知DM：CM＝3：2，求AB：BN的值； （2）如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD＝2∠BAN，点N为BC的中点，AN＝6，AM＝8，求AD的长． 【分析】（1）①利用勾股定理可直接得出结论； ②延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE，可证明△ABE≌△ADM（SAS），所以∠BAE＝∠DAM，AE＝AM；进而可得△AEN≌△AMN（SAS），所以EN＝MN；设DM＝3a，BN＝b，则CM＝2a，AB＝BC＝5a，MN＝EN＝3a+b．所以CN＝BC﹣BN＝5a﹣b，在Rt△CMN中，利用股定理可得关于a和b的等式，解之即可得出结论； （2）如图，延长AN、DC交于点E．可证△CEN≌△BAN，所以EN＝AN，由∠AMD＝2∠BAN＝2∠E，可得∠E＝∠MAE，所以AM＝EM，设DM＝x，则AD2＝AM2﹣DM2＝AE2﹣DE2，即82﹣x2＝122﹣（x+8）2，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）①在正方形ABCD中，∠C＝90°， 在Rt△CMN中，∠C＝90°，CM＝6，CN＝8， ∴， 即MN的长为10． ②如图，延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE， 在正方形ABCD中，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD， 在△ABE和△ADM中， ， ∴△ABE≌△ADM（SAS）， ∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAN+∠DAM＝45°， ∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝45°，即∠EAN＝∠MAN， 在△AEN和△AMN中， ， ∴△AEN≌△AMN（SAS）， ∴EN＝MN， ∵DM：CM＝3：2， 设DM＝3a，BN＝b，则CM＝2a，AB＝BC＝5a，MN＝EN＝3a+b． ∴CN＝BC﹣BN＝5a﹣b， 在Rt△CMN中，CN2+CM2＝MN2， ∴（5a﹣b）2+（2a）2＝（3a+b）2， ∴4a（5a﹣4b）＝0， ∵a≠0， ∴5a﹣4b＝0，即， ∴AB：BN的值为4． （2）如图，延长AN、DC交于点E． ∵AB∥DE， ∴∠E＝∠BAN， 在△CEN和△BAN中， ， ∴△CEN≌△BAN（AAS）， ∴EN＝AN， ∵∠AMD＝2∠BAN＝2∠E， ∠AMD＝∠E+∠MAE， ∴∠E＝∠MAE， ∴AM＝EM， ∵AN＝6，AM＝8， ∴EN＝AN＝6，EM＝AM＝8， 设DM＝x，则AD2＝AM2﹣DM2＝AE2﹣DE2， 即82﹣x2＝122﹣（x+8）2， 解得：x＝1， ∴． 【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及勾股定理，根据全等三角形对应边之间的关系，设未知数利用勾股定理列方程为解题关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的图象经过点B，且与y1的另一个交点E的横坐标为﹣2． （1）求抛物线y2的函数解析式； （2）直线x＝t（﹣2＜t＜3）与y1、y2分别交于点F，H，与直线BE交于点G． ①求证：在此范围内不论t为何值，总有线段HF被点G平分； ②若，求线段FH的长度； （3）定义：由y1（﹣2≤x＜3）与y2（x≥3）组成的函数称为“拼接函数”y3，当﹣2≤x＜t﹣p时，y3的最小值为1+p，最大值为，求p的值及对应t的取值范围． 【分析】（1）根据待定系数法求出y1的解析式，然后求出点E的坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）①待定系数法求出直线BE的解析式为y＝﹣x+3，结合题意得出H（t，﹣t2+9），F（t，t2﹣2t﹣3），G（t，﹣t+3），则HG＝﹣t2+t+6，GF＝﹣t2+t+6，即可得证； ②根据两点间距离公式求出t＝1，则H（1，8），F（1，﹣4），即可求解； （3）画出“拼接函数”y3的图象，然后数学结合求解即可． 【解答】（1）解：抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴， ∵抛物线的图象经过点B，且与y1的另一个交点E的横坐标为﹣2， ∴点E的纵坐标为（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝5， ∴E（﹣2，5）， 将点B，点E的坐标分别代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线y2的函数解析式为； （2）①证明：设直线BE的解析式为y＝k1x+b1，将点B，点E的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BE的解析式为y＝﹣x+3， ∵直线x＝t（﹣2＜t＜3）与y1、y2分别交于点F，H，与直线BE交于点G， ∴H（t，﹣t2+9），F（t，t2﹣2t﹣3），G（t，﹣t+3）， ∴HG＝（﹣t2+9）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t+6，GF＝（﹣t+3）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+t+6， ∴FG＝HG，即线段HF被点G平分； ②解：∵， ∴， 解得：t＝1或t＝5（不符合题意，舍去）， ∴H（1，8），F（1，﹣4）， ∴FH＝12； （3）解：由题意知：， 其图象如图所示， 由图象可知，当x＝﹣2时，y3取最大值，此时y3＝5， ∴， 解得：p＝﹣5， ∴y3的最小值为1+p＝1+（﹣5）＝﹣4， 当﹣2≤x＜3时，x2﹣2x﹣3＝﹣4， 解得：x＝1， 当x≥3时，﹣x2+9＝﹣4， 解得：（负值舍去）， 观察函数图象知：当，即时，y3的最小值为﹣4，最大值为5． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，两点间的距离，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/26 17:55:52；用户：鲍明；邮箱：13310509185；学号：37128091 第1页 共24页 ◎ 第2页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 $