精品解析：湖北省武汉市青山石化学校2025-2026学年上学期开学摸底考试九年级数学试卷

2025－2026学年度第一学期九（上）开学模拟测试 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据轴对称图形的意义，中心对称图形的意义，分别对四个图形作出分析，再作判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，它是中心对称图形，故A不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意， 故选：D． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A. 4，6，1 B. 4，6， C. 4，，1 D. 4，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，①一元二次方程的一般形式是、、为常数，，②找项的系数时带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，，1， 故选：C． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可直接进行求解． 【详解】解：由抛物线可知对称轴为直线； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 4. 如图，将绕点逆时针旋转到，点恰好落在边上．已知，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角形外角的性质求出，再根据图形旋转的性质即可求解． 【详解】解：∵是的一个外角，，， ∴， ∵绕点O逆时针旋转到， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的旋转、三角形外角的性质，熟练运用旋转的性质是解题的关键． 5. 将抛物线平移后，得到抛物线的解析式为，则正确的平移方式是（ ） A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换． 先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到， 所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线． 故选：D． 6. 已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据根与系数的关系得到，，求出，，然后代入利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是，， ∴， ∴， ∴一元二次方程为， ∴ 解得，． 故选：D． 7. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案． 【详解】解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2）， 设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得： 0=a×4+2， 解得：a=-． ∴抛物线的解析式为y=-x2+2， ∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-x2+2， 解得：x=±． ∵-（-）=2， ∴水面宽度为2m． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的性质是解题的关键． 8. 已知二次函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得顶点坐标，得出最小值，然后求出x=-3、x=0时y的值，就可顶点y的取值范围． 【详解】=， ∵1>0， ∴图象开口向上，当x=-1时，y有最小值-5， 当x=-3时，y=-1；当x=0时，y=-4， ∴当时，的取值范围是， 故选：C． 【点睛】此题考查二次函数的最值，二次函数的性质，已知自变量求函数值，解题中注意函数图象的对称轴在取值范围中，即函数存在最值，不要忽略． 9. 若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，即可得出答案． 【详解】对于二次函数，其二次项系数， ∴该函数图象开口向上， 对称轴为， ∴点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：， 点就在对称轴上，到对称轴距离为， ∵二次函数图象开口向上时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大 ，且， ∴． 故选：D． 10. 若二次函数的图象与直线有两个交点，则k的取值（ ） A. B. 或 C. 或 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】做出二次函数图像，数形结合确定k的取值 【详解】解：二次函数的图象如图所示 若二次函数的图象与直线有两个交点，则或 故选：B 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 以和3为两根，且二次项系数为1的关于x的一元二次方程为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系．根据根与系数的关系，求出一次项的系数和常数项，即可． 【详解】解：设一元二次方程为， ∵和3为方程的两个根， ∴， ∴， ∴方程为：． 故答案为：． 12. 点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】（3，-4） 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标为：（3，-4）． 故答案为：（3，-4）． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 13. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据，且解出k的范围即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，解题的关键是正确列出，本题属于基础题型． 14. 如图，一副直角三角板的两直角顶点重合，，现将绕点C顺时针转动度，当边与的一边平行时，的值为：________． 【答案】25或55或115 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是分类讨论． 根据题意设转动的角度为，分为如图1，，如图2，，如图3，，根据平行线的性质分别画图即可求解； 【详解】解：设转动的角度为， 如图1，，则， ∴， ∴； 如图2，，则， ∴； 如图3，，则， ∴； 故答案为：25或55或115． 15. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当线段的最小值是时，的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，将绕点逆时针旋转得，连接，过点作于点，可证，可得，即的最小值就是的最小值，设，则，在中，运用勾股定理可得，根据二次函数求最值的方法可得当时，有最小值，且最小值为，则，可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得，连接，过点作于点， ∴， ∴四边形是正方形，则， ∵， ∴， 根据旋转可得，，且， ∴， ∴，即的最小值就是的最小值， 设， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴当时，有最小值，且最小值为，则， ∵， ∴的最小值即为的最小值，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数求最值等知识的综合，掌握旋转的性质，勾股定理求最短路经，二次函数最值的计算方法，合理作出辅助线是解题的关键． 16. 已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若点，在抛物线上，，且，则； ④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 其中正确的是_________（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④． 【详解】解：抛物线过，两点，且， ， ， ，即， 抛物线开口向下，， ，故①正确； 若，则， ， ，故②不正确； 抛物线，点，在抛物线上， ∴，，把两个等式相减，整理得， ，，， ， ， ，故③正确； 依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得， ， ，， ，， ， 故④正确． 综上所述，①③④正确． 故答案为；①③④． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 首先转化为一般式，然后利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 ，， ∴ 解得，． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴只取． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根与系数关系，熟记一元二次方程中，是解题的关键． 19. 如图，将绕点逆时针旋转至的位置，此时A、B、D三点共线． （1）求的大小； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，熟知旋转前后对应边相等，对应角相等是解题的关键． （1）由旋转可知，，，根据A、B、D三点共线，结合等边对等角即可求解； （2）由旋转可知，，，，得，再结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转可知，，， ∵A、B、D三点共线， ∴， 即：； 【小问2详解】 由旋转可知，，，， 则， 由勾股定理可得：， ∴． 20. 抛物线与轴交于两点，在左侧，与轴交于点． （1）点坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）不等式的解集是 ； （3）当满足时，的取值范围 ． 【答案】（1）；； （2）或 （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与两坐标轴的交点及不等式组，本题利用数形结合的思想是关键，从图象中读出不等式组的解集和对应的取值． （1）配方可得抛物线顶点的坐标；将和代入抛物线的解析式可求得点的坐标； （2）将代入抛物线的解析式可求得，的坐标；画出草图，根据图象得出结论； （3）计算得出当时对应的函数值，根据图象即可写出二次函数的取值范围． 【小问1详解】 解：， 抛物线顶点的坐标为； 把代入得； 点坐标为； 【小问2详解】 解：把代入得，解得，， 点坐标为、点坐标为， 草图，如图所示； ，即， 由图象得：当或时，，则； 故答案为：或； 【小问3详解】 解：由图象得： 当时，； 当时，； 当时，； 所以取值范围：． 21. 如图是由小正方形组成的3个4格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条． （1）如图1，是格点，先将点绕点逆时针旋转，画对应点，再画直线交于点，使直线平分矩形的面积． （2）如图2，先画点关于直线的对称点，再画射线交于点，使． 【答案】（1） 如图，点，直线即为所求． （2） 如图，点，直线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）旋转变换的性质作出点的对应点即可，连接交网格线于点，作直线交于点即可； （2）取格点，连接交于点，取格点，网格线的中点，连接交于点，作直线交于点，直线即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某药店在口罩销售中发现：一款进价为元/盒的口罩，销售单价为元/盒时，每天可售出盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出盒，设每盒降价x元（，x为整数） （1）降价后，每盒盈利 元时，每天可售出 盒（用含x的式子表示）； （2）为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利元? （3）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润． 【答案】（1）， （2）3元 （3）每盒降价2元时，可取得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）每盒降价x元，则利润也降x元，由原利润与降价之差即得现在每盒的利润；由降价而增加的销售量与原有销售量之和即为现在每天的销售量； （2）由题意列出方程，解方程即可； （3）设每天的利润为y元，可得到关于x的二次函数，根据二次函数关系式可求得利润的最大值． 【小问1详解】 解：未降价前，每盒的利润为（元），降价后每盒的利润为元； 因销售单价每降价1元，则每天可多售出30盒， 所以销售单价降价x元，则可增加销售盒， 所以现在每天的销售量为盒； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得方程：， 解方程得：，， 为了减少库存，则取，不合题意， 答：为了尽快减少库存，当每盒降价3元时，每天可盈利450元； 【小问3详解】 解：设每天的利润为y元，由可得：， 整理得：， ∵，， ∴当时，函数有最大值； 答：当每盒降价2元时，可取得最大利润，且最大利润为元． 【点睛】本题是销售与利润实际问题，考查了列代数式、解一元二次方程及二次函数的最值，理解题意，找到等量关系式列出方程与函数关系式是解题的关键． 23. 在等边中， （1）如图1，D为外一点，．求证；； （2）如图2，D为边上一动点，连，将绕着D逆时针旋转得到，连，取中点 F，连，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，过C作于D，作于E，，若，求的值．（用含n的代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长至点K使得，连接，先证，推出，，再证是等边三角形，推出，通过等量代换即可证明； （2）延长至点H使得，连接，，先证，推出，，再证，推出，，进而证明是含30度角的直角三角形，即可得出； （3）在上取，连接，，延长和交于点N，构造等边，设，，，通过证明可得，，进而证明，推出，，再根据，，，列出关于x，y，a的方程，求出的值即可． 【小问1详解】 证明：如图1，延长至点K使得，连接， 是等边三角形， ，， ， ，即， 又， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， 即； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图2，延长至点H使得，连接，， 在和中， ， ， ，，， ， ， 将绕着D逆时针旋转得到， ，， 又， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，， ； 【小问3详解】 解：如图，在上取，连接，，延长和交于点N， 设，，，则，， ，， ， ； ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 又， ， ，，， ， 由得， 将代入得：， 整理得， ， 即． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等，难度较大，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形． 24. 已知抛物线与轴交于两点（点在左边），与轴交于点． （1）直接写出三点的坐标； （2）如图（），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标； （3）如图（）， 是线段上一点，直线分别交抛物线于另一点，连接，将的面积分别记为，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（）把，分别代入二次函数解析式解答即可求解； （）延长交轴于点，过点作于，可得，即得，设，利用待定系数法求出直线的解析式为，即得，再根据等腰三角形的性质可得，即得，求出即可求解； （）过点作轴于点，交于点，过点作轴于，交于，利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，进而联立函数解析式可得，，即得，，得到，，即得，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得，， ∴，， 把代入得，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交轴于点，过点作于， ∵，， ∴， ∴， 设，直线的解析式为，则， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∵为抛物线上第一象限内一点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作轴于，交于， 设，直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 同理得， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的几何应用，三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期九（上）开学模拟测试 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A. 4，6，1 B. 4，6， C. 4，，1 D. 4，， 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 如图，将绕点逆时针旋转到，点恰好落在边上．已知，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线平移后，得到抛物线的解析式为，则正确的平移方式是（ ） A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 6. 已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知二次函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 若二次函数的图象与直线有两个交点，则k的取值（ ） A. B. 或 C. 或 D. 且 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 以和3为两根，且二次项系数为1的关于x的一元二次方程为__________________． 12. 点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 13. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______． 14. 如图，一副直角三角板的两直角顶点重合，，现将绕点C顺时针转动度，当边与的一边平行时，的值为：________． 15. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当线段的最小值是时，的值是___________． 16. 已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若点，在抛物线上，，且，则； ④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 其中正确的是_________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 解方程：． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 19. 如图，将绕点逆时针旋转至的位置，此时A、B、D三点共线． （1）求的大小； （2）若，，求的长． 20. 抛物线与轴交于两点，在左侧，与轴交于点． （1）点坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）不等式的解集是 ； （3）当满足时，的取值范围 ． 21. 如图是由小正方形组成的3个4格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条． （1）如图1，是格点，先将点绕点逆时针旋转，画对应点，再画直线交于点，使直线平分矩形的面积． （2）如图2，先画点关于直线的对称点，再画射线交于点，使． 22. 某药店在口罩销售中发现：一款进价为元/盒的口罩，销售单价为元/盒时，每天可售出盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出盒，设每盒降价x元（，x为整数） （1）降价后，每盒盈利 元时，每天可售出 盒（用含x的式子表示）； （2）为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利元? （3）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润． 23. 在等边中， （1）如图1，D为外一点，．求证；； （2）如图2，D为边上一动点，连，将绕着D逆时针旋转得到，连，取中点 F，连，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，过C作于D，作于E，，若，求的值．（用含n的代数式表示） 24. 已知抛物线与轴交于两点（点在左边），与轴交于点． （1）直接写出三点的坐标； （2）如图（），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标； （3）如图（）， 是线段上一点，直线分别交抛物线于另一点，连接，将的面积分别记为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $