第二单元三角形的再认识（含综合实践）(导学案)-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

该小学数学导学案聚焦三角形内角和、三边关系、四边形内角和及密铺设计，通过课前热身（如大小三角形对话、旧知前置诊断）搭建学习支架，引导学生从角的认识、尺规作图等旧知过渡到新知探究。 资料突出动手操作（量拼折、尺规作图、密铺创作）与分层练习，结合错题四步法培养反思习惯，发展空间观念、推理意识和创新意识，助力学生在实践中理解数学原理，提升自主探究与应用能力。

第二单元 三角形的再认识 第1课时 探索三角形内角和（一） 通过度量与拼角活动，发现三角形内角和是180° 教学内容：教科书第21—23页 新授课 空间观念、推理意识 三角形学具（附页1）、量角器、剪刀 自主探究+合作交流 ① 学习目标 通过量一量、拼一拼、折一折等活动，经历探索三角形内角和的过程，知道三角形的内角和是180°。 在操作中体验“转化”的数学思想，能把三角形的三个内角拼成一个平角。 发展空间观念和推理意识，能有条理地表达自己的发现。 在小组合作中感受数学探究的乐趣，增强学习数学的信心。 重点：通过活动发现并理解三角形内角和是180°。 难点：理解测量有误差，但所有三角形的内角和都正好是180°。 ② 一、课前热身（约5分钟） 大三角形：“三个内角的和一定比你大。” 小三角形：“我虽然小，但内角和不一定小。” 小组活动：每人从附页1选一个三角形量一量，填记录表。 你猜三角形的内角和是多少度？量一量、拼一拼验证你的猜想。 【前置诊断】 1. 我们学过的角有（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 ______________________________________________ 2. 平角的度数是（ ）°，周角的度数是（ ）°。 ______________________________________________ ③ 二、探究新知（约18分钟） 【活动一】 量一量，填一填 —— 三角形的内角和 任务：从附页1选一个三角形，用量角器量出三个内角的度数，算一算它们的和。 ① 量一量 3′ → ② 算一算 3′ → ③ 交流 3′ 每个三角形内角和都在180°左右。 实际三角形内角和就是180°，测量有误差。 把三个内角的度数相加，结果接近180°；测量要认真、读数要准。 【活动二】 拼一拼，折一折 —— 验证180° 任务：用撕角拼接或折叠的方法，把三个角拼成一个平角。 ① 撕角拼 3′ → ② 折叠验证 3′ → ③ 归纳 2′ 方法一（撕角拼接）：把三个角撕下来拼成一个平角180°。 方法二（折叠法）：折叠使三个角顶点重合成一个平角。 结论：三角形内角和等于180°；无论大小、形状，内角和都相同。 ④ 三、分层课堂练习（约12分钟） ● 基础巩固（人人达标） 1. 填空：三角形的内角和是（ ）°。 2. 一个三角形中∠1=70°，∠2=60°，∠3=（ ）°。 3. 判断：任意一个三角形的内角和都是180°（ ）。 ● 能力提升（灵活运用） 4. 用一副三角板（30°、60°、90°和45°、45°、90°）拼成一个三角形，它的内角和是（ ）°。 5. 把两个完全一样的三角形拼成一个四边形，这个四边形的内角和是（ ）°。 ● 思维拓展（挑战自我） 6. 阅读“你知道吗”：除了三角形，你还能猜出四边形、五边形的内角和吗？课后用今天的方法验证。 ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： • 三角形的内角和是180°。 • 可以用量一量、拼一拼、折一折的方法验证。 • 测量会有误差，但所有三角形的内角和都正好是180°。 【课堂表现自评】 【错因诊断】我需要注意： □ 以为三角形的大小不同，内角和也不同。 □ 量角时读数错误，导致三个内角和不接近180°就否定结论。 知识要点 我的理解 掌握程度 三角形的内角和是180°。 ★★★ 可以用量一量、拼一拼、折一折的方法验证。 ★★★ 测量会有误差，但所有三角形的内角和都正好是180°。 ★★★ 评价项目 自评星级 同伴评价 我能掌握本节课的重点内容，理清知识脉络。 ★★★ ★★★ 我能独立完成课堂练习，正确率较高。 ★★★ ★★★ 我能发现并改正错误，养成反思习惯。 ★★★ ★★★ ⑥ 五、课后作业 • 1. 课本第23页练一练第1题（三角形内角和回顾）。 • 2. 课本第23页练一练第2题（三角板拼四边形、三角形）。 • 3. 剪一个三角形，用撕角或折叠的方法验证内角和。 错题四步法：把今天的错题整理到错题本上——①抄题 → ②标注错因 → ③写出正确解法 → ④举一反三编一道同类题。 第二单元 三角形的再认识 第2课时 探索三角形内角和（一）试一试 运用内角和计算未知角，体会测量误差 教学内容：教科书第22页 练习课 空间观念、推理意识 量角器、三角形卡片 自主练习+合作交流 ① 学习目标 能根据三角形内角和是180°，计算三角形中未知角的度数。 通过分析测量数据，体会测量存在误差，养成认真测量、细心计算的习惯。 发展推理意识，能根据已知角判断三角形的特征。 在纠错与猜测中体验数学的严谨。 重点：运用三角形内角和180°计算未知角。 难点：理解测量数据与真实值之间的误差，以及根据已知角推断三角形类型。 ② 一、课前热身（约5分钟） 奇思记录班级测量数据发现内角和不一样： 15°+134°+30°=179°；15°+45°+30°=90°（明显错误）； 15°+136°+30°=181°；14°+135°+29°=180°；14°+136°+30°=180° 你发现了什么？ 【前置诊断】 1. 三角形的内角和是（ ）°。 ______________________________________________ 2. 一个直角三角形，其中一个锐角是40°，另一个锐角是（ ）°。 ______________________________________________ ③ 二、探究新知（约18分钟） 【活动一】 分析测量数据 任务：看看奇思记录的数据，哪些是合理的，哪些有明显错误。 ① 观察 3′ → ② 讨论 3′ → ③ 小结 2′ 15°+45°+30°=90°明显错误（三个角太小，不可能是三角形）。 大多数数据接近180°，只有测量误差。 测量要认真，计算要细心；测量有误差，真实内角和是180°。 【活动二】 猜三角形 任务：根据已知的角，推算第三个角，并猜一猜是什么三角形。 ① 计算 3′ → ② 判断 3′ → ③ 交流 2′ 已知60°、40°，第三角=180°-60°-40°=80°。 只露出60°：可能等边三角形（三个角都是60°）。 如果一角是100°，另一角=120°-100°=20°（已知两角和120°）。 ④ 三、分层课堂练习（约12分钟） ● 基础巩固（人人达标） 1. 计算：三角形中∠1=60°，∠2=40°，∠3=（ ）°。 2. 三角形中一个角是100°，另一个角是（ ）°（已知两角和为120°）。 3. 判断：只露出一个60°的角，这个三角形一定是等边三角形（ ）。 ● 能力提升（灵活运用） 4. 一个三角形的两个角分别是50°和80°，第三个角是（ ）°，它是（ ）三角形（按角分）。 5. 一个三角形最多有几个直角？最多有几个钝角？为什么？ ● 思维拓展（挑战自我） 6. 一个三角形里能不能有两个直角？用内角和说明理由。 ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： • 已知三角形中两个角，可用180°减去已知两角求第三个角。 • 测量有误差，要认真测量、细心计算。 • 根据角的大小可以推断三角形的类型。 【课堂表现自评】 【错因诊断】我需要注意： □ 计算第三角时直接加已知两角，忘记用180°去减。 □ 认为只露出一个角就能确定三角形形状，忽略多种可能。 知识要点 我的理解 掌握程度 已知三角形中两个角，可用180°减去已知两角求第三个角。 ★★★ 测量有误差，要认真测量、细心计算。 ★★★ 根据角的大小可以推断三角形的类型。 ★★★ 评价项目 自评星级 同伴评价 我能掌握本节课的重点内容，理清知识脉络。 ★★★ ★★★ 我能独立完成课堂练习，正确率较高。 ★★★ ★★★ 我能发现并改正错误，养成反思习惯。 ★★★ ★★★ ⑥ 五、课后作业 • 1. 课本第22页试一试相关练习。 • 2. 课本第23页练一练第3题（猜三角形类型）。 • 3. 量一量家里三角形的物品（如衣架），验证内角和。 错题四步法：把今天的错题整理到错题本上——①抄题 → ②标注错因 → ③写出正确解法 → ④举一反三编一道同类题。 第二单元 三角形的再认识 第3课时 探索三角形三边关系（一） 用尺规作三角形，感受三边需满足的条件 教学内容：教科书第24—26页 新授课 空间观念、推理意识 直尺、圆规、小棒 自主探究+合作交流 ① 学习目标 回忆并会用尺规作等边三角形和等腰三角形，初步感受三条线段能否围成三角形。 通过尺规作图与操作，体会“以b为底a为腰”有时作不出三角形，感悟三边关系。 发展空间观念和推理意识。 在操作体验中感受数学与图形的严谨美。 重点：通过尺规作图感受三条线段能否围成三角形。 难点：理解以b为底a为腰时，a、b需满足一定条件才能作出三角形。 ② 一、课前热身（约5分钟） 回忆用尺规作等边三角形和等腰三角形的方法： 以b为底、a为腰，有时能作出三角形，有时却作不出（a-a-b不满足条件）。 三条线段能不能围成三角形，与它们的长度有什么关系？ 【前置诊断】 1. 我们学过的三角形按边分有（ ）、（ ）、（ ）。 ______________________________________________ 2. 用圆规画弧时，圆心是（ ），半径是（ ）。 ______________________________________________ ③ 二、探究新知（约18分钟） 【活动一】 尺规作三角形 任务：用尺规作一个等边三角形和一个等腰三角形，说说步骤。 ① 回忆步骤 3′ → ② 动手作 3′ → ③ 交流 2′ 作等边三角形：以线段为边，分别以两端点为圆心、边长为半径画弧交于一点。 作等腰三角形：以b为底，分别以两端点为圆心、a为半径画弧。 通过作图体会：三条线段要能围成，长度必须满足一定条件。 【活动二】 什么时候作不出三角形 任务：以b为底、a为腰，观察什么时候两弧不相交。 ① 操作 3′ → ② 观察 3′ → ③ 猜想 2′ 当a太短或b太长时，两弧线不相交，作不出三角形。 c太短→两弧不相交；c太长→两弧不相交。 c合适→两弧恰好相交于一点，能围成三角形。 ④ 三、分层课堂练习（约12分钟） ● 基础巩固（人人达标） 1. 填空：用尺规作等边三角形，以每条边长为（ ）画弧。 2. 三条线段要能围成三角形，第三条边c不能（ ）也不能（ ）。 3. 判断：任意三条线段都能围成三角形（ ）。 ● 能力提升（灵活运用） 4. 给出三条线段a、b、c，用尺规试着作三角形，能作出吗？说说理由。 5. 为什么以b为底、a为腰，a太短时作不出三角形？ ● 思维拓展（挑战自我） 6. 用尺规作一个等腰三角形，量一量底边和腰，看看有什么发现。 ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： • 可以用尺规作出三角形，条件是三条线段长度合适。 • 当线段长度不合适（太短或太长）时，两弧不相交，作不出三角形。 • 三条线段能否围成三角形，与它们的长度关系密切相关。 【课堂表现自评】 【错因诊断】我需要注意： □ 误以为任意三条线段都能围成三角形。 □ 尺规作图时圆心或半径搞错，导致画不出正确的弧。 知识要点 我的理解 掌握程度 可以用尺规作出三角形，条件是三条线段长度合适。 ★★★ 当线段长度不合适（太短或太长）时，两弧不相交，作不出三角形。 ★★★ 三条线段能否围成三角形，与它们的长度关系密切相关。 ★★★ 评价项目 自评星级 同伴评价 我能掌握本节课的重点内容，理清知识脉络。 ★★★ ★★★ 我能独立完成课堂练习，正确率较高。 ★★★ ★★★ 我能发现并改正错误，养成反思习惯。 ★★★ ★★★ ⑥ 五、课后作业 • 1. 课本第26页练一练第1题（尺规作三角形步骤）。 • 2. 课本第26页练一练第2题（判断能否围成）。 • 3. 用三根小棒摆一摆，记录能围成和不能围成的情况。 错题四步法：把今天的错题整理到错题本上——①抄题 → ②标注错因 → ③写出正确解法 → ④举一反三编一道同类题。 第二单元 三角形的再认识 第4课时 探索三角形三边关系（一）试一试 归纳三角形三边关系：两边之和大于第三边 教学内容：教科书第25页 练习课 推理意识、空间观念 小棒、直尺 自主探究+合作交流 ① 学习目标 通过画一画、量一量、摆一摆，归纳出三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。 能运用三边关系判断三条线段能否围成三角形，理解“较短两边之和大于最长边”的简便判断。 发展推理意识，体会“两点之间线段最短”的数学原理。 在探究中感受数学规律的可信与优美。 重点：掌握三角形三边关系——任意两边之和大于第三边。 难点：理解只需检验“两条较短边的和大于最长边”即可判断能否围成三角形。 ② 一、课前热身（约5分钟） 奇思认为：两条短边之和大于最长边，就能围成三角形，你同意吗？ 举例：2cm、3cm、4cm，2+3>4，能围成三角形。 动手折吸管两次围三角形，先想一想边的关系。 【前置诊断】 1. 三角形两边之和（ ）第三边；两边之差（ ）第三边。 ______________________________________________ 2. 2cm、3cm、4cm三条小棒，（ ）+（ ）>（ ），能围成三角形。 ______________________________________________ ③ 二、探究新知（约18分钟） 【活动一】 归纳三边关系 任务：画几个三角形量一量算一算，或用不同长度的小棒尝试，发现规律。 ① 尝试 3′ → ② 归纳 3′ → ③ 验证 2′ 从“两点之间线段最短”可以推导三角形三边关系。 结论：三角形任意两边之和大于第三边。 较短两边之和大于最长边，就能围成三角形。 【活动二】 判断与折吸管 任务：用“较短两边之和大于最长边”判断，并折吸管围三角形。 ① 判断 3′ → ② 操作 3′ → ③ 交流 2′ 2+3>4，2cm、3cm、4cm能围成三角形（同意奇思的说法）。 折吸管两次围三角形：先想边的关系，第一次折什么位置、第二次折哪段。 检验每段是否满足三边关系：每段都要小于另两段之和。 ④ 三、分层课堂练习（约12分钟） ● 基础巩固（人人达标） 1. 填空：三角形任意两边之和（ ）第三边。 2. 三根小棒长1.5cm、2cm、3.5cm、4cm，选三根能围成三角形的有（ ）。 3. 判断：5cm和8cm两根小棒，第三边可能是14cm（ ）。 ● 能力提升（灵活运用） 4. 一个三角形两边分别是5cm和8cm，第三边可能是多少厘米（取整厘米）？ 5. 为什么只要“较短两边之和大于最长边”就能判断能围成三角形？ ● 思维拓展（挑战自我） 6. 用“两点之间线段最短”推理：为什么三角形任意两边之和大于第三边？ ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： • 三角形任意两边之和大于第三边。 • 判断能否围成，只需看“较短两边之和是否大于最长边”。 • 这一规律可以从“两点之间线段最短”推导出来。 【课堂表现自评】 【错因诊断】我需要注意： □ 只对一组边检验，忽略了要对任意两边检验。 □ 第三边范围算错，如5和8的第三边应为3<第三边<13，误写成其他范围。 知识要点 我的理解 掌握程度 三角形任意两边之和大于第三边。 ★★★ 判断能否围成，只需看“较短两边之和是否大于最长边”。 ★★★ 这一规律可以从“两点之间线段最短”推导出来。 ★★★ 评价项目 自评星级 同伴评价 我能掌握本节课的重点内容，理清知识脉络。 ★★★ ★★★ 我能独立完成课堂练习，正确率较高。 ★★★ ★★★ 我能发现并改正错误，养成反思习惯。 ★★★ ★★★ ⑥ 五、课后作业 • 1. 课本第26页练一练第3题（小棒选三根）。 • 2. 课本第26页练一练第4题（第三边可能长度）。 • 3. 折一根吸管围三角形，记录两种分法。 错题四步法：把今天的错题整理到错题本上——①抄题 → ②标注错因 → ③写出正确解法 → ④举一反三编一道同类题。 第二单元 三角形的再认识 第5课时 四边形内角和 探索四边形内角和是360°，渗透分割转化思想 教学内容：教科书第27—28页 新授课 空间观念、推理意识 量角器、剪刀、四边形纸片 自主探究+合作交流 ① 学习目标 通过量、撕、分等方法，探索并理解四边形的内角和是360°。 经历把四边形转化为两个三角形的过程，体会“分割转化”的数学思想。 发展空间观念和推理意识，能猜想五边形、六边形内角和。 在探究中感受图形之间的内在联系。 重点：通过多种方法探索四边形内角和是360°。 难点：理解把四边形分成两个三角形是推导内角和的关键。 ② 一、课前热身（约5分钟） 生活中处处有四边形：电视（长方形）、楼梯扶手（平行四边形）、鱼池（梯形）、风筝（菱形）。 形状不同的四边形，内角和是否相同？ 【前置诊断】 1. 三角形的内角和是（ ）°。 ______________________________________________ 2. 长方形的四个角都是（ ）角，每个（ ）°。 ______________________________________________ ③ 二、探究新知（约18分钟） 【活动一】 研究方法 任务：想办法求出四边形的内角和。 ① 讨论方法 3′ → ② 小组探究 3′ → ③ 汇报 3′ 方法一：从长方形、正方形等特殊四边形研究起。 方法二：量出每个角的度数或撕角拼在一起。 方法三：把四边形分成两个三角形，利用180°×2=360°（最常用）。 【活动二】 验证与猜想 任务：用不同方法验证四边形内角和，并猜想五边形、六边形内角和。 ① 验证 3′ → ② 猜想 3′ 长方形四个角都是90°，内角和90°×4=360°。 撕拼法：四个角撕下来拼成一个周角360°。 分割法：四边形分成两个三角形，180°×2=360°。 水立方是六边形，五边形、六边形内角和可继续分割猜想。 ④ 三、分层课堂练习（约12分钟） ● 基础巩固（人人达标） 1. 填空：四边形的内角和是（ ）°。 2. 一个四边形∠1=80°，∠2=100°，∠3=90°，∠4=（ ）°。 3. 判断：所有四边形的内角和都相等（ ）。 ● 能力提升（灵活运用） 4. 一个四边形被分成一个三角形和一个四边形，原四边形内角和是（ ）°。 5. 猜想：五边形内角和=（ ）°，六边形内角和=（ ）°（提示：分成三角形个数）。 ● 思维拓展（挑战自我） 6. n边形内角和可能是多少？用“分成三角形”的思路想一想。 ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： • 四边形的内角和是360°。 • 可以用量、撕、分等方法探索，其中“分成两个三角形”最简洁。 • 多边形内角和可以通过分割成三角形来推导。 【课堂表现自评】 【错因诊断】我需要注意： □ 把四边形内角和误记成180°（与三角形混淆）。 □ 撕拼时漏掉某个角，导致拼不出周角360°。 知识要点 我的理解 掌握程度 四边形的内角和是360°。 ★★★ 可以用量、撕、分等方法探索，其中“分成两个三角形”最简洁。 ★★★ 多边形内角和可以通过分割成三角形来推导。 ★★★ 评价项目 自评星级 同伴评价 我能掌握本节课的重点内容，理清知识脉络。 ★★★ ★★★ 我能独立完成课堂练习，正确率较高。 ★★★ ★★★ 我能发现并改正错误，养成反思习惯。 ★★★ ★★★ ⑥ 五、课后作业 • 1. 课本第28页练一练相关练习（四边形内角和）。 • 2. 剪一个四边形，用撕角或分割法验证内角和。 • 3. 猜想并验证五边形内角和。 错题四步法：把今天的错题整理到错题本上——①抄题 → ②标注错因 → ③写出正确解法 → ④举一反三编一道同类题。 第二单元 三角形的再认识 第6课时 整理与复习 梳理三角形内角和与三边关系，综合运用 教学内容：教科书第29—30页 复习课 空间观念、推理意识 三角形学具、小棒 自主整理+合作交流 ① 学习目标 回顾本单元内容，梳理三角形内角和、三边关系和尺规作图的知识网络。 通过巩固练习，能熟练计算三角形未知角并判断三边能否围成。 发展空间观念和推理意识，形成系统的认知结构。 在整理反思中体会复习的价值。 重点：系统梳理本单元知识，熟练运用内角和与三边关系解决问题。 难点：综合运用知识解决稍复杂的实际问题。 ② 一、课前热身（约5分钟） 我的收获：各种三角形内角和都是180°，三角形任意两边之和大于第三边；学会用尺规作出一个三角形。 我的问题：居然所有形状三角形内角和都是180°？ 【前置诊断】 1. 三角形的内角和是（ ）°，四边形的内角和是（ ）°。 ______________________________________________ 2. 三角形任意两边之和大于第三边，这是判断（ ）的根据。 ______________________________________________ ③ 二、探究新知（约18分钟） 【活动一】 我的收获 —— 知识网络 任务：用自己喜欢的方式整理本单元知识点。 ① 独立整理 4′ → ② 小组交流 3′ → ③ 全班建构 3′ 三角形内角和180°。 三角形任意两边之和大于第三边。 可以用尺规作出一个三角形。 【活动二】 巩固与应用 任务：完成课本巩固练习，计算未知角。 ① 独立完成 5′ → ② 订正交流 3′ 练习一：∠A=45°、∠C=90°→∠B=180°-45°-90°=45°。 练习二：∠A=25°、∠C=115°→∠B=180°-25°-115°=40°。 练习三：∠A=36°、∠B=72°→∠C=180°-36°-72°=72°（等腰三角形）。 ④ 三、分层课堂练习（约12分钟） ● 基础巩固（人人达标） 1. 填空：∠A=45°，∠C=90°，∠B=（ ）°；∠A=25°，∠C=115°，∠B=（ ）°。 2. 9个角来自3个三角形：90°50°40°、60°60°60°、40°70°70°，每组和都是（ ）°。 3. 小棒1.5、2、3.5、4cm，选三根能围三角形的写一组：（ ）、（ ）、（ ）。 ● 能力提升（灵活运用） 4. 添一条线段c使a、b、c能围成三角形（尺规作图思路）：需满足（ ）。 5. 吸管分三段围三角形，填两种分法：每段长度都要满足（ ）。 ● 思维拓展（挑战自我） 6. 本单元你还有哪些疑问？记在“问题银行”里。 ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： • 本单元学习了三角形内角和180°和三边关系（两边之和大于第三边）。 • 可以用尺规作出一个三角形。 • 已知两角可用180°求第三角；判断能否围成看较短两边之和大于最长边。 【课堂表现自评】 【错因诊断】我需要注意： □ 计算第三角忘记用180°去减。 □ 判断三边关系时只检查一组，或用错“较短两边之和大于最长边”。 知识要点 我的理解 掌握程度 本单元学习了三角形内角和180°和三边关系（两边之和大于第三边）。 ★★★ 可以用尺规作出一个三角形。 ★★★ 已知两角可用180°求第三角；判断能否围成看较短两边之和大于最长边。 ★★★ 评价项目 自评星级 同伴评价 我能掌握本节课的重点内容，理清知识脉络。 ★★★ ★★★ 我能独立完成课堂练习，正确率较高。 ★★★ ★★★ 我能发现并改正错误，养成反思习惯。 ★★★ ★★★ ⑥ 五、课后作业 • 1. 课本第29—30页整理与复习巩固练习。 • 2. 整理本单元错题，写在错题本上。 • 3. 用小棒摆出能围成和不能围成三角形的例子各2个。 错题四步法：把今天的错题整理到错题本上——①抄题 → ②标注错因 → ③写出正确解法 → ④举一反三编一道同类题。 第二单元综合实践 小小设计师 第7课时 密铺与寻找密铺图形 欣赏密铺，探索哪些图形能密铺 教学内容：教科书第31—32页 综合实践 空间观念、创新意识 方格纸、学具图形、剪刀 动手操作+合作交流 ① 学习目标 欣赏埃舍尔密铺作品，理解“密铺”的含义（无空隙、不重叠地铺成一片）。 通过操作与思考，探索三角形、四边形能否密铺，知道判断方法（拼于一点看是否等于360°）。 发展空间观念和创新意识，感受数学与艺术的结合。 在欣赏与探索中体验数学之美，增强合作意识。 重点：理解密铺的含义，探索哪些图形能密铺。 难点：用“拼于一点角之和是否为360°”判断图形能否密铺。 ② 一、课前热身（约5分钟） 欣赏埃舍尔密铺作品：飞马图形通过切割平移不断重复，铺满平面无空隙、不重叠。 什么是密铺？我们身边的地板砖、墙纸是怎样铺的？ 【前置诊断】 1. 四边形的内角和是（ ）°。 ______________________________________________ 2. 三角形三个内角拼在一起是（ ）°（平角）。 ______________________________________________ ③ 二、探究新知（约18分钟） 【活动一】 认识密铺 任务：观察埃舍尔作品和身边实例，说说密铺的特点。 ① 欣赏 3′ → ② 讨论 3′ → ③ 归纳 2′ 密铺：无空隙不重叠地铺成一片。 飞马图形切割平移步骤可不断重复。 地板砖、墙纸、蜂巢都是密铺实例。 【活动二】 寻找密铺图形 任务：研究三角形、四边形能否密铺，并判断正五边形。 ① 操作 3′ → ② 推理 3′ → ③ 交流 2′ 把三角形、四边形的角标序号，拼于一点看是否等于360°。 三角形、四边形能密铺（拼点角之和=360°）。 正五边形不能密铺：108°×3=324°≠360°。 生活中密铺实例：地板砖、墙纸、蜂巢。 ④ 三、分层课堂练习（约12分钟） ● 基础巩固（人人达标） 1. 填空：密铺是指图形（ ）、（ ）地铺成一片。 2. 判断：正五边形能密铺平面（ ），因为108°×3=（ ）°≠360°。 3. 三角形（ ）密铺，四边形（ ）密铺（填“能”或“不能”）。 ● 能力提升（灵活运用） 4. 为什么三角形能密铺？用“拼于一点角之和”说明理由（提示：利用内角和）。 5. 找一找生活中3个密铺的例子，写下来。 ● 思维拓展（挑战自我） 6. 除了密铺，你还能想到哪些“图形重复排列”的美？（如对称、平移图案） ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： • 密铺是无空隙、不重叠地铺成一片。 • 判断方法：把图形的角拼于一点，看是否等于360°。 • 三角形、四边形能密铺；正五边形不能密铺。 【课堂表现自评】 【错因诊断】我需要注意： □ 误以为只要图形好看就能密铺，忽略“拼于一点角之和=360°”的条件。 □ 计算正五边形拼点角度出错（108°×3=324°≠360°）。 知识要点 我的理解 掌握程度 密铺是无空隙、不重叠地铺成一片。 ★★★ 判断方法：把图形的角拼于一点，看是否等于360°。 ★★★ 三角形、四边形能密铺；正五边形不能密铺。 ★★★ 评价项目 自评星级 同伴评价 我能掌握本节课的重点内容，理清知识脉络。 ★★★ ★★★ 我能独立完成课堂练习，正确率较高。 ★★★ ★★★ 我能发现并改正错误，养成反思习惯。 ★★★ ★★★ ⑥ 五、课后作业 • 1. 课本第32页寻找密铺图形相关练习。 • 2. 收集生活中的密铺图案（拍照或画下来）2个。 • 3. 用三角形纸片拼一拼，验证三角形能密铺。 错题四步法：把今天的错题整理到错题本上——①抄题 → ②标注错因 → ③写出正确解法 → ④举一反三编一道同类题。 第二单元综合实践 小小设计师 第8课时 设计密铺作品与分享会 运用图形变换设计密铺并交流评价 教学内容：教科书第33—34页 综合实践 创新意识、应用意识 方格纸、彩笔、学具 动手创作+展示交流 ① 学习目标 模仿埃舍尔，选择一个能密铺的图形，借助图形变换（平移、旋转、轴对称）设计密铺作品。 在方格纸上实际操作，体会“每一次变换要一样”才能保证密铺。 发展创新意识和应用意识，能欣赏并评价他人的作品。 在分享交流中增强表达能力和合作精神。 重点：选择一个能密铺的图形，借助图形变换设计密铺作品。 难点：保证“每一次变换都一致”，使设计真正密铺。 ② 一、课前热身（约5分钟） 埃舍尔作品既有数学之美又有艺术之美。观察他是如何完成密铺设计的。 选择一个能密铺的图形，借助图形变换，在方格纸上设计你的密铺作品。 【前置诊断】 1. 我们学过的图形变换有（ ）、（ ）、（ ）。 ______________________________________________ 2. 设计密铺时，每一次变换要（ ）才能保证得到密铺图形。 ______________________________________________ ③ 二、探究新知（约18分钟） 【活动一】 设计密铺作品 任务：选一个能密铺的图形（如三角形、四边形），在方格纸上用平移/旋转/轴对称设计。 ① 选图形 3′ → ② 设计 5′ → ③ 调整 3′ 选择一个能密铺的图形（三角形或四边形）。 借助图形变换设计密铺作品。 学生方法：每一次变换要一样，才能保证得到密铺图形。 为保证变换准确，用尺子量一量；方格纸供实际操作设计。 【活动二】 小小设计师分享会 任务：展示作品，从五维度进行星级自评与交流。 ① 展示 4′ → ② 自评 3′ → ③ 讨论 4′ 讨论：最欣赏什么作品？是怎样设计的？ 讨论：作品如何通过图形变换得到密铺？还可以改进吗？ 五维度星级自评：探索密铺、综合运用图形知识、模仿埃舍尔设计、合作交流、吸收改进。 展示鱼形密铺图案和猫形变换过程。 ④ 三、分层课堂练习（约12分钟） ● 基础巩固（人人达标） 1. 填空：设计密铺时，每一次变换要（ ）才能得到密铺图形。 2. 五维度自评包括：探索密铺、（ ）、模仿埃舍尔设计、合作交流、吸收改进。 3. 判断：只要图形漂亮，不用考虑变换是否一致也能密铺（ ）。 ● 能力提升（灵活运用） 4. 用平移和旋转各设计一种密铺草图，说说你的变换方法。 5. 分享会上，你最欣赏谁的作品？它是怎样通过图形变换得到密铺的？ ● 思维拓展（挑战自我） 6. 课后用彩色笔把你的密铺作品涂色美化，办一次班级“密铺作品展”。 ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： • 选择一个能密铺的图形，借助平移、旋转或轴对称可以设计密铺作品。 • “每一次变换要一样”是密铺成功的关键。 • 通过分享会可以欣赏他人作品，学会评价与改进。 【课堂表现自评】 【错因诊断】我需要注意： □ 变换时每次不一致，导致图形出现空隙或重叠。 □ 选了不能密铺的图形（如正五边形）作底图，结果铺不满。 知识要点 我的理解 掌握程度 选择一个能密铺的图形，借助平移、旋转或轴对称可以设计密铺作品。 ★★★ “每一次变换要一样”是密铺成功的关键。 ★★★ 通过分享会可以欣赏他人作品，学会评价与改进。 ★★★ 评价项目 自评星级 同伴评价 我能掌握本节课的重点内容，理清知识脉络。 ★★★ ★★★ 我能独立完成课堂练习，正确率较高。 ★★★ ★★★ 我能发现并改正错误，养成反思习惯。 ★★★ ★★★ ⑥ 五、课后作业 • 1. 在方格纸上完成并美化你的密铺作品。 • 2. 课本第34页分享会相关自评与讨论。 • 3. 与家人分享你的密铺作品，说说设计思路。 错题四步法：把今天的错题整理到错题本上——①抄题 → ②标注错因 → ③写出正确解法 → ④举一反三编一道同类题。 参考答案附录（按课时编号） 【1】 第1课时 探索三角形内角和（一） 1. 180。 2. ∠3=180°-70°-60°=50°。 3. 任意一个三角形内角和都是180°（√）。 4. 拼成的三角形内角和仍是180°。 5. 四边形内角和是360°（由两个三角形拼成）。 6. 四边形内角和猜想360°，五边形猜想540°，可用分割法验证。 【2】 第2课时 探索三角形内角和（一）试一试 1. ∠3=180°-60°-40°=80°。 2. 另一角=120°-100°=20°。 3. 只露出一个60°不一定是等边三角形（×），也可能是其他三角形。 4. 第三角=180°-50°-80°=50°，是锐角三角形。 5. 最多1个直角（2个直角和已180°，第三角为0°）；最多1个钝角（2个钝角和>180°）。 6. 不能有两个直角：两个直角和=180°，第三个角只能是0°，不构成三角形。 【3】 第3课时 探索三角形三边关系（一） 1. 以每条边长为半径画弧。 2. 第三条边c不能太短也不能太长。 3. 任意三条线段都能围成三角形（×）。 4. 据a、b、c长度判断，若不满足三边关系则作不出。 5. a太短时，以两端点为圆心、a为半径的弧无法相交，作不出三角形。 6. 等腰三角形两腰相等，底边一般不同。 【4】 第4课时 探索三角形三边关系（一）试一试 1. 大于。 2. 可选2、3.5、4（2+3.5>4）；1.5、2、3.5中1.5+2=3.5不行；2、3.5、4等。 3. 第三边14cm：5+8=13<14，不能围成（×）。 4. 第三边范围：8-5<第三边<8+5，即3<第三边<13，可取整4~12cm。 5. 因为最长边≤两较短边之和时，另两组自然也满足两边之和大于第三边。 6. “两点之间线段最短”，所以两边之和（折线）>第三边（线段），即两边之和大于第三边。 【5】 第5课时 四边形内角和 1. 360。 2. ∠4=360°-80°-100°-90°=90°。 3. 所有四边形内角和都相等（√），都是360°。 4. 原四边形内角和仍是360°。 5. 五边形分成3个三角形：180°×3=540°；六边形分成4个三角形：180°×4=720°。 6. n边形可分成(n-2)个三角形，内角和=180°×(n-2)。 【6】 第6课时 整理与复习 1. ∠B=180°-45°-90°=45°；∠B=180°-25°-115°=40°。 2. 每组内角和都是180°。 3. 如2、3.5、4（2+3.5>4）或2、4、...（合理即可）。 4. 需满足a+b>c、a+c>b、b+c>a（即较短两边之和大于最长边）。 5. 每段都要满足任意两边之和大于第三边。 6. 自由记录疑问。 【7】 第7课时 密铺与寻找密铺图形 1. 无空隙、不重叠。 2. 正五边形不能密铺（×），108°×3=324°≠360°。 3. 三角形能密铺，四边形能密铺。 4. 三角形内角和180°，6个三角形角拼于一点=180°×2=360°，故能密铺。 5. 如地板砖、墙纸、蜂巢、瓷砖等。 6. 如二方连续图案、对称窗花等。 【8】 第8课时 设计密铺作品与分享会 1. 每一次变换要一样（一致）。 2. 五维度：探索密铺、综合运用图形知识、模仿埃舍尔设计、合作交流、吸收改进。 3. 不用考虑变换是否一致也能密铺（×），必须一致才能密铺。 4. 平移：图形沿固定方向移动重复；旋转：绕点转动固定角度重复。 5. 自由表达。 6. 自由创作。 学科网（北京）股份有限公司 $