专题03 反比例函数与几何图形的综合问题有关的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以反比例函数与三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的综合问题为核心，按几何图形类型系统分类，通过典例覆盖面积计算、坐标求解等中考高频考法，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |反比例函数与三角形|5题|含等腰直角三角形、中点坐标、平移与公共点问题|结合反比例函数k值几何意义，运用三角形性质建立坐标关系| |与平行四边形|5题|涉及平移、翻折、新定义“k函数”|利用平行四边形对边平行且相等转化坐标，结合函数图像性质| |与矩形|5题|包含“对角函数”“伴随矩形”等新定义，平移与面积问题|通过矩形边与坐标轴关系，建立反比例函数与顶点坐标联系| |与菱形|5题|涉及顶点坐标、平移、面积分割|运用菱形四边相等及轴对称性，结合反比例函数图像性质| |与正方形|5题|含平移、面积计算、存在性问题|利用正方形边长相等及直角性质，构建函数与几何综合模型|

专题03 反比例函数与几何图形的综合问题有关的五种模型 题型一 反比例函数与三角形的综合问题 题型二 反比例函数与平行四边形的综合问题 题型三 反比例函数与矩形的综合问题 题型四 反比例函数与菱形的综合问题 题型五 反比例函数与正方形的综合问题 题型一：反比例函数与三角形的综合问题 1．如图，双曲线经过点和点，轴，点是的中点． (1)试求的值； (2)试求三角形的面积． 【答案】(1)； (2)9． 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及反比例函数的意义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将坐标代入反比例解析式求出的值即可； （2）设点C的坐标为，由点是的中点，可得，再由轴，，得出，解得，可求得，再根据三角形面积公式求出三角形面积． 【详解】（1）解：将点代入解析式， 得：； （2）解：由（1）得反比例函数关系式为， 设点C的坐标为， 点是的中点， ， 轴，， ， ， ， 三角形的面积． 2．如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． (1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质结合轴，可得，易证是等腰直角三角形，可得，进而得到，利用待定系数啊即可求出反比例函数解析式； （2）连接，由（1）知，求出直线的解析式为，联立，求出，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得： ∴反比例函数解析式为； 故答案为：，； （2）解：如图，连接， 由（1）知， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，点B，C的坐标分别为，反比例函数的图象交于点A，D． (1)求k的值； (2)将沿x轴向左平移t（）个单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求t的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质、待定系数法求表达式及等腰三角形性质， （1）过点A作轴于点E，先证明，求出，进而求出，即可求出结论； （2）先求出直线的解析式为，设直线向左平移后的解析式为，先求出当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时t的值，进而求出结论即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点E， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线向左平移后的解析式为， 联立，整理得，， 当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，则有两个相等的实数根， 即， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，t的取值范围是． 4．如图，在平面直角坐标系中A点的坐标为(8，y)，AB⊥x轴于点B，OB∶AO＝4∶5，反比例函数y＝的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D． （1）求反比例函数表达式； （2）若函数y＝3x与y＝的图象的另一支交于点M，求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比． 【答案】（1）y＝；（2） 【分析】（1）先根据OB∶AO＝4∶5，求出OA的值，然后根据勾股定理求出AB的值，然后由C点是OA的中点，求出C点的坐标，然后将C的坐标代入反比例函数y＝中，即可确定反比例函数解析式； （2）先将y=3x与 y＝联立成方程组，求出点M的坐标，然后求出点D的坐标，然后连接BC，分别求出△OMB的面积，△OBC的面积，△BCD的面积，进而确定四边形OCDB的面积，进而可求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比． 【详解】解：(1)∵A点的坐标为(8，y)， ∴OB＝8， ∵OB∶AO＝4∶5， ∴OA＝10， 由勾股定理得：AB＝＝6， ∵点C是OA的中点，且在第一象限内， ∴C(4，3)， ∵点C在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝12， ∴反比例函数表达式为：y＝； (2)将y＝3x与y＝联立成方程组， 得：， 解得或， ∵M是直线与双曲线另一支的交点， ∴M(－2，－6)， ∵点D在AB上， ∴点D的横坐标为8， ∵点D在反比例函数y＝的图象上， ∴点D的纵坐标为， ∴D(8，)， ∴BD＝， 连接BC，如图所示， ∵S△MOB＝×8×|－6|＝24， ∴S四边形OCDB＝S△OBC＋S△BCD＝×8×3＋××4＝15， ∴＝＝． 5．定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）过作边的垂线，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用把各边关系表示出来，即可得是的倍． （2）由题意可知，过作轴于，过作轴于，由题意可知，根据勾股定理得出，再证明，得到，，然后设，则，则，，最后把，代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，过点作于点， ， 在中，， ，， ， ， 中，， ， ， 即， 是智慧三角形． （2）解：过作轴于，过作轴于，如图②， 是智慧三角形，为智慧边，为智慧角， ， ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， 点、在函数上的图象上， ， 解得：， ． 题型二：反比例函数与平行四边形的综合问题 6．如图，在平面直角坐标系上，平行四边形的顶点，，一反比例函数的图象过点．将平行四边形沿轴向右平移，使边的中点在该反比例函数图象上． (1)点的坐标为__________． (2)求反比例函数解析式． (3)在平移过程中，直接写出平行四边形扫过的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由平行四边形的性质可得，，即得点的横坐标为，纵坐标为，即可求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）求出平移前后中点的坐标，进而求出平移的距离，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：设反比例函数解析式为，把代入得， ， ∴， ∴反比例函数解析式为； （3）解：∵，， ∴平移前中点坐标为， 把代入，得， ∴， ∴平移后中点坐标为， ∴平行四边形平移的距离为， ∴平行四边形扫过的面积． 7．平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C． (1)求此反比例函数的解析式； (2)将平行四边形沿x轴翻折得到平行四边形，请你通过计算说明点在双曲线上； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)18 【分析】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质和轴对称、中心对称的性质；会运用图形与坐标的关系计算线段的长和三角形面积公式． （1）根据反比例函数图象点的坐标特征把点坐标代入，求出的值即可确定反比例函数解析式； （2）先计算出，再根据平行四边形的性质得，则可确定点坐标为，然后根据关于轴对称的点的坐标特征得的坐标为再根据反比例函数图象点的坐标特征判断点在双曲线上； （3）由于点坐标为，的坐标为，则点和点关于原点中心对称，根据中心对称的性质得点、、共线，且，然后利用进行计算． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：，， ， 四边形为平行四边形， ， 而点坐标为， 点坐标为， 平行四边形和平行四边形关于轴对称， 的坐标为， ， 点在双曲线上； （3）解：如图， 点坐标为，的坐标为， 点和点关于原点中心对称， 点、、共线，且， ． 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形且点，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形，经过点，点恰好落在轴的正半轴上．若点A，D在反比例函数的图像上． (1)填空：__________，常数__________； (2)设点A关于轴的对称点为点．求证：点在直线上； (3)设是双曲线上的两点．设，试判断m，n的大小，并说明理由． 【答案】(1)60， (2)证明见解析 (3) 【分析】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识． （1）由旋转的性质及平行线的性质可得出，进而可得出为等边三角形，即可求出的度数，过点A作轴于点M，可求出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值； （2）根据两点间的距离公式得到，根据旋转的性质得到，设，求得（正值舍去），得到，得到，求得直线的解析式为，得到，当时，求得，于是得到点H在直线上； （3）把P、Q的坐标代入反比例函数解析式可用分别表示出a、b，则可比较m、n的大小关系． 【详解】（1）解：由旋转，可知：． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 过点A作轴于点M，如图1所示， ∵点A，D在反比例函数的图象上， ∴点A，D关于原点对称， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∴． 故答案为：60，； （2）证明：连接， ∵点，点A的坐标为， ∴， ∵将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形， ∴， 设， ∴， ∴（正值舍去）， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 设直线表达式为，由题意得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点A关于x轴的对称点为点H， ∴， 当时，， ∴点H在直线上； （3）解：，理由如下： 设是双曲线上的两点， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．    (1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)①，②6 (2)①见解析②36③ 【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，平行四边形的性质等知识；正确理解题意是解答本题的关键． （1）①先判断函数的图象经过点B，求出m的值，设点D的坐标为，代入可得，从而可得点D的坐标；②求出点C的坐标为，可判断点A，点C在反比例函数图象上，从而可得结论； （2）①根据反比例函数图象是中心对称图形，可画出平行四边形； ②由可求出点B的坐标，根据中心对称的性质可得出点C的坐标，过点A作于点E，过点B作于点F，根据可得结论； ③根据两点间距离公式求出的长，根据得出，结合求出的值即可． 【详解】（1）解：①若函数过点A，则当时，， 所以，函数不过点A， ∵函数是平行四边形的“”函数， ∴函数过点， 把点的坐标代入得，； ∵轴， ∴设点D的坐标为，代入得，， 解得，， ∴； ②∵四边形是平行四边形，，， ∴点C可以看作是点D向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到的， 所以，点C的坐标为， ∵， ∴点A，C在反比例函数的图象上， ∴反比例函数是平行四边形的“”函数，此时； （2）解：①如图，即为所画；    ②如图，过点A作于点E，过点B作于点F，    根据中心形的性质得， ∵ ∴， 又 ∴， ∴ ； ③平行四边形可以成为矩形， ∵， ∴， 若四边形是矩形，则有：， ∴ 整理得， 又， ∴， ∵， ∴， 联立， 解得，，或（舍去） ∴． 10．如图，在四边形中，，，的横坐标为，其中．一次函数与反比例函数的图象经过、两点，一次函数经过点、． (1)若四边形为平行四边形． ①当，时，直接写出点的坐标__________； ②当时，点是否在轴上？请说明理由； (2)小明根据（1）中的发现，提出问题：若点在轴上，如何用尺规作图作出平行四边形？经过思考，他给出了如图2的作法：延长交轴于点，以为圆心为半径画弧交轴于点，连接交轴于点，以为圆心为半径画弧交轴于点，连接、，四边形即为所求作的平行四边形．证明小明所作四边形即为所求作的平行四边形； (3)小亮对小明的作图方法产生了浓厚的兴趣，提出了不同的作图方法，用圆规和没有刻度的直尺作出平行四边形．请帮助小亮同学在图3中完成作图，不需要说明理由．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)①； ②点在轴上，理由如下： 由①可得，反比例函数的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 联立直线与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴点在轴上． (2)证明：由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知，直线的解析式为，直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为， 由勾股定理可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． (3)如图，平行四边形即为所求： 【分析】（1）①先求出反比例函数的解析式，再求出点和点的坐标，利用平行四边形的性质求出点的坐标即可； ②分别计算出点和点的坐标，由平行四边形的性质可计算出，因此点在轴上； （2）由尺规作图容易得到，，进而得到，因此．利用（1）中的直线解析式可计算出，，由可得．由勾股定理可得，，，结合可得，从而证明四边形是平行四边形； （3）延长交轴于点，延长交轴于点，以点为圆心，的长为半径画弧交轴于点，，以点为圆心，的长为半径画弧交轴于点，连接、、，四边形即为所求作的平行四边形． 【详解】（1）解：①将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②略 （2）略 （3）解：如图，作轴于点，作轴于点， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由（2）可知，点的坐标为， ∴，， ∵，， 又∵轴，轴， ∴，，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 由尺规作图可知，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型三：反比例函数与矩形的综合问题 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义求解即可； （2）设，根据矩形与矩形不重合部分的面积为6列方程求解即可． 【详解】（1）解：矩形的长和宽分别为4，3， ， 点B在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设， 则，， ，， 矩形与矩形不重合部分的面积为6， ， 解得， ， 点P的坐标为． 12．如图1，直线的图象与轴、轴分别交于两点，点是线段上一点，过点分别作的垂线，垂足分别是，矩形的面积为，且． (1)求点坐标； (2)将矩形以个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形，记平移时间为秒． ①如图2，当矩形的面积被直线平分时，求的值； ②矩形的边与反比例函数的图象有两个交点，记为，若梯形的面积是矩形的面积的，求的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）假设，利用矩形的面积为以及可求出点坐标； （2）①设，根据矩形的面积被直线平分可列方程求解即可； ②设，根据梯形的面积是矩形的面积的，列方程求解即可. 【详解】（1）解：设， ∵矩形的面积为， ∴， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵， ∴，即； （2）①设、和直线分别交于点，， 设， 则， ∴， ∵矩形的面积被直线平分， ∴， ∴， 即：， 解得：； ②设， ∵由题意可知：， ∴， 解得：（舍）， ∴． 13．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数是这个矩形的“对角函数”． (1)如图1，矩形在第一象限，轴，轴，且，． ①若点的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则这个函数解析式为　　　； ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，求点的坐标； (2)如图2， 矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”．当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值． 【答案】(1)①或；②； (2) 【分析】（1）①根据题意先求出，然后分两种情况，并结合待定系数法解答，即可求解；②设，则点，点，从而得到点，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出s的值，即可求解； （2）先求出正比例函数解析式为，可设点，则，，从而得到，再由折叠的性质可得，延长交y轴于点F，结合矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出m的值，即可求解． 【详解】（1）解：①∵点的坐标为，轴，轴，且，， ∴点， 当直线过点B，D时， 把，代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为； 当直线过点A，C时， 把点，代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为； 综上所述，该函数解析式为或 故答案为：或 ②∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵反比例函数是矩形的“对角函数”， ∴点B，D在反比例函数的图象上， 设点，则点， ∵轴，且， ∴点， ∵轴， ， ∴点， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点； （2）解：点的坐标为，正比例函数经过点， ∴， ∴正比例函数解析式为， ∵正比例函数是矩形的“对角函数”， 可设点，则，， ∴， ∵将矩形沿折叠，点的对应点为， ∴， 如图，延长交y轴于点F， ∵轴， ∴点，， ∴， ∵四边形是矩形，轴， ∴轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或2， ∵， ∴，即， ∴， ∴点， 把点代入得：． 14．定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都平行于坐标轴的矩形为该反比例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随直线．如图1，矩形的顶点、在反比例函数的图象上，所以矩形是反比例函数的伴随矩形，直线是反比例函数的伴随直线． (1)如图2，已知反比例函数的图象经过矩形的顶点，轴，轴，，，求反比例函数的表达式，并判断矩形是否为该反比例函数的伴随矩形． (2)求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． (3)如图3，已知矩形和矩形都是反比例函数的伴随矩形，且对应的伴随直线均为． ①求证：直线与直线的交点M始终在直线上； ②若矩形的周长为30，矩形的周长为6，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：；矩形是该反比例函数的伴随矩形 (2)证明：设任意反比例函数解析式为：，取它的任意一个伴随矩形，假设在函数图象上的两个对角顶点分别为：，． ∵矩形的边平行于坐标轴， ∴另外两个对角顶点坐标为：，． 设伴随直线的解析式为：， 将点B，点D代入解析式， 则有：， ①-②得：， 整理得：， 即， ∵， ∴两边约去，得：， 将代入①，可得：， 即， ∴伴随直线的解析式为：， 当时，， ∴该直线恒过原点， 即任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． (3)①证明：设伴随矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为， ∵矩形的边平行于坐标轴， ∴另外两个对角顶点坐标为：，． 由伴随直线为，结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D在直线上， 即：，， 化简得：， 即， ∴点C坐标为． 同理可设伴随矩形的顶点E的坐标为， 同理可得顶点G的坐标为． 设直线的解析式为：， 将点A，点E坐标代入解析式， 得：， ①-②得：， 整理得：， 即， ∵， ∴两边约去，得：， 将代入①，可得：， 即， ∴， ∴直线的解析式为：． 同理，设直线的解析式为：， 将点C，点G坐标代入解析式， 得：， ①-②得：， 整理得：， 即， ∵， ∴两边约去，得：， 将代入①，可得：， 即， ∴， ∴直线的解析式为：． 联立直线与直线的解析式， 得：， ①-②得：， 整理得：， 即 ∴， ∴ ∴ ∴， 将代入②得：， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即直线与直线的交点坐标为：， 经检验，该点坐标满足， 因此直线与直线的交点M始终在直线上． ② 【分析】（1）将点A代入反比例函数解析式求出k值，得到函数表达式；根据边平行于坐标轴，以及边的长度，计算出点C坐标，验证点C是否在反比例函数图象上，即可判断是否为伴随矩形； （2）设任意反比例函数解析式为：，取它的任意一个伴随矩形，假设在函数图象上的两个对角顶点分别为：，．根据矩形的边平行于坐标轴，推出另外两个顶点的坐标，将它们代入直线解析式计算，最后得到直线的常数项为0，即可证明直线恒过原点； （3）①设伴随矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，先推出另外两个顶点坐标，．由伴随直线为，结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D在直线上，推导出，即得到点C坐标为．同理可设伴随矩形的顶点E的坐标为，同理可得顶点G的坐标为．运用待定系数法求出直线与直线的解析式，联立两直线方程，求出直线与直线的交点M的坐标，最后检验该点坐标满足，即可证得结论； ②设伴随矩形的顶点A的坐标为，由①可知，点C坐标为， 则矩形的长为：，宽为：，根据“矩形的周长为30”，建立关于a的方程，解方程，即可求得a的值；设伴随矩形的顶点E的坐标为，由①可知，点G的坐标为，同理可求出c的值；最后根据①中求出的点M坐标，代入a和c的值，即可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过矩形的顶点， ∴将点代入中， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：． ∵轴， ，， ∴， 即． 同理，∵轴，，， ∴， 即， ∵， 即点C坐标满足反比例函数的关系式， ∴点C在反比例函数的图象上． 根据伴随矩形的定义，点A、点C都在反比例函数图象上，且边都平行于坐标轴，因此矩形是该反比例函数的伴随矩形． （2）略 （3）①略 ②解：设伴随矩形的顶点A的坐标为， 由①可知，点C坐标为， 则矩形的长为：，宽为：， 周长为： 化简得：， 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴，． 同理，设伴随矩形的顶点E的坐标为， 由①可知，点G的坐标为． 则矩形的长为：，宽为：， 周长为： 化简得：， 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴，． 由①可知，直线与直线的交点坐标为：， ∵，， ∴． 15．【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)当是等腰三角形时，的值为或 【分析】（1）由矩形的性质可得点的坐标为，结合平移可得点的坐标为，进一步求解即可； （2）表示平移个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为．可得，再进一步求解即可； （3）利用矩形的性质求解．当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，此时点与点重合，③当时，设，再进一步结合反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： 四边形是矩形，，， ∴，， 点的坐标为． 由平移得：点的坐标为． 把代入，得， 该双曲线的解析式为：． （2）解：平移个单位长度后，点的坐标为， 边平移后所在的直线为，， 点的坐标为． 点、在图象上， ， 解得：， 点的坐标为． （3）解：如图3，四边形是矩形， ． 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， 由平移可得：，． ． 点、在图象上， ． 解得． ②当时，此时点与点重合， ，． 点、在图象上， ， 解得． ③当时，设． 由平移可得，， ， ， 解得， ． 点、在图象上， ． 解得． ， 这与题意不符，舍去． 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 题型四：反比例函数与菱形的综合问题 16．如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限内，轴，点、的坐标分别为、． (1)直接写出点、的坐标； (2)若将菱形向下平移个单位长度，使菱形的两个顶点同时落在反比例函数的图象上，求及此时的值． 【答案】(1)， (2)的值为，此时的值为9或45 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，菱形的性质，求出菱形各点的坐标是解题的关键． （1）连接交于点，则轴，推出，，求得，根据菱形的对称性质求解即可； （2）根据平移的性质求得，，，，分两种情况讨论，当，两点和，两点同时落在反比例函数图象上时，利用反比例函数的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：连接交于点， ∵菱形，且轴， ∴轴， ∵点、的坐标分别为、， ∴，， ∴， ∴，； （2）解：∵点，，，， ∴将菱形向下平移个单位长度后对应点的坐标依次为，，，， ∵轴，轴， ∴，或，不能同时落在反比例函数图象上． 当，两点同时落在反比例函数图象上时，， ∴， ∴， ∴； 当，两点同时落在反比例函数图象上时，． ∴， ∴， ∴． 故的值为，此时的值为9或45． 17．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为 (1)求k的值； (2)设点M在反比例函数图像上，连接，若的面积是菱形面积的，求点M的坐标． (3)若将菱形沿x轴正方向平移m个单位，在平移中，若反比例函数图像与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或； (3) 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图形上点的坐标特点，坐标与图形性质和平移等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可； （2）设，根据题意得，，，，确定，即可求解； （3）A和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移的性质得出点的坐标为，确定点在的图像上，得出，即可求解． 【详解】（1）解：延长交轴于，由题意得轴， 点的坐标为， ，， ， ， 点坐标为， ， （2）设， 根据题意得，， ∴， ∵的面积是菱形面积的， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； （3）将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点落在函数的图象点处， 点的坐标为， 点在的图像上， ，解得：，经检验符合题意， ． 18．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，，在第一象限，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的函数表达式和点的坐标； (2)点在反比例函数的图象上． ①若直线平分菱形的面积，求点的坐标； ②若直线将菱形的面积分成两部分，则点的横坐标是 ． 【答案】(1)y；B(8,4)； (2)①(2,)；②或． 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，菱形的性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）用待定系数法可得反比例函数的函数表达式为；求出知菱形边长为，故； （2）①菱形的对称中心为，直线平分菱形的面积，则直线经过点，此时直线的解析式为联立解析式可解得的坐标； ②求出，当直线交边于，时，求出，直线解析式为，联立解析式可解得的横坐标；当直线交边于，时，求出 ，同法可得的横坐标为． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， 反比例函数的函数表达式为； ， ， 四边形是菱形， ，轴， ； （2）①， 菱形的对称中心为的中点， 直线平分菱形的面积， 直线经过点，此时直线的解析式为， 联立， 解得或， ； ②，， ， 当直线交边于，时，如图： ∴， ， ， ， 直线解析式为， 联立可得， 解得或舍去， 的横坐标为； 当直线交边于，时，如图： ， ， ， 由，得直线解析式为， 令得， ， 直线解析式为， 联立得， 解得或舍去； 的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 19．如图1，等边三角形的边长为m，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限． (1)若，以的某个顶点为旋转中心，将顺时针旋转，得到三角形与拼成一个菱形，请在图中画出该菱形，并写出菱形的第四个顶点C的坐标； (2)如图2，若菱形的顶点A在双曲线上，将菱形向下平移2个单位长度，点C恰好落在双曲线上，求k的值； (3)如图3，直线分别与直线相交于点C，D，E，若C，D，E三点中有两点关于第三点对称，直接写出m的值为 ． 【答案】(1)图见解析，或或 (2) (3)或 【分析】本题为图形变换与函数综合题，考查了等边三角形的性质、菱形的性质，勾股定理，反比例函数的性质，待定系数法，中心对称图形，中点坐标公式等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键，本题中还要注意分类思想的运用． （1）过点A作轴于点H，先求出点A的坐标为，画出的3个菱形，第四个顶点为C或或，当时，点A的坐标为，即可求出点C的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）由（1）知，点，，平移后点C的坐标为，将平移后点C的坐标和点A的坐标代入反比例函数即可求解； （3）先根据待定系数法求出直线的表达式为，直线的表达式为，直线的表达式为，联立和①式求出点；同理求出点E、D的坐标为：、．由中点坐标公式得分点C是第三个点，点E是第三个点，点D是第三个点，分别解出（舍去），，，问题得解． 【详解】（1）解：过点A作轴于点H， ∵三角形为等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴ ， ∴点A的坐标为， 画出的3个菱形如图所示，3个菱形第四个顶点分别为C或或， 当时，点A的坐标为， 则点C的坐标为，即， 同理可得，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：由（1）知，点A的坐标为，则点C的坐标为，即， ∴向下平移2个单位长度后点C的坐标为， 将平移后点C的坐标和点A的坐标代入反比例函数表达式得，， 解得或0（舍去）， ∴； （3）解：由点O、A的坐标得直线的表达式为， 同理可得：直线的表达式为，直线的表达式为， 联立和①式得， 解得：，即点； 同理可得，点E、D的坐标为：、． 当点C是第三点时，即E、D关于点C对称，则点C是D、E的中点， 由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）； 当点E是第三个点，同理可得：， 解得：； 当点D是第三个点，同理可得：， 解得：， 综上，或． 故答案为：或 20．定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方形的相近程度称为菱形或矩形的“相近度”． (1)如图1，菱形的边长为2，设菱形的对角线的长分别为m，n，我们将菱形的“相近度”用表示，即“相近度”，若，求该菱形的“相近度”； (2)如图2，已知矩形的对角线相交于点O，设的长分别为m，n（），我们将矩形的“相近度”用表示，即“相近度”． ①若，求该矩形的“相近度”； ②如图3，矩形的顶点分别在反比例函数和的图象上，轴，点D的横坐标为3，当矩形的“相近度”为1时，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用菱形的性质可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质计算即可； （2）①先求得，在上取一点E，使，连接，进而可证，再计算“相近度”即可； ②根据矩形的“相近度”为1，可得四边形是正方形，设，，再得到的坐标，结合都在反比例函数的图象上，进而得到，再代入求即可． 【详解】（1）解：在菱形中，，，，， 是等边三角形，， ， ， 在中， ， ， ， 即该菱形的“相近度”为； （2）①， ，， 如图，在上取一点E，使，连接， 则， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，即该矩形的“相近度”为；               ②如图，连接交于点E，延长交x轴于点F， ∵矩形的“相近度”为1，即， ， ∴四边形是正方形， ， 设，， 轴， ． 都在反比例函数的图象上， ， 解得． ， ， ． 在反比例函数的图象上， 在反比例函数的图象上， ， ． 题型五：反比例函数与正方形的综合问题 21．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边的正方形的顶点在反比例函数的图象上． (1)求出反比例函数的表达式． (2)将正方形沿着轴的正方向平移，设边与反比例函数的图象在第一象限内交于点．当点的纵坐标为1时，求正方形平移的距离． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）求出，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）求出，即可求出平移的距离． 【详解】（1）解：， ． 在正方形中，． ． 将代入中， 得． ∴反比例函数的表达式为． （2）在中， 令，得． 即． ∴平移的距离． 22．如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) 【分析】（1）利用正方形的性质得到点坐标，再把点坐标代入即可得到的值；然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）设正方形的边长为，利用正方形的性质易表示点的坐标为， 然后把点坐标代入反比例函数解析式中，再解关于的一元二次方程即可得到正方形的边长． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ， 点坐标为， 把代入得，， ； 设直线的解析式为， 把代入得， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：设正方形的边长为，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，（负值，舍去）， 正方形的边长为． 23．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B与原点重合，点A，C分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，将正方形沿x轴正方向平移4个单位长度后得到正方形，已知正方形的边长为2，E为的中点，反比例函数的图象恰好经过点E． (1)求反比例函数的表达式． (2)若反比例函数的图象与正方形的边交于点，连接，，求的面积． (3)连接，判断点E是否在线段上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 点E在线段上．理由如下： 设直线的函数表达式为， 将点，代入中，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 由（1）得点．将代入中，得． ∴点E在直线上． ∵， ∴点E在线段上． 【分析】（1）由平移的性质及正方形的性质得的长，由点E是中点可求得点E的坐标，用待定系数法即可求解； （2）由题意可得的长，进而求得点F的纵坐标，即可求得的长，最后由三角形面积公式求解即可； （3）由待定系数法求出直线的函数表达式，即可判断点E是否在线段上． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为2， ∴． 由平移的性质，得． ∵E是的中点， ∴． ∴． ∵将点代入反比例函数中，得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：由题意，得． 将代入反比例函数中，得． ∴． ∴． ∴． （3）略 【点睛】本题考查了正方形的性质，平移的性质，反比例函数的图象与性质，待定系数法求反比例函数表达式及一次函数表达式． 24．如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移等，其中，确定点在上是解题的关键. （1）由待定系数法即可求解； （2）证明即可求解； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，则点在上，进而求解. 【详解】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得： 将点、B的坐标代入函数表达式得： 解得： 则一次函数的表达式为：； （2）过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点， ， ， ， ， ∴ ∴点； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时, 则点在上, 由点的坐标得，直线的表达式为： 由（1）知，反比例函数表达式为：， 联立上述两个函数表达式得： ， 解得：(舍去)或 ， 即点， 由点的坐标得， 则重叠正方形的边长为． 25．正方形的顶点和点，反比例函数． (1)如图1，双曲线经过点时求反比例函数的关系式； (2)如图2，正方形向下平移得到正方形，边在轴上，反比例函数的图象分别交正方形的边、边于点、， ①求的面积； ②如图3，轴上一点，是否存在是等腰三角形，若存在直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或 【分析】本题考查了反比例函数综合、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解； （2）①根据求解；②根据勾股定理分别表示的三边长，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴点， 代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数表达式为：； （2）解：①平移后点、、、的坐标分别为：、，、， 则平移后点的横坐标为3，代入反比例函数解析式可得， ∴， 同理平移后点的纵坐标为2，代入反比例函数解析式可得， ∴， ∴，，； ∴ ； ②由①知点，， 设点， 则，，， 当时，，解得：或（舍去）； 当时，，无解； 当时，，解得； ∴或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03反比例函数与几何图形的综合问题有关的五种模型 题型归纳 题型一反比例函数与三角形的综合问题 题型二反比例函数与平行四边形的综合问题 题型三反比例函数与矩形的综合问题 题型四反比例函数与菱形的综合问题 题型五反比例函数与正方形的综合问题 题型专练 题型一：反比例函数与三角形的综合问题 1. 【详解】（山解，将点A2代入解新式y-会 得：k=6: (②)解：由(1)得反比例函数关系式为y=6 设点C的坐标为)， 点C是OB的中点， 829), AB∥x轴，A(2,3), .12=3, t=4, .B(8,3), :三角形01B的面积=46x,×(8-2列3=9， 1/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. 【详解】(I)解：如图，连接CD, :三角形ABC为等腰直角三角形，斜边AB∥x轴，点D为AB的中点， .CD⊥AB,AD=BD,∠CAB=∠CBA=45°， .∠ACD=45° :.△ADC是等腰直角三角形， .AD=CD, C(2,0), .AD=CD=BD=2. .D(2,2) .B(4,2), :反比制函数-（>0)经过点D x 2-吃 解得：k=4 ·反比例函数解析式为y=4 4 故答案为：(4,2)y=x: (2)解：如图，连接DE, 2/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)知B(4,2). 设直线BC的解析式为y=mx+n, [0=2m+n 「m=1 则2=4m+n’解得n=-2: ∴直线BC的解析式为y=x-2, y=x-2 联立 ,解何=+或51合去)： y=5-1y=-V5-1 .E5+1,5-1. 5m5B0(,)x2x[2-5-刃=3-5. 3. 【详解】(I)解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E, BO E ,△ABC是等腰直角三角形， ∴.AE=BE=CE, B(-2,0),C(6,0), BC=8. .'AE=BE=EC=4, E(2,0),A(2,4), 3/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 反比例函数y=(>0)的图象经过点A .k=2×4=8: (2)解：设直线AC的解析式为y=ar+b, 2a+b=4 把A(2,4),C(6,0)代入得16a+b=0: a=-1 解得b=6 ∴直线AC的解析式为y=-x+6, 设直线AC向左平移后的解析式为y=-(x+)+6=-x+6-1, y=-x+6-t 联立 8 y=9 整理得， x2+(t-6)x+8=0 当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，则x+(t-6)x+8=0有两个相等的实数根， 即△=(t-6)}-4×1x8=0. 解得5=6-4√2,4=6+4W2(不符合题意，舍去)， 当反比例函数y-(>0)的图象与三角形至少有一个公共点时，t的取值范周是01≤6-42： 【详解】解：(1)A点的坐标为(8，)， .OB=8, OB:AO=4:5, .OA=10, 由勾股定理得：AB=√OA-OB2=6, ,点C是OA的中点，且在第一象限内， ∴.C(4,3), :点C在反比例函数y=的图象上， .k=12, 12 反比例函数表达式为：y=x: 4/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 (②)将V=3x与V=x联立成方程组， y=3x 得： 12, y= x=2「x=-2 解得y=6或y=-6: M是直线与双曲线另一支的交点， ∴.M-2,-6, 点D在AB上， 点D的横坐标为8， 12 :点D在反比例函数y=x的图象上， 3 ∴点D的纵坐标为2， .D8,2) 3 BD=2' 连接BC,如图所示， :SaM0B=2×8X-6=24, CDB-SAOBC+S2BCD=1x8x3 2×4=15, SMOB 248 5 【详解】(1)证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D, 5/41 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B ① .:.∠ADC=∠BDC=90 在Rt△BCD中，∠B=30°， .BC=2CD,∠BCD=90°-∠B=60°， :∠ACB=105°， ∠ACD=∠ACB-∠BCD=45°， .Rt△ACD中，AD=CD, AC=AD2+CD2 =2CD, BC_2CD= .ACCD 即BC=V2AC, ∴△ABC是智慧三角形， (2)解：过C作CM⊥x轴于M,过B作BN⊥x轴于N,如图②， B 是智慧三角形， 为智慧边， 为智慧角， MA Nx ② :△ABC BC LB .BC=2AB, :CM⊥x,BN⊥x,∠BAC=90°」 .∴.∠CMA=∠ANB=∠BAC=90°， ∠MCA+∠MAC=∠MAC+∠NAB=90°， ∴∠MCA=∠NAB, BC=2AB, :.2AB2 BC2 AB2 AC2, .AC=AB. .AMCA≌ANAB(AAS), 6/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AM BN =1, ∴OM=OA-AM=3-1=2, 设CM=AN=b,则ON=OA+AW=3+b, .C(2,b),B3+b,1), k 点BC在函数y=x上(>0)的图象上， .2b=3+b=k, 解得：b=3, .k=6 题型二：反比例函数与平行四边形的综合问题 6. 【详解】(1)解：：B(3,0), .OB=3, ,四边形AOBC是平行四边形， ∴.AC=OB=3,AC∥OB, ∴.点C的横坐标为1+3=4，纵坐标为2， ·点C的坐标为(4,2)， 故答案为：(4,2)： k (2)解：设反比例函数解析式为y=x,把C(4,2)代入得， 2=k 4’ .k=8, ÷反比例函数解析式为y=8 (3)解：B(3,0),C(4,2)」 ∴平移前BC中点坐标为(3)】 托，=1代入y,有1- x .x=8, 7/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·平移后BC中点坐标为（⑧，）， 平行四边形4O6C平移的距离为8-了9 22 9 ·平行四边形A0BC扫过的面积=2×2=9。 7. 【详解】(1)解：：C5,3)在反比例函数V=的图象上， 3, .5 .k=15, 5 :反比例函数解析式为y= (2)解：A(-6,0),B(4,0), .AB=10 :四边形ABCD为平行四边形， ∴.CD=10. 而C点坐标为(5,3)， D点坐标为(-5,3)！ 平行四边形ABCD和平行四边形AD'CB关于x轴对称， ∴D'的坐标为(-5，-3)， -5×(-3)=15 15 :点D在双曲线y= (3)解：如图， D 点坐标为 的坐标为 .…C (5,3)D (-5,-3) 点C和点D关于原点中心对称， .点D'、O、C共线，且OC=OD', 8/41 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S,Dc=SAD0+S40c=2S40c=2×)×6×3=18. 8. 【详解】(1)解：由旋转，可知：∠OAF=∠OAB,A0=AF,AD=AB=OC=4, AB‖OC, .∠AOF=∠OAB=∠OAF, ..OF=AF 又，AO=AF, .AO=AF =OF ∴.△AOF为等边三角形， .∠AOF=60° 过点A作AMLx轴于点M,如图1所示， ,点A,D在反比例函数y= 的图象上， .点A,D关于原点对称， 40号4D=2, .∠0AM=90°-60°=30°， ÷OM=)40=l,4M=2-P=5, 点A的坐标为，V5), ..k=1x/3=V3 故答案为：60，√5： (2)证明：连接AC,AE, 9/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点C(4,0),点A的坐标为V5), .AC=V(-4-+(N5=2万 ,将平行四边形OABC绕点A逆时针旋转得到平行四边形FADE, .'AE=AC=27, 设E(0m), ∴+(5-m=2万， “m=-25(正值舍去)， :E(0,-25), ,△AOF为等边三角形， ..OF=OA=2, .F(2,0), 设直线EF表达式为y=x+b,由题意得： 2k+b=0 b=-25: k=3 解得： b=-25’ ∴直线EF的解析式为y=V3x-2V3, ,点A关于x轴的对称点为点H, :H1,-5) 当x=1时，y=V3-23=-√3， ∴.点H在直线EF上： (3)解：m>n>0,理由如下： 10/41 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设P(,a),Q(x,b)(:>x>0)是双曲线上的两点， .a>b>0 kk m=+6=+点=+，=2 2k2k2k 2k 2xx2 +x2 m-n=(m+n)(m-n)=x> >0, .a>b>0,k>0 .m+n>0, .m-n>0, .m>n>0. 9. 514 51419 【详解】(1)解：①若函数y=gr+9过点A,则当x=1时，y=g+9=9 ≠6， 514 所以，函数y=g+9不过点4 514 :函数y=gx+9是平行四边形ABCD的“DU”函数， 514 “函数y=gx+9过点B(-1,m), 514 把点B(-1,m)的坐标代入y= +9得，m=1 :A(1,6),ADI‖x轴， ÷设点D的0标为包0：代入y一-号和.6-+号 99 解得，n=8, .D(8,6): ②：四边形ABCD是平行四边形，A(1,6),D(8,6),B(-1,1) 点C可以看作是点D向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到的， 所以，点C的坐标为(6，)， 11/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .6×1=1×6=6. k ∴点A,C在反比例函数y=x的图象上， ·反比例函数y=x是平行四边形ABCD的“DJ”函数，此时k=6: (2)解：①如图，口ABCD即为所画； B ②如图，过点A作AE⊥CF于点E,过点B作BF⊥CF于点F, 根据中心形的性质得C(-2,-6) ∵a=4 B(4,3), 又A(2,6), .AE=6-(-6)=12,BF=3-(-6)=9,CE=2-(-2)=4,EF=4-2=2, ∴.S平行四边形BCD=2S。ABc=2(S格形AEFB+S.ACE-S,BCF） 12/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =20+12k2+4x12-69 =2×(21+24-27) =2×18 =36； ③平行四边形ABCD可以成为矩形， A2,6),B(a,b),C(-2,-6) AB2=(2-a}+(6-b}2,BC2=(a+2}2+(b+6}2,AC2=(-2-2}+(-6-6}2=160, 若四边形ABCD是矩形，则有：AB+BC2=AC2, .(2-a+(6-b)2+(a+2)2+(b+6}2-160 整理得，a2+b2=40 又ab=12, .(a+b)}=a2+b2+2ab=40+24=64, .a>0,b>0, ∴.a+b=8. a+b=8 联立ab=12’ a=6 a=2 解得，b=2:或6=6（舍去） ∴.a=6,b=2 10. 【详解】()解：①将点4,6)代入y-是，得，=6， 6 ∴.反比例函数的解析式为y= 将x=3代入y=x,得y=2: ∴点B的坐标为(3,2)， :n=4, ∴点D的坐标为(0,4)， ,四边形ABCD是平行四边形， 13/41 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+xc=x8+xD y4+y%=y+n' 1+xc=3+0 16+%=2+4' x=2 解得ye=0' ∴点C的坐标为(2,0)： ②点C在x轴上，理由如下： 由①可得，反比例函数的解析式为y=。, 将点A(1,6)代入y=kx+b,得b,=6-k, 直线AB的解析式为y=kx+6-k, 同理，直线AD的解析式为y=kx+6-k2, 将x=0代入y=kx+6-k,得y=6-k, ∴点D的坐标为(0,6-k), 联立直线AB与反比例函数，得， y=kx+6-k 6 x 6 X=- 解得x=1或 ky, y=6y=-k 点。的标会） B ,四边形ABCD为平行四边形， ∴.=yg+yo-y4=-k+6-k3-6=-(飞+k)=0, ∴点C在x轴上. (2)证明：由题意可知，AE=AF,，DF=DC, ∴.∠AEF=∠AFE,∠AFE=∠DCF, .∠DCF=∠AEF, CD∥AE, 14141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)可知，直线AB的解析式为y=x+6-k,直线AD的解析式为y=kx+6-k, 将=0代入y=x+6-得X=1- 问，点p的标为 AE AF j-可 3636 =号， k≠k2, k=-k2, 由山可知，点o月坐标为Q6-}方，的坐标为冬名， 由勾股定理可得， r--号6-.+号6. …k=-k2, ..DF= +(6+k)2=AB, ..DF DC, .AB=DC, 又：CD∥AE, ∴四边形ABCD是平行四边形. (3)解：如图，作AH1y轴于点H,作B⊥X轴于点I, 15/41 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G A D OCIE 将x=0代入y=kx+6-k,得y=6-k, ∴.点G的坐标为(0,6-k), 由(2)可知，点。的坐标为 :E=1- 6 k,’0G=6-k ·41,6) 又：AH1y轴，上x轴， ·0H=6'AH=1' k’BI=-k'∠AHG=∠EIB=90' ..G=-k=BI EI =1=AH, 在△AGH和△EBI中， GH=BI ∠AHG=∠EIB AH=EI .△AGHH≌△EBI(SAS)」 .AG=BE,∠GAH=∠BEI, 由尺规作图可知，AG=AD,BE=BC ∴.AD=BC,∠GAD=2∠GAH,∠CBE=2∠EBI, .∠GAH+∠EBI=∠BEI+∠EB=9O°， :.∠GAD+∠CBE=2(∠GAH+∠EBI)=180°， .∠GAD+∠BAD=180°， ∴.∠BAD=∠CBE. .AD‖BC, 16141 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.四边形ABCD是平行四边形. 题型三：反比例函数与矩形的综合问题 11. 【详解】(1)解：矩形OABC的长OC和宽OA分别为4,3， ∴S矩形04Bc=4×3=12 点8在反比例国数y女x>0的图上。 .k=12, :反比例函数的表达式为y= 2x>0): 12 (2)解：设Pa,a 则PF=OE=a' 0p=12 a' ..AE=3-a, cF=12-4. a :矩形OEPF与矩形ABCO不重合部分的面积为6， 侣小4--6 9 解得a= 4 12_216 a93, 4 916 :点P的坐标为43 12. 【详解】(1)解：设D(a,-2a+6), ,矩形OCDE的面积为4， .a(-2a+6)=4, 解得：a=1或a=2, 当a=1时，D(1,4),此时CD=4,DE=1, 17/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当a=2时，D(2,2),此时CD=2,DE=2, .CD>DE, a=1,即D(1,4): (2)①设QM、PN和直线AB分别交于点T,S, 设M(化，0)，N(t+1,0) 则T(,-21+6),S(t+1,-21+4), .MT=-2t+6,SW=-21+4, :矩形MNPP的面积被直线AB平分， 1 ·.S格形T=2S矩形NPO, (T+w)xN=4. 1 即： (21+6-2+4x1=2, 2 3 解得：t= 2: A OM主 ②设Tm,兰 m+1: 7 :由题意可知：S梯形T=8 S矩形MNPQ, .1x12+12 7 ×1=-×4 ∴2气mm+1) 8 4 解得：m=3m=7(舍)， 1=m+1-1=3 1 18/41 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y= 12 T K MN 13. 【详解】(1)解：①：点A的坐标为(2，)，AB∥x轴，AD∥y轴，且AB=4,BC=2, .点D(2,3),B(6,1),C(6,3), 当直线y=+b过点B,D时， 把D(2,3),B(6,),代入y=c+b得： 2k+b=3 6k+b=1' k=_ 1 解得： 2 b=4 该函数解析式为)=2+4： 当直线y=+b过点A,C时， 把点A(2,1),C(6,3)代入得： [2k+b=1 6k+b=3 k= 解得： 2 b=0 1 该函数解析式为y=2: 综上所述，该函数解析式为y= 2+4或y= 1 1 故答案为：y=2x+4或y=2 ②：四边形ABCD是矩形， ,CD=AB=4,CD∥AB∥x轴 19141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,反比例函数y= 6(x>0)是矩形ABCD的“对角函数”， :点B,D在反比例西数y=1(x>0)的图象上， 。16 ,AD∥y轴，且AB=4, （.16-2 点AS,。 :AB∥x轴，BC=2, 62 点B5+4, :点B在反比例函数y-16(x>0)的图象上 +4-26, 解得：S=-8(舍去)或5=4， 点C(8,4): (2)解：点A的坐标为(1,2)，正比例函数片=ax经过点A, .a=2, ∴正比例函数解析式为出=2x ,正比例函数=r是矩形ABCD的“对角函数”， 可设点C(m,2m),则B(m,2),D1,2m), .AB=m-1,BC=2m-2, ,将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E, .AE=AB=m-1,CE=BC=2m-2,∠BC0=∠EC0. 如图，延长BA交y轴于点F, 20141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB∥x轴， ·点F(0,2),AF=1, ∴.OF=2, ,四边形ABCD是矩形，AD∥y轴， .∠D4B=90,BC∥AD∥y轴， ∴.∠EFA=∠DAB=90°，∠BCO=∠EOC, .LBCO=∠ECO, .∠EOC=∠ECO, ..OE =CE=2m-2, ∴.EF=OE-0F=2m-2-2=2m-4. 在RtAEF中，AF2+EF2=AE2, .1+(2m-4)2=(m-1)2, 8 解得：m=3或2， AE>AF, .m-1>1,即m>2, 8 .m=3, 点 把点82代入5->0网：k-gx2- 3 14. 【详解】()解：：反比例函数y=的图象经过矩形ABCD的顶点A3,4), 将点43,4)代入y=元中， 解4 解得：k=12, 二反比例函数的表达式为：y=12 :ABI‖y轴，AB=2,A(3,4), 21141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .B(3,4-2), 即B(3,2)」 同理，BCx轴，BC=3,B(3,2), .C(3+3,2), 即C(6,2), .6×2=12, 即点C坐标满足反比例函数的关系式， 点C在反比例函数的图象上 根据伴随矩形的定义，点A、点C都在反比例函数图象上，且边都平行于坐标轴，因此矩形ABCD是该反 比例函数的伴随矩形. (2)正明：设任恋反比例函数解析式为y-（k+0),取它的任意一个件随矩形，假设在函数图象上的 k 两个对角顶点分别为： Aa,- a ce 矩形的边平行于坐标轴， ∴.另外两个对角顶点坐标为： ) 设伴随直线BD的解析式为：y=mx+n(m≠O), 将点B,点D代入解析式， k① ma+n= 则有： mc+n=k② kk ①-②得：a ma+n-（(mc+n), kk 整理得：ca m(a-c), k(a-c)=m(a-c), ac ,a≠C, 两边约去(a-c小，得：m= ac 22141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将m飞 a+n= 代入①，可得：ac ac 即n=0, k 件随直线BD的解析式为：y=c, 当x=0时，y=0, ∴该直线恒过原点， 即任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点。 12 12 (3)D证明：设件随矩形4BCD的顶点A的坐标为列 a, a 顶点C的坐标为C。 ,矩形ABCD的边平行于坐标轴， “月外两个对狗页六坠标为：0吕D号) 由伴随直线为y=2x,结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D在直线y=2x上， 即：2a=2,2e-2 化简得：ac=6, 即c=6 点C坐标为 2a a 12 同理可设伴随矩形EFGH的顶点B的坐标为e。 同理可得顶点8约华标为灯总2 设直线AE的解析式为：y=m,x+b(m≠O), 将点A,点E坐标代入解析式， ma+h=120 a 得： meth=12 e 1212 ①-②得：ae =m,a+b-(m,e+b), 1212 整理得：ae =m(a-e), 23141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2(e-0=m(a-e, 即 ae a≠e, 两边约去(a-,得：m=2 ae, 将%-2 -12 12 代入D,可得：ae a+b= 即4=212 a e' %2 ae 4=22, a e 直线4E的解析式为：y=2x+2+2 X+ ae ae' 同理，设直线CG的解析式为：y=m2x+b(m2≠0)， 将点C,点G坐标代入解析式， 6 m22+b2=2a① 得： a 6 m2-+b,=2e② 6 6 ①-②得：2a-2e=ma+,-m。+b a 66 整理得： 2a-2e=m2 a e)' 6(e-a) 即2(a-e)=m, ae .a≠e, 两边约去(a-e,得：m三3ae, 将m,=一 c代入D,可得：司ae名6=2a, a 即b2=2a+2e, 1 m=-3de b,=2a+2e 24141 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六直线cG的解析式为：y=-3aex+2a+2e. 联立直线AE与直线CG的解析式， -12x+12+20 M= ae a e 得： 1 y=-3aer+2a+2e② 整理.品xer-2 12.1 2-2a-2e, reee-2e+e ae （36_ae）x-12(a+e）-2a+e), 3ae 3ae X= ae =ae2） .(6-ae)(6+ae)x=6(a+e)(6-ae) 6(a+e) .x= 6+ae 6a+o代入②得：y3网6+22+2a+2e, 将x= 6+ae 即y=-ae 2(a+e) 6+ae +2(a+e), -2e+可 y=2a+e1oe 6+ae 2a) 即y=2 6(a+e) 6+ae 25141 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=. 6(a+e) 6+ae 6(a+e)' y=2 6+ae 即直线，与直线。的交点坐标为：M o(ate)2o(a+e) CG 6+ae 6+ae 经检验，该点坐标满足y=2x, 因此直线AE与直线CG的交点M始终在直线y=2x上. 99 ②M42】 15. 【详解】(1)解：四边形AB'CD'是矩形，AD'=16,B=12, .C'(12,16),AE'=CE, 点E的坐标为(6,8) 由平移得：点E的坐标为(9,8)， E OA 把E9,8)代入y x,得k=72’ 该双曲线的解析式为：y=2 (2)解：平移m个单位长度后，点E的坐标为(6+m,8), A'D'边平移后所在的直线AD为x=m,AF=10, ∴点F的坐标为(m,10) 26141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 点、在 图象上， B E F= :10m=8(6+m)=k, 解得：m=24, 点F的坐标为(24,10) (3)解：如图3，四边形ABCD是矩形， AB=4C=BD=×2+16=10」 2 2 当△AEK是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当AK=AE=10时， 由平移可得：A(化，0)，E(t+6,8) K(,10). 点K、E在y=x图象上， :10t=8(t+6). 解得t=24. ②当KE=AE=10时，此时点K与点D重合， .K(t,16),E(t+6,8)」 ~点K、E在y=元图象上， .16t=8(t+6). 解得t=6, ③当KE=AK时，设K(化，n). 由平移可得E(t+6,8),A(,0), KE=AK, (t+6-t)2+(8-n)2=n2, 27/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得n= 25 4 ·点K、E在y=图象上， K E 25 B末 t=8(t+6) 4 解得1s、192 7· t>0, ∴这与题意不符，舍去 综上所述，当△AEK是等腰三角形时，t的值为6或24. 题型四：反比例函数与菱形的综合问题 16. 【详解】(1)解：连接AC交BD于点E, D 0 :菱形ABCD,且BD∥x轴， .AC∥y轴， :点A、B的坐标分别为(6,10)、(2,7)， .XE=Xc=xA=6,yE=YD=y8=7, .E(6,7), 28/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.C(6,4),D(10,7): (2)解：点A(6,10),B(2,7),C(6,4),D(10,7), ∴将菱形ABCD向下平移mm>0)个单位长度后对应点的坐标依次为4'(6,10-m),B'(2,7-m), C'(6,4-m),D'(10,7-m), ,BD∥x轴，ACIy轴， :.B,D或A,C不能同时落在反比例函数图象上 当A,D'两点同时落在反比例函数图象上时，6(10-m)=10(7-m), .m= 2, :k=6x15 45 当B',C两点同时落在反比例函数图象上时，2×(7-m)=6×(4-m) .m=S 2 2 k=2x9 =9 故m的值为2，此时k的值为9或45. 17. 【详解】(1)解：延长AD交x轴于F,由题意得AF⊥x轴， y外y B 点的坐标为 D OC F F ·D 2别 OF=2,DF=3 0D=5 2 29141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点A坐标为(2,4)， ∴k=xy=2×4=8 根据题意得AD= 2’0F=2’ 5 六55形0o=2×2=5, :AMAD的面积是菱形ABCD面积的4， 5 S.MAD=4 15 4, 解得：x=1或x=3, 8) ∴M,8)或3,3： (3)将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位， 8 使得点D落在函数y=x>0)的图象D点处， 点D的坐标为(2+m,, 8 ·点D在y=的图像上， 38 22+m,解得：m=3,经检验符合题意， 10 0sms 3· y外v k B E D D O(C F F 30141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18. k 【详解】(1)解：把A(3,4)代入y-x得：43 解得k=12, 12 :反比例函数的函数表达式为y=: :A3,4) .0A=V32+42=5, :四边形OABC是菱形， .AB=OA=5=OC,ABx轴， B(8,4): (2)①B(84), ∴菱形0ABC的对称中心为OB的中点(4,2)， 直线OP平分菱形OABC的面积， 1 直线OP经过点(4,2)此时直线0P的解析式为y2x' 〔1 联立 12 y=- x=26.[x=-26 解得 y=N6或y=-6' P(2V6,V6): ②A(3,4),0C=5, .S美形04Bc=5×4=20、 当直线OP交边AB于H,SoaH:S图造形H0cB=1:3时，如图： B 31141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .5,0=45菱0c=5, 1 .2AH×4=5, 5 .AH2' 11 .H(2,4) 直线0m解新式为y=品。 8 y=- 11 联立 12可得812' y x 11x x 解得xV66 2或x=-66《舍去 2 V66 P的横坐标为2： 当直线OP交边BC于H,SoCr:S四边希HO4B=1:3时，如图： B 1 S.OCH= 1 2nx5=5, y=2, 420 由B(8,4),C(5,0)得直线BC解析式为y=3x3, 13 令y=2得x=2, 4 直线0H解析式为y=13x 32141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 1 联立 12得4 121 y=- 13x x 解得x=V39或x=-√39（舍去）： P的横坐标为V39: V66 综上所述， p的横坐标为2或39· 19 【详解】(1)解：过点A作AH⊥x轴于点H, B 图1 ,三角形AOB为等边三角形， A0=OB=m,∠AOB=60°， .∠0AH=30°， 在Rt△AOH中，OH= 0= 2, AH-JoOF 2 -m, 15 点A的坐标为 2m,2 m 2 画出的3个菱形如图所示，3个菱形第四个项点分别为C或C'或C”, 当m=4时，点A的坐标为(2,2⑤) 则点C的坐标为(2+4,23，即(6,2W5), 同理可得，点C的坐标为(2，-25)，点C"的坐标为(-2,25)： 15 (2)解：由(1)知，点A的坐标为 2m,2m 则点C的坐标为 (n 33141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 ∴.向下平移2个单位长度后点C的坐标为 2m,2m-2 将平移后点C的坐标和点4的坐标代入反比例函数表达式得，太m×3m了】 -m= mx m-2 2 2 2 解得m=23或0（舍去）， i.k= m=35: 2 2 (3)解：由点O、A的坐标得直线OA的表达式为y=V3x①， 同理可得：直线4B的表达式为y=-V5(-m)②，直线OB的表达式为y=0③， 联立y=- 3 x+v5和①式得-了x+5=V5x, 3 解得：x=3 333 即点C 449 3m-3V5(3-m) 同理可得，点E、D的坐标为： (3,0) 2’ 当点C是第三点时，即E、D关于点C对称，则点C是D、E的中点， 3 3 3m-3） 2 2 4 由中点坐标公式得： V3(3-m)3√5 0+ 2 4 解得：m=0(舍去)： 13+3m-3 当点卫是第三个点，同理可得： 1355(3-m) 2 4 2 解得：m= 2: 3m-3 2 当点D是第三个点，同理可得： 3(3-m) 2 34141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：m=9 4 99 综上，m=2或4： 99 故答案为：2或4 20」 【详解】(1)解：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD=2,∠ABC=60°，AC⊥BD,BD=2OB=n, AC=20A=m, ∴△ABC是等边三角形，∠AOB=90°， ∴.m=AC=AB=2, .OA=1, 在Rt△AOB中， 0B=AB2-0A=√22-下=V3, .n=20B=23, m-n曰2-23=25-2. 即该菱形的“相近度”为2V3-2: (2)①：∠B0C=∠A0D=45,OA=0B=0C, ∠0AB=∠0BA=∠A0D=22.5°，∠0CB=∠0BC=180°-∠B0C)=67.5°， 如图，在AB上取一点E,使BE=BC=n,连接CE, B E 则∠ECB=∠CEB=45°， .∠ACE=∠0CB-∠ECB=22.5°， .∠OAB=∠ACE, .AE =CE, 在RtaBCE中，cos∠ECB=BC= CE 2 BC=n, CE=√2n, 35/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AE =v2n, ..m=AB=AE+BE=2n+n=(2+1)n, m_5+加=+1，即该矩形的“相近度”为、2+1 n n ②如图，连接AC交BD于点E,延长BD交x轴于点F, E D 0 ·矩形的“相近度”为1，即”=1， .AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形， ∴BE=AE=CE=DE, AE=BE=CE=DE=p,D(3,a), :BD∥y轴， ∴.B(3,a+2p),A(3+P,a+p) :4B都在反比例西数=低>0的图象上。 ∴.k=3(a+2p)=(3+p)(a+p), 解得p=0,P2=3-a」 卫≠0， p=3-a, .B3,6-a) :BB.6-0在反比例西数y车(k>≥0)的图象上. D6,4在反比例函数y=亿>0)的图象上， ∴.k=3(6-a)=18-3a,k2=3a. 36/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .k+k2=18-3a+3a=18 题型五：反比例函数与正方形的综合问题 21. 【详解】(1)解：A(3,0) .OA=3 在正方形OABC中，OA=AB=3. .B(3,3)」 将B6,3)代入y-x>≥0)中， 得k=9 9 反比例函数的表达式为y=一(x>0)」 9 (2)在y=x中， 令y=1,得x=9. 即E(9,1) 平移的距离=9-3=6」 22 【详解】(1)解：正方形OAPB的面积为9， :.PA=PB=3, P点坐标为(3,3)， 把P3,3)代入y=元得，k=3x3=9 9 ..y= 设直线OP的解析式为y=kx, 把P(3,3)代入y=kx得， 3=3k,解得k=1, ∴.直线OP的解析式为y=x: (2)解：设正方形ADFE的边长为a,则F点的坐标为(a+3,a), 37141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 把F(a+3,a)代入y=得，a(a+3)=9, 解得a,= 53-36 -3+3v5 （负值，舍去)， 2 正方形4DE的边长为23 23」 【详解】(1)解：，正方形ABCD的边长为2， .OA=A'B'=2 由平移的性质，得OB'=CC=4. E是AB的中点， :BE=)AB=1. 2 .E(4,1). :将点E4代入反比例函数y(>0)中，得k4 “反比例函数的表达式为y=4(x>0). (2)解：由题意，得0C'=0C+CC'=2+4=6 4 2 将x=6代入反比例函数y=￥中，得y=5: .FC=2 3· FD'=C'D-FC'=2-2-4 33· 14 (3)点E在线段CD上.理由如下： 设直线CD的函数表达式为y=mr+b, [0=6m+b 将点C(6,0)D(2,2)代入y=mx+b中，得12=2m+b 1 m=- 解得 2 b=3 38141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 直线cD的函数表达式为y=2x+3, 1 由1)得点E(4,).将x=4代入y=2+3中，得y=1 点E在直线CD上 .2<4<6 ∴点E在线段CD上. 24. 【详解】(1)将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k=-2×(-2)=1×m, 解得： m=4, 将点A,4)、B的坐标代入函数表达式得： 4=k2+b k=2 -2=-2k2+b'解得： b=2’ 则一次函数的表达式为：y=2x+2: (2)过点B作y轴的平行线交过点A和x轴的平行线于点G，,交故点C和x轴的平行线于点H, ○ .·∠GBA+∠CBH=90°，∠CBH+∠HBC=909 ∴∠GAB=∠HBC, ∠BGA=∠CHB=90°，AB=CB, ∴△BGA≌△CHB(AAS) :.CH=GB=4-（-2)=6,BH=GA=1-（-2)=3, 点C(4,-5): (3)当正方形MNPO与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，则点M在AC上， 39141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由点AC的坐标得，直线AC的表达式为：y=-3x+7, 由(1)知，反比例函数表达式为：y=4 X* 联立上述两个函数表达式得：3x+7=4 解得：x=1(舍去)减3， 即点M[3 由点cM的坐标得，CM=8 3, 则重叠正方形的边长为2 cM-85 25. 【详解】(1)解：点A,),点C(3,3), 点D(13), 代入反比例函数表达式得：k=3, ·反比例函数表达式为：y=3。 (2)解：①平移后点A、B、C'、D的坐标分别为：(1,0)、(3,0)，(3,2)、(，2)， 则平移后点E的横坐标为3，代入反比例函数解析式可得y:=1, .E(3,1) 3 同理平移后点F的纵坐标为2，代入反比例函数解析式可得=2， 40141 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 dDF=21=7'EC'=2-1=1Gs3-33 1 22； .S。AEr=SE方形fBcD-SfBE-SfDr-S.Erc 2 Γ4 ®白0知点E6:F82, 设点P(m,0), 则EF-（-多+-少-号Er-m-3旷+0-旷=m-6m+10 p-m+0-2=m-m+ 4 当EF=Ep时，m-6m+10= 4,解得：m= 2或ms9 （舍去)； 当EF=Pp时，m2-3m+25-3 44,无解； 当EP=PF时，m2-6m+10=m2-3m+25 5 4,解得m= 4 o 41/41可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03反比例函数与几何图形的综合问题有关的五种模型 题型归纳 题型一反比例函数与三角形的综合问题 题型二反比例函数与平行四边形的综合问题 题型三反比例函数与矩形的综合问题 题型四反比例函数与菱形的综合问题 题型五反比例函数与正方形的综合问题 题型专练 题型一：反比例函数与三角形的综合问题 1.如图，双曲线y=经过点A(2,3)和点C,AB∥x轴，点C是OB的中点. A C 0 (I)试求k的值； (2)试求三角形OAB的面积. 2.如图，三角形C为等限直角三角形，斜边AB拍，点c在x轴上，反比例函数y（x>0)经过 AB的中点D,交边BC于点E,己知点C(2,O) 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)点B的坐标为 一，反比例函数解析式为 (2)连接DE,求△BDE的面积. 3.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的底边BC在x轴上，点B,C的坐标分别为(-2,0)，(6,0)， 反比例同数y-〔>0)的图象交4C干点4，D B O (1)求k的值： 因将。ABC沿×抽的左平移1(p)个单位长度，当反比制函数yx>0)的图象与三角形至少有个 公共点时，求t的取值范围， k 4.如图，在平面直角坐标系中A点的坐标为(8，)，AB⊥x轴于点B,OB:AO=4:5,反比例函数y= 的图象的一支经过AO的中点C,且与AB交于点D (1)求反比例函数表达式： (2)若函数y=3x与y=的图象的另一支交于点M,求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比. B X 5.定义：有一边是另一边的√2倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角 叫做智慧角 2/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B A ① ② (1)如图①，在△ABC中，∠C=105°，∠B=30°，求证：△ABC是智慧三角形： (②)如图②，已知△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且∠BAC=90°，A(3,0),点B、C在 函数y=(c>0)的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值。 题型二：反比例函数与平行四边形的综合问题 6.如图，在平面直角坐标系上，平行四边形AOBC的顶点A(,2),B(3,0),一反比例函数的图象过点C. 将平行四边形AOBC沿x轴向右平移，使边BC的中点在该反比例函数图象上. (1)点C的坐标为 (2)求反比例函数解析式. (3)在平移过程中，直接写出平行四边形AOBC扫过的面积， 7.平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A(6,0),B(4,0),C(5,3),反比例函 数y=《的图象经过点C 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求此反比例函数的解析式： (2)将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形AD'CB,请你通过计算说明点D'在双曲线上； (3)求△ADC的面积. 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形且点C(-4,0),将平行四边形OABC绕点 A逆时针旋转得到平行四边形FADE,AD经过点O,点F恰好落在x轴的正半轴上.若点A,D在反比例 k 函数y= 的图像上 (1)填空：∠AOF= °，常数k= (2)设点A关于x轴的对称点为点H,求证：点H在直线EF上； ③)设P6,@,Q(,b6>x>0)是双曲线y-冬上的两点。设m a+b 2 Vx+x, 试判断m,n的 大小，并说明理由。 9.定义：在平面直角坐标系中，函数R的图象经过平行四边形ABCD一条对角线的两个端点，则称函数R 是平行四边形ABCD的“D)”函数，函数W的图象经过平行四边形ABCD的四个顶点，则称函数W是平 行四边形ABCD的“QD”函数. 图1 图2 备用图 (1)已知：如图1，在平行四边形ABCD中，AD∥x轴，若A点坐标为L,6),B点坐标为(-L,m),函数 514 =g+9是平行四边形ABCD的“DJ”函数. y=。x+ ①求m的值及点D的坐标： 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在友比例函数y是平行四边形4BCD的“p”函数，若存在，求出值，若不 理由： ②E知：图2，石4点坐标为20：点g在第一家限内，其坐标为a:反比例医数y-营是平行四边 形ABCD的“QD”函数. ①请在图2中画出平行四边形ABCD； ②若a=4,求平行四边形ABCD的面积： ③平行四边形ABCD是否可以成为矩形，若可以，直接写出a,b的值，若不可以，请说明理由. 10.如图，在四边形ABCD中，A,6),D(0,n),B的横坐标为m,其中m>1,0<n<6.一次函数 y=kx+与反比例函数y=的图象经过AB两点，一次函数y=kx+b,经过点AD R B (图1) (图2) (图3) ()若四边形ABCD为平行四边形. ①当m=3,n=4时，直接写出点C的坐标 ②当k+k,=0时，点C是否在x轴上？请说明理由： (②)小明根据(1)中的发现，提出问题：若点C在x轴上，如何用尺规作图作出平行四边形ABCD?经过 思考，他给出了如图2的作法：延长AB交x轴于点E,以A为圆心AE为半径画弧交x轴于点F,连接 AF交'轴于点D,以D为圆心DF为半径画弧交x轴于点C,连接CD、BC,四边形ABCD即为所求作 的平行四边形.证明小明所作四边形ABCD即为所求作的平行四边形： (3)小亮对小明的作图方法产生了浓厚的兴趣，提出了不同的作图方法，用圆规和没有刻度的直尺作出平行 四边形ABCD.请帮助小亮同学在图3中完成作图，不需要说明理由.（保留作图痕迹，不要求写作法） 题型三：反比例函数与矩形的综合问题 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.如图，在平面直角坐标系中，矩形O1BC的顶点A,C在坐标轴上，顶点B在反比例函数y=(x>0) 的图象上，已知矩形OABC的长OC和宽OA分别为4,3. C B G OE A (1)求反比例函数的表达式： (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在BC的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E, F,PE与BC交于点G.若矩形OEPF与矩形ABCO不重合部分的面积为6，求点P的坐标. 12.如图1，直线y=-2x+6的图象与x轴、y轴分别交于4、B两点，点D是线段AB上一点，过D点分 别作OA、OB的垂线，垂足分别是C、E,矩形OCDE的面积为4，且CD>DE. E D O CA 图1 图2 图3 (1)求D点坐标： (2)将矩形OCDE以1个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形MNPO,记平移时间为1秒. ①如图2，当矩形MNP9的面积被直线AB平分时，求t的值： 12 ②矩形MNPQ的边与反比例函数y=的图象有两个交点，记为不、K,若梯形MNKT的面积是矩形 MNPQ的面积的8，求t的值 13.在平面直角坐标系中，若函数y的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数'是这个矩形的 “对角函数”. 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且AB=4,BC=2 ①若点A的坐标为(2，)，一次函数y=:+b是矩形ABCD的“对角函数”，则这个函数解析式为 ②若反比例函数y->0)是矩形BCD的“对角函数”，求c点的坐标： (②)如图2，矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为(L,2),正比例函数片=ax 经过点4'且是矩形4BCD的“对角函数”，反比例函数片=(x>0)经过点g'且是矩形4BCD的“对 角函数”.当OC>OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E,若点E落在y轴上，求k的值， 14.定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都平行于坐标轴的矩形为该反比 例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随直线.如图1，矩形ABCD的顶 6 6 点A(2,3)C(6,1)在反比例函数y=x的图象上，所以矩形ABCD是反比例函数y=x的伴随矩形，直线 6 BD是反比例函数y=的伴随直线。 图1 图2 图3 (①)如图2，已知反比例函数y=元的图象经过矩形ABCD的顶点A(3,4),AB‖y轴，BC‖x轴，AB=2' BC=3,求反比例函数的表达式，并判断矩形ABCD是否为该反比例函数的伴随矩形. (2)求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点。 12 (3)如图3，己知矩形ABCD和矩形EFGH都是反比例函数y=、的伴随矩形，且对应的伴随直线均为 y=2x 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①求证：直线AE与直线CG的交点M始终在直线y=2x上： ②若矩形ABCD的周长为30，矩形EFGH的周长为6，直接写出点M的坐标. 15.【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形A'B'CD的顶点A与坐标原点O重合，B在x轴的正半轴上，AD'=16, AB=12,对角线AC、B'D相交于点E, D 图1 图2 图3 【构建联系】 (I)如图1，将矩形AB'C"D'向右平移3个单位长度，得到矩形ABCD,点E'的对应点为E,若双曲线 y-(c>0经过点E:求该双曲线的解析式， 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形AB'CD向右平移m(m>O)个单位长度，得到矩形ABCD,点E'的对应点为E,双曲 线y=车(x>0)经过点E,且与4D交于点p若F=10求点p的经标. 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形AB'C'D'向右平移(>O)个单位长度，得到矩形ABCD,点E'的对应点为E,双曲线 y（>0经过点E:与边4D交于点K连接K·若。4K是等腿三角形，求，的值 题型四：反比例函数与菱形的综合问题 16.如图，菱形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BD∥x轴，点A、B的坐标分别为(6,10)、 (2,7) 8/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)直接写出点C、D的坐标； (②)若将菱形ABCD向下平移m(m>O)个单位长度，使菱形ABCD的两个顶点同时落在反比例函数 y=人(k>0)的图象上，求m及此时kk>0的值. x 17.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反 比例函数y=xk>0,x>0)的图像上，点D的坐标为 2 B D oc) (1)求k的值： (②)设点M在反比例函数图像上，连接MA、MD,若AMAD的面积是菱形ABCD面积的4，求点M的坐标. (3)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中，若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点， 求m的取值范围， 18.如图，平面直角坐标系Oy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，A,B在第一象限，反比例 函数yk(>0)的图象经过点46,4)： (备用图) (I)求反比例函数的函数表达式和点B的坐标： 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②点p在反比例函数y(>0)的图象上. ①若直线OP平分菱形OABC的面积，求点P的坐标； ②若直线OP将菱形OABC的面积分成1：3两部分，则点P的横坐标是 19.如图1，等边三角形AOB的边长为m,点B在x轴正半轴上，点A在第一象限 y=-V3 x+V3 图1 图2 图3 (1)若m=4,以△AOB的某个顶点为旋转中心，将△AOB顺时针旋转60°，得到三角形与△AOB拼成一个菱 形，请在图中画出该菱形，并写出菱形的第四个顶点C的坐标： (回如图2，若菱形AO8C的膜点A在双曲线-（>0)上，将菱形AOBC向下平移2个单位长度，点C 拾好落在双曲线y=(x>0)上，求k的值： 3 (3)如图3，直线y=- x+5分别与直线OMAB,OB相交于点C,D,B,若C,D,B三点中有两点关 于第三点对称，直接写出m的值为_ 20.定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方形的相近程度称为菱形或矩形的 “相近度” D D 图1 图2 图3 ()如图1，菱形的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为m,,我们将菱形的“相近度” 用m-川表示，即“相近度”=m-川，若∠ABC=60°，求该菱形的“相近度”： (2)如图2，已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,设AB,BC的长分别为u,n(m≥n),我们 10113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将矩形的“相近度”用行表示。即“相近度”=” m ①若∠A0D=45°，求该矩形的“相近度”； @如图3，矩形BCD的项点分别在反比例函数y-点k>0)和y-年化>0)的图象上，BD∥y,点D 的横坐标为3，当矩形的“相近度”为1时，求k+人的值. 题型五：反比例函数与正方形的综合问题 21.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,0)，以OA为边的正方形0ABC的顶点B在反比例函数 y=(x>0)的图象上. (1)求出反比例函数的表达式. (2)将正方形OABC沿着x轴的正方向平移，设边AB与反比例函数的图象在第一象限内交于点E.当点E 的纵坐标为1时，求正方形OABC平移的距离. 2图.正方形O1Pa4DFE的顾点4DB在华标错上，点E在D上，点p八p在联数y冬 的 图像上，已知正方形OAPB的面积为9. B D (I)求k的值和直线OP的解析式： (2)求正方形ADFE的边长， 23.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B与原点重合，点A,C分别在y轴正半轴和x轴正 半轴上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移4个单位长度后得到正方形ABC'D,己知正方形ABCD的边 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长为2，日为B的中点，反比例函数y=(x>0)的图象恰好经过点5 E O(B)C B (1)求反比例函数的表达式， (②芳反比例函数=(x>0)的图象与正方形fBCD的边CD交T点F,连接DE'EF,求。DEP的 面积. (3)连接CD,判断点E是否在线段CD上，并说明理由. 24.如下图，反比例函数y=点低≠0)与一次函数2=k,x+6(化，≠0)的图象都经过点4机侧和点 B(-2,-2),以AB为边作正方形ABCD(点A、B、C、D逆时针排列)· (1)求m的值和一次函数2的解析式. (2)求点C的坐标. (3)将正方形ABCD平移得到正方形MNP,在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在 反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形MWPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时， 求重叠正方形的边长。 25,正方形BCD的顶点4)和点C,3到，反比例离数y-(x>0). 12113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D' D' B B 图1 图2 图3 (①如图1，双曲线经过点D时求反比例函数-(x>0)的关系式： ②如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形fBCD,边g在x铺上，反比例函数y-兰(>0)的图象 分别交正方形AB'CD'的边CD、边B'C'于点F、E, ①求△A'EF的面积： ②如图3，x轴上一点P,是否存在△PEF是等腰三角形，若存在直接写出点P坐标，若不存在请说明理由， 13113