第09讲 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

第09讲 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 题型3 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 题型4 二次函数的平移 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 顶点式、平移、左加右减、上加下减、顶点坐标、对称轴。 1. 掌握二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²图象的平移关系（左加右减、上加下减）。 2. 能直接说出抛物线的顶点坐标 (h,k) 、对称轴（直线x = h）及开口方向。 3. 能运用描点法或平移法画出y=a(x-h)²+k的图象，并归纳其性质（增减性、最值）。 4. 体会数形结合与转化的数学思想，提升从一般式到顶点式的化归意识。 学习重点：顶点坐标 (h,k) 与对称轴 x = h的确定，以及图象平移的规律。 学习难点：理解平移规律中“左加右减”为什么对x的变化是反向的，以及灵活运用顶点式分析二次函数的性质。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数y=ax²+k的图象和性质 一、基本形式与顶点坐标 - 顶点坐标：(0, k) - 对称轴：x = 0（即 y 轴） - 相当于将y = ax2的图象上下平移|k|个单位 二、图象特征（取决于a与 k） 1. 开口方向 - a > 0：开口向上 → 有最小值k - a < 0：开口向下 → 有最大值k 2. 开口大小（形状） - 由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽 - 形状与y = ax2完全相同，只是整体上移或下移 3. 顶点位置 - 始终在 y 轴上：(0, k) - k > 0：顶点在 x 轴上方 - k = 0：顶点在原点(0,0) - k < 0：顶点在 x 轴下方 4. 与 x 轴的交点（根的情况） 解方程 ax2 + k= 0 ⇒ x2 = 条件 交点个数 交点坐标 > 0 2 个 (,0) = 0（即k=0） 1 个（切点） (0,0) < 0 0 个 无实数交点 5. 与 y 轴的交点 - 令x = 0 ⇒ y = k - 交点：(0, k) —— 正好是顶点 三、函数性质 1. 定义域：全体实数 2. 值域:a > 0 ：y≥k; a<0 ：y≤k 3. 单调性 当a > 0时：在x≤0上单调递减;在x≥0上单调递增 当a < 0时：在x≤0上单调递增;在x≥0上单调递减 4. 最值 - a > 0：最小值ymin= k（在x=0处） - a < 0：最大值ymax= k（在x=0处） 四、与y = ax2的平移关系 变换 函数 顶点 基础 y = ax2 (0,0) 向上平移 k单位（k>0 ） y = ax2+ k (0,k) 向下平移|k|单位（k<0） y = ax2+ k (0,k) 注意：只有上下平移，没有左右平移。 五、图象画法 方法（利用对称性）： 1. 确定顶点(0, k) 2. 确定对称轴x = 0 3. 取x = 1, 2, … 计算y 4. 利用对称性得到x = -1, -2,…的点 5. 平滑连线 【易错提醒】 图象由y=ax2上下平移|k|个单位（k>0上移，k<0下移）。顶点(0,k)，对称轴y轴。注意a决定开口方向与大小，勿忽略平移方向。 即时即练1．关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值、对称轴及单调性． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对于A：∵，∴开口向下，A错误； 对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标，代入得，∴y的最大值为4，B正确； 对于C：对称轴为直线，即，而非，C错误； 对于D：∵开口向下，对称轴，∴当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，D错误． 故选：B． 2．已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）由函数解析式，列表可得 描点、连线、画出这两个函数的图象，如下图所示： (2)解：函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 知识点02 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 一、基本形式与顶点坐标 - 顶点坐标：(h, 0) - 对称轴：直线x = h - 相当于将y = ax2 的图象左右平移|h|个单位 二、图象特征（取决于a与h） 1. 开口方向 - a > 0 ：开口向上 → 有最小值0 - a < 0 ：开口向下 → 有最大值0 2. 开口大小（形状） - 由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽 - 形状与y = ax2完全相同，只是整体左移或右移 3. 顶点位置 - 始终在 x 轴上：(h, 0) - h > 0：顶点在 y 轴右侧 - h = 0：顶点在原点(0,0) - h < 0：顶点在 y 轴左侧 4. 与 x 轴的交点 解方程 a(x - h)2 = 0 ⇒ (x - h)2 = 0 ⇒ x = h - 只有一个交点（切点）：(h, 0)—— 正好是顶点 5. 与 y 轴的交点 - 令x = 0 ⇒y = a(0 - h)2 = ah2 - 交点：(0, ah2) 三、函数性质 1. 定义域：全体实数 2. 值域:a > 0 ：y≥0; a<0 ：y≤0 3. 单调性 当a > 0时：在x≤h上单调递减;在x≥h上单调递增 当a < 0时：在x≤h上单调递增;在x≥h上单调递减 4. 最值 - a > 0：最小值ymin= 0（在x=h处） - a < 0：最大值ymax= 0（在x=h处） 四、与y = ax2的平移关系 变换 函数 顶点 基础 y = ax2 (0,0) 向右平移h单位( h>0） y = a(x - h)2 (h,0) 向左平移h单位( h>0 y = a(x - h)2 (h,0) > 注意：只有左右平移，没有上下平移。 > 符号记忆：\( x - h = 0 \) ⇒ \( x = h \)，顶点在正 \( h \) 处。 五、图象画法 方法（利用对称性）： 1. 确定顶点 (h, 0) 2. 确定对称轴x = h 3. 取x = h1, h2,…计算y 4. 平滑连线 【易错提醒】 图象由y=ax2左右平移|h|个单位（h>0右移，h<0左移）。顶点(h,0)，对称轴x=h。注意平移方向易反（“左加右减”指解析式内对x的操作）。 即时即练1．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，对称轴为，当时，函数图象开口向上，当时，函数图象开口向下，即可进行解答． 【详解】解：A、∵， ∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意； B、对称轴是直线，故B正确，不符合题意； C、顶点坐标为，故C正确，不符合题意； D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D不正确，符合题意． 2．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 描点，连线 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 知识点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 一、基本形式与顶点坐标 - 顶点坐标：(h, k) - 对称轴：直线x=h - 这是二次函数的顶点式，能直接读出顶点位置。 二、图象特征（取决于 a, h, k） 1. 开口方向 - a > 0：开口向上 → 有最小值k - a < 0：开口向下 → 有最大值k 2. 开口大小（形状） - |a|决定开口宽窄：|a| 越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽 - 与 y = ax2的形状完全相同，只是位置平移 3. 顶点位置 - h控制左右平移：h>0向右移，h<0向左移 -k控制上下平移：k>0向上移，k<0向下移 4.对称轴:始终是x=h，是一条竖直直线 三、函数性质 1. 定义域：全体实数 2. 值域:a > 0 ：y≥k; a<0 ：y≤k 3. 单调性 当a > 0时：在x≤h上单调递减;在x≥h上单调递增 当a < 0时：在x≤h上单调递增;在x≥h上单调递减 4. 最值 - a > 0：最小值ymin= k（在x=h处），无最大值 - a < 0：最大值ymax= k（在x=h处），无最小值 【易错提醒】 顶点(h,k)，对称轴x=h。注意平移：h>0右移，k>0上移（“左加右减，上加下减”是对x和y的操作）。\(a\) 决定开口方向与大小。勿混淆顶点坐标符号。 即时即练1．对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 2．已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 【答案】(1) 解：列表： x … 0 1 2 … … … 列表： x … … … … 列表： x … … … … 如图所示为所求： (2) ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为. (3) 函数开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.函数有最小值，最小值为． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）利用顶点式二次函数的特征，可直接得到开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：对于顶点形式的二次函数，决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：函数开口向上，对称轴为直线， 因此当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，有最小值． 知识点04 二次函数y=a(x-h)²+k与 y = ax2 的平移关系 1. 左右平移 h个单位： - h > 0：向右平移h - h < 0：向左平移|h| - 得到y = a(x - h)2 2. 上下平移k个单位： - k > 0：向上平移k - k < 0：向下平移|k| - 最终得到y = a(x - h)2 + k > 注意顺序：先左右，后上下。 【易错提醒】 y=ax2向右平移h单位得y=a(x-h)2（h>0），向上平移k单位得y=ax2+k。注意“左加右减”是x替换为x+h；“上加下减”直接加在常数项。勿反方向。 即时即练1．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解. 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，根据平移规律可得： 再将所得图象向下平移3个单位长度，可得： ，即 2．把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线． (1)试确定a，h，k的值； (2)若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查抛物线的平移与翻折，掌握平移与翻折规律是解题的关键． （1）根据抛物线平移规律，向左平移3个单位则x替换为，向上平移4个单位则函数值加4，比较平移后的抛物线方程可得a，h，k的值； （2）求出原抛物线顶点关于x轴的对称点，沿x轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线相反，由此可解． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线向下平移4个单位，再向右平移3个单位，可得， 抛物线为：， ，，； （2）解：抛物线的顶点坐标为， 点关于x轴的对称点为，沿x轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线相反， 所得抛物线的函数表达式为． 题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 【例1】对于抛物线，下列结论不正确的是（   ） A．对称轴是轴 B．与轴没有交点 C．有最小值 D．当时，随增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查抛物线的性质，根据题意，抛物线的对称轴为y轴，有最小值，且在时单调递增；但与x轴有两个交点，故B选项错误． 【详解】∵ 抛物线，， ∴ 对称轴，即y轴，A正确，不符合题意； 令，得，解得，故与x轴有两个交点，B错误，符合题意； ∵，对称轴，且时，， 抛物线的顶点为，故抛物线有最小值，C正确，不符合题意； ∵，对称轴， ∴ 当时，y随x增大而增大， 故当时，随增大而增大，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【例2】抛物线，，共有的性质是(　　) A．开口向上 B．顶点坐标都是 C．对称轴是y轴 D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；分别分析每个二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，找出共同点即可． 【详解】解：对于： ∵， ∴开口向上，顶点，对称轴为轴，在时随增大而增大； 对于： ∵， ∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 对于： ∵， ∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 综上，三条抛物线对称轴均为轴； 故选C． 【技巧归纳】 抛物线 y=ax²+k 以y轴为对称轴，顶点(0,k)。a决定开口方向与大小，a>0开口向上，a<0向下；k决定上下平移。利用顶点坐标直接分析最值、单调性、平移规律。 【变式1-1】对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．该函数图象开口向上； B．当时，y随x的增大而减小； C．当时，取得最小值； D．当时，y的取值范围是 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该函数图象开口向下，故A选项错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，取得最大值，故B选项正确，符合题意；C选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，时，取得最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 【变式1-2】【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)上，4 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）先求得和时，的值，然后结合（1）中图象即可得出结论． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点，， 令，则，即该抛物线经过点，， 所以此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 【例3】已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小； 综上，只有选项C错误. 【例4】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性逐一排除即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 、开口向下，原选项错误，不符合题意； 、由于，则当时，的值随值的增大而减小，原选项正确，符合题意； 、对称轴为，原选项错误，不符合题意； 、顶点坐标为，原选项错误，不符合题意； 故选 ：． 【技巧归纳】 抛物线 y=a(x-h)² 顶点(h,0)，对称轴x=h。a决定开口方向与大小，h决定左右平移。函数在x=h处取最值0；增减性以对称轴为界。平移规律：左加右减（对x）。 【变式2-1】对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴时，的值随值的增大而减少，当时，函数的最大值为0； 综上，只有选项D说法错误； 故选D． 【变式2-2】已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 1 0 m n …    (1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________． (2)在图中画出二次函数的图像． (3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大． 【答案】(1)，， (2)图像见解析 (3)； 【分析】（1）将，分别代入即可得到、的值，然后根据二次函数的顶点式得出顶点坐标； （2）用描点法画出二次函数的图像即可； （3）由二次函数的解析式可知，对称轴为直线：，然后根据图像利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即， 由二次函数得，顶点坐标为：， 故答案为：，，； （2）如图，    （3）观察问题（2）图像可知： 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． 故答案为：；． 题型3 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 【例5】对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵二次函数，， ∴当时，有最大值为7，故A选项说法错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线，故B选项说法正确，符合题意；C选项说法错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故D选项说法错误，不符合题意． 【例6】关于二次函数，下列结论错误的是（   ）． A．图象开口向下 B．最小值为 C．对称轴为直线 D．顶点为 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，故D正确；二次函数的对称轴为直线，故C正确； ∵， ∴二次函数的图象开口向下，故A正确； ∴二次函数在顶点处取得最大值，故B错误． 【技巧归纳】 顶点式：顶点(h,k)，对称轴x=h。a决定开口方向与大小，a>0开口向上有最小值k，a<0向下有最大值k。平移：h左右，k上下。增减性以对称轴为界，可直接得最值。 【变式3-1】已知二次函数（其中a是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，二次函数图象开口向下 B．二次函数图象与y轴的交点的坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是二次函数图象的最低点 【答案】C 【分析】二次项系数大于0，则函数图象开口向上，二次项系数小于0，则函数图象开口向下，且函数图象有最高点，据此可判断A、D；求出时，y的值可判断B；根据解析式可得顶点的坐标，则可判断C． 【详解】解：A、当时，二次函数图象开口向上，原说法错误，不符合题意； B、当时，，则二次函数图象与y轴的交点的坐标为， ∵， ∴， ∴二次函数图象与y轴的交点的坐标不是，原说法错误，不符合题意； C、由解析式可得顶点坐标为，原说法正确，符合题意； D、当时，顶点是二次函数图象的最高点，原说法错误，不符合题意； 【变式3-2】已知抛物线L：经过点，其顶点为M． (1)用含m的式子表示； ①直接写出顶点M的坐标 ； ②直接写出点关于抛物线L的对称轴对称的点的坐标 ； ③求抛物线L的表达式． (2)当时，求与抛物线L关于直线成轴对称的抛物线T的表达式（结果用二次函数的一般式表示）． (3)规定：抛物线L与直线l：所围成的封闭图形的边界上，纵坐标为整数的点叫做“美点”．当时，直接写出封闭图形边界上“美点”的个数 ． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)无数或1 【分析】本题考查二次函数的图象与性质， （1）①根据顶点式对应的顶点坐标为，直接写出结果即可； ②根据顶点式对应的对称轴为直线，先求出对称轴，再利用点关于平行于y轴的直线对称的坐标特征求解即可； ③代入点，求出a的值即可； （2）先求出抛物线L的顶点关于直线对称的点的坐标，从而得到抛物线T的顶点式，再将顶点式转化为一般式即可； （3）由m的范围求出直线l的位置，根据图象判断封闭图形的特征，找出“美点”的个数即可． 【详解】（1）解：①由抛物线的顶点式，可知点M的坐标为； ②由抛物线的顶点式，可知抛物线的对称轴为直线， 故关于直线对称点的坐标为； ③将点的坐标代入，得， 解得， 故抛物线的表达式为：； （2）解：当时，抛物线L的顶点坐标为， ∴点关于直线的对称点为， 由抛物线关于平行于x轴的直线对称的变化规律可知，对称后的得到的抛物线T的表达式为， ∴抛物线T的表达式为； （3）解：由题意，可知，当时，， 作示意图如下： 由图，顶点一定在封闭图形的边界上，且符合“美点”的定义， 由图，封闭图形的边界上的点的纵坐标的范围为，故只存在和两种纵坐标为整数的情况， 由图，当时，，此时封闭图形由直线被抛物线所截部分线段的纵坐标均为，均符合“美点”的定义，有无数个“美点”， 故“美点”的个数为无数或1． 题型4 二次函数的平移 【例7】将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”求得平移后的函数解析式，再根据二次函数顶点式的性质确定顶点坐标即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得平移后抛物线解析式为， 整理得， 所以平移后抛物线的顶点坐标为． 【例8】将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点坐标为，然后通过向右平移个单位后，再向下平移个单位进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴把向右平移个单位后，再向下平移个单位得到， ∴所得抛物线的顶点坐标为． 【技巧归纳】 平移口诀：左加右减（对x），上加下减（对整体）。从y=ax²变为y=a(x-h)²+k，即先平移h单位（左正右负），再平移k单位（上正下负）。注意符号与平移方向。 【变式4-1】抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【分析】先求出的顶点坐标，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线的顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为：， 抛物线向左平移1个单位，向下平移3个单位， 则抛物线的顶点也先向左平移1个单位，再向下平移3个单位， ∴平移后的抛物线的顶点的坐标为． 【变式4-2】将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 2．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与性质． 由二次函数图象开口向下可得离对称轴越近的点y值越大，进而求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，且对称轴为直线，离对称轴越近的点，y值越大， ∵， ∴离对称轴近， ∴． 故选C． 3．已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点式，当时，开口向上；当时，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为；当时，在对称轴左侧()，随的增大而减小；在对称轴右侧()，随的增大而增大，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，根据抛物线顶点式， ∴， ∴抛物线开口向上，选项A正确； 对称轴是直线，选项B错误； 顶点为，选项C正确； ∵，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，选项D正确； 故A、C、D均不符合题意，B符合题意． 4．下列关于抛物线的说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为 C．顶点坐标为 D．由抛物线向上平移一个单位得到 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和平移变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数， 抛物线开口向下，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； 当时，， 顶点坐标为，故C错误； 抛物线 向上平移一个单位得到，与给定抛物线一致，故D正确； 故选：D． 5．抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】先根据抛物线平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”，得到平移后的抛物线解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的抛物线解析式为 ． ∵， ∴抛物线开口向上，A说法正确； 抛物线的顶点坐标为，不是，B说法错误； 抛物线对称轴为直线，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，两点到对称轴距离相等，因此，C说法正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，D说法正确． 二、填空题 6．二次函数图象的顶点坐标是_______，开口方向_______，当x_______时，随的增大而增大； 【答案】 向下 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 通过二次函数的顶点形式，确定顶点坐标、开口方向和增减性． 【详解】二次函数可写为顶点形式 ， ，，， 顶点坐标为，对称轴为， ， 开口向下， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 故答案是：；向下；． 7．二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 二次函数图象开口向下， ， （答案不唯一）． 8．将抛物线的图像先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为__________ 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平移确定点的坐标，二次函数的性质，根据二次函数图像平移规律，向上平移改变y坐标，向右平移改变x坐标，先确定原顶点坐标再依次平移即可． 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为，先向上平移3个单位，顶点坐标变为，再向右平移1个单位，顶点坐标变为． 故答案为：． 9．已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 【答案】< 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合比较与的大小． 【详解】二次函数 中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 该抛物线的对称轴为直线 ， 根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， 已知 ，所以 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 【答案】8 【分析】根据二次函数的对称性及正方形的性质求出点A的坐标，代入计算即可． 【详解】解：如图， ∵A，B是x轴上方抛物线上的两个点，抛物线的对称轴为直线， ∴A，B关于y轴对称， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 即， 将代入得：， 解得：． 三、解答题 11．把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图像． (1)试确定、、的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)，， (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据平移规律，可得答案； （2）根据二次函数的图像性质，可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图像的顶点坐标为， 把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）二次函数，即的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 12．已知函数 (1)指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______； (2)当x______时，y随x的增大而增大； (3)怎样移动抛物线就可以得到抛物线． 【答案】(1)向下，直线， (2) (3)向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移规律，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据二次函数的图象与系数的关系得出开口方向，根据顶点式得出对称轴及顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可以解答本题； （3）根据平移的规律：左加右减，上加下减，可以解答本题． 【详解】（1）解：∵函数，， ∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：向下，直线，； （2）解：∵函数， ∴当时，y随x的增大而增大， 故答案为：； （3）解：将抛物线向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度就可以得到抛物线． 13．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规则与函数图象上点的坐标满足函数解析式等知识，解题关键是依据“关联点”“待定关联点”的定义确定新点坐标，再利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质列等式求解． （1）根据关联点的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入, 得到，解得，即可求得点的坐标； （2）根据待定关联点的定义和图象上点的坐标特征得到然后代入, 得到, 解得, 即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意，得点的关联点为， 由点在抛物线上，可得 又在抛物线上， ， 解得， 将代入得， 点的坐标为； （2）点的待定关联点为 在抛物线的图象上， ， ， 又， ， 当时，， 点的坐标为. 14．如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B，已知A，B两点的坐标分别为，连接． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若将y轴向右平移6个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式． (3)抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在．点P的坐标为或 【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可设抛物线解析式为， 然后把点B代入进行求值即可； （2）根据题意求得平移后抛物线的顶点坐标，然后写出平移后抛物线的解析式； （3）设利用两点间的距离公式得到关于y的方程，通过解方程求得y的值， 进而由抛物线上点的坐标特征得到点P的横坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，. 把点B的坐标代入，得，解得． 所以该抛物线的解析式为：； （2）解：将y轴向右平移6个单位长度后该抛物线的顶点坐标为， 则平移后抛物线的解析式为：. （3）解：存在，理由如下： 设，，、. ，即. ， . ，即， 解得或（舍去）. 则， 解得或． 综上所述，点P的坐标是或． 【点睛】本题考查了二次函数图象的几何变换，二次函数图象上点的坐标特征， 两点间距离公式，以及待定系数法求二次函数解析式. 15．探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)；；（答案不唯一） (3) 【分析】（1）①根据二次函数的顶点式，即可得到顶点坐标． ②同①解答即可． （2）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，根据在轴上和轴上的坐标特征，得到此时的顶点坐标，即可得出答案，当顶点在轴上时根据写出满足条件的解析式即可． （3）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，对称轴和开口方向，根据已知条件得出当时，此时，继而得到当时，的取值范围． 【详解】（1）解：①∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； ②∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； 故答案为：①；②； （2）解：∵二次函数，因为，此二次函数的顶点坐标为， ∴当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 此时二次函数的解析式为， 当时，此时二次函数的解析式为，（答案不唯一） 当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 故答案为：；；（答案不唯一）； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向下，顶点坐标为， ∵与轴平行的直线与交于，两点， ∴该直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，到对称轴的距离相等， 当时，到对称轴的距离为， ∵点在左侧， ∴点的横坐标为， ∴当时，点到对称轴的距离不超过，且点在对称轴左侧， ∴的取值范围为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第09讲二次函数y=a(c-)2+k的图象和性质 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点破方法：典型题型深度拆解 题型1二次函数y=x2+k的图象和性质 题型2二次函数y=a(x-)2的图象和性质 题型3二次函数)y=a(x)2+的图象和性质 题型4二次函数的平移 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.掌握二次函数y=(x-)+k与y=2图象的平移关系（左加右减、上加下 减)。 顶点式、平移、左加 2.能直接说出抛物线的顶点坐标（亿，对、对称轴（直线x=)及开口方 右减、上加下减、顶 向。 点坐标、对称轴。 3.能运用描点法或平移法画出y一(x-)+k的图象，并归纳其性质（增减 性、最值)。 4.体会数形结合与转化的数学思想，提升从一般式到]顶点式的化归意识。 学习重点：顶点坐标(，)与对称轴x=h的确定，以及图象平移的规律。 学习难点：理解平移规律中“左加右减”为什么对x的变化是反向的，以及灵活运用顶点式分析二次 函数的性质。 02 教材全解 ◇知1识1框1架 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 函数解析式 顶点式形式y=a(x-h)?+k 参数条件a0 平移方向混淆 图象画法 平移法 顶点坐标符号错误 高频易错点 五点法（描点法） 对称轴写错 形状抛物线 顶点式识别与应用 对称轴直线x=h 图象特征 平移变换 高频考点 二次函数y=a(x-h)2+k 顶点坐标(h,k) 增减性与最值 的图象和性质 a>0响上 开口方向 左加右减(h) a<0向下 平移规律 上加下减(k) 与y=ax2的关系 la越大开口越小 开口大小 y=ax2-y=a(x-h)2+k 平移方向 la越小开口越大 x<h时y随x增大而减小 a>0 图象性质 x>h时y随x增大而增大 增减性 x<h时y随x增大而增大 a<0 xh时y随x增大而减小 a>0时最小值k 最值 a<0时最大值k 知|识I精I讲 知识点01二次函数=ax2+k的图象和性质 一、基本形式与顶点坐标 -顶点坐标：(0，) -对称轴：x=0(即y轴) - 相当于将y=的图象上下平移k个单位 二、图象特征（取决于a与k) 1.开口方向 -a>0:开口向上→有最小值k -a<0:开口向下→有最大值k 2.开口大小（形状） -由a决定：a越大，抛物线越窄；a越小，抛物线越宽 -形状与y=2完全相同，只是整体上移或下移 3.顶点位置 -始终在y轴上：(O,) -k>0:顶点在x轴上方 -k=0:项点在原点(0,0) -k〈0：顶点在x轴下方 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.与x轴的交点（根的情况） 解方程m+=0宁-k a 条件 交点个数 交点坐标 k >0 2个 to _k =0(即=0) 1个（切点） (0,0) a k 0个 <0 无实数交点 a 5.与y轴的交点 -令x=0→y=k -交点：(0，)一一 正好是项点 三、函数性质 1.定义域：全体实数 2.值域：a>0:y2k;K0:ysk 3.单调性 当a>0时：在x≤0上单调递减：在x之0上单调递增 当a<0时：在x≤0上单调递增：在x≥0上单调递减 4.最值 -a>0:最小值ymm=k(在x=0处) -a〈0：最大值yma=k（在x=0处) 四、与y=x的平移关系 变换 函数 顶点 基础 y=ax2 (0,0) 向上平移k单位(k>0) v=ax2+k (0,) 向下平移k单位(K0) y=ax+k (0,) 注意：只有上下平移，没有左右平移。 五、图象画法 方法（利用对称性）： 1.确定顶点(0，) 2.确定对称轴x=0 3/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.取x=1,2,…计算y 4.利用对称性得到x=-1,-2,.的点 5.平滑连线 【易错提醒】 图象由=2上下平移个单位（心0上移，K0下移）。顶点(0，)，对称轴y轴。注意α决定开口方向与 大小，勿忽略平移方向。 即时即练1.关于二次函数y=-x+4,以下说法正确的是() A.函数图像开口向上 B.y的最大值为4 C.图像的对称轴为直线y=0 D.y随x的增大而减小 1 2.已知函数y=-2x和y=- 3 (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2 -1 0 2 4 1 = 0 3 3 3 3 1 10 7 > 10 y=- 2 … -2 3 3 3 3 知识点02二次函数=ac-)2的图象和性质 一、基本形式与顶点坐标 - 顶点坐标：(h,0) - 对称轴：直线x=h -相当于将y=2的图象左右平移h个单位 二、图象特征（取决于a与h) 1.开口方向 -a>0:开口向上→有最小值0 -a<0:开口向下→有最大值0 2.开口大小（形状） 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -由a决定：a越大，抛物线越窄；a越小，抛物线越宽 -形状与y=2完全相同，只是整体左移或右移 3.顶点位置 -始终在x轴上：(h,0) -h>0:顶点在y轴右侧 -h=0:顶点在原点(0,0) -h<0:顶点在y轴左侧 4.与x轴的交点 解方程a(x-h)2=0今(x-h2)2=0今x=h -只有一个交点（切点）：(，0)一一正好是顶点 5.与y轴的交点 -令x=0y=a(0-h)2=ah2 -交点：(0，a2) 三、函数性质 1.定义域：全体实数 2.值域：a>0:y20; a0:vS0 3.单调性 当a>0时：在xs上单调递减：在x之h上单调递增 当a<0时：在x≤h上单调递增；在x≥h上单调递减 4.最值 -a>0:最小值ymm=0（在x=h处) -a〈0：最大值yax=0(在x=h处) 四、与y=ax2的平移关系 变换 函数 顶点 基础 y=ax (0,0) 向右平移h单位(h>0) y=a(x-h2 (h0) 向左平移h单位(h>0 y=a(x-22 (h,0) >注意：只有左右平移，没有上下平移。 >符号记忆：1(x-h=0)→1(x=h),顶点在正\(h)处。 五、图象画法 方法（利用对称性）： 5/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.确定顶点(，0) 2.确定对称轴x=h 3.取x=ht1,ht2,.计算y 4.平滑连线 【易错提醒】 图象由y=左右平移M个单位(>0右移，K0左移)。顶点(h,0),对称轴x=h。注意平移方向易反 (“左加右减”指解析式内对x的操作)。 即时即练1.对于二次函数y=-2(x+3)的图象，下列说法不正确的是() A.开口向下 B.对称轴是直线x=-3 C.顶点坐标为(-3,0) D.当x<-3时，y随x的增大而减小 2.已知二次函数y -z(-2). y 3 2 -4-3-2-101 23.451 3 4 (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和项点坐标： 3)若-1≤x≤6，求y的取值范围 0 1 2 4 2 1 0 2 2 知识点03二次函数)=a(c-)+k的图象和性质 一、基本形式与顶点坐标 6/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 顶点坐标：(h,) -对称轴：直线x=h -这是二次函数的顶点式，能直接读出顶点位置。 二、图象特征（取决于a,h,) 1.开口方向 -a>0:开口向上→有最小值k a〈0：开口向下→有最大值k 2.开口大小（形状） -al决定开口宽窄：a越大，抛物线越窄；a越小，抛物线越宽 -与y=的形状完全相同，只是位置平移 3.顶点位置 -h控制左右平移：>0向右移，K0向左移 -k控制上下平移：0向上移，K0向下移 4.对称轴：始终是x=,是一条竖直直线 三、函数性质 1.定义域：全体实数 2.值域：a>0:y2k:aK0:yk 3.单调性 当a>0时：在xsh上单调递减；在x之h上单调递增 当a<0时：在xsh上单调递增：在x≥h上单调递减 4.最值 -a>0:最小值ym=k(在x=h处)，无最大值 -a〈0：最大值ymax=k（在x=h处)，无最小值 【易错提醒】 顶点，)，对称轴x=h。注意平移：>0右移，心0上移（“左加右减，上加下减”是对x和y的操作)。1 )决定开口方向与大小。勿混淆顶点坐标符号。 即时即练1.对于抛物线y=7(x-2}-1,下列说法正确的是()· A.图象与y轴无交点 B.当x>O时，随x的增大而增大 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.当x=2时，y有最小值-1 D.图象的项点坐标为(-2，-) 2.已6数y=,y=c+29+2和y=2+2-3. 1 1 2 2 ()在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和项点坐标： 6)试讨论函数y=2x+2-3的性质。 -2 -1 0 1 1 2 0 2 2 -4 -3 -2 -1 0 -x42*2 5 2 4 2 2 列表： -4 -3 -2 -1 0 *2-3 -1 -5 -3 2 知识点04二次函数y=ach)2+k与y=ax°的平移关系 1.左右平移h个单位： -h>0:向右平移h -h<0:向左平移h -得到y=a(x-h)2 2.上下平移k个单位： -k>0:向上平移k -k<0:向下平移k -最终得到y=ax-h)+k >注意顺序：先左右，后上下。 8/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错提醒】 =2向右平移h单位得=ac-)(h>0),向上平移k单位得y=2+k。注意“左加右减”是x替换为 x+h;“上加下减”直接加在常数项。勿反方向。 即时即练1.将二次函数y=2(x-3)'+1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得 图象的函数解析式为 2.把抛物线)=a(x+)+k先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y=(+-1. (I)试确定a,h,k的值； (2)若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式. 03 题型突破 题型1二次函数y=a心2+k的图象和性质 【例1】对于抛物线y=2x2-1,下列结论不正确的是() A.对称轴是y轴 B.与x轴没有交点 C.有最小值-1 D.当x>1时，y随x增大而增大 【例2】抛物线y=2x2,y=-2x2-1,y=-x2+3共有的性质是( ) A.开口向上 B.顶点坐标都是(0,0) C.对称轴是y轴 D.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 【技巧归纳】 抛物线y=x2+k以y轴为对称轴，顶点(0，)。决定开口方向与大小，心0开口向上，K0向下：k决定 上下平移。利用顶点坐标直接分析最值、单调性、平移规律。 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】对于抛物线y=-2x2+4,下列结论正确的是() A.该函数图象开口向上： B.当x>0时，y随x的增大而减小： C.当x=0时，取得最小值y=4； D.当-2<x≤1时，y的取值范围是4<y≤2 【变式1-2】【探究】如图，已知抛物线y=-x+4. (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (②)该抛物线y=-x2+4可由抛物线y=-x向平移 个单位得到： 3)当-1≤y≤3时，x的取值范围是 题型2二次函数y=(c-)的图象和性质 【例3】已知抛物线y=(x+3),下列结论错误的是() A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=-3 C.抛物线的顶点坐标为(3,0) D.当x<-10时，y随x的增大而减小 【例4)对于二次函数y=-2(x+3)的图象，下列说法正确的是() A.开口向上 B.当x>-3时，y的值随x值的增大而减小 C.对称轴是直线x=3 D. 顶点坐标为(-2，-3) 【技巧归纳】 抛物线y=化)2顶点(，0)，对称轴x=。a决定开口方向与大小，决定左右平移。函数在x=h处取最值 0;增减性以对称轴为界。平移规律：左加右减（对x)。 10116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式21】对于二次函数y=-3(x+3)的图象，下列说法错误的是() A.顶点坐标为(-3,0) B.x≥-3时，y的值随x值的增大而减少 C.对称轴为x=-3 D.函数的最小值为0 【变式22】已知二次函数y=(x-),函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： -1 0 2 3 y … 4 0 … 5 3 2 -2-1 1234 (1)= 顶点坐标为 (2)在图中画出二次函数的图像， 3)当x 时，y随x增大而减小，当x 时，y随x增大而增大. 题型3二次函数y=a(x-)2+k的图象和性质 【例5】对于二次函数y=-3(x-1)+7,下列结论正确的是() A.当x=-1时，少有最大值为7 B.图象的对称轴是直线x=1 C.图象的对称轴是直线x=-1 D.当x>1时，y随x的增大而增大 【例6)关于二次函数y=-(+2)-3,下列结论错误的是()· A.图象开口向下 B.最小值为-3 C.对称轴为直线x=-2 D.顶点为（-2，-3) 【技巧归纳】 顶点式：顶点，)，对称轴=。决定开口方向与大小，心0开口向上有最小值k,<0向下有最大值 k。平移：左右，k上下。增减性以对称轴为界，可直接得最值。 【变式3-1】已知二次函数y=a(x+1+2(其中a是常数，且a≠0)，下列叙述中正确的是() A,当a>0时，二次函数图象开口向下B.二次函数图象与y轴的交点的坐标为(0,2) 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.顶点坐标是(-1,2) D.当a<0时，顶点是二次函数图象的最低点 【变式3-2】已知抛物线Z:y=a(c-m)°-2经过点(m+l,-),其顶点为M (1)用含m的式子表示： ①直接写出顶点M的坐标_； ②直接写出点(m+山，-)关于抛物线L的对称轴对称的点的坐标： ③求抛物线L的表达式， (②)当m=1时，求与抛物线L关于直线y=2成轴对称的抛物线T的表达式（结果用二次函数的一般式表 示). )规定：抛物线工与直线1：y=-2m所围成的封闭图形的边界上，纵坐标为整数的点叫做“美点”.当 2≤m<1时，直接写出封闭图形边界上“美点”的个数， 题型4二次函数的平移 【例7】将抛物线y=x-3先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点 坐标为 【例8】将抛物线y=2(x-3)+3向右平移2个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的顶点坐标为 【技巧归纳】 平移口诀：左加右减（对x),上加下减（对整体）。从y=2变为y=c)2+k,即先平移单位（左正 右负)，再平移k单位（上正下负）。注意符号与平移方向。 【变式41】抛物线y=2x'-1向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的顶点坐标为- 12116 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式42】将抛物线y=a(x-h)+k先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线 y=-2x2 (I)求a,h,k的值： (2)指出抛物线y=a(x-h)+k的开口方向、对称轴和顶点坐标： (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值. 04过关检测 一、单选题 1.抛物线y=-3(c+1)+2的顶点坐标是（) A.(1,2) B.（-1,2) C.（-3,2) D.（-3,1) 2.已知点（山，y)(4,)都在二次函数y=-(-+c的图象上，则为的大小关系是(） A.当<y2 B.=y2 C.y>2 D.无法确定 3.已知抛物线y=2(x-2),下列说法不正确的是() A.开口向上 B.对称轴是直线x=-2 C.顶点坐标为(2,0) D.当x<2时，y随x的增大而减小 4.下列关于抛物线y=-x+1的说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴为x=1 C.顶点坐标为(-l,-) D.由抛物线y=-x向上平移一个单位得到 5.抛物线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误 的是() A.抛物线开口向上 13116 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.顶点坐标为(-1,2) C.若点(3，)和点(-山，2)都在抛物线上，则y=乃2 D.当x<0时，'随x的增大而减小 二、填空题 6.二次函数y=-(x+1)+2图象的顶点坐标是」 一，开口方向一，当x时，y随x的增大 而增大： 7.二次函数y=a(x-)+6,当x<l时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值 8.将抛物线y=x+2的图像先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为 9.己知点A(,)、B(:,)在二次函数y=(x-+1的图象上，若1>x>x,则y2(填“>”、 “<”或“=”) 10.如图，在平面直角坐标系中，A,B是x轴上方抛物线y=-x+C上的两个点，C,D是x轴上的两个 点.若四边形ABCD是边长为4的正方形，则c的值为 三、解答题 11.把二次函数y=(x-h)+k的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数 +-1的网像， (1)试确定a、h、k的值： (②)指出二次函数y=a(x-h+k的开口方向、对称轴和顶点坐标. 12.己知函数y= +-2 (1)指出函数图象的开口方向是 ,对称轴是 一，顶点坐标为一； (2)当x时，y随x的增大而增大； 14116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)怎样移动抛物线y=- 2就可以得到抛物线y=2C+)-2。 13.在平面直角坐标系中，将点(a,b-a)定义为点P(a,b)的“关联点”.如图，点A(x,)在函数y=x 的图象上，点A的“关联点”是点A. 1)如果点4在函数y=x2-2的图象上，求点4的坐标： (②)将点B(a,b-n@)称为点P(a,b)的“待定关联点”（其中n≠0)如果点A(x,y)的“待定关联点”4在函 数y=x2-n的图象上，试用含n的代数式表示点A的坐标， 14.如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B,己知A,B两点的坐标分别为(3,0)，(0,4)，连接AB. B(0,4) :A(3,0) ()求抛物线对应的函数解析式。 (2)若将y轴向右平移6个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式、 )抛物线上是否存在一点P,使得AB=AP？若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由. 15.探究下列问题： ()写出下列二次函数的顶点坐标. ①y=x2-5的顶点坐标为： 2 ②y=-4(x-3的顶点坐标为· 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”， 2)继续研究发现，对于y=a(x-h°+k,因为a≠0，当_=0时，y=a(x-h)+k的顶点在x轴上；当_=0时， y=(-)+k的顶点在y轴上.请你写出一个顶点在x轴上的二次函数解析式：-· B)与x轴平行的直线与y=-4(-3交于M,N两点（点M在点N的左侧），若MN≤8，请直接写出 15116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M点横坐标xM的取值范围. 16/16