重难点02 一元二次方程：应用题专项（2大知识点+9大题型培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

重难点02 一元二次方程：应用题专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 一元二次方程应用题解题基本步骤 知识点二 一元二次方程应用题主要涉及的公式 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 传播问题 题型2 增长率问题 题型3 与图形有关的问题 题型4 数字问题 题型5 营销问题 题型6 动态几何问题 题型7 工程问题 题型8 行程问题 题型9 握手、循环赛问题 常考考点 命题风向 · 实际场景建模与方程列写能力：从文字题干中提取核心等量关系，合理选择直接设元或间接设元，正确列出一元二次方程，覆盖增长率、销售利润、几何面积、传播分支、数字数位等全类主流题型，是本专题的核心基础考点。 · 经典题型模型与公式应用：熟练掌握平均增长率 / 下降率、价量联动利润、等宽边框 / 靠墙围栏、两轮传播等核心模型的对应公式，快速匹配题型完成方程构建，是本专题的核心运算考点。 · 方程根的实际意义检验：结合生活实际约束与题干限定条件，对求解得到的两个根进行合理性筛选，舍去负根、超出取值范围、不符合现实逻辑的增根，是本专题最高频的易错考点，也是得分的关键细节。 · 动点几何面积综合应用：结合动点运动路径与速度，用时间参数表示线段长度，根据面积等量关系列一元二次方程，同时验证动点的运动边界与取值范围，是代数与几何融合的中档区分考点。 · 跨模块综合建模：将一元二次方程与工程、行程、数字规律等问题结合，通过数量关系转化构建二次等量关系，考查知识迁移能力与综合问题分析能力。 · 基础命题：以单一题型独立考查为主，如直接求解平均增长率、基础图形面积计算、简单传播问题，题干条件清晰、等量关系直白，多以选择题、填空题或解答题首问形式出现，侧重基础建模能力与解方程基本功，难度偏低。 · 综合命题：以销售利润、几何面积两大核心题型为载体，叠加多重限制条件，如价量联动结合利润定值、图形裁剪 / 围栏结合边长约束、动点运动结合面积条件，要求学生完成设元、列方程、求解、验根全流程，常以解答题中档题形式呈现，考查综合分析与运算能力。 · 素养命题：依托真实生活情境（如经济促销、疾病传播、工程建设、环保改造）、古代数学问题、开放性设问命题，弱化固定套路化的公式套用，突出数学建模、逻辑推理与实际问题解决的核心素养，贴合中考情境化、应用化的命题趋势。 考情解码： · 模块地位：本专题是九年级上册一元二次方程模块的核心重难点，承接一元一次方程、二元一次方程组的应用体系，是方程思想在二次场景的落地延伸，同时也是后续二次函数实际应用、一元二次不等式的重要知识基础，在初中代数应用体系中具备承上启下的关键作用。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，题型覆盖选择、填空、解答三类，分值占比 10%–15%；中考中属于方程与不等式模块的高频考点，多以中档解答题单独命题，或与二次函数应用结合出题，分值 8–10 分。 · 高频考法：平均增长率 / 下降率问题、销售利润价量联动问题、几何面积类（等宽边框、靠墙围栏）问题考查频次最高，是解答题的核心命题方向；传播分支、数字数位问题多以基础选择、填空题形式出现；动点几何面积综合常作为解答题的中档压轴小问。 · 失分规律：等量关系理解偏差导致方程列写错误、求解后未检验实际意义保留增根、设元与作答遗漏单位、价量变动方向搞反、几何问题忽略边长取值约束，是五大核心失分点；其中增根未舍去与等量关系构建错误，是学生最普遍的丢分原因。 知识点一 一元二次方程应用题解题基本步骤 （1）审：弄清题意，梳理题目中的已知量、未知量，识别题型特征，找准核心等量关系，抓取关键限定条件（如边长为正、价格变动为整数、增长率取值范围等）； （2）设：根据题意合理选择直接设元或间接设元，通常设基础量、单位变动量为未知数（如平均增长率为x、每件降价x元），规范书写单位； （3）列：依据题型对应的数量关系，用含未知数的代数式表示各关联量，代入等量关系列出一元二次方程，确保方程两边单位统一； （4）解：选用直接开平方法、配方法、公式法或因式分解法求解方程，得到两个实数根； （5）验：先检验方程求解是否准确，再验证根的实际意义 —— 长度、价格、时间、人数必须为正数，增长率 / 下降率需符合现实范围，舍去不符合题意的增根； （6）答：规范书写完整答案，对应题目问题作答，标注清楚单位。 知识点二 一元二次方程应用题主要涉及的公式 （一）传播与分支问题 基本数量关系：每轮传播/生长数量呈倍数递增，两轮后形成二次关系。 1. 两轮传播公式：初始传染源数量为a，每轮每人传染x人，两轮传播后总患病人数为b，则 a(1+x)^2 = b； 2. 分支生长公式：1个主干长出x个枝干，每个枝干再长出x个小分支，总分支数（含主干）为 1 + x + x^2； 3. 握手/互赠问题： · 两两握手（不重复）：n人总握手次数为 ； · 互送礼物（双向）：n人总礼物数为 。 （二）平均增长率与下降率问题 基本数量关系：以基础量为基数，每期按固定比率增长或下降，两期后形成平方关系。 1. 平均增长率：基础量为a，平均增长率为x，两次增长后总量为b，则 a(1+x)^2 = b； 2. 平均下降率：基础量为a，平均下降率为x，两次下降后总量为b，则 a(1-x)^2 = b； 3. 累计总量：连续两期累计总量 = 第一期数量 + 第二期数量，即 a + a(1+x) = 累计值。 （三）几何面积问题 基本数量关系：图形边长含未知数，长与宽均含一次项，面积为二次表达式。 1. 基础面积公式： · 长方形面积 = 长 × 宽；正方形面积 = 边长²； · 三角形面积 = 1/2 × 底 × 高；梯形面积 =1/2 × (上底 + 下底) × 高。 2. 等宽边框/修路问题： · 长方形长a、宽b，四周修等宽x的边框/道路，内部剩余面积为S，则 (a-2x)(b-2x) = S； · 长方形内横向、纵向各修一条等宽x的道路，剩余面积为S，则 (a-x)(b-x) = S。 3. 靠墙围栏问题：一面靠墙围长方形，围栏总长为L，垂直于墙的边长为x，面积为S，则 x(L-2x) = S。 （四）销售利润问题 基本数量关系：单价变动带动销量反向变动，单件利润与销量均含一次项，总利润为二次表达式。 1. 核心基础公式： 单件利润 = 售价 - 进价（成本）； 总利润 = 单件利润 × 销售数量； 总销售额 = 单价 × 销售数量； 利润率 = 利润 ÷进价 × 100%。 2. 价量联动公式： · 基础售价m元，销量n件；每降价x元，销量增加k件，总利润W： W = (m - 进价 - x)(n + kx)； · 每涨价x元，销量减少k件，总利润W： W = (m - 进价 + x)(n - kx)。 （五）动点几何问题 基本数量关系：动点运动路程含时间一次项，底与高均随时间变化，面积形成二次关系。 1. 动点路程公式：动点运动时间为t，速度为v，运动路程 = v t，线段长度 = 原长 ± 运动路程； 2. 面积等量关系：运动t秒后，目标图形面积为定值，代入对应面积公式列一元二次方程； 3. 取值约束：线段长度恒为正，动点不超出线段边界，求解后需验证t的取值范围。 （六）数字问题 基本数量关系：多位数数值由数位数字与数位权重组合而成，数字对调、乘积关系形成二次方程。 1. 多位数表示： 两位数：十位数字为a，个位数字为b，数值 = 10a + b； 三位数：百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，数值 = 100a + 10b + c。 2. 连续数表示： 连续整数：n，n+1； 连续偶数/奇数：n，n+2。 （七）工程与行程问题 基本数量关系：工作时间/速度为未知数，效率与时间、速度与时间互为倒数关系，形成分式方程后可转化为一元二次方程。 1. 工程问题： 工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 合作总效率 = 各主体工作效率之和； 常将总工作量记为单位“1”，单主体效率 = 1÷单独完成时间。 2. 行程问题： 路程 = 速度 × 时间； 相遇总路程 = 速度和 × 相遇时间； 追及路程 = 速度差 × 追及时间。 题型1 传播问题 【例1】有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 【变式训练1-1】秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 【变式训练1-2】冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以的平方，即可作答． 【详解】解：∵初始患病人数为1， ∴第一轮传染后，患病人数为 ∴第二轮传染时，有人，每人传染x人， ∴ 新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为， 又∵ 两轮后共有16人患流感， ∴， 故选：A 【变式训练1-3】数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 题型2 增长率问题 【例2】某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设前年该工厂的利润为单位，分别用两种方式表示今年的利润，根据相等关系列出方程即可． 【详解】设前年该工厂的利润为单位， ∵去年利润比前年减少，今年计划比去年增长， ∴今年计划完成后的利润为 ； ∵两年平均增长的百分数为，即从前年到今年经过两年平均增长，年均增长率为， ∴今年的利润也可表示为 ； 由于两种方式表示的今年利润相等，因此可得方程． 【变式训练2-1】某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 【变式训练2-2】某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平均增长率问题，从三月份到五月份，销量经过两次匀速增长，根据初始销量和五月份的最终销量列方程即可． 【详解】解：∵三月份销量为杯，每月销量的平均增长率为， ∴四月份销量为杯， ∴五月份销量在四月份基础上增长，可得五月份销量为， 又∵已知五月份销量为杯， ∴可列方程为． 【变式训练2-3】第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 【答案】 【分析】先设月平均增长率为，根据4月和6月的销售量列出方程，即可求解． 【详解】解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴． 答：吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 题型3 与图形有关的问题 【例3】如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ． 【变式训练3-1】对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 【变式训练3-2】我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长与宽的和表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可 【详解】解：设长为步，长和宽的和为步 宽为步 矩形面积长宽，已知矩形面积为平方步 可列方程为 【变式训练3-3】如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 【答案】(1)米 (2)花圃的长为9米，宽为5米 (3)解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵宽米， ∴长（米）； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． （3）略 题型4 数字问题 【例4】为免费领取第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”和“赛努”，小康和小明参与了转发集赞活动．已知两人集赞的数量为相邻的偶数，且两数之积为960，则小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设小康和小明两人所集赞数量为，根据两数之积为960，进而建立方程求解即可． 【详解】解：设小康和小明两人所集赞数量为，根据题意： 整理得： 解得：（舍去，不符合题意）， 则（个） 小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是， 故选：D． 【变式训练4-1】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：D． 【变式训练4-2】已知正实数a，b，c满足（均不为整数），且．在a，b之间所有的整数依次记为，，，…，；在b，c之间所有的整数依次记为，，，…，，其中m，n为正整数，且．下列说法： ①当时，c的取值范围为：，且； ②a，c之间共有6个整数； ③若（k为正整数），，则． 其中正确的个数是（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化知识，根据数轴上两点距离列出一元二次方程是解题关键． 根据题意及不等式性质即可判断①；结合不等式性质即可判断②；根据题意得出a，c之间共有个或个整数，分三种情况：当时，当时，当时，分别根据题意列出一元二次方程，再计算即可． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∵正实数a，b，c满足（均不为整数）， ∴，故①正确； ②， ∴， ∴a，c之间共有个或个整数，故②错误； ∵若（k为正整数），，， ∴当时， a，c之间有个整数， 则a，b之间的个整数设为，，， b，c之间的个整数为，，，， ， 或． 当a、c上有个整数，，无整数解． 当时，a、c间有个整数， 则a，b之间的个整数设为，，，， b，c之间的个整数为，，， ， 或， 当，a、c间有个整数时， 则a，b之间的个整数设为，，，， b，c之间的个整数为，， ，无整数解； 当时， 则a，b之间的个整数设为，，，，， b，c之间的个整数为，， ，无整数解 或，无整数解 当时， 则a，b之间的个整数设为，，，，，， b，c之间的个整数为， ，无解． 综上所述，或或， 则或或． ，或 是正整数． ，故③错误； 故选：B． 【变式训练4-3】如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键． 根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数． 【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， 故选：C． 题型5 营销问题 【例5】直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每件商品利润月销售量”列方程，分别用表示出每件利润和实际月销售量，即可得到对应方程． 【详解】解：∵设销售单价定为元，成本为每件元， ∴每件商品的利润为元， 销售单价相比元上涨了元， ∵已知销售单价每涨元，月销售量减少件， ∴月销售量减少件，实际月销售量为件， ∵要求每月盈利元，总盈利每件利润销售量， ∴可列方程为． 【变式训练5-1】山西文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．如图，某玩具厂将应县木塔、太原晋祠等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．该玩具厂以每个16元的价格批发给经销商，某经销商愿意经销800个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低1元，则愿意多经销100个．该玩具厂要想使生产的这种古建毛绒玩具的批发额达到14400元，每件玩具应降价多少元？设每件玩具降价元，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由每件玩具降价x元，得降价后的批发单价为元，根据“销售量=原销量+多经销的销量”得销售量为件，根据“批发额=销售量×批发单价”列出关系式即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 【变式训练5-2】某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． (1)关于的函数解析式为 ； (2)若销售单价不低于元时，求最大销售量； (3)若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 【答案】(1) (2) 个 (3) 不能达到 【分析】（1）根据降价金额与销量增加的关系，推导y与x的函数解析式； （2）利用一次函数的增减性，结合自变量的取值范围，求出最大销售量； （3）根据总利润单个利润销售量列方程，通过判断方程是否存在实数解，得到能否达到目标利润的结论. 【详解】（1）解： 由题意可得，销售单价为元时，降价金额为元， 每降价1元多卖出2个，因此多卖出的销量为个， 总销量， 整理得； （2）解：由题意得，结合(1)可得， 函数中，， ∴随的增大而减小， 当取最小值时，取得最大值， 将代入得； 答：最大销售量为（个）. （3）解：由题意， ， 展开整理得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴不存在满足条件的销售单价； 答：该网店不能达到元的利润. 【变式训练5-3】智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1) (2)404元 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去） 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． （2）解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 题型6 动态几何问题 【例6】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）略 【变式训练6-1】如图，四边形中，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒（）． (1)连接　　,　　,(用含t的代数式表达)，当　　时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到．在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， (3) (4)存在， 【分析】（1）由知，从而得，根据四边形为平行四边形知，据此列出方程求解可得； （2）由沿翻折得，知，据此得时有四边形为菱形，从而列出关于t的方程，解之可得； （3）由可得，利用得到y与之间的关系式； （4）将四边形和三角形的面积表示出来，使，可得，解一元二次方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：存在， 理由如下：∵将沿翻折得， ∵， ∴当时有四边形为菱形， ∴， 解得， ∴，使四边形为菱形． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （4）解：存在， 理由如下：当时， ， ∴， 解得：， 又∵时D、M重合不能形成四边形， ∴秒时有四边形与面积相等． 【变式训练6-2】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 【变式训练6-3】如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用含的式子表示三角形底与高，代入面积公式列方程，舍去负根即可求出的值； （2）利用长方形对边平行得到，结合角平分线条件推导出，得到，用表示，在中利用勾股定理列出关于的方程求解，即可得到点坐标； (3)先写出三点坐标，借助平面内两点距离公式写出、、三条边长代数式，分、、三类情况列方程求解，舍去不符合实际运动意义的根，即可得到所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：如图，由题意得，， ， 当的面积为时， ，解得或（不合题意，舍去）， 即当时，的面积为； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 即或， ∴此时点的坐标为或； （3）解：由题意得，，， ∴，，， 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ①，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； ②，则 ， 解得或； ③，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，或或或． 题型7 工程问题 【例7】为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 【变式训练7-1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 【变式训练7-2】随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨． （1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？ （2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值． （3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？ 【答案】（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨；（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和 【分析】（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水吨，列出方程求解即可； （2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程； （3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可． 【详解】（1）解：设漫灌方式每亩用水吨，则 ， ， 漫灌用水：， 喷灌用水：， 滴灌用水：， 答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨． （2）由题意得， ， 解得（舍去），，所以． （3）节省水费：元， 维修投入：元， 新增设备：元， ， 答：节省水费大于两项投入之和． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正确列式计算是解题关键． 【变式训练7-3】全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 题型8 行程问题 【例8】在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【变式训练8-1】已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；    (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值． 【答案】(1) (2)该车刹车后秒内向前滑行了米 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：依题意，， ，， 则 依题意，， 即 解得：或（舍去） 答：该车刹车后秒内向前滑行了米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，求得一次函数解析式是解题的关键． 【变式训练8-2】周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间． 【变式训练8-3】一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 【答案】(1) (2)飞机滑行的最远距离为 (3)此时飞机的滑行速度是 (4)飞机滑行过程中有碰撞通勤车的危险． 【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值；理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）设y关于t的函数解析式为，利用待定系数法求解，令，即可求出t的取值范围即可； （2）根据滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，代入数值计算即可求解； （3）根据行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，即，建立关于t的一元二次方程即可求解； （4）设飞机滑行的距离为，求出飞机滑行的距离与时间t的关系式，由飞机滑行的时间内，根据通勤车与飞机之间的距离，建立关于t的方程，在飞机滑行的时间内，看飞机能否追上通勤车即可得出结论． 【详解】（1）解：设y关于t的函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， y关于t的函数解析式为， 当时，则， 解得， y关于t的函数解析式； （2）解：根据题意：飞机滑行的最远距离为， 答：飞机滑行的最远距离为； （3）解：，， ，即， 解得：或（舍去）， 答：此时飞机的滑行速度是； （4）解：设飞机滑行的距离为， 则飞机滑行的距离与时间t的关系式为：， 通勤车与飞机之间的距离为：， 令通勤车与飞机之间的距离0，则，即， 解得或（舍去）， 在飞机滑行时，通勤车与飞机之间的距离为0， 飞机滑行过程中有碰撞通勤车的危险． 题型9 握手、循环赛问题 【例9】在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【答案】C 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． 【变式训练9-1】为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 【变式训练9-2】2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 【变式训练9-3】某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，乐乐列出的方程应该是：， ∴， 整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法正确； 故答案为：； （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得，（舍去）， ∴x的值为10． 1．已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每盆总株数平均单株盈利”，分别表示出每盆总株数和平均单株盈利，即可列出方程． 【详解】解：设每盆多植株， ∵原来每盆植3株， ∴现在每盆总株数为株， ∵每增加1株，平均每株盈利减少元， ∴增加株后，平均单株盈利为元， ∵要求每盆盈利达到20元， ∴列出方程为 ． 2．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像上部高米，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的定义．根据黄金分割的比例关系，结合所设未知数列出比例式，再整理为一元二次方程即可． 【详解】解：∵设雕像上部高米，雕像总高为2米 ∴下部高为米 ∵上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比 ∴ 交叉相乘得： 展开右边得： 移项合并同类项得： 故选：B． 3．河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为1.6米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为米，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握从实际问题中抽象出直角三角形模型并运用勾股定理是解题的关键．先根据题意构建直角三角形模型，再利用勾股定理列出方程． 【详解】解：∵ 设这根芦苇的长度为米， ∴ 水深为米， ∵ 芦苇倒向水面后，水深、芦苇移动的水平距离与芦苇长度构成直角三角形，其中芦苇长度为斜边， ∴ 根据勾股定理得：， 故选：B． 4．五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】(1)路面设置的宽度符合要求 (2)从购买草莓客户的角度应该降价元 (3)该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 5．固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长率问题的规律列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵初始能量密度为，每轮平均增长率为，共经过两轮迭代， ∴第一轮迭代后能量密度为，第二轮迭代后能量密度为， 又∵两轮迭代后能量密度为， ∴可列方程为． 6．近年来，延庆区大力发展低空旅游产业．延庆文旅将分散的长城资源串联成线，打造世界级长城大景区，让更多人领略“空中瞰长城”的震撼，八达岭机场是“空中瞰长城”的起飞地，从2026年3月起客流逐月递增．3月份直升机的总飞行时长约为119.2小时，5月份直升机的总飞行时长约为176.8小时．设直升机每月飞行时长的平均增长率为x，则下列所列的方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均增长率的计算方法，从初始月份开始逐步推导目标月份的飞行时长，结合已知条件列出方程即可． 【详解】解：∵3月份总飞行时长为小时，每月平均增长率为， ∴4月份总飞行时长为小时， ∴5月份总飞行时长为小时， 又∵已知5月份总飞行时长为小时， ∴可列方程． 7．随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动汽车今年月份的销量为辆，由于国补政策的连月升温，月份的销量比月份增加了辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率表示出月份的销量，结合题目中月份销量与月份销量的关系列出方程，即可得到正确选项． 【详解】设每个月销量的平均增长率为， 月份销量为辆， 月份销量为辆， 月份销量为辆， 又月份销量比月份增加辆，即月份销量为辆， 可得方程． 8．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量后根据总产量列方程． 【详解】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 9．某商品每件的售价为121元，经过两次降价后每件的售价为81元，设该商品两次降价的平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解题思路是根据降价过程依次表示两次降价后的价格，再结合题意列方程． 【详解】解：∵已知商品原价为121元，两次降价的平均下降率为， ∴第一次降价后的价格为， 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次下降， 因此第二次降价后的价格为， 又∵两次降价后售价为81元， ∴可列方程为， 因此选A． 10．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用增长率问题的基本关系，即初始投入乘以平均年增长率的年数次方等于最终投入，即可得到正确方程. 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为亿元，从2023年到2025年共经过年， ∴2024年研发投入为亿元， 2025年研发投入为亿元， 又∵2025年研发投入为亿元， ∴列方程得. 11．甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出原来的采摘个数，根据甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是列出，再根据乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是列出，最后根据提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍列出方程求解即可． 【详解】设甲、乙原来每分钟采摘苹果的个数为，其中， 根据题意列方程：， ，两边约去得：， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得，（舍）， 答：的值为． 12．一款服装每件进价为70元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元． (1)每天销售量增加____________件，每件服装盈利_______________元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1600元？ 【答案】(1) (2)降价30元 【分析】（1）根据每件降价1元，多售出2件，降价x元则销售量增加件，原每件盈利50元，降价后每件盈利元； （2）根据每件利润×销售量=总盈利列一元二次方程，求解后结合让利于顾客的条件选择较大的降价幅度． 【详解】（1）解：∵每件降价1元，多售出2件， ∴降价x元，则销售量增加件， ∵原每件进价为70元，销售价为120元， ∴原每件盈利50元， ∴降价x元，则每件服装盈利元． （2）解：由题意可知：每件服装的销售利润为元，平均每天的销售量为件，     则由题意得：，整理得：，     解得：． 又∵需要让利于顾客， ．    答：每件服装降价30元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1600元． 13．某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． (1)设售价为x元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； (2)若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)售价定为70元 【分析】（1）根据当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件，得出（，且x为整数），即可作答． （2）分别表示出单件利润为元，销售量为件，再结合利润=单件利润×销售量进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（，且x为整数）； （2）解：依题意， 整理得： ∴ 解得 ∴售价定为70元． 14．阅读材料：我国古代数学家赵爽所作《勾股圆方图注》利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法．以方程为例，变形得，如图1，取四个全等矩形，邻边为x和，每个矩形面积为15．把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形．由面积关系：大正方形面积四个矩形面积中间小正方形面积，即，解得正数解． 【应知必会】 (1)如图2，结合材料中的弦图解法，对方程变形得，拼接图形后，下列说法正确的有________（多选） A．所用矩形的长为，宽为x    B．中间小正方形的边长为3，面积为9 C．外围大正方形的边长为    D．四个矩形的总面积为10 【实战演练】 (2)如图3，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为20，中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x，列出形如的方程，则________，________． 【拓展拔高】 (3)如图4，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．求原矩形两条边的长度． 【答案】(1)ABC (2)1；6 (3)原矩形的长和宽分别为6和4 【分析】（1）根据方程变形及题意，结合图形依次判断即可； （2）根据题意得出矩形较长边长为：，大正方形的边长为：，然后建立方程求解得出，再结合题意代入求解即可； （3）设矩形较短边长为m，较长边长为n，得出大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，然后建立方程得出，再将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．确定，联立求解即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意：方程变形得， A．所用矩形的长为，宽为x，正确，符合题意； B．中间小正方形的边长为，面积为，正确，符合题意； C．外围大正方形的边长为，正确，符合题意；     D．四个矩形的总面积为，选项错误，不符合题意； （2）解：∵中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x， ∴矩形较长边长为：， ∴大正方形的边长为：， ∵大正方形的周长为20， ∴， 解得：， ∴， ∴形如的方程为， 即； （3）解：设矩形较短边长为m，较长边长为n， ∴大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， ∵大正方形面积与内部小正方形面积之和为104， ∴①， ∵将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24． ∴②， 联立①②， 解得：， ∴原矩形的长和宽分别为6和4． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点02 一元二次方程：应用题专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 一元二次方程应用题解题基本步骤 知识点二 一元二次方程应用题主要涉及的公式 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 传播问题 题型2 增长率问题 题型3 与图形有关的问题 题型4 数字问题 题型5 营销问题 题型6 动态几何问题 题型7 工程问题 题型8 行程问题 题型9 握手、循环赛问题 常考考点 命题风向 · 实际场景建模与方程列写能力：从文字题干中提取核心等量关系，合理选择直接设元或间接设元，正确列出一元二次方程，覆盖增长率、销售利润、几何面积、传播分支、数字数位等全类主流题型，是本专题的核心基础考点。 · 经典题型模型与公式应用：熟练掌握平均增长率 / 下降率、价量联动利润、等宽边框 / 靠墙围栏、两轮传播等核心模型的对应公式，快速匹配题型完成方程构建，是本专题的核心运算考点。 · 方程根的实际意义检验：结合生活实际约束与题干限定条件，对求解得到的两个根进行合理性筛选，舍去负根、超出取值范围、不符合现实逻辑的增根，是本专题最高频的易错考点，也是得分的关键细节。 · 动点几何面积综合应用：结合动点运动路径与速度，用时间参数表示线段长度，根据面积等量关系列一元二次方程，同时验证动点的运动边界与取值范围，是代数与几何融合的中档区分考点。 · 跨模块综合建模：将一元二次方程与工程、行程、数字规律等问题结合，通过数量关系转化构建二次等量关系，考查知识迁移能力与综合问题分析能力。 · 基础命题：以单一题型独立考查为主，如直接求解平均增长率、基础图形面积计算、简单传播问题，题干条件清晰、等量关系直白，多以选择题、填空题或解答题首问形式出现，侧重基础建模能力与解方程基本功，难度偏低。 · 综合命题：以销售利润、几何面积两大核心题型为载体，叠加多重限制条件，如价量联动结合利润定值、图形裁剪 / 围栏结合边长约束、动点运动结合面积条件，要求学生完成设元、列方程、求解、验根全流程，常以解答题中档题形式呈现，考查综合分析与运算能力。 · 素养命题：依托真实生活情境（如经济促销、疾病传播、工程建设、环保改造）、古代数学问题、开放性设问命题，弱化固定套路化的公式套用，突出数学建模、逻辑推理与实际问题解决的核心素养，贴合中考情境化、应用化的命题趋势。 考情解码： · 模块地位：本专题是九年级上册一元二次方程模块的核心重难点，承接一元一次方程、二元一次方程组的应用体系，是方程思想在二次场景的落地延伸，同时也是后续二次函数实际应用、一元二次不等式的重要知识基础，在初中代数应用体系中具备承上启下的关键作用。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，题型覆盖选择、填空、解答三类，分值占比 10%–15%；中考中属于方程与不等式模块的高频考点，多以中档解答题单独命题，或与二次函数应用结合出题，分值 8–10 分。 · 高频考法：平均增长率 / 下降率问题、销售利润价量联动问题、几何面积类（等宽边框、靠墙围栏）问题考查频次最高，是解答题的核心命题方向；传播分支、数字数位问题多以基础选择、填空题形式出现；动点几何面积综合常作为解答题的中档压轴小问。 · 失分规律：等量关系理解偏差导致方程列写错误、求解后未检验实际意义保留增根、设元与作答遗漏单位、价量变动方向搞反、几何问题忽略边长取值约束，是五大核心失分点；其中增根未舍去与等量关系构建错误，是学生最普遍的丢分原因。 知识点一 一元二次方程应用题解题基本步骤 （1）审：弄清题意，梳理题目中的已知量、未知量，识别题型特征，找准核心等量关系，抓取关键限定条件（如边长为正、价格变动为整数、增长率取值范围等）； （2）设：根据题意合理选择直接设元或间接设元，通常设基础量、单位变动量为未知数（如平均增长率为x、每件降价x元），规范书写单位； （3）列：依据题型对应的数量关系，用含未知数的代数式表示各关联量，代入等量关系列出一元二次方程，确保方程两边单位统一； （4）解：选用直接开平方法、配方法、公式法或因式分解法求解方程，得到两个实数根； （5）验：先检验方程求解是否准确，再验证根的实际意义 —— 长度、价格、时间、人数必须为正数，增长率 / 下降率需符合现实范围，舍去不符合题意的增根； （6）答：规范书写完整答案，对应题目问题作答，标注清楚单位。 知识点二 一元二次方程应用题主要涉及的公式 （一）传播与分支问题 基本数量关系：每轮传播/生长数量呈倍数递增，两轮后形成二次关系。 1. 两轮传播公式：初始传染源数量为a，每轮每人传染x人，两轮传播后总患病人数为b，则 a(1+x)^2 = b； 2. 分支生长公式：1个主干长出x个枝干，每个枝干再长出x个小分支，总分支数（含主干）为 1 + x + x^2； 3. 握手/互赠问题： · 两两握手（不重复）：n人总握手次数为 ； · 互送礼物（双向）：n人总礼物数为 。 （二）平均增长率与下降率问题 基本数量关系：以基础量为基数，每期按固定比率增长或下降，两期后形成平方关系。 1. 平均增长率：基础量为a，平均增长率为x，两次增长后总量为b，则 a(1+x)^2 = b； 2. 平均下降率：基础量为a，平均下降率为x，两次下降后总量为b，则 a(1-x)^2 = b； 3. 累计总量：连续两期累计总量 = 第一期数量 + 第二期数量，即 a + a(1+x) = 累计值。 （三）几何面积问题 基本数量关系：图形边长含未知数，长与宽均含一次项，面积为二次表达式。 1. 基础面积公式： · 长方形面积 = 长 × 宽；正方形面积 = 边长²； · 三角形面积 = 1/2 × 底 × 高；梯形面积 =1/2 × (上底 + 下底) × 高。 2. 等宽边框/修路问题： · 长方形长a、宽b，四周修等宽x的边框/道路，内部剩余面积为S，则 (a-2x)(b-2x) = S； · 长方形内横向、纵向各修一条等宽x的道路，剩余面积为S，则 (a-x)(b-x) = S。 3. 靠墙围栏问题：一面靠墙围长方形，围栏总长为L，垂直于墙的边长为x，面积为S，则 x(L-2x) = S。 （四）销售利润问题 基本数量关系：单价变动带动销量反向变动，单件利润与销量均含一次项，总利润为二次表达式。 1. 核心基础公式： 单件利润 = 售价 - 进价（成本）； 总利润 = 单件利润 × 销售数量； 总销售额 = 单价 × 销售数量； 利润率 = 利润 ÷进价 × 100%。 2. 价量联动公式： · 基础售价m元，销量n件；每降价x元，销量增加k件，总利润W： W = (m - 进价 - x)(n + kx)； · 每涨价x元，销量减少k件，总利润W： W = (m - 进价 + x)(n - kx)。 （五）动点几何问题 基本数量关系：动点运动路程含时间一次项，底与高均随时间变化，面积形成二次关系。 1. 动点路程公式：动点运动时间为t，速度为v，运动路程 = v t，线段长度 = 原长 ± 运动路程； 2. 面积等量关系：运动t秒后，目标图形面积为定值，代入对应面积公式列一元二次方程； 3. 取值约束：线段长度恒为正，动点不超出线段边界，求解后需验证t的取值范围。 （六）数字问题 基本数量关系：多位数数值由数位数字与数位权重组合而成，数字对调、乘积关系形成二次方程。 1. 多位数表示： 两位数：十位数字为a，个位数字为b，数值 = 10a + b； 三位数：百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，数值 = 100a + 10b + c。 2. 连续数表示： 连续整数：n，n+1； 连续偶数/奇数：n，n+2。 （七）工程与行程问题 基本数量关系：工作时间/速度为未知数，效率与时间、速度与时间互为倒数关系，形成分式方程后可转化为一元二次方程。 1. 工程问题： 工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 合作总效率 = 各主体工作效率之和； 常将总工作量记为单位“1”，单主体效率 = 1÷单独完成时间。 2. 行程问题： 路程 = 速度 × 时间； 相遇总路程 = 速度和 × 相遇时间； 追及路程 = 速度差 × 追及时间。 题型1 传播问题 【例1】有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【变式训练1-1】秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 题型2 增长率问题 【例2】某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 题型3 与图形有关的问题 【例3】如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练3-2】我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 题型4 数字问题 【例4】为免费领取第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”和“赛努”，小康和小明参与了转发集赞活动．已知两人集赞的数量为相邻的偶数，且两数之积为960，则小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 【变式训练4-1】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知正实数a，b，c满足（均不为整数），且．在a，b之间所有的整数依次记为，，，…，；在b，c之间所有的整数依次记为，，，…，，其中m，n为正整数，且．下列说法： ①当时，c的取值范围为：，且； ②a，c之间共有6个整数； ③若（k为正整数），，则． 其中正确的个数是（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练4-3】如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键． 根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数． 【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， 故选：C． 题型5 营销问题 【例5】直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】山西文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．如图，某玩具厂将应县木塔、太原晋祠等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．该玩具厂以每个16元的价格批发给经销商，某经销商愿意经销800个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低1元，则愿意多经销100个．该玩具厂要想使生产的这种古建毛绒玩具的批发额达到14400元，每件玩具应降价多少元？设每件玩具降价元，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． (1)关于的函数解析式为 ； (2)若销售单价不低于元时，求最大销售量； (3)若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 【变式训练5-3】智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 题型6 动态几何问题 【例6】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【变式训练6-1】如图，四边形中，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒（）． (1)连接　　,　　,(用含t的代数式表达)，当　　时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到．在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 【变式训练6-2】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【变式训练6-3】如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 题型7 工程问题 【例7】为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【变式训练7-1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【变式训练7-2】随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨． （1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？ （2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值． （3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？ 【变式训练7-3】全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 题型8 行程问题 【例8】在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【变式训练8-1】已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；    (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值． 【变式训练8-2】周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【变式训练8-3】一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 题型9 握手、循环赛问题 【例9】在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【变式训练9-1】为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 1．已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 2．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像上部高米，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为1.6米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为米，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 5．固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．近年来，延庆区大力发展低空旅游产业．延庆文旅将分散的长城资源串联成线，打造世界级长城大景区，让更多人领略“空中瞰长城”的震撼，八达岭机场是“空中瞰长城”的起飞地，从2026年3月起客流逐月递增．3月份直升机的总飞行时长约为119.2小时，5月份直升机的总飞行时长约为176.8小时．设直升机每月飞行时长的平均增长率为x，则下列所列的方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动汽车今年月份的销量为辆，由于国补政策的连月升温，月份的销量比月份增加了辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 8．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．某商品每件的售价为121元，经过两次降价后每件的售价为81元，设该商品两次降价的平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 10．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 11．甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（     ）． A． B． C． D． 12．一款服装每件进价为70元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元． (1)每天销售量增加____________件，每件服装盈利_______________元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1600元？ 13．某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． (1)设售价为x元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； (2)若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 14．阅读材料：我国古代数学家赵爽所作《勾股圆方图注》利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法．以方程为例，变形得，如图1，取四个全等矩形，邻边为x和，每个矩形面积为15．把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形．由面积关系：大正方形面积四个矩形面积中间小正方形面积，即，解得正数解． 【应知必会】 (1)如图2，结合材料中的弦图解法，对方程变形得，拼接图形后，下列说法正确的有________（多选） A．所用矩形的长为，宽为x    B．中间小正方形的边长为3，面积为9 C．外围大正方形的边长为    D．四个矩形的总面积为10 【实战演练】 (2)如图3，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为20，中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x，列出形如的方程，则________，________． 【拓展拔高】 (3)如图4，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．求原矩形两条边的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $