2026年八年级数学秋季开学学情自测卷01（新教材苏科版，测试范围：八上三角形+七下内容）

**基本信息** 2026年八年级开学学情自测卷，以软件图案、《张丘建算经》等素材创设情境，梯度设计考查运算能力、推理意识及模型意识，适配学段衔接与开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|中心对称图形、旋转性质、方程应用|以“千问”软件图标考中心对称，体现科技情境；《张丘建算经》问题考查方程建模| |填空题|8/24|命题逆命题、尺规作图依据、动点最值|结合课堂作图过程考依据，强化几何直观与空间观念| |解答题|9/52|实际购物方案、面积公式推导、几何证明|社团购物问题渗透模型意识；三角板旋转综合考查运算与推理；面积公式推导培养创新意识|

■■■ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3,请按题号顺序在各题目的答题区域 A 123 123 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 2 2 2 2 23 23 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3 3 3 4 4 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 破。 6 6 6 6 6 5. 正确填涂 7 7 7 7 67 567 89 8 8 8 8 缺考标记 9 9 9 9 789 9 9 9 一、 选择题（每小题3分，共24分） 1[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 3[A]B][C]D] 4[A][B][C]D] S[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 7[A]B][C]D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分) 9 10 11. 12. 蕾 13 14 15. 16. 的1 三、解答题（本题共9小题，共52分，其中17-19题4分，20-24题5 分，25题7分，26题8分) 17.(每题2分，共4分)计算： (1)2x(x2-3): (2)(a+1+(a+1)(a-1). 罪 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(4分) 19.(4分) 20.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(5分) 22.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(5分) 24.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围： 苏科版七年级下册全部+八上三角形 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列各软件的图案中，是中心对称图形的是（   ） A．元宝 B．千问 C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．如图，三角形ADE是由三角形ABC绕点旋转得到的．若，，，则的度数为（   ） A．60° B．50° C．40° D．10° 4．如图，在三角形ABC中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则三角形ABD的周长是（    ） A． B． C． D． 5．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有个客人，个盘子．则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．若不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知，那么的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．如图，已知线段上有一动点，分别以、为边在同方向作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（） A．①②⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分． 9．计算：______． 10．命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 11．不等式的非负整数解有________个． 12．若的展开式中不含的一次项，则常数_____． 13．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是______． 14．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交于点．若，．则的周长是______． 15．如图，中，，，，，E、F分别为、上两动点，连接，，则的最小值为_______． 16．折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则_______． 三.解答题（本题共9小题，共52分，其中17-19题4分，20-24题5分，25题7分，26题8分） 17．（每题2分，共4分）计算： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：（2a－b）2－（2a－3b）（2a＋3b），其中，a＝，b＝1． 19．完成下列各题： (1)解方程组． (2)已知方程组，则的值为________． 20．如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)画出，使与关于直线l对称； (2)画出，使与关于点O对称； (3)以、、、B为顶点的四边形面积为____________________ 21．如图，在三角形中，点D，E分别在，上，且，． (1)与平行吗？为什么？ 解：，理由如下： 因为， 所以（__________）． 因为， 所以______（等量代换）， 所以（__________）． (2)若平分，，求的度数． 22．【问题情境】 某校大力开展社团活动，其中该校“陕北民俗”社团准备去工艺品店购买“陕北剪纸”和“榆林泥塑”两种民俗手工艺品． 【素材展现】 素材1：工艺品店无促销活动：购买2幅陕北剪纸和6个榆林泥塑共需130元；购买3幅陕北剪纸所需的钱数和购买4个榆林泥塑所需的钱数相同． 素材2：工艺品店开展促销活动： 活动一：“疯狂打折”：陕北剪纸打八折，榆林泥塑打四折； 活动二：“买一送一”：购买一幅陕北剪纸送一个榆林泥塑． 【解决问题】 (1)该工艺品店在无促销活动时，陕北剪纸和榆林泥塑的销售单价各是多少元？ (2)社团决定购买陕北剪纸、榆林泥塑共100件，其中陕北剪纸不超过50幅．购买陕北剪纸的数量在什么范围内时，活动二更实惠？ 23．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”， (2)若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值； 24．一副三角板如图放置（，，边与重合），同时绕点O匀速旋转，且三角板比三角板旋转的速度慢． (1)如果三角板按顺时针旋转，三角板按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上；如果三角板、三角板都按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上．求两块三角板每秒分别旋转多少度？ (2)在（1）的条件下，如果两块三角板按顺时针方向旋转，那么经过多长时间点D第二次落在边上？ 25．如图1，正方形甲、乙、丙的边长分别为a，b，c，且． (1)如图2，将正方形甲、乙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为__________或__________，从而可以得到一个乘法公式为__________； (2)如图3，将正方形甲、乙、丙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式； (3)用正方形甲、乙、丙构造恰当的图形，说明． 26．【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 试题 第7页（共10页） 试题 第8页（共10页） 试题 第9页（共10页） 试题 第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：苏科版七年级下册全部+八上三角形 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上， 1.下列各AI软件的图案中，是中心对称图形的是() 元宝 问 deepseek 2.计算a(-)的结果是() A.a9 B.-d C.a10 D.a2 3.如图，三角形ADE是由三角形ABC绕A点旋转得到的.若∠C=40°，∠B=90°，∠CAD=10°，则∠CAE 的度数为() A.60° B.50° C.40° D.10° 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，在三角形ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于}4C的长为半径作弧，两弧相交于点M,N, 直线MN与AC,BC分别相交于点E和点D,连接AD,若AB=3c,BC=6cm,则三角形ABD的周长 是() D A.6cm B.7.5cm C.9cm D.12cm 5.北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数.两人共盘，少两盘： 三人共盘，长三盘.问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人.若2个人共用1个盘子，则少2个盘子： 若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子.问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子.则可列 方程组为() -2=y 2 [X+2=y A. B. 2 3 -3=y =y+3 +2=y x =y+2 C. 2 D 2 3 3=y 3 3=y x+1x+1 6.若不等式组{23无解，则的取值范围为() x 3m A.m≤3 B.m<3 C.m≥1 D.m>1 7.已知a=2025x+2024,b=2025x+2025,c=2025x+2026,那么a2+b2+c2-ab-ac-bc的值为() A.3 B.2 C.1 D.0 8.如图，己知线段AB上有一动点C,分别以AC、BC为边在同方向作等边DACM和等边△CBN,连接AN, 交MC于点E,连接MB,交CN于点F,连接EF,有以下结论：①AN=BM;②∠ENC=∠FBC;③ EN=BF;④MC=MF;⑤EFOAB.其中正确的是() A.①②⑤ B.①②③⑤ c.②③④⑤ D.①②③④⑤ 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分 9.计算：（2 3 10.命题“如果a2=b2,那么a=b”的逆命题是命题（填“真”或“假） 11.不等式3x2≥2x+1-1的非负整数解有 个， 53 12.若(x+5)(x-m)的展开式中不含x的一次项，则常数m=一· 13.在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1)的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C', 使得Rt△A'B'C≌Rt△ABC.小宏同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程如图所示，这种 画图方法的依据是」 -M 第一步 第二步 图1 图2 14.如图，在DABC中，∠B与∠C的平分线交于点O,过O点作DE∥BC,分别交AB、AC于点DE.若 AB=7,AC=5.则DADE的周长是一 D E B 15.如图，口ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD⊥BC,E、F分别为AC、AD上两动点，连 接CF,EF,则CF+EF的最小值为 D 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿AB折叠，展开后，再沿BD折叠（如图2）.若 ∠ABE=60°，∠DBE:∠CAB=3:2,则∠ABC=°， 图1 图2 三解答题（本题共9小题，共52分，其中17-19题4分，20-24题5分，25题7分，26题8分） 17.(每题2分，共4分)计算： (1)2x(x2-3); (2)(a+1)+(a+1)(a-1). 18.(4分)先化简，再求值：(2a-b)2-(2a-3b)(2a+3b),其中，a=号，b=1. 19.(4分)完成下列各题： 3x-y=5 (1)解方程组 5x+2y=12' [3(a+b)-(a-b)=5 (2)己知方程组 5a+)+2a-b)=12'则d-的值为 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(5分)如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，DABC三个顶点都在格点上，利用网格画图. (1)画出△ABC,使口ABC与△4BC关于直线1对称： (2)画出△A,B,C2,使DABC与△A,B,C2关于点O对称： (3)以A、B2、A、B为顶点的四边形面积为 21.(5分)如图，在三角形ABC中，点D,E分别在AB,BC上，且DE AC,∠I=∠2， D E (1)AF与BC平行吗？为什么？ 解：AFOBC,理由如下： 因为DEAC, 所以A=∠C( 因为1=∠2， 所以 (等量代换)， 所以AFOBC( (2)若AC平分∠BAF,∠B=36°，求A的度数. 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(5分)【问题情境】 某校大力开展社团活动，其中该校“陕北民俗”社团准备去工艺品店购买“陕北剪纸？和“榆林泥塑？两种民俗手 工艺品 【素材展现】 素材1：工艺品店无促销活动：购买2幅陕北剪纸和6个榆林泥塑共需130元；购买3幅陕北剪纸所需的钱 数和购买4个榆林泥塑所需的钱数相同. 素材2：工艺品店开展促销活动： 活动一：“疯狂打折”：陕北剪纸打八折，榆林泥塑打四折： 活动二：“买一送一”：购买一幅陕北剪纸送一个榆林泥塑. 【解决问题】 (1)该工艺品店在无促销活动时，陕北剪纸和榆林泥塑的销售单价各是多少元？ (2)社团决定购买陕北剪纸、榆林泥塑共100件，其中陕北剪纸不超过50幅.购买陕北剪纸的数量在什么范 围内时，活动二更实惠？ 23.(5分)定义：若关于x的方程+b=0(a≠0)的解与关于y的方程cy+d=0(c≠0)的解满足|x-y=m(m 为正数)，则称方程+b=0(a≠0)与方程y+d=0(c≠0)是“m差解方程”. (1)请通过计算判断关于x的方程2x=5x-12与关于y的方程30-1)-y=1是不是“2差解方程” (②若关于x的方程x--2m-m-1与关于y的方程2(y-2m）-3n-1)=m是m差解方程”，求n的值； 3 6./8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(5分)一副三角板如图放置（∠AOB=45°，∠OCD=-30°，边OA与OC重合），同时绕点O匀速旋转， 且三角板ABO比三角板COD旋转的速度慢. A(C) (1)如果三角板ABO按顺时针旋转，三角板COD按逆时针旋转，那么经过15s后，点D第一次落在边OB上； 如果三角板ABO、三角板COD都按逆时针旋转，那么经过45s后，点D第一次落在边OB上.求两块三角 板每秒分别旋转多少度？ (2)在(1)的条件下，如果两块三角板按顺时针方向旋转，那么经过多长时间点D第二次落在边OB上？ 25.(7分)如图1，正方形甲、乙、丙的边长分别为a,b,c,且a+b<c. 甲 丙 甲 丙 乙 乙 图1 图2 图3 (1)如图2，将正方形甲、乙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大 正方形的面积为 或 ,从而可以得到一个乘法公式为 (2)如图3，将正方形甲、乙、丙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，类比(1)的思路进行思 考，直接写出所得到的等式： (3)用正方形甲、乙、丙构造恰当的图形，说明(c-a-b)}<c2-d2-b2. 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.(8分)【问题提出】 (1)如图1，直线I经过点A,∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B,C向直线l作垂线，垂足分别为D, E.求证：△ABD≌△CAE; D A E 图1 【变式探究】 (2)如图2，点A、D、E分别在直线I上，如果∠CEA=∠BAC=∠ADB,AB=AC,求证：DE=BD+CE: E 图2 【拓展应用】 (3)如图3所示，在RtBAD和Rt△CAE中，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE, 作BC边上的高AG,延长GA交DE于点H.若AH=5,AG=I2,求DDAE的面积， D H E 图3 8/8 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A C D C A B 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分． 9. 10. 真 11. 5 12. 5 13. HL 14. 12 15. 16. 30 三.解答题（本题共9小题，共52分，其中17-19题4分，20-24题5分，25题7分，26题8分） 17.（4分） 【详解】 （1）解：原式； （2分） （2）解：原式． （4分） 18.（4分） 【详解】解：（2a－b）2－（2a－3b）（2a＋3b） ＝4a2－4ab＋b2－4a2＋9b2 ＝－4ab＋10b2     （2分） 当a＝，b＝1时，原式＝8． （4分） 19.（4分） 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， （1分） 因此原方程组的解为； （2分） （2）解：设，， 则原方程组可化为， 由（1）可得该方程组的解为， 即， 根据平方差公式得． （4分） 20.（5分） （1）如图：即为所求 （2分） （2）如上图，即为所求； （4分） （3）解：、、、B为顶点的四边形面积．（5分） 21.（5分） 【详解】（1）解：，理由如下： 因为， 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 （3分） （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （5分） 22.（5分） （1）解;设陕北剪纸的销售单价为元，榆林泥塑的销售单价为元， 依题意列二元一次方程组得， 解得， （1分） 即陕北剪纸的销售单价为20元，榆林泥塑的销售单价为15元； （2分） （2）解：设购买陕北剪纸幅，则购买榆林泥塑个， 活动一的费用为：元， 活动二的费用为：元， 当时， 解得， 又， ，　　（４分） 答：当时，活动二更实惠．（５分） 23．（5分） （1）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 所以这两个方程是“2差解方程”；　　（２分） （2）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 整理，得， （4分） 由m为正数， 得或， 解得或； （5分） 24.（5分） （1）解：由题意得， ∴， 设三角板每秒旋转，三角板每秒旋转，且， 根据题意得，解得， （1分） 答：三角板每秒旋转，三角板每秒旋转； （2分） （2）解：设经过秒点D第二次落在边上， 由题意得， 解得， （4分） 答：经过秒点D第二次落在边上． （5分） 25（7分） 【详解】 （1）解：方法一：这个大正方形的边长为，则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 从而可以得到一个乘法公式为， 故答案为：，；； （2分） （2）解：方法一：这个大正方形的边长为，则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 则所得到的等式为； （4分） （3） 构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形， （5分） 则图形的面积为，阴影部分的面积为， ∵， ∴图形A的面积小于阴影部分的面积 ∴． （7分） 26（8分） 【详解】 解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2分） （2）， （3分） 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （5分） （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， （6分） ， ∵ ∴ （8分） ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、 填空题 （ 本题共 8 小题，每 题 3 分，共 24 分 ） 9 ． _________ 1 0 ． _________ 1 1 ． _________ 1 2 ． __________ 13 ． _________ 14 ． _________ 15 ． _________ 16 ． _________ 三 、 解答 题（本题共 9 小题，共 52 分 ，其中 17-19 题 4 分， 20-24 题 5 分， 25 题 7 分， 26 题 8 分 ） 17 ． （每题 2 分，共 4 分） 计算： ( 1 ) ； ( 2 ) ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ． （ 4 分） 19 ．（ 4 分） 20. （ 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21.（5 分） 2 2 ． （ 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ． （ 5 分 ） 24. （ 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25 ． （ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26 ． （ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏科版七年级下册全部+八上三角形 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列各软件的图案中，是中心对称图形的是（   ） A．元宝 B．千问 C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．如图，三角形ADE是由三角形ABC绕点旋转得到的．若，，，则的度数为（   ） A．60° B．50° C．40° D．10° 4．如图，在三角形ABC中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则三角形ABD的周长是（    ） A． B． C． D． 5．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有个客人，个盘子．则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．若不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知，那么的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．如图，已知线段上有一动点，分别以、为边在同方向作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（） A．①②⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分． 9．计算：______． 10．命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 11．不等式的非负整数解有________个． 12．若的展开式中不含的一次项，则常数_____． 13．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是______． 14．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交于点．若，．则的周长是______． 15．如图，中，，，，，E、F分别为、上两动点，连接，，则的最小值为_______． 16．折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则_______． 三.解答题（本题共9小题，共52分，其中17-19题4分，20-24题5分，25题7分，26题8分） 17．（每题2分，共4分）计算： (1)； (2)． 18．（4分）先化简，再求值：（2a－b）2－（2a－3b）（2a＋3b），其中，a＝，b＝1． 19．（4分）完成下列各题： (1)解方程组． (2)已知方程组，则的值为________． 20．（5分）如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)画出，使与关于直线l对称； (2)画出，使与关于点O对称； (3)以、、、B为顶点的四边形面积为____________________ 21．（5分）如图，在三角形中，点D，E分别在，上，且，． (1)与平行吗？为什么？ 解：，理由如下： 因为， 所以（__________）． 因为， 所以______（等量代换）， 所以（__________）． (2)若平分，，求的度数． 22．（5分）【问题情境】 某校大力开展社团活动，其中该校“陕北民俗”社团准备去工艺品店购买“陕北剪纸”和“榆林泥塑”两种民俗手工艺品． 【素材展现】 素材1：工艺品店无促销活动：购买2幅陕北剪纸和6个榆林泥塑共需130元；购买3幅陕北剪纸所需的钱数和购买4个榆林泥塑所需的钱数相同． 素材2：工艺品店开展促销活动： 活动一：“疯狂打折”：陕北剪纸打八折，榆林泥塑打四折； 活动二：“买一送一”：购买一幅陕北剪纸送一个榆林泥塑． 【解决问题】 (1)该工艺品店在无促销活动时，陕北剪纸和榆林泥塑的销售单价各是多少元？ (2)社团决定购买陕北剪纸、榆林泥塑共100件，其中陕北剪纸不超过50幅．购买陕北剪纸的数量在什么范围内时，活动二更实惠？ 23．（5分）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”， (2)若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值； 24．（5分）一副三角板如图放置（，，边与重合），同时绕点O匀速旋转，且三角板比三角板旋转的速度慢． (1)如果三角板按顺时针旋转，三角板按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上；如果三角板、三角板都按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上．求两块三角板每秒分别旋转多少度？ (2)在（1）的条件下，如果两块三角板按顺时针方向旋转，那么经过多长时间点D第二次落在边上？ 25．（7分）如图1，正方形甲、乙、丙的边长分别为a，b，c，且． (1)如图2，将正方形甲、乙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为__________或__________，从而可以得到一个乘法公式为__________； (2)如图3，将正方形甲、乙、丙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式； (3)用正方形甲、乙、丙构造恰当的图形，说明． 26．（8分）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学 ·: (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 注意事项： : 舒 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O 4.考试范围：苏科版七年级下册全部+八上三角形 、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上。 1.下列各AI软件的图案中，是中心对称图形的是() : 元玉 : : O deepseek : : 2.计算a(-a)的结果是() 蝶 斟 A.a B.-d C.a10 D.a2 ·: 3.如图，三角形ADE是由三角形ABC绕A点旋转得到的.若∠C=40°，∠B=90°，∠CAD=10°，则∠CAE 的度数为() A. 609 B.50 C.40 D.10° 试题第1页（共10页） 命学科网·上好课 4.如图，在三角形ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于}4C的长为半径作弧，两弧相交于点M,N, 直线MN与AC,BC分别相交于点E和点D,连接AD,若AB=3cm,BC=6cm,则三角形ABD的周长 是() XM D A.6cm B.7.5cm C.9cm D.12cm 5.北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数.两人共盘，少两盘： 三人共盘，长三盘.问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人，若2个人共用1个盘子，则少2个盘 子：若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子.问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子.则 可列方程组为() X-2=y +2=y 2 A. B. X-3=y 3 =y+3 3 +2=y x =y+2 ( 2 D. x 3 +3=y +3=y x+1x+1 6.若不等式组23无解，则m的取值范围为() X 3m A.m≤3 B.m<3 C.m≥1 D.m>1 7.已知a=2025x+2024,b=2025x+2025,c=2025x+2026,那么a2+b2+c2-ab-ac-bc的值为() A.3 B.2 C.1 D.0 试题第2页（共10页） 可学科网·上好课 8.如图，己知线段AB上有一动点C,分别以AC、BC为边在同方向作等边DACM和等边△CBN,连接 AN,交MC于点E,连接MB,交CN于点F,连接EF,有以下结论：①AN=BM;②∠ENC=∠FBC; ③EN=BF;④MC=MF;⑤EFAB.其中正确的是() B A.①②⑤ B.①②③⑤c.②③④⑤ D.①②③④⑤ 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分. 、3 9.计算： 2 -3X 10.命题“如果㎡=b,那么α=b"的逆命题是命题（填“真”或“假”） 1.不等式≥+-1的非负整数解有 23 个 12.若(x+5)(x-m)的展开式中不含x的一次项，则常数m=一一-· 13.在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图1)的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C', 使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC.小宏同学先画出了∠MB'N=90°之后，后续画图的主要过程如图所示，这种 画图方法的依据是」 第一步 第二步 图1 图2 14.如图，在DABC中，∠B与∠C的平分线交于点O,过O点作DE∥BC,分别交AB、AC于点DE.若 AB=7,AC=5.则口ADE的周长是 试题第3页（共10页） D :::0: B 15.如图，DABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD⊥BC,E、F分别为AC、AD上两动点，连 兵 接CF,EF,则CF+EF的最小值为—- 张 D 游 16.折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿AB折叠，展开后，再沿BD折叠（如图2）.若 ∠ABE=60°，∠DBE:∠CAB=3:2,则∠ABC=°. B E肉 图1 图2 世 三.解答题（本题共9小题，共52分，其中17-19题4分，20-24题5分，25题7分，26题8分） 17.(每题2分，共4分)计算： (1)2x(x2-3): (2(a+1)+(a+1)(a-1). 试题第4页（共10页） : 18.先化简，再求值：(2a-b)2-(2a-3b)(2a十3b),其中，a=号，b=1. 舒 19.完成下列各题： ::0 [3x-y=5 (1)解方程组 5x+2y=12 T3(a+b)-(a-b)=5 (2)已知方程组 5(a+)+2a-b)=12'则d-b2的值为 20.如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，口ABC三个顶点都在格点上，利用网格画图. (1)画出△4C,使DABC与△A马C1关于直线1对称； : (2)画出△ABC2,使DABC与△A,B,C2关于点0对称： (3)以A、B2、A、B为顶点的四边形面积为 o 试题第5页（共10页） 命学科网·上好课 21.如图，在三角形ABC中，点D,E分别在AB,BC上，且DEAC,∠1=∠2. D (1)AF与BC平行吗？为什么？ 解：AFOBC,理由如下： 因为DEDAC, 所以A=∠C( 因为1=∠2， 所以 (等量代换)， 所以AFOBC( (2)若AC平分∠BAF,∠B=36°，求A的度数. 22.【问题情境】 某校大力开展社团活动，其中该校“陕北民俗”社团准备去工艺品店购买“陕北剪纸”和“榆林泥塑”两种民俗 手工艺品. 【素材展现】 素材1：工艺品店无促销活动：购买2幅陕北剪纸和6个榆林泥塑共需130元：购买3幅陕北剪纸所需的 钱数和购买4个榆林泥塑所需的钱数相同. 素材2：工艺品店开展促销活动： 活动一：“疯狂打折”：陕北剪纸打八折，榆林泥塑打四折： 活动二：“买一送一”：购买一幅陕北剪纸送一个榆林泥塑 【解决问题】 (1)该工艺品店在无促销活动时，陕北剪纸和榆林泥塑的销售单价各是多少元？ (2)社团决定购买陕北剪纸、榆林泥塑共100件，其中陕北剪纸不超过50幅.购买陕北剪纸的数量在什么 范围内时，活动二更实惠？ 试题第6页（共10页） 学科网·上好课 23.定义：若关于x的方程+b=0(a≠0)的解与关于y的方程cy+d=0(c≠0)的解满足x-y=m(m为正 数)，则称方程ax+b=0(a≠0)与方程y+d=0c≠0)是“m差解方程”， (1)请通过计算判断关于x的方程2x=5x-12与关于y的方程30-1)-y=1是不是“2差解方程”， (②若关于的方程x=n-1与关于)的方程20-2m则-30m-1)=m是“m差解方程，求n的值： 试题第7页（共10页） 24.一副三角板如图放置（∠AOB=45°，∠OCD=30°，边OA与OC重合），同时绕点0匀速旋转，且三 角板ABO比三角板COD旋转的速度慢. A(C) 兵 (1)如果三角板ABO按顺时针旋转，三角板COD按逆时针旋转，那么经过15s后，点D第一次落在边OB上； 如果三角板ABO、三角板COD都按逆时针旋转，那么经过45s后，点D第一次落在边OB上.求两块三角 板每秒分别旋转多少度？ 张 (2)在(1)的条件下，如果两块三角板按顺时针方向旋转，那么经过多长时间点D第二次落在边OB上？ :: 游 S E肉 世 @ 试题第8页（共10页） : :.O 25.如图1，正方形甲、乙、丙的边长分别为a,b,c,且a+b<c. 甲 乙 丙 甲 丙 图1 图2 图3 (1)如图2，将正方形甲、乙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，用两种不同的方法表示这个 大正方形的面积为 或 从而可以得到一个乘法公式为 ； O (2)如图3，将正方形甲、乙、丙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，类比(1)的思路进行思 考，直接写出所得到的等式： .: (3)用正方形甲、乙、丙构造恰当的图形，说明(c-a-b)2<c2--b2. ................................... 试题第9页（共10页） 学科网·上好课 26.【问题提出】 (1)如图1，直线I经过点A,∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B,C向直线I作垂线，垂足分别为D, E.求证：△ABD≌△CAE; B D A 图1 【变式探究】 (2)如图2，点A、D、E分别在直线1上，如果∠CEA=∠BAC=∠ADB,AB=AC,求证：DB=BD+CE: E A D 图2 【拓展应用】 (3)如图3所示，在Rt如BAD和Rt△CAE中，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE, 作BC边上的高AG,延长GA交DE于点H,若AH=5,AG=I2,求☐DAE的面积 D H E A 图3 试题第10页（共10页） 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列各软件的图案中，是中心对称图形的是（   ） A．元宝 B．千问 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； B． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； C． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是中心对称图形，符合题意． 故选D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算，包括幂的乘方和同底数幂的乘法，根据相应的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 3．如图，是由绕点旋转得到的．若，，，则的度数为（   ） A．60° B．50° C．40° D．10° 【答案】A 【分析】首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解． 【详解】解： 是由绕点旋转得到的， 和为旋转角， 旋转角的度数为． 故选：A． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图－基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，即可得解． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ， 则的周长， 故选：C． 5．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有个客人，个盘子．则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组即可，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子， 根据题意，得， 故选：D． 6．若不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了列出关于m的不等式，解之可得． 【详解】解：解不等式，得． 又因为且不等式组无解， 所以， 解得． 故选：C． 7．已知，那么的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式的结构是解题关键．由已知条件可得，，，再将代数式转化为三个数两两之差的平方和的一半的形式，代入计算求值即可． 【详解】解： ，，， ，， ， 故选：A 8．如图，已知线段上有一动点，分别以、为边在同方向作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（） A．①②⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，平行线的判定，解本题的根据是判断出．由等边三角形的性质先判断出，，从而得出①②正确，再判断出得出③正确，再判断出，得出④错误，⑤正确． 【详解】解：等边和等边， ，，， ， ， 在和中 ， ， ，，故①②正确， 在和中 ， ， ，，故③正确 ， 是等边三角形， ， ， ；故⑤正确 是等边三角形， ， ， ．故④错误， 即：正确的有①②③⑤； 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分． 9．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方运算法则．根据积的乘方和幂的乘方运算法则解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：根据题意可知，命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，该命题是真命题， 故答案为：真． 11．不等式的非负整数解有________个． 【答案】5 【分析】本题考查求一元一次不等式的非负整数解．按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求出不等式的解集，进而得出非负整数解． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 所以非负整数解是．一共有5个． 故答案为：5． 12．若的展开式中不含的一次项，则常数_____． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，先根据多项式乘多项式的运算法则展开式子，再合并同类项，根据不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0，进而求出m的值． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：5． 13．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是______． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故答案为：． 14．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交于点．若，．则的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，等角对等边，由平行线的性质可得，，又平分，平分，则，，所以，，从而可得，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 15．如图，中，，，，，E、F分别为、上两动点，连接，，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据题意得到点关于直线对称，利用对称点的性质，将求的最小值转化为求的最小值，再利用点到直线垂线段最短求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ， ∵，，， ∴， 即， 解得， ∵， ∴所在直线是线段的垂直平分线， ∴点关于直线对称， ∴， ∴的最小值为． 16．折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则_______． 【答案】30 【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质得到，设，则，根据平角的定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】如图所示， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 三.解答题（本题共9小题，共52分，其中17-19题4分，20-24题5分，25题7分，26题8分） 分． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】 (1) (2) 【详解】 （1）解：原式； （2）解：原式． 18．先化简，再求值：（2a－b）2－（2a－3b）（2a＋3b），其中，a＝，b＝1． 【答案】－4ab＋10b2，8 【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（2a－b）2－（2a－3b）（2a＋3b） ＝4a2－4ab＋b2－4a2＋9b2 ＝－4ab＋10b2     当a＝，b＝1时，原式＝8． 19．完成下列各题： (1)解方程组． (2)已知方程组，则的值为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用加减消元法即可计算得到结果； （2）利用换元思想，将看作第一题的，看作第一题的，结合第一题结果和平方差公式即可求出的值． 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 因此原方程组的解为； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 由（1）可得该方程组的解为， 即， 根据平方差公式得． 20．如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)画出，使与关于直线l对称； (2)画出，使与关于点O对称； (3)以、、、B为顶点的四边形面积为____________________ 【答案】(1)如图：即为所求 (2)如上图，即为所求； (3)28 【分析】（1）分别作出点关于直线l对称的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点关于点O对称的点，再顺次连接即可； （3）利用割补法求解． 【详解】（1）见上图 （2）见上图 （3）解：、、、B为顶点的四边形面积． 21．如图，在三角形中，点D，E分别在，上，且，． (1)与平行吗？为什么？ 解：，理由如下： 因为， 所以（__________）． 因为， 所以______（等量代换）， 所以（__________）． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 (2) 【分析】本题考查了平行线，熟练掌握平行线性质和判定，三角形内角和定理，是解题的关键． （1）根据平行线和性质与判定定理解答； （2）根据角平分线定义得，可得，运用三角形内角和定理求出，即得． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为， 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 22．【问题情境】 某校大力开展社团活动，其中该校“陕北民俗”社团准备去工艺品店购买“陕北剪纸”和“榆林泥塑”两种民俗手工艺品． 【素材展现】 素材1：工艺品店无促销活动：购买2幅陕北剪纸和6个榆林泥塑共需130元；购买3幅陕北剪纸所需的钱数和购买4个榆林泥塑所需的钱数相同． 素材2：工艺品店开展促销活动： 活动一：“疯狂打折”：陕北剪纸打八折，榆林泥塑打四折； 活动二：“买一送一”：购买一幅陕北剪纸送一个榆林泥塑． 【解决问题】 (1)该工艺品店在无促销活动时，陕北剪纸和榆林泥塑的销售单价各是多少元？ (2)社团决定购买陕北剪纸、榆林泥塑共100件，其中陕北剪纸不超过50幅．购买陕北剪纸的数量在什么范围内时，活动二更实惠？ 【答案】(1)陕北剪纸的销售单价为20元，榆林泥塑的销售单价为15元； (2)当时，活动二更实惠． 【分析】(1) 设陕北剪纸的销售单价为元，榆林泥塑的销售单价为元，根据题意列方程得，，求解即可； (2) 设购买陕北剪纸幅，则购买榆林泥塑个，根据题意分别表示出活动一、二的费用再列不等式求解即可． 【详解】（1）解;设陕北剪纸的销售单价为元，榆林泥塑的销售单价为元， 依题意列二元一次方程组得， 解得， 即陕北剪纸的销售单价为20元，榆林泥塑的销售单价为15元； （2）解：设购买陕北剪纸幅，则购买榆林泥塑个， 活动一的费用为：元， 活动二的费用为：元， 当时， 解得， 又， ， 答：当时，活动二更实惠． 23．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”， (2)若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值； 【答案】(1)是，过程见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据“m差解方程”的定义解答即可； （2）根据定义列出方程关于m，n的方程，再去掉绝对值，并求解． 【详解】（1）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 所以这两个方程是“2差解方程”； （2）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 整理，得， 由m为正数， 得或， 解得或； 24．一副三角板如图放置（，，边与重合），同时绕点O匀速旋转，且三角板比三角板旋转的速度慢． (1)如果三角板按顺时针旋转，三角板按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上；如果三角板、三角板都按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上．求两块三角板每秒分别旋转多少度？ (2)在（1）的条件下，如果两块三角板按顺时针方向旋转，那么经过多长时间点D第二次落在边上？ 【答案】(1)三角板每秒旋转，三角板每秒旋转； (2)经过秒点D第二次落在边上． 【分析】（1）由题意得，设三角板每秒旋转，三角板每秒旋转，根据三角板按顺时针旋转，三角板按逆时针旋转，后，点D第一次落在边上，三角板、三角板都按逆时针旋转，后，点D第一次落在边上．建立二元一次方程组求解即可； （2）设经过秒点D第二次落在边上，由（1）中结论结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 设三角板每秒旋转，三角板每秒旋转，且， 根据题意得，解得， 答：三角板每秒旋转，三角板每秒旋转； （2）解：设经过秒点D第二次落在边上， 由题意得， 解得， 答：经过秒点D第二次落在边上． 25．如图1，正方形甲、乙、丙的边长分别为a，b，c，且． (1)如图2，将正方形甲、乙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为__________或__________，从而可以得到一个乘法公式为__________； (2)如图3，将正方形甲、乙、丙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式； (3)用正方形甲、乙、丙构造恰当的图形，说明． 【答案】(1)，； (2) (3) 构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形， 则图形的面积为，阴影部分的面积为， ∵， ∴图形A的面积小于阴影部分的面积 ∴． 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）方法一：求出这个大正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得；方法二：根据这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得；由此即可得出乘法公式； （2）利用两种方法求出大正方形的面积，由此即可得出等式； （3）利用正方形甲、乙、丙构造图形，根据图形中的面积关系即可得． 【详解】（1）解：方法一：这个大正方形的边长为，则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 从而可以得到一个乘法公式为， 故答案为：，；； （2）解：方法一：这个大正方形的边长为，则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 则所得到的等式为； （3）构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形， 则图形的面积为，阴影部分的面积为， ∵， ∴图形A的面积小于阴影部分的面积 ∴． 26．【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $