专题27.3 实际问题与反比例函数 （重难点突破+过关检测） 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦实际问题与反比例函数这一核心知识点，承接反比例函数的概念及性质，构建从实际问题中识别反比例模型、建立函数表达式、结合图像与性质解决问题的学习支架，涵盖图形面积、行程工程经济、物理公式等应用场景。 资料以生活、物理、工程等真实情境为载体，通过图形面积、行程问题、压强公式等实例，引导学生用数学眼光观察数量关系，在建模与求解中发展数学思维，提升用数学语言表达实际问题的能力。课中助力教师高效教学，课后便于学生巩固练习，查漏补缺。

人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题27.3 实际问题与反比例函数 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 与图形面积相关的反比例函数模型 题型2 行程,工程,经济问题中的反比例函数模型 题型3 与物理公式关联的反比例函数模型 题型4 利用反比例函数性质解决问题 1.  能从实际问题中识别反比例模型，通过建立模型并解决实际问题； 2. 结合图像与性质（增减性、象限、取值范围）解决实际问题； 3. 体会反比例函数在生活、物理、工程、经济中的应用，培养严谨、应用意识. 知识点讲解 1. 反比例函数应用的解题步骤： 审：审题，找出两个变量的关系，分析数量关系； 设：设反比例函数表达式y= （k）； 求：利用待定系数法求出k的值，确定函数表达式； 定：结合实际问题定自变量取值范围； 解：根据图像和性质求函数值（或范围），解决具体问题； 验：检验实际结果是否符合实际情境. 2. 反比例函数应用的模型 ①图形面积、体积问题：长方形面积一定时，长与宽成反比；圆柱体积一定时，底面积与高成反比； ②行程、工程、经济问题：路程一定时，速度与时间成反比；工程总量一定，工作时间与工作效率成反比；总价一定时，单价与数量成反比； ③物理公式类：压力一定时，压强与受力面积成反比；电压一定时，电流与电阻成反比； 3.【易错提醒】 实际问题中的反比例函数要注意自变量的取值范围，通常要注意取和因变量取值的区间范围。 题型归纳 题型1 图形面积类模型 【例1】在中，BC的长为x，BC边上的高为y，的面积为2． (1)y关于x的函数关系式是_______，x的取值范围是______． (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)直线与y轴交于D，与（1）中的函数交于E、F（E的横坐标小于F的横坐标）两点，点P是y轴上的点，的面积等于的面积，求点P的坐标． 【详解】（1）解：在中，BC的长为x，BC边上的高为y，的面积为2， ∴， ∴， ∴y关于x的函数关系式是， x的取值范围为， ∴y关于x的函数关系式是； （2）解：列表得： x 1 2 4 6 y 6 4 2 1 描点，连线，在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示． ； （3）解：联立，即， 解得或， 当时，；时，；时，； ∴，，， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 由题意得，即， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【变式练习】 1．矩形面积是，设它的一边长为，则矩形的另一边长与x的函数关系是_______． 【详解】解：∵长方形的面积为，一边长为，另一边长为， ∴，即． 故答案为：． 2．当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， 即这个三角形的底边长为． 题型2 工程、行程经济类问题 【例1】问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【详解】解：（）由表格可知，， ∴与之间的函数关系式为； （）当时，， 答：它的平均速度是． （）根据题意，得，解得， 答：行驶时间应不少于． 【变式练习】 1．随着科技的迅猛发展，智能机器人逐步融入人们的日常生活中．如图，这是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的总质量，此时它的最快移动速度．当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：设， 根据题意得：， 解得：， 当时，． 故选：A 2．三原小磨香油久负盛名，以其香味浓郁，营养价值高，深受消费者的喜爱．某超市销售一批三原小磨香油，在销售过程中发现，在一定范围内，该小磨香油的日销售量y（单位：瓶）与每瓶的利润x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当该小磨香油的日销售量为瓶时，该小磨香油每瓶的利润为多少元？ 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由题意当时，，代入得： ， ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，代入得： ， 答：该小磨香油每瓶的利润为元． 3．镇江港是长江三角洲重要的江海河、铁公水联运综合性对外开放港口，目前共有台吊机可同时作业，对停靠的万吨以上货轮均可实现小时内完成卸货． 现有一艘货轮来到镇江港需要卸货，卸完所有货所需时间（小时）和卸货速度（吨小时）之间的函数关系如图．    (1)写出与之间函数表达式为______． (2)如果用小时卸完所有货物，求卸货速度； (3)若只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时，为了实现小时内完成卸货，至少需要______台吊机同时作业（假设每台吊机的卸货速度相同）？ 【答案】(1) (2)卸货速度为吨小时； (3) 【分析】（1）观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点，即可求解； （2）将代入，即可求解； （3）根据（1）可得货物的重量，设需要台吊机同时作业，根据题意，列出不等式，不等式即可求解． 【详解】（1）解：观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点， ， ∴与之间函数表达式为， 故答案为：． （2）将代入， 解得， 答：用小时卸完所有货物，求卸货速度为吨小时； （3）解：∵只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时， ∴每台吊机的卸货速度吨小时， 由（1）可得货物的重量为吨 设需要台吊机同时作业 ∴为了实现小时内完成卸货， 解得： ∵为正整数， ∴最小为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型3 物理公式类模型 【例1】在古代河工治水时，需用木桩固定堤岸，压力不变的情况下，木桩承受的压强p（帕）是其受力面积S（平方米）的反比例函数．据《河工法式》记载，当受力面积为0.4平方米时，压强为625帕，其数关系与古算中的“反比例”规律一致． (1)按古算之法，求p与S之间的函数关系式； (2)若木桩受力面积为0.2平方米，求此时木桩承受的压强． 【详解】（1）解：设p与S之间的函数关系式为，   将，代入，得， 解得：， ∴p与S之间的函数关系式为． （2）解：当时，， 即此时木桩承受的压强为1250帕． 【例2】小明在野外考察时，准备利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，小明知道，当压力不变时，压强与受力面积存在一定的函数关系，为研究这个关系，小明借助自身体重，利用若干大小不同的木板（质量不计）和电子压强计进行实验，每次实验小明均竖直站立在木板上，用电子压强计测量木板对地面的压强，经过多次实验，得到了木板对地面的压强与木板面积的部分对应值，如下表： 木板面积 0.5 1 1.5 2 2.5 3 木板对地面的压强 600 300 150 120 100 (1)求与之间的函数关系式及表中的值． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． (3)资料显示：这片烂泥湿地所能承受的最大压强为．小明若用一块面积为的木板，则他能否安全通过这片烂泥湿地？若能，求湿地所承受的压强；若不能，则木板面积至少需要比原来增加多少平方米才能安全通过？ 【详解】（1）解：由表格中数据可知，与之间是反比例函数关系， 设与之间的函数关系式为， 把代入，得， 解得， 故与之间的函数关系式为． 当时， ； （2）解：描点、画出该函数图象如图所示． （3）解：不能． 将代入，得． ∴小明不能安全通过． 由（1）可知时，． 结合图象可知，当时，， 故木板面积最小为， ， 故木板面积至少需要比原来增加才能安全通过． 【例3】【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为_______N． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的重力变化时，的长度随之变化．设重物的重力为 ，的长度为．则： ①关于的函数解析式是____________． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a      2 b … _______；______． ③在图的直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1) (2) ①； ②，； ③见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． ()根据公式进行计算即可； ()①根据公式即可得到； ②根据①所求求出的值即可； ③先描点，再连线，画出函数图象即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴重物所受拉力为， 故答案为：． （2）解：①∵， ∴，即， 故答案：， ②由①得：当时，； 当时，， 答案：，． ③函数图象如图所示： 【变式练习】 1．一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（   ） A．函数解析式为： B．当体积为5升时，压强为80千帕 C．体积越大，对应的压强越大 D．当压强为200千帕时，体积为2升 【详解】解：∵p与V成反比例函数关系 ∴设 将，代入得 ，解得， ∴函数解析式为； 当时，千帕， ∵，且体积 ∴p随V的增大而减小，即体积越大，压强越小； 当时，，解得； 综上，只有选项C错误. 2．如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 湿地地面所受压强 400 500 600 800 受力面积 1.5 1.2 1 0.75 以下结论中不正确的是（  ） A．压强与受力面积的关系式为 B．压强与受力面积的函数图象分布在第一、三象限 C．若压强不超过，则受力面积至少要 D．若受力面积最大是，则压强最小为 【详解】解：由表格数据可知：，，，， 与成反比例关系，且， 即，故A选项正确； 表示受力面积， ， 函数图象只分布在第一象限，故B选项不正确； 当时，， 解得，故C选项正确； 当时，， 在第一象限内随的增大而减小， 当时，， 即压强最小为， 故D选项正确． 3．交警常用呼气式酒精测试仪检测司机是否酒后驾驶．该仪器的原理图如图（1）所示，其中R为气敏阻，R与酒精气体浓度的关系如图（2）所示，为定值电阻，电源电压U不变．闭合开关，当酒精气体浓度增大时，下列说法正确的是（    ） 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，总电阻等于各个电阻的阻值之和． 3．该电路中的电流 A．气敏电阻R的阻值增大 B．电路中的总电阻增大 C．电流表的示数减小 D．电压表的示数增大信息框 【详解】解：由图（2）可知，当酒精气体浓度增大时，气敏电阻R的阻值减小，故选项A错误； 根据串联电路电阻特点，总电阻，R减小，减小，故选项B错误； 由可知，电路中的电流I增大，即电流表的示数增大，故选项C错误； 电压表测两端电压，，I增大，不变，所以增大，即电压表的示数增大，故选项D正确． 故选：D． 4．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例关系，它的图象如图所示．下列说法错误的是（    ） A．函数解析式为 B．当时， C．当时， D．当电压一定时，电流随电阻的增大而减小 【答案】B 【分析】将，代入求出的值，再根据反比例函数的图象与性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：观察图象，可知图中函数为反比例函数， 即， 当时，， 得， 解得， ∴函数解析式为，故选项A正确； 当时，，故选项B错误； 当时，， 得，故选项C正确； ∴当电压一定时，电流随电阻的增大而减小，故选项D正确． 题型4 利用反比例函数的增减性解决问题 【例1】如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 【详解】（1）解：由表格可知，， 与x之间的函数表达式为 故答案为：； （2）解：当时，得， 解得， 当砝码的质量为时，托盘B与O点之间的距离为； （3）解：托盘中应减少砝码．理由如下： ，， 随x的增大而减小， 当托盘B向右移动时x增大， 托盘中的砝码质量y应该减小， 托盘中应减少砝码． 【例2】某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第小时起开始起效，第2小时达到最高微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，每毫升血液中含药量（微克）与时间（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．      (1)当时，与之间的函数表达式为 ；当时，与之间的函数表达式为 ． (2)如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间有多少小时． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 由图象可知，直线经过点 ∴， 解得： ∴解析式为； 当时，设与之间的函数关系式为， 由图象可知，反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴函数的解析式为； （2）解： 令，解得：， 令，解得：， ∵k=48>0 ∴函数中y随x增大而减小 ∴（小时）， ∴一次服药后的有效时间有11小时． 【变式练习】 1．嘉淇做动态电路中滑动变阻器的电学实验，电源电压恒定不变，电流与电阻的关系如图所示． （1）电源电压为______V； （2）该滑动变阻器的铭牌上标有“”字样，“”表示滑动变阻器连入电路的最大电阻是，“”表示滑动变阻器允许通过的最大电流是，则该滑动变阻器连入电路的最小电阻是______Ω． 【详解】解：（1）由图象可知：成反比例函数， 当时，， ∴， 故答案为：3； （2）∵限制电流不超过， ， 根据图象解得， ∵最大电阻为的滑动变阻器， ∴电阻在之间． 故最小电阻为：， 故答案为：3；． 2．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴k＝60000， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． （3）解：由已知得， ∴， ∴． 答：容器原来的底面积为75． 3．某综合实践活动小组结合物理热敏电阻特性与数学函数知识，设计了一款简易温度监测报警装置（图1），其工作原理是通过温度传感器监测环境温度，当环境温度达到设定的超限报警温度点时，启动超限报警功能．热敏电阻（单位：）与环境温度（单位：）满足的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图2所示；图3的电路中，电源电压伏，定值电阻，电压表测两端电压（单位：V），当达到设定阈值时触发报警． 温馨提示：①欧姆定律；②串联电路电流处处相等，总电压等于各部分电压之和． (1)求，的值，并写出关于的函数解析式； (2)求关于的函数解析式； (3)若电压表量程为，为保护电压表，请确定该监测报警装置可监测的最高环境温度． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴． （2）解：由题意得：可变电阻电压， ∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ∴， 将，，代入化简得： ． （3）解：∵中，， ∴随的增大而增大，即当取最大值3时，有最大值， ∴最大为， ∵，符合的取值范围， ∴该装置可监测的最高环境温度为． 4．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系式，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为，． (1)求与的值； (2)受天气影响，若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段至少需要多长时间？ 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 函数关系式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； （2）解：当时，可得， 汽车通过该路段至少需要． 5．A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时． （1）写出v关于t的函数表达式； （2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？ （3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由． 【详解】（1）根据题意，路程为400，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时 则v关于t的函数表达式为： ； （2）设从A地匀速行驶到B地要小时，则 解得． 他从A地匀速行驶到B地至少要5小时 （3） 解得． 7点至10点40分，是小时 他不能在10点40分之前到达B地． 6．某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：（天）， ∴商场按销售价格250元/件出售该商品，余下的商品预计再用8天全部售出． （3）解：依题意， 整理得：， ∵， ∴当时，最大， ∴当时，， ∴（天）， ∴商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能在试销后的10天内售完该商品． 过关练习 一、单选题 1．已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． 2．某物体对地面的压力为，物体对地面的压强与受力面积之间的函数关系式为，该函数图象位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据实际意义确定自变量和函数值的取值范围，即可判断图象所在象限． 【详解】解：∵已知函数关系式为，， ∴当时，， ∵横坐标和纵坐标都为正， ∴该函数图象上所有点都在第一象限 ∴该函数图象位于第一象限． 3．护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．反比例函数的解析式为 B．该护眼台灯的电压为 C．若，则 D．当时， 【答案】C 【分析】设电流关于电阻的表达式为，利用待定系数法求出，然后逐项求解判断即可． 【详解】解：设电流关于电阻的表达式为 将代入得， 解得 ∴该护眼台灯的电压为，故B错误； ∴反比例函数的解析式为，故A错误； 当时， 解得 由图象得，I随R的增大而减小 ∴若，则，故C正确； 当时，，故D错误． 4．在功w（单位：J）一定的条件下，功率p（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，p（单位：W）与t（单位：s）之间的函数关系如图所示．当时，p的值可以是（     ） A．18 B．28 C．38 D．48 【答案】A 【分析】先理解题意，把代入，求出，然后根据，求出，再结合四个选项进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，设， 把代入，得， 解得， ∴， 依题意，把代入，得； 把代入，得； ∴当时，则， 观察四个选项，得p的值可以是． 5．在古代抽水工具的“族谱”里，如图，桔槔堪称元老．它巧妙运用杠杆原理，结构简单却实用非凡．当阻力与阻力臂一定时，动力（牛）与动力臂（米）满足反比例函数，当动力臂时，与之对应的与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】反比例函数的图象称作双曲线，当时，图象的两个分支分别位于第一、三象限内，在每个象限内，随的增大而减小；当时，图象的两个分支分别位于第二、四象限内，在每个象限内，随的增大而增大． 【详解】解：根据题意可知，，， 因为， 所以． 所以当时，随的增大而减小． 因为， 所以． 6．已知某蓄电池的电压为定值，电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图，若当电阻R为时，电流为，则当电阻为时，电流为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法先求出电流与电阻的函数关系式为，再代入，计算即可得出结果． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为， ∵当电阻R为时，电流为， ∴， ∴， ∴电流与电阻的函数关系式为， 当电阻为时，． 7．物理兴趣小组在实验室开展“加速度与质量关系”的验证实验．在力恒定的条件下，物体的加速度（单位：）与质量（单位：）满足反比例函数．为保证实验安全，质量控制在范围内．若，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：在力恒定的条件下，物体的加速度（单位：）与质量（单位：）满足反比例函数， ∴加速度随质量的增大而减小， 又，， ∴当时，加速度有最大值，最大值为． 8．如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到了0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ） A．400度 B．300度 C．200度 D．100度 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象过求出反比例函数的解析式，代入求出矫正治疗后近视眼度数，作差即可求出减少的度数． 【详解】解：设， 将代入，得， 解得， ∴， 将代入，得， （度） ∴近视眼镜减少的度数为300度． 9．如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 【答案】D 【分析】根据杠杆平衡条件求出F与L的函数解析式，结合反比例函数的性质及实际意义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，F随L的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵L最大为， ∴若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是，故C正确，不符合题意； 当原物体重量增加，，则，故D错误，符合题意． 10．在电压恒定、电功不变的条件下，物理小组利用小电动机提升同一重物，研究“用电器电流I与通电时间t”的关系，记录了5组实验数据如下表：经分析，I与t满足某种函数关系，则I与t的函数关系式为（   ） 电流I（安） 0.4 1.0 1.6 2.0 2.5 时间t（秒） 25 10 6.25 5 4 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算表格中I与t的乘积，可发现二者乘积为定值，由此可确定函数关系． 【详解】解：依次计算表格中每组数据的 ： ， ， ， ， ∴I与t的乘积，可发现二者乘积为定值即， 整理得． 二、填空题 11．蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流是关于电阻的反比例函数，其图象如图所示，点是图象上一点．当用电器电阻为时，电流是________A． 【答案】4 【分析】利用反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：点是图象上一点．即当时，， 将其代入中，可得，解得， 那么反比例函数表达式为． 当时，将代入， 可得． 12．某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_____． 【答案】 【分析】先求出反比例函数解析式，再把代入求出对应速度即可解答． 【详解】解：由函数图像可知：点在行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）的函数关系式上， 则：，即， ∴反比例函数解析式， 当时，． 13．为激发青少年对科学知识的探索热情，培养其动手实践能力和严谨的科学思维，某校成功举办了“杠杆平衡的条件”科学实验活动．下表是某小组记录的部分实验数据，由表中数据关系可知，动力F和动力臂x（）的函数关系是_________． 动力F（N） 24 12 8 6 …… 动力臂x（cm） 1 2 3 4 …… 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．由表中数据计算可得动力与动力臂的乘积为定值，该定值为24，故F与x的函数关系为反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：由表中数据：， ∴，即F与x的函数关系为反比例函数， 关系式为， 故答案为：． 14．深中通道是一条连接深圳市和中山市的跨海通道，全长约24千米，集“桥、岛、隧、水下互通”于一体，是连接粤港澳大湾区的重要交通枢纽．汽车沿深中通道从深圳驶往中山，汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的函数关系式是___________． 【答案】 【分析】本题考查了列反比例函数关系式． 根据路程、速度和时间的关系，时间等于路程除以速度． 【详解】解：由题意，路程，速度，时间， 根据公式，得． 故答案为：． 15．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，将代入计算即可． 【详解】解：当 时，（m/s）． 故答案为 4． 16．某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高（单位：）与物距（小孔到㛭烛的距离）（单位：）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于，求小孔到蜡烛的距离至多是_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意正确求出反比例函数的解析式是解题关键． 根据题意得到，当时，，得到小孔到蜡烛的距离至多是，即可得到答案． 【详解】解： 根据函数图象得， ， 当时，， 小孔到蜡烛的距离至多是， 故答案为：． 17．某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地．已知人和木板对湿地地面的压力合计，此时人和木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，以下说法正确的有______（只填序号）．与的关系式为；随的增大而减小；当木板面积为时，压强是；如果要求压强不超过，则木板面积至多为． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由于压力一定时，压强和受力面积成反比，根据压力为写出解析式，根据解析式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由于压力一定时，压强和受力面积成反比， ∵， ∴ 与的关系式为，故正确，符合题意； 当越来越大时，也越来越小，故正确，符合题意； 当时，，即压强是，故正确，符合题意； 当时，即， ∴， ∴压强不超过，则木板面积至少为，故错误，不符合题意； 故答案为：． 18．物理兴趣小组制作了一个圆柱形简易密度计如图所示，用来测量液体密度．该密度计可悬浮在不同液体中，实验测得密度计在不同液体中浸入的深度h（单位：）与液体的密度（单位：）的数据如下表：    液体 汽油 煤油 植物油 水 饱和盐水 蜂蜜 0.72 0.8 0.9 1.0 1.2 1.5 h 10 9 8 7.2 6 4.8 简易密度计浸入液体的深度（单位：cm）与液体的密度（单位：）之间具有函数关系．若牛奶的密度为，则该密度计浸入牛奶的深度为__________cm．（结果保留整数） 【答案】 【分析】先判断出深度与密度之间具有反比例函数关系，然后写出函数关系式，最后把代入计算即可. 【详解】解：∵，，，，，， ∴深度（单位：）与液体的密度（单位：）之间具有反比例函数关系， ∴， ∴当时，， 即该密度计浸入牛奶的深度为. 三、解答题 19．师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度是横截面积的反比例函数，其图象（如图所示）经过点． (1)求与之间的函数关系式； (2)若竹升面的横截面面积不超过，则其总长度至少是多少？ 【答案】(1) (2)这根竹升面的总长度至少有 【分析】（1）根据反比例函数的定义进行计算即可； （2）先计算出时，的值，结合反比例函数的增减性判断的范围即可． 【详解】（1）解：设， 将点代入，得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：由题意可得，， 当时，， 由图象可知，当时，随的增大而减小， ∴当时，． 答：这根竹升面的总长度至少有． 20．在环境科学领域的一定条件下，某污染区域的净化时间（单位：小时）与净化设备的功率（单位：千瓦）存在着某种函数关系，部分对应值如表所示： 净化设备的功率（千瓦） ．．． 90 60 45 36 ．．． 净化时间t（小时） ．．． 2 3 4 5 ．．． (1)请根据表中给出的数据，求与之间的函数关系式． (2)若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要多少千瓦？ 【答案】(1) (2)18千瓦 【分析】（1）由表格中的数据可知，，据此可得答案； （2）求出时P的值，再结合反比例函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，， ∴； （2）解：在中，当时，， ∵， ∴t随P的增大而减小， ∴当时，， 答：若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要18千瓦． 21．图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． (1)求I关于R的函数表达式． (2)经测试，当电流在之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数，求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）设函数表达式为​，先求得，再结合，求出I关于R的函数表达式； （2）先得出，再得出，然后分别求出当与时的值，从而可分别求得的值，结合反比例函数的增减求解即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为​， ∵，， ∴， ∵， ∴​， 解得：， ∴I关于R的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴． 22．某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … (1)变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． (2)一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 【答案】(1)变量与满足反比例函数关系， (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）由的值为定值，可得出变量、之间的关系满足反比例函数，结合，可求出关于的函数表达式； （2）根据满电续航为及可行驶的时间不少于4小时，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 变量、之间的关系满足反比例函数， ， 函数表达式为； （2）解：该车充满电可行驶的总路程为， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为120． 答：的最大值是120． 23．【综合与实践】 为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平（如图1），天平支点左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡． 丁丁改变托盘中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘与支点的距离、托盘中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题， 托盘与支点的距离 1 1.5 2 2.5 3 托盘中的砝码质量 600 400 300 240 200 (1)丁丁通过实验发现，托盘中的砝码质量是托盘与支点的距离的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式． (2)当托盘与支点的距离为时，求托盘中砝码的质量． (3)当某次天平处于平衡状态时，此时托盘中砝码的质量是．将托盘中的砝码增加，若使天平再次平衡，托盘应该如何移动？ 【答案】(1)图见解析； (2)托盘中砝码的质量为 (3)托盘应该向左移动 【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例解析式是解题的关键． （1）根据列表数据描点连线得函数图象，利用待定系数法求解析式； （2）将代入（1）中解析式，求出y值即可； （3）根据函数解析式求出托盘移动前和移动后与支点的距离，作差即可． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图象如图所示． 由图象可得与是反比例函数关系， 设 当时， ，解得 ． （2）解：当时，代入，得， 托盘中砝码的质量为； （3）解：设托盘移动前和移动后与支点的距离分别为． 移动前托盘中的砝码质量为 ． 移动后托盘中的砝码质量为 ， 托盘应该向左移动． 24．某景区游客服务中心为游客休息室配备了智能饮水机，该饮水机放满水后，初始温度25℃．接通电源自动加热，水温每分钟上升15℃，加热至100℃时停止加热，此后水温（℃）与通电时间（min）成反比例关系，直至降至25℃后再次自动加热，其水温与时间的关系如图，回答以下问题： (1)分别求出和时，关于的函数表达式（需先推导的值）． (2)计算图中的数值． (3)景区开放时间为，且工作人员需在游客进入景区前完成水温调控（前可操作），如果工作人员在接通电源，第一批游客预计到达休息室，请问他们能否喝到之间的温水？ 【答案】(1) (2) (3)能喝到符合要求的温水，理由见解析 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的解析式是解题关键． （1）使用待定系数法求函数的表达式； （2）根据（1）中的反比例函数表达式计算出b的值； （3）根据题意可得总通电时间为，再由，可得对应第4个周期的第，处于的降温阶段，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，与成一次函数关系， 设， 将；代入表达式得： ， 解得， ∴； 当时，与成反比例关系， 设， 将代入表达式得：， 解得， ∴， 综上所述，． （2）解：将代入反比例函数的表达式得： ， 解得． （3）解：由题意可知，该饮水机的工作周期是20分钟，工作人员于通电，第一批游客到达， ∴总通电时间为， ∵， 即对应第4个周期的第，处于的降温阶段， 当时，， 该温度在范围内，因此能喝到符合要求的温水． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题27.3 实际问题与反比例函数 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 与图形面积相关的反比例函数模型 题型2 行程,工程,经济问题中的反比例函数模型 题型3 与物理公式关联的反比例函数模型 题型4 利用反比例函数性质解决问题 1.  能从实际问题中识别反比例模型，通过建立模型并解决实际问题； 2. 结合图像与性质（增减性、象限、取值范围）解决实际问题； 3. 体会反比例函数在生活、物理、工程、经济中的应用，培养严谨、应用意识. 知识点讲解 1. 反比例函数应用的解题步骤： 审：审题，找出两个变量的关系，分析数量关系； 设：设反比例函数表达式y= （k）； 求：利用待定系数法求出k的值，确定函数表达式； 定：结合实际问题定自变量取值范围； 解：根据图像和性质求函数值（或范围），解决具体问题； 验：检验实际结果是否符合实际情境. 2. 反比例函数应用的模型 ①图形面积、体积问题：长方形面积一定时，长与宽成反比；圆柱体积一定时，底面积与高成反比； ②行程、工程、经济问题：路程一定时，速度与时间成反比；工程总量一定，工作时间与工作效率成反比；总价一定时，单价与数量成反比； ③物理公式类：压力一定时，压强与受力面积成反比；电压一定时，电流与电阻成反比； 3.【易错提醒】 实际问题中的反比例函数要注意自变量的取值范围，通常要注意取和因变量取值的区间范围。 题型归纳 题型1 图形面积类模型 【例1】在中，BC的长为x，BC边上的高为y，的面积为2． (1)y关于x的函数关系式是_______，x的取值范围是______． (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)直线与y轴交于D，与（1）中的函数交于E、F（E的横坐标小于F的横坐标）两点，点P是y轴上的点，的面积等于的面积，求点P的坐标． 【变式练习】 1．矩形面积是，设它的一边长为，则矩形的另一边长与x的函数关系是_______． 2．当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 题型2 工程、行程、经济类问题 【例1】问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【变式练习】 1．随着科技的迅猛发展，智能机器人逐步融入人们的日常生活中．如图，这是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的总质量，此时它的最快移动速度．当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A． B． C． D． 2．三原小磨香油久负盛名，以其香味浓郁，营养价值高，深受消费者的喜爱．某超市销售一批三原小磨香油，在销售过程中发现，在一定范围内，该小磨香油的日销售量y（单位：瓶）与每瓶的利润x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当该小磨香油的日销售量为瓶时，该小磨香油每瓶的利润为多少元？ 3．镇江港是长江三角洲重要的江海河、铁公水联运综合性对外开放港口，目前共有台吊机可同时作业，对停靠的万吨以上货轮均可实现小时内完成卸货． 现有一艘货轮来到镇江港需要卸货，卸完所有货所需时间（小时）和卸货速度（吨小时）之间的函数关系如图．    (1)写出与之间函数表达式为______． (2)如果用小时卸完所有货物，求卸货速度； (3)若只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时，为了实现小时内完成卸货，至少需要______台吊机同时作业（假设每台吊机的卸货速度相同）？ 题型3 物理公式类模型 【例1】在古代河工治水时，需用木桩固定堤岸，压力不变的情况下，木桩承受的压强p（帕）是其受力面积S（平方米）的反比例函数．据《河工法式》记载，当受力面积为0.4平方米时，压强为625帕，其数关系与古算中的“反比例”规律一致． (1)按古算之法，求p与S之间的函数关系式； (2)若木桩受力面积为0.2平方米，求此时木桩承受的压强． 木板面积 … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 木板对地面的压强 600 300 150 120 100 【例2】小明在野外考察时，准备利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，小明知道，当压力不变时，压强与受力面积存在一定的函数关系，为研究这个关系，小明借助自身体重，利用若干大小不同的木板（质量不计）和电子压强计进行实验，每次实验小明均竖直站立在木板上，用电子压强计测量木板对地面的压强，经过多次实验，得到了木板对地面的压强与木板面积的部分对应值，如下表： (1)求与之间的函数关系式及表中的值． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． (3)资料显示：这片烂泥湿地所能承受的最大压强为．小明若用一块面积为的木板，则他能否安全通过这片烂泥湿地？若能，求湿地所承受的压强；若不能，则木板面积至少需要比原来增加多少平方米才能安全通过？ 【例3】【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为_______N． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的重力变化时，的长度随之变化．设重物的重力为 ，的长度为．则： ①关于的函数解析式是____________． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a      2 b … _______；______． ③在图的直角坐标系中画出该函数的图象． 【变式练习】 1．一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（   ） A．函数解析式为： B．当体积为5升时，压强为80千帕 C．体积越大，对应的压强越大 D．当压强为200千帕时，体积为2升 2．如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 湿地地面所受压强 400 500 600 800 受力面积 1.5 1.2 1 0.75 以下结论中不正确的是（  ） A．压强与受力面积的关系式为 B．压强与受力面积的函数图象分布在第一、三象限 C．若压强不超过，则受力面积至少要 D．若受力面积最大是，则压强最小为 3．交警常用呼气式酒精测试仪检测司机是否酒后驾驶．该仪器的原理图如图（1）所示，其中R为气敏阻，R与酒精气体浓度的关系如图（2）所示，为定值电阻，电源电压U不变．闭合开关，当酒精气体浓度增大时，下列说法正确的是（    ） 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，总电阻等于各个电阻的阻值之和． 3．该电路中的电流 A．气敏电阻R的阻值增大 B．电路中的总电阻增大 C．电流表的示数减小 D．电压表的示数增大信息框 4．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例关系，它的图象如图所示．下列说法错误的是（    ） A．函数解析式为 B．当时， C．当时， D．当电压一定时，电流随电阻的增大而减小 题型4 利用反比例函数的增减性解决问题 【例1】如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 【例2】某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第小时起开始起效，第2小时达到最高微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，每毫升血液中含药量（微克）与时间（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．      (1)当时，与之间的函数表达式为 ；当时，与之间的函数表达式为 ． (2)如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间有多少小时． 【变式练习】 1．嘉淇做动态电路中滑动变阻器的电学实验，电源电压恒定不变，电流与电阻的关系如图所示． （1）电源电压为______V； （2）该滑动变阻器的铭牌上标有“”字样，“”表示滑动变阻器连入电路的最大电阻是，“”表示滑动变阻器允许通过的最大电流是，则该滑动变阻器连入电路的最小电阻是______Ω． 2．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 3．某综合实践活动小组结合物理热敏电阻特性与数学函数知识，设计了一款简易温度监测报警装置（图1），其工作原理是通过温度传感器监测环境温度，当环境温度达到设定的超限报警温度点时，启动超限报警功能．热敏电阻（单位：）与环境温度（单位：）满足的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图2所示；图3的电路中，电源电压伏，定值电阻，电压表测两端电压（单位：V），当达到设定阈值时触发报警． 温馨提示：①欧姆定律；②串联电路电流处处相等，总电压等于各部分电压之和． (1)求，的值，并写出关于的函数解析式； (2)求关于的函数解析式； (3)若电压表量程为，为保护电压表，请确定该监测报警装置可监测的最高环境温度． 4．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系式，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为，． (1)求与的值； (2)受天气影响，若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段至少需要多长时间？ 5．A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时． （1）写出v关于t的函数表达式； （2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？ （3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由． 6．某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 过关练习 一、单选题 1．已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 2．某物体对地面的压力为，物体对地面的压强与受力面积之间的函数关系式为，该函数图象位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．反比例函数的解析式为 B．该护眼台灯的电压为 C．若，则 D．当时， 4．在功w（单位：J）一定的条件下，功率p（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，p（单位：W）与t（单位：s）之间的函数关系如图所示．当时，p的值可以是（     ） A．18 B．28 C．38 D．48 5．在古代抽水工具的“族谱”里，如图，桔槔堪称元老．它巧妙运用杠杆原理，结构简单却实用非凡．当阻力与阻力臂一定时，动力（牛）与动力臂（米）满足反比例函数，当动力臂时，与之对应的与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 6．已知某蓄电池的电压为定值，电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图，若当电阻R为时，电流为，则当电阻为时，电流为（    ） A． B． C． D． 7．物理兴趣小组在实验室开展“加速度与质量关系”的验证实验．在力恒定的条件下，物体的加速度（单位：）与质量（单位：）满足反比例函数．为保证实验安全，质量控制在范围内．若，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到了0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ） A．400度 B．300度 C．200度 D．100度 9．如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 10．在电压恒定、电功不变的条件下，物理小组利用小电动机提升同一重物，研究“用电器电流I与通电时间t”的关系，记录了5组实验数据如下表：经分析，I与t满足某种函数关系，则I与t的函数关系式为（   ） 电流I（安） 0.4 1.0 1.6 2.0 2.5 时间t（秒） 25 10 6.25 5 4 A． B． C． D． 二、填空题 11．蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流是关于电阻的反比例函数，其图象如图所示，点是图象上一点．当用电器电阻为时，电流是________A． 12．某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_____． 13．为激发青少年对科学知识的探索热情，培养其动手实践能力和严谨的科学思维，某校成功举办了“杠杆平衡的条件”科学实验活动．下表是某小组记录的部分实验数据，由表中数据关系可知，动力F和动力臂x（）的函数关系是_________． 动力F（N） 24 12 8 6 …… 动力臂x（cm） 1 2 3 4 …… 14．深中通道是一条连接深圳市和中山市的跨海通道，全长约24千米，集“桥、岛、隧、水下互通”于一体，是连接粤港澳大湾区的重要交通枢纽．汽车沿深中通道从深圳驶往中山，汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的函数关系式是___________． 15．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 16．某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高（单位：）与物距（小孔到㛭烛的距离）（单位：）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于，求小孔到蜡烛的距离至多是_____． 17．某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地．已知人和木板对湿地地面的压力合计，此时人和木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，以下说法正确的有______（只填序号）．与的关系式为；随的增大而减小；当木板面积为时，压强是；如果要求压强不超过，则木板面积至多为． 18．物理兴趣小组制作了一个圆柱形简易密度计如图所示，用来测量液体密度．该密度计可悬浮在不同液体中，实验测得密度计在不同液体中浸入的深度h（单位：）与液体的密度（单位：）的数据如下表：    液体 汽油 煤油 植物油 水 饱和盐水 蜂蜜 0.72 0.8 0.9 1.0 1.2 1.5 h 10 9 8 7.2 6 4.8 简易密度计浸入液体的深度（单位：cm）与液体的密度（单位：）之间具有函数关系．若牛奶的密度为，则该密度计浸入牛奶的深度为__________cm．（结果保留整数） 三、解答题 19．师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度是横截面积的反比例函数，其图象（如图所示）经过点． (1)求与之间的函数关系式； (2)若竹升面的横截面面积不超过，则其总长度至少是多少？ 20．在环境科学领域的一定条件下，某污染区域的净化时间（单位：小时）与净化设备的功率（单位：千瓦）存在着某种函数关系，部分对应值如表所示： 净化设备的功率（千瓦） ．．． 90 60 45 36 ．．． 净化时间t（小时） ．．． 2 3 4 5 ．．． (1)请根据表中给出的数据，求与之间的函数关系式． (2)若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要多少千瓦？ 21．图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． (1)求I关于R的函数表达式． (2)经测试，当电流在之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻的取值范围． 22．某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … (1)变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． (2)一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 23．【综合与实践】 为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平（如图1），天平支点左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡． 丁丁改变托盘中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘与支点的距离、托盘中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题， 托盘与支点的距离 1 1.5 2 2.5 3 托盘中的砝码质量 600 400 300 240 200 (1)丁丁通过实验发现，托盘中的砝码质量是托盘与支点的距离的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式． (2)当托盘与支点的距离为时，求托盘中砝码的质量． (3)当某次天平处于平衡状态时，此时托盘中砝码的质量是．将托盘中的砝码增加，若使天平再次平衡，托盘应该如何移动？ 24．某景区游客服务中心为游客休息室配备了智能饮水机，该饮水机放满水后，初始温度25℃．接通电源自动加热，水温每分钟上升15℃，加热至100℃时停止加热，此后水温（℃）与通电时间（min）成反比例关系，直至降至25℃后再次自动加热，其水温与时间的关系如图，回答以下问题： (1)分别求出和时，关于的函数表达式（需先推导的值）． (2)计算图中的数值． (3)景区开放时间为，且工作人员需在游客进入景区前完成水温调控（前可操作），如果工作人员在接通电源，第一批游客预计到达休息室，请问他们能否喝到之间的温水？ 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $