专题 26.4 实际问题与二次函数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“实际问题与二次函数”核心知识点，系统梳理解决问题的基本思路（一审二设三列四解五验六答）、最值公式（顶点坐标及a的符号影响）、自变量取值范围（高频易错点，强调顶点是否在实际区间内），并通过四大必考题型（面积最值、飞行轨迹、销售利润、拱桥问题）及解题模板搭建完整学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计（夯实基础与巩固提升），结合生活实例（如销售利润计算、拱桥建系）培养数学眼光，通过标准解题步骤（如建系求解析式）发展数学思维，易错点汇总帮助学生精准避坑。课中辅助教师系统授课，课后同步检测助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 26.4 实际问题与二次函数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】二次函数解决实际问题的基本思路 1 【知识点二】二次函数最值核心公式 2 【知识点三】实际问题自变量取值范围（高频易错） 2 【知识点四】四大必考题型精析（含标准解题模板） 2 【知识点五】易错点汇总（考试扣分点） 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】二次函数与面积最值 3 【题型 2】二次函数与飞行轨迹 6 【题型 3】二次函数与销售利润 9 【题型 4】二次函数与拱桥问题 11 三.题型精析（综合提升） 15 【题型 5】二次函数与周长、面积问题 15 【题型 6】二次函数与销售、利润问题 22 【题型 7】二次函数与最大距离问题 27 四.同步检测 34 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 34 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 41 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 46 一.知识梳理 【知识点一】二次函数解决实际问题的基本思路 实际生活中很多最值问题、变化规律问题（面积、利润、高度、跨度、拱桥、运动轨迹等）都符合二次函数模型，解题通用步骤： 一审、二设、三列、四解、五验、六答 （1）审题：找出题目中的变量、不变量、数量关系； （2）设变量：一般设自变量为 ，因变量（最值量）为 ； （3）列解析式：根据题意列出二次函数 ； （4）求解：利用顶点公式或配方法求最值，结合方程求对应变量； （5）检验：自变量取值必须符合实际意义（正数、整数、区间范围）； （6）作答：规范写出最值及对应条件。 【知识点二】二次函数最值核心公式 对于 顶点横坐标： 顶点纵坐标（最值）： 口诀：a正开口向上有最小值，a负开口向下有最大值 【知识点三】实际问题自变量取值范围（高频易错） 二次函数顶点不一定在实际取值范围内！ 若顶点横坐标不在取值区间内，最值出现在区间端点。 【知识点四】四大必考题型精析（含标准解题模板） 题型一：几何面积最值问题（矩形、窗框、围栏） 题型特征：给定周长/围栏总长，求面积最大值。 解题规律：矩形周长固定时，正方形面积最大。 题型二：销售利润最值问题（中考高频压轴） 核心公式： 涨价销量减、降价销量增，均可用二次函数建模。 题型三：运动轨迹问题（小球、抛射、飞行高度） 题型特征：高度随时间变化 ，求最大高度、落地时间、对应时刻高度。 题型四：拱桥、隧道、抛物线型建筑问题 解题关键：建平面直角坐标系，设顶点式 求解最简便。 一般把抛物线顶点置于最高点、原点或对称轴上，简化计算。 【知识点五】易错点汇总（考试扣分点） 1. 忽略自变量取值范围，直接带顶点计算，导致结果不符合实际； 2. 利润问题分不清“涨价/降价”与销量增减关系； 3. 拱桥问题不会建系，乱用一般式导致计算复杂出错； 4. 只求最值，不写对应自变量的值，答题不完整； 5. 实际问题中时间、长度、数量不能为负数，需舍去无效根。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】二次函数与面积最值 【例题1】（24-25九年级上·北京·期中）如图，是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，点在的延长线上，，设的长为米． （1）根据改造方案，改造后的矩形苗圃的面积为 平方米，若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时的值； （2）若使得改造后的面积最大，求此时的值． 【答案】（1），2；（2）1 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． （1）根据    ，表示出和，然后利用面积公式求解，再若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等列出方程求解． （2）由改造后的矩形苗圃的面积来求解． 解：（1）解：设的长度为米， 根据题意得（米），（米）， 改造后的矩形苗圃的面积为. 若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等， ， 整理得， 解得，（不符合题意合去） 答：此时的值为2． 故答案为：． （2）解：改造后的矩形苗圃的面积， 当时，使得改造后的面积最大， 即此时的值为1． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知一个直角三角形的两直角边之和是，则这个直角三角形面积的最大值是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】设一条直角边长为，则另一条直角边长为，然后列出三角形的面积与a的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解． 解：设一条直角边长为，则另一条直角边长为， ∴， ∴当时，面积的最大值为， 故选：B． 【点拨】本题考查二次函数的最值，根据题意列出三角形面积与a的函数关系式是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是______． 【答案】平方米 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键． 先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可． 解：设矩形的一边长为x m，则另一边长为平方米，矩形的面积为平方米， 其面积为， ∴当边长为2米时，矩形的最大面积为平方米． 故答案为：平方米． 【变式3】（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，抛物线与y轴交于点A，直线与x轴交于点．若点P为抛物线上的动点，且在直线上方，当面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值．    【答案】， 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．先求出直线的解析式，设点，过点P作轴，交于点Q，则，可得，即可求解． 解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴的解析式为， 设点， 过点P作轴，交于点Q，则，   ， ， ∴当时，的面积最大为， 此时． 【题型 2】二次函数与飞行轨迹 【例题2】（25-26九年级上·全国·期中）某地为庆祝国庆举行焰火表演，表演时礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮点火升空到最高点处引爆，求从点火升空到引爆需要的时间和最高点高度． 【答案】从点火升空到引爆需要的时间为和最高点高度． 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，将二次函数解析式变形为顶点式是解题的关键．将二次函数的解析式变形为顶点式，结合二次函数的性质，即可得出从点火升空到引爆需要时间为． 解：将整理成顶点式得：， ， ∴当时，取得最大值，此时引爆， ∴从点火升空到引爆需要时间为4s， ∴最高点高度为（） 即从点火升空到引爆需要的时间为和最高点高度． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒，水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（   ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用．易得抛物线的开口向下，那么当时，函数有最大值，即可求得相应的运动时间． 解：∵，， ∴当秒时，水火箭达到最高点． 故选：B． 【变式2】（2026·河北沧州·模拟预测）某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度（单位：）与跳跃时间（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________s． 【答案】4 【分析】令时，则，解得，再列式计算，即可作答． 解：依题意，令时，则， 解得， 则， ∴仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为． 【变式3】（2023·北京·模拟预测）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板距水面高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求运动员落水点与点C的距离． 【答案】（1）；（2）运动员落水点与点的距离为5米 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点的坐标，求得的值，则可求得抛物线的解析式； （2）令，得关于的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可． 解：（1）解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意可得抛物线的顶点坐标为，点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点坐标为代入得：， 解得：， ∴这条抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴令得：， 解得：， ∵起跳点A坐标为， ，不符合题意， ， ∴运动员落水点与点的距离为5米． 【题型 3】二次函数与销售利润 【例题3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． （1）当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ （2）当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润；（2）当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或解析式． （1）根据题意列出方程，再解方程即可； （2）根据题意得出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，进行解答即可． 解：（1）解：由题意得，， 即， 整理得，， 解得，，， 即当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润． （2）解：记利润为元， 则． ，， 当时，， 即当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元． 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明标准房价格在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到________元时，客房的日营业收入最大． 【答案】150 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，通过建立日营业收入与房价提高量之间的二次函数关系，利用二次函数的性质求最大值，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 解：设房价提高个10元，则房价为元，日均入住数为间．设日营业收入为， 由题意可得：． 由于二次项系数，函数图象开口向下， 所以在对称轴处取得最大值． 此时房价为元，且150在元范围内． 故答案为：150． 【变式3】（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； （3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】（1），；（2）；（3）销售单价定为90元时，商场可获得最大利润 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设与的函数关系式为，然后由图像可把点代入进行求解即可； （2）根据（2）及利润=单个利润×总的销售量即可求解； （3）由（2）结合二次函数的性质可进行求解． 解：（1）解：设与的函数关系式为，由题意， 得，解得， 与的函数关系式为， 成本为60元，获利不超， ； （2）解：由题意，得： ； （3）解：由（2），得， ， 二次函数图像开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值900， 答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润． 【题型 4】二次函数与拱桥问题 【例题4】（25-26九年级上·陕西安康·期末）某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【答案】（1）；（2）保温墙到点O的水平距离为8米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，代入求解即可； （2）将代入解析式，求出x的值即可． 解：（1）解：由题可得，顶点， 设抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，， 解得，， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ， 答：保温墙到点O的水平距离为8米． 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案． 解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图： ∴设抛物线解析式为：， ∵观察图形可知抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴当水位上涨时，即当时，有， ∴，， ∴水面的宽度为：． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：4． 【变式3】（24-25九年级下·江西抚州·阶段检测）金溪县实验中学开展“阳光体育”活动，学生们在操场玩跳长绳游戏．如图，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，以O为原点建立平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴上的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A，B，且的水平距离为6米，A，B两点到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米． （1）请求出抛物线的解析式． （2）跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方？ 【答案】（1）；（2）2米或4米 【分析】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键． （1）根据题意，假设出来抛物线的顶点解析式，然后利用待定系数法即可求解； （2）利用函数值，求自变量的值即可． 解：（1）解：由题意设抛物线的解析式为， 将点代入中，得， 该抛物线的解析式是． （2）解：将代入， 解得，， 小明站在距甲2米或4米时，绳子刚好过他的头顶上方． 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】二次函数与周长、面积问题 【例题5】（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． （1）当时，求点和点的坐标； （2）当时，求的面积； （3）当时，求点的纵坐标的最小值． 【答案】（1）；；（2）；（3）的最小值为 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标； （2）根据，点在抛物线上，求出点的坐标，求出二次函数的解析式，点在抛物线上且在轴上，即，求出点的坐标；则，根据三角形的面积公式，即可； （3）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 解：（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点， ∴点，； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴， ∴． （3）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：，在取值范围内； ∴当时，有最小值，最小值为：． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于两点．若点的横坐标为1，点在轴上（三点不共线），则周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、轴对称的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，，则可得直线的解析式为，然后得出点C坐标，由的周长为可知，要使的周长为最小，则需满足为最小，则过点B作关于y轴的对称点E，连接，交y轴于点D，此时点D即为所求，即为最小，进而求解即可． 解：把点代入得：， 解得：， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 假设点B是过点P的直线与的交点，∵点的横坐标为1， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 由的周长为可知，要使的周长为最小，则需满足为最小，则过点B作关于y轴的对称点E，连接，交y轴于点D，此时点D即为所求，即为最小，如图所示： ∴，， ∴， ∴的周长最小值为； 故选A． 【变式2】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过A，B两点，若点P为直线下方的抛物线上一动点，连接，则面积的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握的图象和性质是解题的关键． 先求出点A、B的坐标，然后求得抛物线的解析式．如图：过点P作轴交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，然后根据以及二次函数的性质求解即可． 解：∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴， 把点代入可得：，解得：， ∴， 如图：过点P作轴交于点Q， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， 当时，最大，最大为． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线与轴交于两点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，与轴交于点，且． （1）求点、点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的应用、正切、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出，，再根据正切的定义可得，然后根据可得的值，则可得的长，由此即可得； （2）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，，再作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则当点共线时，的长最小，即的周长最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，将代入求解即可得． 解：（1）解：将代入抛物线得：， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，． （2）解：将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由上已得：，，， ∴， 如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则，， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的长最小，即的周长最小， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴在（2）中抛物线的对称轴上存在一个点，使的周长最小，点的坐标为． 【题型 6】二次函数与销售、利润问题 【例题6】（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： （1）分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． 方案设计： （3）若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】（1）制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元；（2）；（3）制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 解：（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：（件）， ∴B品的销量为：（件）， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 【变式1】（25-26九年级下·北京·开学考试）某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴， 解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴， 整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 【变式2】（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为________元． 【答案】2450 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意，正确列出函数解析式是解题的关键；先求出每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，再求出日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，根据日销售利润等于日销售数量与每件利润的积，得到二次函数，由二次函数的性质求出最大值即可． 解：设每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图1知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得， ∴； 设日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图2知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得：， ∴； 设日销售利润为w，则， 即， ∵， ∴当时，有最大利润，且最大利润为2450元； 故答案为：2450． 【变式3】（2026·四川雅安·一模）综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 （1）任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． （2）任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 【答案】（1）此月平均增长率为；（2）①每架迷你无人机的售价应降低元；②要想获得利润最大，售价应定为元． 【分析】（1）设此月平均增长率为x，根据1月和3月的销量建立方程求解即可； （2）①设每架迷你无人机的售价应降低m元，根据利润（售价进价）销售量建立方程求解即可；②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元，根据利润（售价进价）销售量列出W关于n的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：设此月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：此月平均增长率为； （2）解：①设每架迷你无人机的售价应降低m元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵需要尽量减少库存， ∴， 答：每架迷你无人机的售价应降低元； ②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为1250， 此时， 答：要想获得利润最大，售价应定为元． 【题型 7】二次函数与最大距离问题 【例题7】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． （1）你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； （2）求出你所选方案中的抛物线的解析式； （3）因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】（1）方案一，；方案二，；方案三，；（2）方案一，；方案二；方案三，；（3） 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 解：（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）如图是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱为，抛物线的最高点到地面的距离是，点距灯柱的水平距离为，灯罩与地面的距离是，则灯罩到灯柱的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确解得抛物线解析式是解题关键．根据题意建立坐标系，设抛物线的解析式为，将点代入，求得抛物线解析式，再将代入，计算并确定满足要求的解即可． 解：建立坐标系如下图， 根据题意，可设抛物线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线解析式为， 将代入，得， 解得，或（舍去）， 故选：B． 【变式2】（19-20九年级上·江苏南通·期中）如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．两盏景观灯之间的水平距离为________米． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数，解题的关键是根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，建立合适的平面直角坐标系． 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出时，x的值，即可得答案． 解：如下图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系， 设这条抛物线的解析式为，由抛物线经过点，可得， 解得：， 这段抛物线表示的二次函数为， 由已知得，两盏景观灯的纵坐标都是， ， 解得：， 两盏景观灯之间的水平距离是5米， 故答案为：5． 【变式3】（25-26九年级下·北京西城·阶段检测）奥运会主火炬手小王练习射箭点火．他需要用火种点燃箭头，然后准确地射向米远、20米高的火炬塔．火炬塔上面是一个弓形的圣火台，该弓形的弦记为，且火炬塔垂直平分，这支箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这支箭飞行的水平距离为（单位：），距地面的竖直高度为（单位：），获得数据如表： （单位：） （单位：） 小芳根据学习函数的经验，对函数h随自变量d的变化而变化的规律进行了研究．下面是小芳的探究过程，请补充完整： （1）k的值为_________； （2）在平面直角坐标系中，描全以表中各对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； （3）只要小王射出箭的轨迹与线段有公共点，那么这支箭就可以射入圣火台．请问小王是否可以将这支箭射入圣火台？答：_______________（填“是”或者“否”） （4）开幕式当晚，只要小王射出的箭能够进入圣火台上方边长为4米的正方形范围内（包含边界），都可以顺利点燃主火炬．小芳发现，在射箭的初始角度和力量不变的情况下，小王还可以通过调整与火炬塔的水平距离来改变这支箭的飞行轨迹（即向右平移原抛物线）．若保证圣火被点燃，小王可以沿横轴正方向移动的最大距离是______________米．（结果请保留根号） 【答案】（1）；（2）见分析；（3）是；（4） 【分析】（1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可； （3）先求得抛物线的解析式，再求出当时所对应的的值，再和作比较即可； （4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点的坐标和右上角的点的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解． 解：（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分， 根据表格数据和二次函数图像的对称的性质可得：对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图： （3）解：设二次函数的解析式为：， 当时，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时， ， ∴小王可以将这支箭射入圣火台． 故答案为：是． （4）解：由（3）可知：二次函数的解析式为， ∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图像左右平移可以保证圣火被点燃， 依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为， 设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形的右上角的点时， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图像，二次函数图像的平移．根据函数图像获取信息解题的关键． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25九年级上·浙江·阶段检测）正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数，先求出正方形的边长为，再根据正方形的面积公式即可得解． 解：∵正方形的周长为C ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积， 故选：A． 2．（2025·安徽·一模）如图，在中，，，，为边的中点，连接，动点从点出发，沿着移动，同时动点从点出发，沿着移动，且两点的移动速度均为．设点移动的时间为，的面积为，则关于的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解直角三角形， 分两种情况：当时，作，根据列出关系式；当时，作，根据列出关系式，再结合抛物线的性质得出图象即可． 解：在中，，点D是的中点， ∴，． 如图1，当时，过点作于点，， ∵， ∴， 即. ； 如图2，当时，过点作于点，， ∵， ∴， 在中，， 即. ∴， 综上可知，当时，函数图象是开口向上对称轴是的抛物线；当时，函数图象是开口向下，对称轴是，且最大值是的抛物线，可知选项B符合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 4．（25-26九年级上·全国·期末）一塑料玩具生产公司将每件成本为元的某种玩具按每件元批发出售，平均一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低元，其日销量可平均增加件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天件．若想获得最大利润，则批发价应降低（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设批发价降低x元，根据生产限额180件，求出x的取值范围，再列出利润的函数，然后分情况讨论利润函数，求最大值即可得出答案． 解：设降低x元，则批发价为元，每件利润为元，销量为， 根据题意可知，即， 设利润为， 可得， ∵该二次函数开口向下，对称轴， ∴在时P随x增大而增大， ∴当时，P最大，元． 综上，当时利润最大，故批发价应降低8元． 故选C 5．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（    ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练地解一元二次方程． 令，解方程求即可． 解：令，则， 解得（舍去），， 运动员从起跳到落地所需要的时间为秒． 故选：D． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，把点、代入已知函数关系式，运用待定系数法求解，再化为顶点式即可 解：把点、代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； ∴顶点坐标为， 故选A． 7．（25-26九年级上·福建厦门·期中）某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，正确进行配方是解题关键． 由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当取得最大值时，即为飞行着陆后停下来需滑行的时间． 解：∵ ， ∴ 当时，取得最大值，飞机停止滑行， ∴ 滑行时长为， 故选：D． 8．（26-27九年级·全国·暑假作业）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别通过解方程求落地时间，配方求最大高度，代入计算函数值比较大小，逐一验证三个结论即可． 解：①：小球落地时高度，令， 得， 因式分解得， 解得或， 为抛出时刻，因此小球从抛出到落地需要，①正确． ②：， ， 的最大值为，， 因此小球高度不可能达到，②错误． ③：当时，， 当时，， ， 因此小球运动时的高度大于运动时的高度，③错误． 综上，正确结论的个数是，故选B． 9．（2026九年级下·天津红桥·学业考试）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将点代入，并求出关系式，再根据最高点判断①；然后将代入关系式，求出解判断②；接下来将代入关系式，求出解判断③即可． 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为， 当时，， ∴铅球运动的高度可以是； 当时，， 解得， ∴铅球掷出的水平距离为； 当时，， 解得， ∴它离初始位置的水平距离是或． 所以正确的有①②共2个． 10．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的点的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论． 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数关系式为． ∵， ∴篮球框中心在抛物线上，故选项B错误； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，故选项A正确， ∴抛物线的顶点坐标是．故选项C错误； 设篮球出手时离地面的高度是， 当时，， 所以，篮球出手时离地面的高度是，故选项D错误． 故选：A． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 12．（2025·甘肃酒泉·二模）我国女子铅球选手巩立姣夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度单位：与水平距离单位：之间的函数关系式为，则巩立姣在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及的知识点是抛物线型轨迹中二次函数的零点求解。解题方法是利用“铅球落地时高度为0”的实际意义，令函数中的通过解一元二次方程得到水平距离；解题关键是明确最好成绩对应铅球落地时的水平距离，需取方程的正根。易错点是解方程后忽略实际意义，误取负根。解题思路为：铅球落地时飞行高度，解此一元二次方程，取正根即为最好成绩。 解：令，得方程： 两边同乘12，得： 两边同乘-1，得： 解方程，得： ∴，（舍去） 故答案为． 13．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 14．（2024九年级上·湖南永州）道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 【答案】5 【分析】利用待定系数法可求出；设获得的利润为W元，根据总利润每千克的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 设获得的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为2250， ∴这种干果每千克降价5元时，可获得最大利润． 15．（2023·内蒙古兴安·模拟预测）如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 【答案】 【分析】利用顶点式求出二次函数解析式，进而得出答案，利用时，求出y的值即可得出的长． 解：由题意知， ∵点是抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为：， 点在抛物线上，可得，， 解得：， 因此，； 当时，， 所以，． 16．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是______；飞机滑行的最远距离是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，正确进行配方是解题关键．将函数解析式配方成顶点式，求顶点坐标即可． 解：由题意，， 当时，取最大值，即飞机着陆后停下来需滑行的时间为秒，滑行的最大距离是． 故答案为，． 17．（25-26八年级下·浙江金华·期末）2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 18．（2026·甘肃武威·中考真题）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】要判断水流能否击中昆虫，只需验证点是否在抛物线上，即将代入函数解析式计算y的值，并与昆虫的高度进行比较． 解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园（不超过墙长），已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，面积为，求该苗圃园面积的最大值．以下是小嘉同学的解法，请判断是否正确，如果正确，请在虚线框内打√，如果不正确，请写出正确的解答过程． 解： ， 当时，最大值为128． 答：该苗圃园面积的最大值为． 【答案】不正确，正确过程见详解 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可知小嘉同学未考虑墙长为这个条件，所以解答过程错误，因此此题可根据二次函数的性质进行求解即可． 解：小嘉同学的解法是错误的，理由是没有考虑墙长为这个条件，正确过程如下： 设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，面积为，由题意得： ， ∵墙长为， ∴， 解得：， ∵，即开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为； 答：该苗圃园面积的最大值为． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【答案】（1）；（2）6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解． 解：（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， 解得，， ∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． （1）设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； （2）当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）售价元时，利润最大，最大利润元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意确定等量关系并据此列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“每件利润销售量总利润”，列出与之间的函数关系式即可； （2）根据（1）中与之间的函数关系式，然后利用二次函数性质求最值即可． 解：（1）解：根据题意可得：， 将代入，得， 整理得， 故与之间的函数解析式为． （2）解： ， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为． 故售价元时，利润最大，最大利润元． 22．（本小题满分10分）（2026·陕西西安·模拟预测）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求点P所在抛物线的函数表达式； （2）已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 【答案】（1）；（2）​米． 【分析】（1）根据题意可知、，设抛物线顶点式为，将代入计算即可； （2）根据平移的性质得到，令，求解后根据在正半轴取合适的值即可． 解：（1）解：根据题意可得：出手点的坐标为， 最高点距水平距离3米，距地面3.8米，因此坐标为． 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵将篮球从点A正上方1米的点B处投出， ∴新抛物线表达式为：， 令，得：， 解得， ∵在正半轴， ∴​， ∴​米． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西抚州·期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． （1）求抛物线表达式； （2）通过计算判断此球能否过网； （3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 【答案】（1）抛物线的解析式为：；（2）此球能过网；（3）羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，把代入求出a的值，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求出x的值，即可求解． 解：（1）解：由题意可设， 把代入得， 抛物线的解析式为： （2）解：当时， 此球能过网． （3）解：当时， 解得：，， 羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米． 24．（本小题满分12分）（2026·河南平顶山·三模）如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 （1）根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ （2）求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 （3）若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 【答案】（1）8，1000；（2）；（3） 【分析】（1）取，代入可求；取，代入，可求； （2）由（1）知，求出，消去即可； （3）把代入二次函数解析式求解即可． 解：（1）解：把，代入得； 把，代入，得：， 解得：； （2）解：由（1）知，． ． ． 钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式为． （3）解：当钢球恰好落到箱子里，且从箱子左侧进入，此时箱子左侧到点O的水平距离最远． ． 当，即，解得（负值已舍去）． 箱子左侧到点O的水平距离最远是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.4 实际问题与二次函数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】二次函数解决实际问题的基本思路 1 【知识点二】二次函数最值核心公式 2 【知识点三】实际问题自变量取值范围（高频易错） 2 【知识点四】四大必考题型精析（含标准解题模板） 2 【知识点五】易错点汇总（考试扣分点） 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】二次函数与面积最值 3 【题型 2】二次函数与飞行轨迹 4 【题型 3】二次函数与销售利润 5 【题型 4】二次函数与拱桥问题 6 三.题型精析（巩固提升） 7 【题型 5】二次函数与周长、面积问题 7 【题型 6】二次函数与销售、利润问题 9 【题型 7】二次函数与最大距离问题 10 四.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 15 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 一.知识梳理 【知识点一】二次函数解决实际问题的基本思路 实际生活中很多最值问题、变化规律问题（面积、利润、高度、跨度、拱桥、运动轨迹等）都符合二次函数模型，解题通用步骤： 一审、二设、三列、四解、五验、六答 （1）审题：找出题目中的变量、不变量、数量关系； （2）设变量：一般设自变量为 ，因变量（最值量）为 ； （3）列解析式：根据题意列出二次函数 ； （4）求解：利用顶点公式或配方法求最值，结合方程求对应变量； （5）检验：自变量取值必须符合实际意义（正数、整数、区间范围）； （6）作答：规范写出最值及对应条件。 【知识点二】二次函数最值核心公式 对于 顶点横坐标： 顶点纵坐标（最值）： 口诀：a正开口向上有最小值，a负开口向下有最大值 【知识点三】实际问题自变量取值范围（高频易错） 二次函数顶点不一定在实际取值范围内！ 若顶点横坐标不在取值区间内，最值出现在区间端点。 【知识点四】四大必考题型精析（含标准解题模板） 题型一：几何面积最值问题（矩形、窗框、围栏） 题型特征：给定周长/围栏总长，求面积最大值。 解题规律：矩形周长固定时，正方形面积最大。 题型二：销售利润最值问题（中考高频压轴） 核心公式： 涨价销量减、降价销量增，均可用二次函数建模。 题型三：运动轨迹问题（小球、抛射、飞行高度） 题型特征：高度随时间变化 ，求最大高度、落地时间、对应时刻高度。 题型四：拱桥、隧道、抛物线型建筑问题 解题关键：建平面直角坐标系，设顶点式 求解最简便。 一般把抛物线顶点置于最高点、原点或对称轴上，简化计算。 【知识点五】易错点汇总（考试扣分点） 1. 忽略自变量取值范围，直接带顶点计算，导致结果不符合实际； 2. 利润问题分不清“涨价/降价”与销量增减关系； 3. 拱桥问题不会建系，乱用一般式导致计算复杂出错； 4. 只求最值，不写对应自变量的值，答题不完整； 5. 实际问题中时间、长度、数量不能为负数，需舍去无效根。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】二次函数与面积最值 【例题1】（24-25九年级上·北京·期中）如图，是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，点在的延长线上，，设的长为米． （1）根据改造方案，改造后的矩形苗圃的面积为 平方米，若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时的值； （2）若使得改造后的面积最大，求此时的值． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知一个直角三角形的两直角边之和是，则这个直角三角形面积的最大值是（　　） A． B． C． D．不确定 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是______． 【变式3】（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，抛物线与y轴交于点A，直线与x轴交于点．若点P为抛物线上的动点，且在直线上方，当面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值．    【题型 2】二次函数与飞行轨迹 【例题2】（25-26九年级上·全国·期中）某地为庆祝国庆举行焰火表演，表演时礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮点火升空到最高点处引爆，求从点火升空到引爆需要的时间和最高点高度． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒，水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（   ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【变式2】（2026·河北沧州·模拟预测）某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度（单位：）与跳跃时间（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________s． 【变式3】（2023·北京·模拟预测）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板距水面高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求运动员落水点与点C的距离． 【题型 3】二次函数与销售利润 【例题3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． （1）当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ （2）当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明标准房价格在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到________元时，客房的日营业收入最大． 【变式3】（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； （3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 【题型 4】二次函数与拱桥问题 【例题4】（25-26九年级上·陕西安康·期末）某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【变式3】（24-25九年级下·江西抚州·阶段检测）金溪县实验中学开展“阳光体育”活动，学生们在操场玩跳长绳游戏．如图，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，以O为原点建立平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴上的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A，B，且的水平距离为6米，A，B两点到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米． （1）请求出抛物线的解析式． （2）跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方？ 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】二次函数与周长、面积问题 【例题5】（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． （1）当时，求点和点的坐标； （2）当时，求的面积； （3）当时，求点的纵坐标的最小值． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于两点．若点的横坐标为1，点在轴上（三点不共线），则周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过A，B两点，若点P为直线下方的抛物线上一动点，连接，则面积的最大值为_____． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线与轴交于两点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，与轴交于点，且． （1）求点、点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 6】二次函数与销售、利润问题 【例题6】（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： （1）分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． 方案设计： （3）若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【变式1】（25-26九年级下·北京·开学考试）某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【变式2】（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为________元． 【变式3】（2026·四川雅安·一模）综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 （1）任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． （2）任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 【题型 7】二次函数与最大距离问题 【例题7】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． （1）你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； （2）求出你所选方案中的抛物线的解析式； （3）因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）如图是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱为，抛物线的最高点到地面的距离是，点距灯柱的水平距离为，灯罩与地面的距离是，则灯罩到灯柱的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（19-20九年级上·江苏南通·期中）如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．两盏景观灯之间的水平距离为________米． 【变式3】（25-26九年级下·北京西城·阶段检测）奥运会主火炬手小王练习射箭点火．他需要用火种点燃箭头，然后准确地射向米远、20米高的火炬塔．火炬塔上面是一个弓形的圣火台，该弓形的弦记为，且火炬塔垂直平分，这支箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这支箭飞行的水平距离为（单位：），距地面的竖直高度为（单位：），获得数据如表： （单位：） （单位：） 小芳根据学习函数的经验，对函数h随自变量d的变化而变化的规律进行了研究．下面是小芳的探究过程，请补充完整： （1）k的值为_________； （2）在平面直角坐标系中，描全以表中各对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； （3）只要小王射出箭的轨迹与线段有公共点，那么这支箭就可以射入圣火台．请问小王是否可以将这支箭射入圣火台？答：_______________（填“是”或者“否”） （4）开幕式当晚，只要小王射出的箭能够进入圣火台上方边长为4米的正方形范围内（包含边界），都可以顺利点燃主火炬．小芳发现，在射箭的初始角度和力量不变的情况下，小王还可以通过调整与火炬塔的水平距离来改变这支箭的飞行轨迹（即向右平移原抛物线）．若保证圣火被点燃，小王可以沿横轴正方向移动的最大距离是______________米．（结果请保留根号） 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25九年级上·浙江·阶段检测）正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·一模）如图，在中，，，，为边的中点，连接，动点从点出发，沿着移动，同时动点从点出发，沿着移动，且两点的移动速度均为．设点移动的时间为，的面积为，则关于的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 4．（25-26九年级上·全国·期末）一塑料玩具生产公司将每件成本为元的某种玩具按每件元批发出售，平均一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低元，其日销量可平均增加件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天件．若想获得最大利润，则批发价应降低（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（    ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·福建厦门·期中）某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是（    ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级·全国·暑假作业）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2026九年级下·天津红桥·学业考试）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 12．（2025·甘肃酒泉·二模）我国女子铅球选手巩立姣夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度单位：与水平距离单位：之间的函数关系式为，则巩立姣在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是___________． 13．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 14．（2024九年级上·湖南永州）道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 15．（2023·内蒙古兴安·模拟预测）如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 16．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是______；飞机滑行的最远距离是______． 17．（25-26八年级下·浙江金华·期末）2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 18．（2026·甘肃武威·中考真题）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园（不超过墙长），已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，面积为，求该苗圃园面积的最大值．以下是小嘉同学的解法，请判断是否正确，如果正确，请在虚线框内打√，如果不正确，请写出正确的解答过程． 解： ， 当时，最大值为128． 答：该苗圃园面积的最大值为． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． （1）设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； （2）当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 22．（本小题满分10分）（2026·陕西西安·模拟预测）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求点P所在抛物线的函数表达式； （2）已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西抚州·期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． （1）求抛物线表达式； （2）通过计算判断此球能否过网； （3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 24．（本小题满分12分）（2026·河南平顶山·三模）如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 （1）根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ （2）求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 （3）若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $