13.1.1 直角三角形三边的关系 课件 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，通过电线杆拉钢索的实际问题导入，将现实情境转化为数学问题，引导学生思考直角三角形已知两边求第三边，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以毕达哥拉斯故事和瓷砖图案激发探究欲，通过数格子、切割拼接等活动培养几何直观与推理意识，结合赵爽弦图用面积法证明体现模型意识，练习中分类讨论强化应用意识。学生能提升抽象与逻辑思维，教师可依托结构化流程高效教学。

第十三章 勾股定理 第1课时 直角三角形三边的关系 如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？ 将实际问题转化成数学问题. 在直角三角形中，已知两边如何求第三边？ 导入新课 2 相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种关系。我们也来观察一下图案,看看能从中发现什么 探究新知 活动一：探究直角三角形的三边关系 问题1 如图是正方形瓷砖铺成的地面. (1)观察图中着色的三个正方形，P，Q，R的面积有什么关系？ SP＋SQ＝SR. 高效课堂 4 (2)由上面得到三个正方形的面积关系，能得到等腰直角三角形ABC三边有什么关系？ AC2＋BC2＝AB2. 正方形P，Q，R的面积分别为AC2，BC2，AB2，从而有AC2＋BC2＝AB2. 在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 高效课堂 5 上面的图形在经过适当切割后可以拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的面积不变 S左上正方形+S右上正方形=S下正方形 图中三个正方形的面积有什么关系？ 等腰直角三角形的三边有什么关系？ 探究新知 问题2 在一般直角三角形中，“两直角边的平方和等于斜边的平方”还成立吗？ 图中，正方形R，P，Q中各有几个方格？ 它们的面积各是多少？ 通过上述分析发现图中正方形R，P，Q的面积之间有什么关系？ 高效课堂 7 通过数格子的方法，可得到正方形R，P，Q的面积分别为25，9，16，因此有SQ＋SP＝SR. 再根据正方形的面积公式，可得AC2＋BC2＝AB2，用语言叙述为：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 高效课堂 8 （1）正方形P的面积是 平方米； （2）正方形Q的面积是 平方米； （3）正方形R的面积是 平方米. 1 2 1 观察正方形瓷砖铺成的地面. （图中每个小正方形的边长均为1米） R Q P A C B 新知学习 问题1 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 问题2 等腰直角三角形ABC的边长是什么？ 三边长度之间存在什么关系吗？ （P119页试一试） SP + SQ = SR 问题2 等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ 问题1 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ AC2+BC2=AB2 这说明，在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方.那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？ Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 问题3 如果直角三角形不在网格中，两直角边的平方和还等于斜边的平方吗？ (1)画出两条直角边分别为5 cm、12 cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系式对于这个直角三角形是否成立. 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2. 用语言叙述为：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 高效课堂 11 P的面积(单位长度) Q的面积(单位长度) R的面积(单位长度) 图1 图2 P、Q、R面积关系 直角三角形三边关系 Q P R Q P R A B C A B C 9 16 25 9 4 13 SP+SQ=SR BC2+AC2=AB2 (每一小方格表示1平方厘米) BC2+AC2=AB2 观察左图，填写下列表格： 在一般的直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方 试一试 图1 图2 思考：能用另一个图形证明a2＋b2＝c2吗？ 由上面的探究可知，对于任意的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方.这种关系就是勾股定理. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 高效课堂 13 我国古代，人们把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. “弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代伟大的数学成就. 勾 股 a b c 股 勾 弦 （P121页） 温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法. a b c S大正方形＝c2 S小正方形＝(b-a)2 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形 赵爽弦图 证明： c2=2ab+a2-2ab+b2 所以 a2+b2=c2 即c2=4× ab+(b-a)2 拓展 赵爽弦图证明勾股定理 注：赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形 例2 如图，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2 cm，另一条直角边BC 的长为6 cm，求AC的长. 解 由已知AB＝AC－2，BC＝6 cm，根据勾股定理，可得AB2＋BC2＝(AC－2)2＋62＝AC2. 解得AC＝10 cm. 高效课堂 16 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言：如图，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 例3 如图，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C处设桩，使△ABC恰好为直角三角形∠ABC＝90°.通过测量，得到AC的长为160 m，BC的长为128 m，问：从点A穿过湖到点B有多远？ 分析：本题是勾股定理的简单应用，它的实质是：在直角三角形中，已知一直角边和斜边的长求另一直角边长. 高效课堂 18 解 如图，在Rt△ABC中，AC＝160 m，BC＝128 m， 根据勾股定理，可得 答：从点A穿过湖到点B有96 m. 高效课堂 19 随堂练习 1.在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C=90°. (1)已知a=6，c=10，求b； 解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，由勾股定理，得 . (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=24，c=25，根据勾股定理，得 . (2)已知a=24，c=25，求b. 课堂评价 D D 21 勾股定理 勾股定理 课堂小结 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 字母表示：a2+b2=c2 注意事项 1.前提条件：在直角三角形中 2.应用勾股定理要分清直角边和斜边 3.若没有明确给出三角形中边的类型（直角边还是斜边）要分类讨论 $